Workshops zum TI-83 PLUS

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1 Workshops zum TI-83 PLUS Beträge vo T 3 Flader / Belge E Uterrchtsbehelf zum Esatz moderer Techologe m Mathematkuterrcht T 3 Österrech / ACDCA am PI-Nederösterrech, Hollabru

2 Vorwort Alässlch userer gemesame Arbet der CAS-Focus-Group erhelt ch vo Gudo Herweyers de Uterlage zum 9. Kogress der belgsche Mathematklehrer, der m August 003 Brüssel abgehalte wurde. Alle ver Beträge befasse sch mt dem grafsche Tascherecher TI-83 PLUS. De belgsche Kollege habe scho e lage Erfahrug mt desem Gerät ud ach Durchscht der Workshops fad ch es sehr svoll, dese Papere auch usere deutschsprachge Kollege ud Kollege zugäglch zu mache. Ich dake Gudo für de Erlaubs zur Übersetzug s Deutsche. Ich hoffe, dass des der Afag eer Kooperato st, de vellecht überhaupt Schule mache köte. T 3 -Europa stellt so vele erstklassge Uterrchtsmaterale de verschedee Läder her ud leder werde de Syerge ur sehr spärlch geutzt. Gudo hat seersets berets Iteresse a ege vo usere Papere agemeldet. Ich möchte de Gelegehet auch ütze, alle belgsche T 3 -Freude herzlch zu grüße ud zu eer wetere tesve ud fruchtbare Zusammearbet ezulade. Der erste Workshop vo Has Bekaert gbt ee Überblck über de Zusammearbet zwsche de möglche Plattforme, we GTR ud PC, wobe auch TI-IterActve ud TI-Coect vorgestellt werde. Gudo Herweyers hat alässlch sees Besuchs bem Semar m Frühjahr 003 see hohe Kompetez m Umgag mt Statstk gezegt. Her drgt er och e weg tefer de Matere e ud demostrert edrucksvoll das Zusstadekomme ud de Bedeutug vo Korrelatoskoeffzet ud Bestmmthetsmaß. Im drtte Betrag zegt Koe Stules, we efach Smulatoe am TI-83+ cht ur durchgeführt, soder auch ausgewertet werde köe. Ich habe mr erlaubt, dese Betrag um zwe Bespele zu erweter ud ee recht brauchbare Applkato für de TI-83+ vorzustelle. Ud schleßlch edet Regs Ockerma mt eer sehr verstädlche ud behutsame Eführug de Programmertechk am TI-83+. Ich habe abschtlch de Texte m Programm hrem orgale hollädsche Wortlaut belasse. De deutsche Fassug ka jeder selbst erzeuge. Ich wüsche alle Leser vel Ertrag bem Durchlese oder arbete deser T 3 -Uterlage. Josef Böhm T 3 -Österech

3 INHOUD INHALT Workshops De grafsche rekemache koppele aa de computer Der grafsche Tascherecher ud der Computer Has Bekaert Regresse, correlate e modelvormg met de TI-83 Plus Regresso, Korrelato ud Modellbldug mt dem TI-83 Plus Gudo Herweyers Smulate va kasexpermete met de TI-83 Plus Smulato vo Zufallsexpermete mt dem TI-83 Plus Koe Stules (& Ergäzug vo Josef Böhm) Iledg tot het programmere met de TI-83 Plus Eführug das Programmere mt dem TI-83 Plus Regs Ockerma SBPMef Forest 003

4 Der graphsche Tascherecher ud der Computer Has Bekaert Lmburgs Uverstar Cetrum Depebeek TI Coect Um Date aus dem GTR (TI-83+) auf dem Computer zu bearbete oder um e Backup eer Lste oder eer Matrx vom PC auf de GTR zu übertrage, ka ma TI Coect esetze. Deses Programm st ee teressate Weteretwcklug der TI-GraphLk TM Software. Kurze Überscht Mt dem DevceExplorer sedet ma Date vom Recher zum Computer. Mttels ScreeCapture kopert ma de Bldschrm des Rechers de Zwscheablage oder spechert das Bld als ee Grafkdate. Mttels Backup ka ma de Date des Rechers exter (auf Dskette, Festplatte,...) scher ud über Restore ka ma se da auf dem Recher weder herstelle. Mt dem GroupExplorer ka ma logsch zusammegehörge Datee zu eer Gruppe (grupperte Date) auf dem Computer zusamme fasse. Mt dem DataEdtor ka ma Lste, Zahle oder Matrze, de vom GTR stamme auf dem Computer bearbete. Ma ka dese aber auch am Computer erzeuge ud da zum Recher sede. T 3 Vlaadere Grafscher Tascherecher ud Computer Has Bekaert, Lmburgs Uverstar Cetrum

