Menge aller zu V definierbaren Ereignisse.

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1 Formelsammlug 005 Statst rof.dr..grabows II Wahrschelchetsrechug Formelsammlug II. Wahrschelchetsrechug Zufällge Eregsse Zufällger Versuch V Zufällge Eregsse,,C,... Elemetareregsse {ω} Zusammegesetzte Eregsse Eregsfeld elebg oft uter de gleche edguge wederholbares Expermet, be dem de eobachtugs- Ergebsse zufällg, also cht edeutg vorhersagbar sd. eobachtugsergebsse eem zufällge Versuch V. Werde durch Mege beschrebe! Umttelbar m Versuch V beobachtete leste bzw. atomare Eregsse Etstehe aus de Elemetareregsse durch wedug vo Megeoperatoe,, Komplemet, \. Mege aller zu V deferbare Eregsse. ezechuge: {ω} Elemetareregs, Ω - Mege aller zu eem zufällge Versuch V deferbare Elemetareregsse, Ω - belebges Eregs zu V, : Ω\ Komplemetäreregs zu : cht bzw., Ω{ Ω} - Eregsfeld Mege aller zu V deferbare Eregsse. Scheres Eregs: E Eregs, was be jeder Durchführug vo V also mmer etrtt. espel: Ω Umöglches Eregs: E Eregs, was be jeder Durchführug vo V emals etrtt espel: Ω : Ω \Ω Φ espel: Versuch V malger Müzwurf Strutur ees Elemetareregs: {ω} mt ωw, W W {Kopf, Zahl} für, Mege aller Elemetareregsse zu V: Ω {K,K, K,Z, Z,K, Z,Z} Mege aller möglche zu V deferbare Eregsse: Ω {φ, {K,K},{K,Z}, {Z,K},{Z,Z}, {K,K,K,Z}, {K,K,Z,K}, {K,K,Z,Z},{K,Z,Z,K}, {K,Z,Z,Z}, {Z,K,Z,Z}, {K,K, K,Z, Z,K}, {K,K, K,Z, Z,Z}, {K,K, Z,K, Z,Z}, {K,Z, Z,K, Z,Z}, Ω} E spezelles Eregs: {K,K,Z,Z} be bede Würfe das gleche Ergebs {K,Z,Z,K} bede Würfe habe uterschedlche Ergebsse

2 Formelsammlug 005 Statst rof.dr..grabows II Wahrschelchetsrechug xomatsche Defto der Wahrschelchet Kolmogorow Def: Se V e zufällger Versuch ud Ω de Mege der Elemetareregsse zu V. Da heßt ee bbldug : Ω [0,], de jedem Eregs vo V ee reelle Zahl m abgeschlossee Itervall zwsche 0 ud zuordet, Wahrschelchetsmaß auf dem Eregsfeld vo V, falls folgede 3 xome erfüllt: : Ω: 0 ud Φ 0, Ω Normerthet N : Ω Ω: Mootoe M 3: Ω Ω: + ddtvtät 4:, falls alle gegesetg dsjut. σ-ddtvtät σ- emeruge: st e Vorhersagemaß für de Wahrschelchet Chace des Etretes vo be emalger Durchführug des Versuchs V. N, M, sd auch Egeschafte der relatve Häufget h. Damt bldet das axomatsche Modell für de Wahrschelchet de Egeschafte der beobachtete relatve Häufget h der raxs ab. 3 Ma a expermetell achwese, daß de relatve Häufget h ees Eregsse gege de Wahrschelchet overgert, we ma de zahl der Versuchswederholuge uedlch groß werde läßt. Damt a de Wahrschelchet als relatve Häufget be uedlch vele Versuche aufgefaßt werde: : h. oder: de Zahl st de erwartete relatve Häufget des Etretes vo be eer geüged große zahl vo Versuchswederholuge 0. wrd so terpretert: be 00 malger Veruchsdurchführug sollte das Eregs ca. 0 mal etrete. bzw. trtt geau 0 % aller Versuche e. 4 uf de 4 xome beruht de gesamte Theore der Wahrschelchetsrechug, d.h. wetere xome sd cht erforderlch. edgte Wahrschelchet: : - Wahrschelchet des Etretes vo uter der edgug Voraussetzug, daß egetrete st. De bedgte Wahrschelchet st be fester edgug e Wahrschelchetsmaß auf Ω! Es glt sbesodere : -

