Wahrscheinlichkeit und Statistik

Transkript

1 Wahrschelchet ud Statst Wterseester / Zusaefassug vo Mchael Hers Hwes: Dese Zusaefassug ersetzt eesfalls de Mtschrft der Vorlesug, och das Studu vo Fachlteratur ud Scrpte. De Zusaefassug versteht sch ledglch als roter Fade durch de Lehrverastaltug. esodere Da öchte ch a deser Stelle ee Koltoe T Frese ud Stefa Dotor zuoe lasse, de ch fachlch ud schrebtechsch star be der Erstellug deses Scrpt uterstützt habe.

2 Tel Wahrschelchetstheore Zecheerlärug I Ω... scheres Eregs... uöglches Eregs... Eregs allg.: große lat. Zeche... Wahrschelchetsaß ZG... Zufallsgröße W... Wahrschelchet Xω... ω wrd e reeller Wert zugeordet x... Realserug : Xω x ω... Eleetareregs... Erfolgs-W. grech.: Theta µ Erwartugswert grech.: My Varaz grech.: Sga Stadardabwechug zahl der Erfolge r Zahl der Wederholuge r,.... Notato für oalvertelug N µ,... Notato für Noralvertelug Erwartugswert dsret YaX+b EYaEX+b YgX EY g x p otuerlch Z EZ µ xd x xp x dx, px...dchte Recheregel Scrpt Sete 5 E Z + Y EZ + EY EZY EZ * EY Varaz dsret p Varaz x EX Stadardabwechug VarX EX EX otuerlch VarZ x µ d x µ EX - EX Z x p x dx Recheregel Scrpt Sete 5 + E XY EXEY Var az a Var z ur be uabhägg Var Z + Y VarZ + VarX be stetg ur be ustetg Kovaraz Cov X, Y E X EX Y EY EXY EXEY Schefe E Schefe X EX x µ x µ p postv rechtsschef, egatv lsschef Exzess E Exzess X EX p st ull be Noralvertelug ud zegt sost, ob stärer > oder schwächer < als NV gewölbt. Modalwert arguet ax f x Modalwert??? Wert de de W-ft. für x axal st. I otuerlche, der Wert x, für de de Dchtefuto axal st. Korellatosoeffzet Cov X, Y ρ X, Y X Y Meda Der Meda halbert de Wahrschelchetsasse, so dass ls ud rechts des Medas de W ½ für dsrete Verteluge : W / st.

3 Relatve Häufget Scrpt Sete 8 dsret h a > Erfolge be Versuche Klasssche Wahrschelchet Scrpt Sete 8- dsret Ω als Grudrau t edlch vele Eleete oder abzählbar uedlch vele Eleete. Es glt Glechwahrschelchet. zahlder Eleete zahlder Eleete Ω zahl der Eleete vo / zahl der Eleete vo Dsrete Glechvertelug zahlder für güstge Fälle zahlaller Fälle zahlder für ud güstge Fälle zahlder für güstge Fälle X x,... EX x VarX x EX für x + EX VarX otuerlchstetge Scrpt Sete 55 Idetsch vertelt auf de Itervall [a,b] Vertelugsfuto: F x, für x [ a, b] Dchte: f, x a x a b a, x b b a,sost, für x [ a, b] x

4 ,5 oalvertelug, Teta,5 Teta, Teta,8,5 W,, Zahl der Erfolge, be r oalvertelug dsret eroull-experet t r-facher Wederholug. Jedes Experet hat geau zwe öglche Ergebsse:... Erfolgs-W... zahl der Erfolge r,... Notato für oalvertelug r ω r ~ r,, ω, Ω {, } ud Ω { ω,..., } {, } r ω ω. Her st r, falls geau -al ω st. r ε für ε { ω : ω } Z g.d.w. Z st de Sue vo uabhägge ZGs Z,...,Z r t Z ~, : Z r Z. EX r Erwartugswert : Varaz : VarX r Schefe : Für, glt Schefe ; st syetrsch für r r ε uabhägg vo. Es glt:

5 Geoetrsche Vertelug W,6,5,,,, Teta, Teta, Teta, Ezelversuche Geoetrsche Vertelug dsret Zur Qualtätsotrolle, u festzustelle, be welche Versuch der erste Defet festgestellt wrd.... ede Zehug st e eroull-experet Erwartugswert : EX Varaz : VarX Schefe : Schefe ; st er rechtsschef

6 ,5,,5,,5,,5, Noralvertelug y ud sga y ud sga y ud sga^,5-5 -, -,8 -, -,6 - -, -,8 -,,,6,,8,,6 5, 5,8 NoralvertelugScrpt Sete 56 Kotuerlch/stetg De Kurve der Noralvertelug st auch beat als Gaussche Gloceurve sehe DM. f xµ + : R > R t f x; µ ; e N µ, π Erwartugswert : EX µ Varaz : VarX Dchte : hat ut µ hr Maxu, der Wert der Dchte st Wedeput : be µ ± π. StadardserteNV: N, Scrpt Sete 58 µ ud Urechug auf de Stadartoralvertelug Φu X x Φ Φ u u Φ u X > x X x Φ X x * Φ X > x Φ x µ x µ µ * erechet de zahl der ötge Versuche u destes ee WK vo X x zu habe.

7 ossovertelug,5, Labda Labda6 Labda9 W-futo,5,, alges uftrete des Eregs ossovertelugscrpt Sete 5 dsret Ist für atürlche Eregsse, de vele Versuche brauche ud ee gerge Trefferquote aufwese. λ so glt für Erwartugswert : EX λ Varaz : VarX λ Schefe : Modalwert : legt be [ ] λ : e! λ... herbe st de Häufget des Etretes des Eregsses. Schefe λ λ ; st λ gazzahlg Modalwert zusätzlch be λ -

8 De Null-Es-VertelugScrpt Sete 9 dsret, X ud X Erwartugswert : Varaz : - Ist auch de Zweputvertelug, we es zwe Werte uglech, at. ExpoetalvertelugScrpt Sete 6 Stetg Lebesdauervertelug oder Wartezetvertelug fλ t exp t / λ λ EZ λ; EZ λ EZ λez VarZ λ EZ F λ t λ EZ t exp u / λ exp t / λ Dchte : E Z EZ ; EZ-EZ Z- λ λ // deser stelle lasse ch das E vore erst al weg...taucht uter weder auf. Z -Z λ + λ Z- λ Z -Z λ +Z λ -Z λ +Z λ - λ Z -Z λ +Z λ - λ Z -Z λ +Z λ - λ EZ-EZ EZ -EZ λ +EZ λ -E λ EZ λ EZ λ EZ λ λ EZ λ λ E λ λ EZ-EZ λ - λ + λ - λ λ De Dchte st er. Ch - Quadrat- Vertelug T Vertelug F Vertelug / Fschervertelug Sehe Scrpt: alle Sete 6 / 6

9 De bedgte Wahrschelchet *... Multplatossatz: Uabhägget: We sch de W für cht ädert, ur wel etrtt, so sd de Eregsse uabhägg. De Uabhägget st e syetrscher egrff. Es sd auch ud uabhägg: \ Reche t der bedgte Wahrschelchet Forel der totale W: be, >. ayessche Forel: solage > glt. Scrpt S.5 De VertelugsfutoScrpt Sete FxX x:{ } : x X ω ω Vertelugsfuto F vo X dat st de Wahrschelchet für belebge halboffee Itervalle a,b] berechebar. X a,b]fb-fa De Vertelugsfuto st ooto cht falled. Für dsrete ZGs st F stücwese ostat. Stetge Zufallsvarable Zusaehag t Vertelugsfuto besteht: st de otuerlche Varate. De Vertelugsfuto st stetg. Vertelug t Dchte Dchte bewerte de ute aus R. us der Dchte st de Vertelugsfuto bestt. Der wesetlche Utersched zwsche dsrete ud stetge ZGs st, dass be dsrete ZG ezele ute ee postve W habe öe, be stetge ZG st de W für ede ut glech Null. De Chebyshev-UglechugScrpt Sete 6 Mt Erwartugswert ud Varaz Wsse über de Vertelug erhalte, ohe gesate W-Vertelug der Zufallsvarable Z zu ee. bzw. ε ε µ ε ε µ > < Z Z für belebges ε > GrezwertsätzeScrpt Sete 68 Zur erechug vo Wahrschelchete braucht a gut begrüdete pproxatoe. sp.: S Wr setze :S, : Da glt, ~, b Y VarY EY Y