5 DevceExplorer Der DevceExplorer gbt ermöglcht de Überscht über de auf dem Tascherecher vorhadee Datee ud Date. Klcke auf das +-Zeche um de gewüschte Date betrachte zu köe. Wähle e Objekt aus ud aktvere m AC- TIONS-Meü de Opto COPY TO PC. Nu fragt das Programm, woh de Date übertrage werde solle. Im WINDOWS-Explorer fdet ma de TI-83+ -Datee weder. Se sd a de Dateeduge.8xl,.8xg,.8xk,... zu erkee. Für de Datetrasfer vom PC zum Recher arbetet ma am beste mt dem WINDOWS- Explorer. Suche de etsprechede Date auf, klcke mt der rechte Maustaste drauf ud wähle SENDEN AN ud da CONNECTED TI DEVICE. Das lässt sch auch auf mehrere gemesam ausgewählte Datee awede. ScreeCapture Mt ScreeCapture ka ee Kope des Recherschrms erzeugt werde, de als Grafk Dokumete oder Tabelle egebude werde köe. Mt dem Ico GET SCREEN wrd de Kope erzeugt. Es lasse sch mehrere Kope glechzetg betrachte. Wähle de gewüschte Kope aus ud kopere se mt dem COPY-Ico de Zwscheablage. (Mt der Dskette ka de Grafk auf dem PC gespechert werde.) Wechsle u de Awedug, der de Abbldug verwedet wrd ud füge se aus der Zwscheablage e. Backup & Restore Mt Backup lässt sch e vollstädges Scherugsbackup des Rechers durchführe. Das Backup besteht aus eer Gruppe aller Datee. Das Programm fragt, wo das Backup am PC gespechert werde soll. Mt Restore werde de gescherte Date weder hrer ursprüglche Form ud Aordug auf de Recher rückübertrage. T 3 Vlaadere Grafscher Tascherecher ud Computer Has Bekaert, Lmburgs Uverstar Cetrum

6 GroupExplorer Mt Hlfe des GroupExplorers ka ma Datee, de zusammegehöre, eer Gruppedate auf dem Computer zusammefasse. Damt erfolgt das Kopere ud Verschebe deser zusammegehörge Datee rascher ud fehlerfreer. Markere de etsprechede Datee m GroupExplorer-Fester ud wähle über de rechte Maustaste CREATE GROUP. Sobald ee Gruppe markert st, wähle weder über de rechte Maustaste de Opto SEND TO DEVICE. De Datee aus der Gruppe werde ee ach der adere zum Recher geschckt. Auf dem Recher st de Gruppe cht als solche zu erkee. Ee Gruppe ka auch auf dem Recher (über y [MEM] - 8:GROUP) zusammegestellt werde. Das macht de Wetergabe vo Datee über de DevceExplorer wesetlch efacher. De Datee erschee da auch als Gruppe am PC. We ma u de Gruppe markert ud über de rechte Maustaste de Opto EXTRACT ALL wählt, da lasse sch de Ezeldatee auch am PC utze, we z.b. über de DataEdtor. DataEdtor Im DataEdtor ka ma Date betrachte ud adere Aweduge überehme. Dre Datearte köe so behadelt werde: Zahle, Lste ud Matrze. Ma muss zuerst de etsprechede Wahl (sehe Leste ute) treffe, bevor ma de Date öffe ka. Nu lasse sch allfällge Äderuge vorehme ud de geäderte Date weder auf de Recher übertrage. Ma markert de Spaltekopf der zu überehmede Lste ud drückt auf. So lasse sch auch mehrere über selekterte Lste glechzetg übertrage. De markerte Lste köe über de Zwscheablage auch ach Excel übertrage werde. Beachte dabe, dass der DataEdtor ee Dezmalpukt verwedet. Das ka bem Kopere ee Excel-Tabelle Probleme mache. Ma muss daher vor dem Kopervorgag de geerelle WINDOWS-Estelluge der Systemsteuerug dafür sorge, dass de Läderestelluge als Dezmaltrezeche e Pukt (astelle des Komma) agegebe wrd. (Des glt auch für de Esatz vo TI-IterActve!) 3 T 3 Vlaadere Grafscher Tascherecher ud Computer 3 Has Bekaert, Lmburgs Uverstar Cetrum