3 Formelsammlug 005 Statst rof.dr..grabows II Wahrschelchetsrechug 3 Uabhägget vo Eregsse: Zwe Eregsse ud heße stochastsch uabhägg, falls glt: Folgerug: Sd ud stochastsch uabhägg, so gelte folgede ezehuge: Eregsse,,..., heße gegesetg stochastsch uabhägg, falls für jede Telmege {,..., m },,...,m {,...,} deser Eregsse glt:... m... m Folgerug: Sd,,,..., gegesetg stochastsch uabhägg, so glt für alle Telmege {,..., m } {,,..., }:... m Egeschafte der Wahrschelchet : folge aus de 3 xome,, , falls Φ j für j. 4 Multplatossatz: , falls,,..., gegesetg stochastsch uabhägg sd. 6 edgte Wahrschelchet vo uter : : 7-8 Formel der Totale Wahrschelchet: See,,..., e vollstädges Eregssystem Ω, d.h. es gelte Φ j für alle j ud Ω.... Da glt für jedes Eregs Ω: 9 Satz vo ayes: See,,..., ud we uter 8 defert. Da glt:

4 Formelsammlug 005 Statst rof.dr..grabows II Wahrschelchetsrechug De lasssche Wahrschelchet erechug vo Wahrschelchete Laplace-Versuche Glücsspele Def: V heßt Laplace-Versuch, falls glt: de Mege ω,..., ω } Ω der zu V gehörede Elemetareregsse st edlch m <. { m de Elemetareregsse sd glechwahrschelch, d.h. { } m ω für,...,m. Satz: Ist V Laplace-Versuch, so glt Ω M :zahl der Elemete der Mege M Laplace-Versuche sd be Glücsspele typsch, st als Chace des Etretes vo terpreterbar. zahl aller für güstge Versuchsausgäge m Verhälts zur zahl aller möglche Versuchsausgäge Nützlche ombatorsche Formel zur erechug lassscher Wahrschelchete: zahl aller -elemetge Telmege, de ma aus eer -elemetge Mege auswähle a.! zahl aller Vertauschuge vo Elemete auf lätze. Wahrschelchetsverteluge dsreter ud stetger Zufallsgröße Def. Ee Zufallsgröße X st e eem zufällge Versuch beobachtetes Mermal, desse Werteberech dret oder ach Salerug der Mege der reelle Zahle legt. ezechuge: X,Y,Z,.. - Zufallsgröße x,y,z,... - eobachtuge Stchprobewerte der Zufallsgröße,... - Werteberech a,a,.. bzw. b,b,...- möglche Werte aus dem Werteberech der Zufallsgröße Ee Zufallsgröße X heßt dsret, falls hr Werteberech χ edlch oder abzählbar st, d.h., falls χ{a,...,a };. derfalls heßt X stetg. D.h., X st stetg, falls der Werteberech χ e Itervall a,b R, a < b, ethält. 4

5 Formelsammlug 005 Statst rof.dr..grabows II Wahrschelchetsrechug Dsrete Zufallsgröße Stetge Zufallsgröße Werteberech χ χ{a,...,a } edlch oder abzählbar vel Werte a,b R, a < b, mt a,b χ vele Werte Wahrschelchetsvertelug Dchtefuto f : χ R R Wahrschelchetsvertelug wrd durch ee defert: Wahrschelchetsvertelug vo X: Gesamthet aller Ezelwahrschelchete p X a,,..., Dchtefuto f Vertelugsfuto Summehäufgetsfuto F Egeschafte: F a : X 0 p, p < a : a < a X a Egeschafte: f x 0 x χ, f x dx a F a : X < a f x dx F: Stammfuto vo f erechug vo Wahrschelchete X : a z..: X a X a : a a a X b X a : a a b X a Egeschafte: 0 Fx, Fx mooto cht falled 3 lm F x 0, lm F x x x X f x dx z..: a X b a < X < b b a f x dx F b F a Modalwert x M x X x max X a M : M a χ x M : f x max f x M x χ α-quatl x α x : F x α < F x ε x : F x α α α α + α α Erwartugswert EX Varaz VarX EX a X a EX xf x dx Var X a EX X VarX x EX f x dx a espelverteluge -ut-vertelug, omalvertelug ossovertelug, Dsrete Glechvertelug Normalvertelug, Log-Normalvertelug Expoetalvertelug, Stetge Glechvertelug 5