10 Das sd de Werte der oalvertelug,. wedug deser Vertelug auf das roble: We wahrschelch st es, be 8 Würfe eer Müze al Kopf zu habe? Sot st cht eal de Größeordug beat. Zetraler Grezwertsatz ZGWS für uabhägge, detsch vertelte Zufallsgröße Y, Y,... t EY µ, VarY <, uabhägg. stadardserte Sue: V S µ t S Y wobe Φ de Vertelugsfuto der N,-Vertelug st. : V x x, Φ für N sp.: 8 st so groß, dass ZGWS auf Y,...,Y 8 agewedet werde a. Da st ach ZGWS de Vertelug S 8 approxatv N8,8 - vertelt, ud das für /, d.h. S8 8 V 8 x x 8 + x Φ x S S 8 8 Φ x Φ x De bede Ergebsse S 8 ud 9<S 8 < sd detsch t der obere Glechug S8 Φ Φ.887 Ee pproxato der Vertelugsfuto φ t der Gauß-Dchte ergbt: S exp oalvertelug: π Gesetz der große Zahle Verhalte des arthet. Mttels für große {Y } st ee Folge vo ZGs Y Y st das arth.mttel aller Y ud glt we ur ach de Gesetz der große Zahle.

11 Tel II Statst Zecheerlärug I Ω... scheres Eregs... uöglches Eregs... Eregs allg.: große lat. Zeche... Wahrschelchetsaß ZG... Zufallsgröße W... Wahrschelchet Xω... ω wrd e reeller Wert zugeordet x... Realserug : Xω x ω... Eleetareregs... Erfolgs-W grech.:theta µ Erwartugswert grech.:my Varaz grech.:sga Stadardabwechug zahl der Erfolge r Zahl der Wederholuge r,.... Notato für oalvertelug N µ,... Notato für Noralvertelug Zecheerlärug II Y Y V S µ...arthetsch Mttel alle Y....??? bedes aus... S Y...??? Gesetz der große Zahle y,...,y...realseruge : Y ω y Y,...,Y...zufällge Varable, Stchprobe vo Ufag we uabhägg ud detsch vertelt F Z...Vertelugsfuto eer Zufallsgröße Z Z...Vertelug der Grudgesathet vo Z...statstsches Modell > Mege vo Möglche Verteluge > araeter we Erwartugswert ud Varaz sd ubeat Z...ee Klasse vo öglche Verteluge T...Schätzer, Schätzfuto TY...Schätzvarable Ty...Schätzug, Schätzwert...pproxato für de araeter Erwartugswert der Schätzfuto E TY γ...schätzfuto vo y γ ach Scrpt S.6 T λ / der zu schätzede Wert EY...Erwartugswert der ezele Stchprobe ubeat ε...st ee Ugebug t öglchst lee ε Y...Stchprobevaraz s Θ...araeterrau {T }...Mege vo Folge χ...stchprobequadrat usdrüce t ^ sd b-schätzuge, währed das ~ über ee Zeche ur der Uterschedug det.