7 Wll ma aber de Lste sofort als Exceldokumet ütze, ka ma m Meü FILE de Optoe EXPORT oder SPECIAL LIST EXPORT awede. Mt EXPORT sprcht ma jede ezele Lste a, währed SPECIAL LIST EXPORT alle Lste ee gemesame Textoder Exceldate umwadelt ud als solche spechert. E ausführlches Bespel für de Datetrasfer ach Excel. Sammle de Messdate. Halte fest, welche Lste de etsprechede Date zu fde sd.. Verbde de Recher mt dem PC (GraphLk-Kabel). 3. Starte TI Coect. 4. Aktvere de DevceExplorer 5. Markere de gewüschte Lste ud wähle m ACTIONS-meu de Opto COPY TO PC. 6. Rufe de DataEdtor auf. 7. I der utere Leste wähle das Lste -Ico. 8. Öffe de Lste. 9. Falls otwedg ädere de Läderestelluge auf de Dezmalpukt. E Computereustart st.a. cht otwedg. 0. Markere de Lste, de ach Excel übertrage werde solle.. Klcke auf KOPIEREN.. Öffe Excel, markere de gewüschte Zelleposto ud klcke auf EINFÜGEN. Mt umersche Date ud mt Matrze ka ma völlg aalog verfahre. Ee Matrx ka auch über EXPORT ach Excel exportert werde. Tpp: Iformere Dch über Updates vo TI Coect ud über allfällge Updates des Betrebssystems Dees Rechers. 4 T 3 Vlaadere Grafscher Tascherecher ud Computer 4 Has Bekaert, Lmburgs Uverstar Cetrum

8 TI IterActve! Date aus dem TI-83+ lasse sch drekt TI IterActve öffe. Mt desem Programm lasse sch de Date da weter bearbete, we z.b. Regressosrechug, verschedee grafsche Darstelluge erzeuge usw. Lste öffe ud bearbete Öffe de Lst-Regsterkarte (lks ute) um Lste erzeuge, öffe oder mportere zu köe. Auf dem Bldschrm öffet sch der Data Edtor. Nu köe Lste eu egegebe oder vo, m Computer, bzw. TI-83+ vorlegede Datee mportert werde. Dazu klckt ma m FILE-Meu auf de Opto IMPORT. Sobald alle gewüschte Lste geöffet sd, werde se über de Dateedtor kopert. Statstkdagramme ud Fuktosgraphe Auf Grudlage der mporterte Date lasse sch statstsche Dagramme erzeuge.. Klcke auf das Ico für das Zechewerkzeug. De abgebldete Egabemaske erschet. Se st u etspreched de Date auszufülle. Durch Aklcke der Markerugsart ud der Farbe köe dese Estelluge agepasst werde. Bestätge mt dem Schaltkopf COPY ALL. 5 T 3 Vlaadere Grafscher Tascherecher ud Computer 5 Has Bekaert, Lmburgs Uverstar Cetrum

9 Ma erhält e Resultat we das ebestehede Bld. Der Berech vo x- ud y-achse ka agepasst werde, so dass de erwüschte Darstellug errecht wrd. Klcke auf FORMAT um de Achse rchtg zu beee ud skalere. Mt dem abgebldete Ico überträgt ma de Grafk auf das Arbetsblatt.. Das Expermet wurde be eer Umgebugstemperatur vo 9,5 C ausgeführt. Für de Abschtt auf der y-achse etmmt ma der Tabelle de Wert vo 56, C. Daraus folgt, dass f(x) = 36,6 q x + 9,5. Aus de adere Messdate ka ma mt eer efache Glechug ablete, dass q = 0,865. Um ee Fuktosgraphe durch de Messpukte zu zeche, führe wr ee Doppelklck auf de berets vorhadee Grafk aus. Auf dem Schrm öffet sch das ebestehede Fester: Ma gbt de etsprechede Fuktosvorschrft e ud bestätgt mt COPY ALL. Der Fuktosgraph wrd gezechet ud mt gelagt ma weder zurück s Arbetsblatt. Damt sollte sch de ute abgebldete Fgur ergebe. Dese Grafk läßt sch lecht jede adere Wdows-Awedug (Textverarbetug, Tabellekalkulato,...) kopere. Temperatuur ( C) Afkoelgswet va Newto Tjd (s) 6 T 3 Vlaadere Grafscher Tascherecher ud Computer 6 Has Bekaert, Lmburgs Uverstar Cetrum