6 Formelsammlug 005 Statst rof.dr..grabows II Wahrschelchetsrechug erechug dsreter Verteluge: V-zufällger Versuch mt der Mege Ω der Elemetareregsse, X wrd V beobachtet. Jedem Elemetareregs ω Ω wrd e Wert a für X zugeordet: Xω a χ Da glt folgede Äquvalez: X a {ω Xω a} ud X a. Uabhägget zweer Zufallsgröße Def: See X χ ud Y zwe Zufallsgröße. Da heße X ud Y stochastsch uabhägg falls glt: X ud Y X Y χ ud Folgerug für de Spezalfall: Sd X ud Y dsret, also χ{a,...,a } ud {b,...,b l }, da sd X ud Y stochastsch uabhägg, falls glt: X a Y b X a Y b für alle,..., ud j,...,l. j j Egeschafte vo Erwartugswerte ud Varaz vo Zufallsgröße X dsret oder stetg belebg Satz:. E ax aex. E a a 3. E X + Y EX + EY 4. E X Y EX EY falls X ud Y stochastsch uabhägg Satz:. [ ] [ ] Var X E X E X E X EX Var a Var ax + b a Var X 4. Var ax + by a Var X + b Var Y, falls X ud Y stochastsch uabhägg Def.: Ee Zufallsgröße X mt EX 0 ud Var X heßt Stadardserte Zufallsgröße X EX X Stadardserug eer Zufallsgröße Var X Def.: Var X Stadardabwechug vo X. De Tschebyscheff-Uglechug Satz: Es glt ε>0: a X EX > ε Var ε X bzw b X EX ε. Var ε X 6

7 Formelsammlug 005 Statst rof.dr..grabows II Wahrschelchetsrechug Zusammehag zwsche I Desr. Stat. ud II WR: egrüdug der Formel für EX, VarX usw. Se X dsret, X { a, a,..., a } desrptve Statst Wahrschelchetsrechug a h a a p X a a a h a h a a p h a p a h a a p rel. Häufgetsvertelug Wahrschelchetsvertelug us der Kovergez der relatve Häufget gege de Wahrschelchet ergbt sch: arthm. Mttel: x x a h a EX a p Erwartugswert vo X Streuug: s x x a x H a a x h a Emprsche Vertelugsfuto: F x h a : a x tel aller eobachtuge x, j,..., mt x x j j Var X a EX p F x p X x : a x Vertelugsfuto vo X - Varaz vo X Hauptsatz der Statst Formulert de stochastsche Kovergez für Satz: Hauptsatz der Statst Uter bestmmte Voraussetzuge glt: lm h 0 ud lm sup F x F x x ℵ 0 D.h., de Wahrschelchet ees Eregsses etsprcht der relatve Häufget des Eregsses ach vele Versuchswederholuge ud de emprsche Vertelugsfuto der eobachtuge eer Zufallsgröße overgert mt Scherhet gege de theoretsche Vertelugsfuto der Zufallsgröße. 7

8 Formelsammlug Statst rof.dr..grabows II Wahrschelchetsrechug Spezelle dsrete Wahrschelchetsverteluge Vertelug der Zufallsgröße X omalvertelug Sehe auch *3 ute arameter ezechug Ezelwahrschelchete EX VarX Versuchsschema wedugsgebet, p X~,p p p-p,,... : Wahrschelchet dafür, daß be -malger Wederholug ees zwe- 0<p< eroull- bzw. X p p Zweputvertelug putvertelte Versuches mt der für 0,,..., Erfolgswahrschelchet p de zahl der Erfolge X glech st. λ λ λ We be der omalvertelug; aber p λ e ud oder ubeat ud EXp λ! beat. eschrebt uftsströme. für 0,,... sp: zahl X etreffeder Sgale Eer Empfägerstato pro Zetehet. ossovertelug λ>0 X~λ X Hypergeometrsche Vertelug N,,... M,,...,N,,...,N X~HN,M, M N M X N für 0,,..., m{m,} Geometrsche Vertelug 0<p< X~Geop X p,,3,... Dsrete Glechvertelug auf eer Mege ℵ{a,...,a } {a,...,a } R X~G{a,...,a } p X a,,..., M M M N N N N N p a p p a a Wahrschelchet dafür, aus eer Mege, de N Kugel ud davo M Schwarze ethält, be -malgem Zehe ohe Zurüclege X Schwarze Kugel zu zehe. Wahrschelchet dafür, be -malger Wederholug ees -utvertelte Versuchs mt Erfolgswahrschelchet erst bem.te Mal Erfolg zu habe. Wahrschelchet dafür, daß be emalger Durchführug ees Versuches ees vo glechberechtgte Eregsse etrtt. Wrd be Glücsspele verwedet. sp.: X zufällge ugezahl bem Würfel. 8