12 espel 7. us der laufede roduto werde zufällg ud uabhägg voeader Feder geoe. e eder Feder wrd festgestellt: defet oder Ordug. Es etstehe Werte y,...,y t y. y Y ω für uabhägge Y ~,p Y Y st ahe a p SchätzverfahreScrpt Sete 75 Erwartugstreue E γ Θ E Schätzer T heßt erwartugstreu für γ, falls TY Kosstez Schätzfolge T,T,... heßt für γ schwach osstet, falls für edes ε > ud alle Θ glt: l T y γ > ε Stchprobettel EY µ ud VarY Y E T Y EY bede sd ubeat ; aus der Wahrschelchet : EY Y + Y Y T y,..., y y EY EY + EY µ EY γ µ + µ µ Das Stchprobettel st e erwartugstreuer Schätzer für µ. Tschebyshev us der Wahrschelchetsrechug : VarY x EX p VarY VarY + VarY VarY Das Stchprobettel st t wachsede e ossteter Schätzer für µ. Für e belebg lees ε strebt µ ε < Y < µ + ε, da Y µ < ε > Tschebyshev ε Mt belebg großer Wahrschelchet legt Y belebg ahe a µ für geüged großes. g x p

13 Stchprobevaraz Y s st de Stchprobevaraz [ Y ] Y + Y Y Y Y E Y Y... [ ]... + E Y Y + + E Y µ Y + + E Y Y s Y Es Y µ E Y Y E[ Y Y µ ] + Es Y [ ] wobe Stchprobeovaraz T y y y y y µ. espel 7. Gegebe see folgede eobachtuge:,8 ;,97 ;,999 ;,956 ;,656 ;,88 ;,897 ;,78 ;,75 ;,568 ;,59 ;, ;,9 ;,7 ;,8 ;,6 arthet. Mttela a,8+,97+,999+,956+,656+,88+,897+,78+,75+,568+,59+,+,9+,7+,8+,6 / 6,68885 Stchprobevaraz s Y b b,8a +,79 a ,6 a 6, [ ] Stchprobeerdac c,9+,88/,687 Spaweted d,999+-,65,6

14 MSE / ttlerer quadratscher bstadscrpt Sete 8 MSE T Var T + [ E T γ ] Für Erwartugstreue Schätzer st der as MSE st de Varaz + das Quadrat der Verzerrugas Kostruto vo SchätzerScrpt Sete 8 Maxu-Lelhood-Schätzug für Y bs Y uabhägge ZG f y,..., y MSL ax y,..., Y y Y Y y f y,..., y bletug ach blde α-quatlescrpt Sete 88 destes α lege destes α lege Quartle q,q,q Dezle q,, q Itervall Itervall -,qα ] [ q, KofdeztervalleScrpt Sete 88 I Y Y t I Y µ α t α α Y, Y + aus Tabelle ablese, Y gegebe 9 t α α Y espel: Quatle ud Kofdeztervalle Gegebe see de orete Werte y,...,y : -.5, -.6, -., -.889, -.7, -.9,.57,.96,.6996,.7,.79,.97 Y ~ µ, für ubeate Dese Werte see uabhägge Realseruge vo oralvertelte Varable µ,. este Se de Quartle deser eobachtug este Se e Kofdeztervall Iy für µ zu Nveau.95. eutze Se dabe, dass y.77 ud ud ˆ.79 st. Erläre Se verbal de edeutug des errechete Itervalls. Was bedeutet deses Itervall, we a weß, dass de eobachtugswerte Realseruge eer,5; - Vertelug sd? a Quartle: α llgee: q ;,,,? * α * -,qα ] [ q, + α ud lege α lege -α Realseruge * 9 Relseruge

15 b q q q q [,;,889] [,9;,57] [,6996;,7] st trval? µ I y µ α α,5 α Kofdeztervall Iy be. Gesucht st herbe das Itervall, de zu 95% der Wert µ legt. Sowohl de Werte als auch de Forel zur erechug des Kofdeztervalls sd weter obe Douet. Mt de u folgede Werte blebt chts weter zu tu, als dese ezusetze ud a hat das Itervall: I y [,76,,7] We dese Stchprobe vo eer N:5; -Vertelug stae soll, so st dese Stchprobe ee cht repräsetatve, de ur 5 rozet aller Stchprobe vo Ufag ethalte cht de wrlche Erwartugswert.5 Kleste Quadratsche Schätzug KQS Scrpt Sete 9 Mest durch olyolasse abgeschätzt x β + β x β x β y y für βˆ y βˆ x βˆ für x x y x x y