10 Esatz vo Sesore Mt TI IterActve! lässt sch auch ee Rehe vo Sesore steuer, so dass jee Messuge, de ma.a. mt eem GTR durchführt auch über de PC durchgeführt werde köe. Zu desem Zweck schleßt ma de Sesor über das CBL a de Computer a. um das QUICK DATA TOOL zu starte, mt dem de Messug durchge- Klcke da auf führt wrd. Passe de Estelluge de Messuge a. Selektere de rchtge Sesor, de Messtervalle, de Dauer des Expermets ud sorge dafür, dass das Expermet bege ka. Klcke da auf RUN um de Messvorgag zu starte. Auf dem Bldschrm ka ma de Fortgag der Messug verfolge. Passe evetuell de Grafk a ud kehre mt weder zurück zum Arbetsblatt Schleße auch de Data-Edtor mt. Es köte sch ee Grafk ergebe we rechts gezegt: 7 T 3 Vlaadere Grafscher Tascherecher ud Computer 7 Has Bekaert, Lmburgs Uverstar Cetrum

11 Zusammefassug De Programme TI Coect ud TI IterActve! bete teressate Möglchkete, um de Techologe des grafsche Tascherechers mt dem Esatz des Computers zu verbde. Damt köe schöe Arbetsblätter für de Schüler erzeugt werde. De grafsche Darstelluge sd vo eer wet bessere Qualtät. Das Zusammespel vo GTR ud PC erfolgt auf ee schelle ud ukomplzerte Art ud Wese. Darüber haus köe dak deser Programme Date vom GTR mportert ud adere typsche Computeraweduge we Textverarbetug, Grafkprogramme, Tabellekalkulato u.a., mportert werde. Das Programm TI IterActve hat aber ebe de her gezegte Möglchkete och vel mehr zu bete. Es kombert de Fuktoe ees GTR mt de Egeschafte ees Computeralgebra Systems. Außerdem gestattet es, teraktve Arbetsblätter mt eem gefällge Layout zu gestalte. 8 T 3 Vlaadere Grafscher Tascherecher ud Computer 8 Has Bekaert, Lmburgs Uverstar Cetrum

12 Regresso, Korrelato ud Modellbldug mt dem TI-83 PLUS Gudo Herweyers KHBO Campus Oostede K.U.Leuve Eführedes Bespel De Pukte (,3), (,) ud (3,5) lege cht auf eer Gerade. We fdet ma mt eem TI-83+ jee Gerade, de sch am beste a de vorlegede Pukte apasst? Übertrage zuerst de Koordate de Lste L e L über :Edt ud rufe da über <CALC> 4:LReg(ax+b) de leare Regresso auf.. Auf dem Bldschrm erschet LReg(ax+b). Ergäze de Befehl mt y [L] y [L] <Y-VARS> :Fucto :Y. Damt wrd de Glechug der beste Gerade als Fukto Y gespechert. Neuerlches Drücke auf Í lefert dese Gerade y = x +. De zusätzlche Date r ud r erhält ma erst achdem ma y [CATALOG] DagostcO gesetzt hat.. Mt y [STAT PLOT] :Plot wrd das erste Dagramm Plot defert we ute zu sehe st. Über o köe de Fuktoe, dere Graphe gezechet werde solle, überprüft werde. Falls der Fuktosterm m Grafkschrm cht erschet, muss über y [FORMAT] de Opto ExprO aktvert werde. Über q 9:ZoomStat erhält ma sofort de Grafke der Puktwolke (her e Wölkche) ud der Apassugs- oder Ausglechsgerade. Über r ka ma de Gerade durchlaufe ud de zu de Argumete x gehörge Fuktoswerte y beobachte. T 3 Vlaadere Regresso, Korrelato ud Modellbldug 9 Gudo Herweyers, KHBO Campus Oostede

13 . We fdet ma de Apassugsgerade? Gegebe se ee Puktwolke oder ee Streudagramm vo Pukte ( x, y), ( x, y),..., ( x, y ), de ee mehr oder weger leare Tred zege (sehe Abbldug). Wr betrachte u ee Gerade y = ax+ b durch dese Pukte, mt der wr de y-werte zu gegebee x-werte vorhersage wolle. De zum Argumet x gehörge progostzerte (theoretsche) Wert vo y bezeche wr mt y ˆ. Damt glt für de Gerade de Glechug yˆ = ax + b. Für jede Pukt wrd das Resduum e (de Abwechug, der Fehler) we folgt berechet: e = beobachteter Wert vorhergesagter Wert = y ˆ y = y ( ax + b) Beachte, dass das Resduum postv st, we der Pukt über Gerade legt ud dass es egatv st, we der Pukt uterhalb der Gerade legt. Um u de beste Gerade durch de Puktwolke zu lege, wede wr das Przp der kleste Quadrate a: Bestmme a ud b so, dass e (de Summe der Resduequadrate) mmal wrd. = Dese beste Gerade et ma de Regressosgerade oder leare Regresso vo y bezüglch x, wobe y de abhägge oder erklärte Varable ud x de uabhägge oder erklärede Varable darstelle. Um de beste Werte für a ud b zu bestmme, verwede wr de Abwechuge u = x x ud v = y y x vo de Durchschttswerte (arthmetsche Mttelwerte) x = = y e y = =. T 3 Vlaadere Regresso, Korrelato ud Modellbldug 0 Gudo Herweyers, KHBO Campus Oostede