9 Formelsammlug Statst rof.dr..grabows II Wahrschelchetsrechug Spezelle stetge Wahrschelchetsverteluge Vertelug der Zufallsgröße X Stetge Glechvertelug auf eem Itervall zwsche a ud b Expoetalvertelug Normalvertelug Logarthmsche Normal- Vertelug arameter a,b R, a<b λ>0 µ, σ µ R, σ>0 µ, σ µ R, σ>0 ezechug X~Ra,b X~Eλ X~Nµ, σ X~logNµ, σ Dchtefuto f t b a 0 falls a t b sost λe f t 0 λt falls t 0 sost f t e σ π t µ σ, t R f t e σt π 0 l t µ σ für t > 0 sost EX VarX wedugsgebete a + b b a Ma weß: eobachtuge vo X lege zwsche a ud b ud es gbt ee Häufug. Wrd deshalb auch als chtformatve Vertelug bezechet. µ λ λ eschrebug vo Wachstums- oder blgvorgäge, ededauer ud Zwscheauftszete. -zuf. bbauzet eer Droge -zuf. Tel.gesprächsdauer -zuf. Zet zwsche etreffede Nachrchte * e σ µ + σ µ + σ σ e e eschrebug vo symmetrsche Häufgetsverteluge. esoderhete: sehe * -zufällge Körpergröße -zufällges Gewcht -zufällger IQ -Meßfehler -zuf. Rausche eschrebug vo schefsymmetrsche Häufgetsverteluge. Häufug auf der le Sete chtegatver Zufallsgröße. X uterlegt eer logarthmsche Normalvertelug, we lx ee Normalvertelug bestzt. 9

10 Formelsammlug Statst rof.dr..grabows II Wahrschelchetsrechug esoderhete der Verteluge * esoderhete der Normalvertelug:,,3-σ ereche: Se X~Nµ,σ. Da glt: X µ σ 0,68 X µ σ 0,954 3 X µ 3σ 0,998 Stadardormalvertelug : N0, ezechug der Dchtefuto : ϕ t ezechug der Vertelugsfuto: φt ezechug des α -Quatls: u α De Stadardormalvertelug Φt st tabellert. De erechug vo belebge Normalvertelugswahrschelchete erfolgt über de Trasformato de Stadardormalvertelug! Umrechug vo N µ, σ t µ F zu N0, Φ: Ft Φ σ * Zusammehag zwsche der osso- ud der Expoetalvertelug Satz: Se X de zuf. zahl vo etreffede Forderuge pro Zetehet ud T de zuf. Zet zwsche etreffede Forderuge. Da glt: X~λ T Eλ sp: De zahl etreffeder Nachrchte se possovertelt. Im Schtt omme 6 Nachrchte pro Stude a. Da st de Zet zwsche dem Etreffe zweer Nachrchte expoetalvertelt. Dese Zet beträgt m Mttel ET h 0 m λ 6h 6 *3 pproxmatoe der omalvertelug a pproxmato durch de osssovertelug: λ λ Satz: Es glt: lm p p e! p 0 p λ,p λp für große ud lee p Empfehlug: 0, p 0,0 b pproxmato durch de Normalvertelug us dem Satz vo Movre Laplace sehe ute folgt :,p Np, p-p für große Empfehlug: 0 0

11 Formelsammlug Statst rof.dr..grabows II Wahrschelchetsrechug Reprodutossatz Satz: Reprodutossatz See X ud Y zwe stochastsch uabhägge Zufallsgröße. Da gelte folgede ussage:. X ~ N µ, σ ax + b ~ N aµ + b, a σ Typ der Normalvertelug blebt be leare Trasformatoe erhalte. µ σ µ σ. X ~ N, Y ~ N, µ µ σ σ X + Y ~ N +, + 3. X ~ Y ~, p, p X + Y ~ +, p 4. X Y ~ λ λ ~ X + Y ~ λ + λ Vertelug des arthmetsche Mttels eer Stchprobe ormalvertelte ZG X X σ ~ Nµ, Grezwertsätze Satz: Zetraler Grezwertsatz ZGWS See X,...,X stochastsch uabhägge Zufallsgröße mt EX µ X σ st für große stadardormalvertelt. µ ud,...,. Da glt: Es glt also: X µ σ N, bzw. äquvalet dazu : X N µ, σ 0, falls groß geug st. Empfehlug: 0 falls ee wetere Iformatoe über de Vertelug der X vorlege D.h., we ma stochastsch uabhägge Zufallsgröße addtv überlagert, so st de etstehede Summe approxmatv für große ormalvertelt.

12 Formelsammlug Statst rof.dr..grabows II Wahrschelchetsrechug Spezalfälle des ZGWS pproxmato des arhmetsche Mttels eer Stchprobe: Satz: Se X ee Zufallsgröße mt dem Erwartugswert EX µ ud der Varaz VarXσ. See X für,..., ee Stchprobe vo X. Da glt für das arthmetsche Mttel der Stchprobe: X µ N0, σ pproxmato: X X σ N µ, pproxmato der omalvertelug durch ee Normalvertelug m ZGWS esetze: X eroullvertelt mt Erfolgswahrschelchet p, X : X Satz: Grezwertsatz vo Movre Laplace X ~, p. Da glt: Se ~ p, p-p X EX Var X X p p p N0, pproxmato:, p Np, p-p pproxmatve Vertelug der relatve Häufget h ees Eregsses : h p p N p,