14 Für de Resdue glt: e = y ax b = ( y y) a( x x) ( b y + ax) = v au ( b y + ax) Damt wrd de Summe der Quadrate der Resdue: e = (( v au) ( b y + ax)) = = = ( v au ) + ( b y+ ax) = = = ( v au ) + ( b y+ ax) = (wobe glt u = 0 ud v = 0 ) = = Jetzt st e als Summe vo zwe postve Summade dargestellt. Dese Summe wrd da m- = mal, we bede Summade möglchst kle werde. Zuerst bestmme wr a so, dass der erste Term mmal wrd: = = = = ( v au ) = u. a uv. a+ v uv = Das st e quadratscher Term a der mmal wrd, sobald a = = u. Der zwete Term wrd mmal für b= y ax, de da ergbt sch b ( y+ ax) = 0. Zusammefassug: Für de beste Gerade y = ax+ b durch de Pukte ( x, y),( x, y ),...( x, y) glt : a = = = uv u ud b= y ax Wr bereche u dese Ausglechsgerade durch de Pukte (,3), (,) ud (3,5) aus dem eführede Bespel: T 3 Vlaadere Regresso, Korrelato ud Modellbldug Gudo Herweyers, KHBO Campus Oostede

15 x y u = x x v = y y uv u x = y = 3 a = /= b= y ax = Es st somt klar, dass y = x+ de beste Gerade - de leare Regresso - darstellt. De Summe der Resduequadrate, 3 e = Das lässt ee graphsche Iterpretato zu: = 6, st für dese Gerade mmal. De Gerade st so durch de Pukte zu lege, dass de Summe der - vertkale - Abstadsquadrate mmal wrd. Mt eem dyamsche Geometreprogramm we etwa Cabr, ka ma de beste Gerade auch durch Probere fde (lasse). Her wurde de Cabr-Applkato auf dem Voyage 00 verwedet. Der TI-83+ erzeugt be der Regressosrechug automatsch de Lste der Resdue. Dese Lste fdet ma über y [LIST] RESID. De Summe der Resduequadrate berechet sch da lecht mt y [LIST]<MATH> 5:sum(. T 3 Vlaadere Regresso, Korrelato ud Modellbldug Gudo Herweyers, KHBO Campus Oostede

16 3. De Korrelato De Läge l ees Metallstabes wrd be verschedee Temperature t gemesse: t ( C) l (mm) I der Physk wrd der Zusammehag zwsche l ud t durch de leare Fukto l = a. t+ b beschrebe. Wr suche auf Grudlage der vorlegede Date de Regressosgerade. (Reche auch per Had ud verwede ee Tabelle ach dem Muster auf der vorge Sete.) Ersetze t ud l durch x ud y. Welche Bedeutug hat u der Korrelatoskoeffzet r? Um deser Frage achzugehe zeche wr zuerst de bede Gerade y (mt x = 40 ). = y (mt y = 08 ) ud x = x De achseparallele Gerade werde m Rechefester über y [DRAW]4:Vertcal 40, bzw. 3:Horzotal 08 egezechet. Betrachte wr u de sekrechte Abwechug v = y y ud de waagrechte Abwechug u = x x ees belebge Puktes ( x, y ) vom Schwerpukt ( x, y) der Puktwolke (sehe Abbldug): u ( x, y ) ( x, y ) v Be der vorlegede Puktwolke spreche wr vo eer postve Korrelato zwsche de Größe x ud y ageschts der Tatsache, dass de meste Pukte ( u, v ) m erste oder drtte Quadrate bezüglch ees Achsesystems mt ( x, y ) als Koordateursprug lege. De Regressosgerade hat ee postve Rchtugskoeffzete (Asteg). Wr halte fest, dass de Regressosgerade y = a x+ b mmer durch de Schwerpukt ( x, y ) der Puktwolke verläuft, da y = a. x + b. Wr köe das mt dem TI-83+ sofort kotrollere, dem ma de Schttpukt zwsche der Regressosgerade ud der Gerade y = y aufsucht. We de meste Pukte m zwete oder verte Quadrate lege, da sprcht ma vo eer egatve Korrelato. De Regressosgerade west da ee egatve Asteg auf. T 3 Vlaadere Regresso, Korrelato ud Modellbldug 3 Gudo Herweyers, KHBO Campus Oostede

17 Sd hgege de Pukte über alle ver Quadrate vertelt, da besteht ke learer Zusammehag zwsche de Größe x ud y. Ee Regressosgerade ka wohl berechet werde, se ergbt aber kaum ee S. Aus userer Abbldug wrd deutlch, dass drtte Quadrate lefer, mmer postv st.. = uv ageschts der Beträge, de de Pukte m erste ud De Summe = uv st allerdgs vo de für x ud y gewählte Ehete abhägg. Wr komme zur folgede Defto des Korrelatoskoeffzete r, de uabhägg vo de Ehete für x ud y st: r = F H G = uv u. = = Dese Formel st symmetrsch x ud y ud macht daher kee Utersched zwsche der abhägge ud der uabhägge Varable. Wr bereche r für de vorlegede Date mt Hlfe der folgede Tabelle. Vergleche mt dem Ergebs des Rechers. I KJ F H G x y u = x 40 v = y 08 u. v u v I K J v r = ,9487 Im folgede wrd gezegt, dass r ud daher weters glt: r. Der Korrelatoskoeffzet r st e Maß für de Qualtät des leare Zusammehags zwsche de Größe x ud y. Je äher der Absolutbetrag vo r be legt, desto besser st der leare Zusammehag. Beachte, dass r ud de Stegug a der Regressosgerade das Vorzeche der Summe Be postvem r st de Korrelato auch postv, be egatvem r st de Korrelato egatv. We aber r = oder r =, da lege alle Pukte der Puktwolke auf der Regressosgerade y = a x+ b. = uv habe. T 3 Vlaadere Regresso, Korrelato ud Modellbldug 4 Gudo Herweyers, KHBO Campus Oostede

18 Für Werte vo r ahe be 0 besteht praktsch ke learer Zusammehag. Es ka aber sehr wohl ee adere fuktoale Zusammehag zwsche x ud y gebe. Betrachte wr dazu de folgede Date, de vo Pukte stamme, de auf der Parabel y = x lege. Als Regressosgerade erhält ma y =. Dese leare Apassug ergbt überhaupt kee S. Zwsche der Stegug a der Regressosgerade ud dem Korrelatoskoeffzete r besteht e recherscher Zusammehag: ( x x)( y y) uv = = ( x x) u = = a = = ud r = F H G = uv u. = = I KJ F H G v I K J. Daher glt weter: v uv uv v = = = = u u. v u u = = = = = s a= = = r = r s y x. Dabe st s y de Stchprobestadardabwechug (--Gewchtug) der Date y. Aaloges glt für s x. T 3 Vlaadere Regresso, Korrelato ud Modellbldug 5 Gudo Herweyers, KHBO Campus Oostede

19 4. Modellbldug. 4. Das Bestmmthetsmaß Das Bestmmthetsmaß R st e Maß für de Qualtät ees Regressosmodells, das cht otwedgerwese lear st. Als Eführug ehme wr de Datepukte vo vorh, (,3), (,) ud (3,5), für de wr y = x + als Regressosgerade erhalte habe. = x +, de ach dem Regressosmodell theoretsche Fuk- Wr erzeuge de ächste Tabelle mt y toswerte. x y ˆ y ( ) y b g y y y We zwsche de Varable x ud y ke Zusammehag bestehe sollte, da sollte aufeader folgede Werte y wllkürlch um de Mttelwert y schwake. b g = Für de totale Varaz der Werte y bezüglch y ehme wr y y welchem Maß de Puktwolke vertkal vo der Gerade y = y abwecht. als Maßzahl. Se gbt a, = =. Ma seht, dass das Regressosmodell besser geeget st, de y-werte vorherzusage, da de Summe der Resduequadrate (oder de Varaz der y-werte bezüglch des Regressosmodells) ( y ˆ ) y mmal st. Daher folgt, dass ( y yˆ ) ( y y) Es glt: ( y y) = ( y yˆ ) + ( y y) ( y yˆ ) = = = = = totale Varaz = cht erklärte Varaz + (durch de Regresso) erklärte Varaz Das Regressosmodell st da gut, we de cht erklärte Varaz vel kleer st als de totale Varaz. Ma ka es auch so sage: we de erklärte Varaz cht vel kleer st als de totale Varaz. st jeer Atel der Varaz der y bezüglch y, der durch das Regressos- Das Bestmmthetsmaß R modell erklärt wrd: erklärte Varaz R = cht erklärte Varaz T 3 Vlaadere Regresso, Korrelato ud Modellbldug 6 Gudo Herweyers, KHBO Campus Oostede

20 R ( y y) ( y yˆ) ( y yˆ) = = = = = ( y y) ( y y) = = 6 Im obge Bespel st R = =, d.h., dass ur 5% der Varaz der Date y bezüglch des Mttelwerts y durch das Regressosmodell erklärt 8 4 werde. Für de Korrelatoskoeffzete r = 0,5 glt, dass r = R. Das st ke Zufall, de be der leare Regresso glt mmer, dass das leare Bestmmthetsmaß. r = R. Daher et ma r auch Gb zu eer leare Regresso mmer Fuktoswerte y st. r als Maß dafür a, we geeget das Modell zur Progose vo Wr wolle u allgeme zege, dass Ma begt mt R r v e = = = v = = R. Aus y = ax + b+ e ud der Substtuto b= y ax () y y = a x x + e oder of v = au + e, folgt ( ) so dass Der letzte Summad vo () verschwdet. Daher glt Aus () ud (3) folgt schleßlch Da R muss auch gelte v = a u + e + a ue = = = = () ue = u( v au) = uv a u = = = = uv = = uv u 0 = = = u = v = a u + e = = = a u uv = = R = = = r v u v = = = (3): r.. w.z.b.w. T 3 Vlaadere Regresso, Korrelato ud Modellbldug 7 Gudo Herweyers, KHBO Campus Oostede

21 4. Der Resdueplot Als Bespel betrachte wr de Körpergröße x [cm] ud de Masse y [kg] vo 0 zufällg gewählte Schüler eer Klasse.: x y Wr schrebe de Date de Lste L ud L ud zeche das Streudagramm. Das leare Modell schet ee gute Näherug zu blde. Be learer Regresso st de Summe der Resdue mmer 0: ( ) ( ) ( ) e = y yˆ = y ax b = y ax b = 0 = = = Be eem gute Modell muss der Resdueplot, d.h. de Grafk der Resdue Abhäggket vo de Date x, ee zufällge Vertelug um de x-achse aufwese. De x-achse stellt her de Regressosgerade dar. Das Bestmmthetsmaß r st 0,9. Damt werde 90% der Varaz der y -Werte gegeüber y durch de leare Regresso erklärt. Mt sum(lresid^) wrd de Summe der Quadrate der Resdue ausgegebe: (Überprüfe das). Wr wolle och schaue, ob ee quadratsche Regresso e besseres Ergebs lefert. 0 e = 43,7. = T 3 Vlaadere Regresso, Korrelato ud Modellbldug 8 Gudo Herweyers, KHBO Campus Oostede

22 Wr erzeuge weder de Resdueplot ud bereche de Summe der Resduequadrate. Ee efache Rechug lefert de Wert 0,93 für das Bestmmthetsmaß R. Das quadratsche Modell erwest sch damt als gergfügg besser als das leare. We wr auch och alle übrge Regressosmodelle versuche, de der TI-83+ abetet, lässt sch de folgede Überscht zusammestelle: Modell R r r LReg(ax + b) 0,900 0,949 QuadReg ( ax + bx + c ) 0,93 3 CubcReg ( ax + bx + cx + d ) 0, QuartReg ( ax + bx + cx + dx + e ) 0,963 LReg ( a + b. l( x ) ) 0,89 0,945 ExpReg ( ab. x ) 0,95 0,957 PwrReg ( a. x b ) 0,9 0,955 x y, de expo- x y ud de Potezlereg- De logarthmsche Regresso LReg wrd auf de leare Regresso der Date ( l( ), ) etelle Regresso ExpReg auf de leare Regresso der Date (,l( ) ) resso PwrReg auf de leare Regresso der Date ( l( x ),l( y )) zurückgeführt. Dass ee leare Regresso verwedet wrd, erket ma a der Azege ees Korrelatoskoeffzete ud der Ausgabe des Bestmmthetsmaßes. Erkläre de otwedge Trasformatoe der Date. Als letztes Bespel betrachte wr ee Azahl regelmäßger Velecke mt Seteläge ud dem Radus des jewels zugehörge umschrebee Kreses. Sete-l azahl Radus 0,577 0,707 0,85,000,5,306,46,68,775,93 Wr übertrage dese Date de Lste L e L ud zeche das zugehörge Streudagramm. Das leare Modell schet perfekt geeget zu se (vergleche das r ). Der Resdueplot wrft aber e gaz aderes Lcht auf de Sachverhalt. De Resdue zege e deutlches Muster. Das lässt de Exstez ees bessere Modells vermute. Es se dem Leser überlasse, deses besser geegete Modell zu suche. T 3 Vlaadere Regresso, Korrelato ud Modellbldug 9 Gudo Herweyers, KHBO Campus Oostede

23 5. Beschrebug des Newtosche Abkühlugsgesetzes Nach dem Abkühlugsgesetz vo Newto st de Geschwdgket mt der de Temperatur ees Körpers abmmt proportoal zum Utersched der Körpertemperatur ud der Umgebugstemperatur. Wr führe das folgede Expermet durch ud verwese dazu auf de Workshop vo Has Bekaert Grafscher Tascherecher ud Computer m erste Tel des Skrptums. Der Temperaturfühler des CBL wrd ee Behälter mt warmer Flüssgket getaucht ud da weder herausgeomme, um h abkühle zu lasse. Währed der Abkühlugsphase werde Zet x [sec] ud Temperatur y [ C] gemesse. De Umgebugstemperatur st de Raumtemperatur, ud dese beträgt 9,5 C. Her sd de gemessee Date: Zet Temperatur Zet Temperatur Zet Temperatur , 5, , ,053 39,9 37, 34,6905 3,595 30,907 9,4048 8, ,9767 6,0465 5,364 4,4884 3,8333 3,667,7955,3409,976, ,4048,9 0,837 0,65 0,465 0,37 0,86 0, ,9048 Aus dem Newtosche Gesetz folgt (durch Lösug eer Dfferetalglechug) das mathematsche Modell: kx y = a e + 9,5 wobe k > 0 ) Das lässt sch auch der Form y = a b + 9,5 mt x b= e k schrebe. De Kostate a ud b lasse sch bestmme, dem ma vorgbt, dass der Fuktosgraph durch zwe 0; 8,093. Messpukte verlaufe soll, etwa ( 0; 56, ) ud ( ) x Damt ergbt sch ee Modellfukto y = 36, 6 0, ,5. Deses Modell beruht aber ur auf zwe Messpukte. Durch ee expoetelle Regresso erhalte wr e (besseres) Modell, das alle vorlegede Date berückschtgt. Das Modell ka umgeschrebe werde als y 9,5 = a b oder x Y x = a b mt Y = y 9, 5. Für de expoetelle Regresso müsse wr u de Date x ud Y = y 9,5 verwede. De Werte x sd der Lste L ud de Werte y Lste L. Wr zehe vo Lste L de Wert 9,5 ab ud erhalte somt Lste L3 de Zahle Y. T 3 Vlaadere Regresso, Korrelato ud Modellbldug 0 Gudo Herweyers, KHBO Campus Oostede

24 De expoetelle Regresso lefert a = 37,3 ud b = 0,864. Übuge: ) Aus Y x = a b folgt l Y = l a + x l b oder Z = A + Β mt Z = l Y, A = l a, B = l b. Zege, dass de Ergebsse der expoetelle Regresso aus eer leare Regresso der Date- x, Z = x,ly abgeletet werde köe; de leare Regresso lefert de Zahle A ud paare ( ) ( ) A B B, woraus a= e ud b= e folgt. Beachte dabe, dass das Bestmmthetsmaß Regresso stammt. r vo der leare ) Wede auf de ursprüglche Date (x, y ) ee quadratsche Regresso a ud erzeuge de Resdueplot. De Resdue zege e deutlches Muster ud wese damt auf de Exstez ees bessere Modellfukto h. 6. Lteratur [] G. Herweyers, K. Stules, Statstek met ee grafsch reketoestel, Acco, Leuve, 000. [] D.S.Yates, D.S. Moore, G.P. McCabe, The Practce of Statstcs, TI-83 Graphg Calculator Ehaced, W.H. Freema ad Compay, New York, 999. [3] Hackl Katzebesser, Statstk für Sozal- ud Wrtschaftswsseschafte, Oldeburg, 000 [4] Markus Paul, Beschrebede Statstk ud exploratve Dateaalyse, T 3 -Österrech, 00 T 3 Vlaadere Regresso, Korrelato ud Modellbldug Gudo Herweyers, KHBO Campus Oostede

25 Smulato vo Zufallsxpermete mt dem TI-83Plus Koe Stules Lmburgs Uverstar Cetrum Depebeek. Eletug Der TI-83 Plus (Slver Edto) stellt e hervorragedes Werkzeug dar, um grudsätzlche Idee über Wahrschelchkete zu demostrere ud dese mt der theoretsche Wahrschelchketsrechug zu verbde. Jacob Beroulls Werk Ars Cojectad war e Meleste der Etwcklug der Wahrschelchketsrechug. Es wurde erst ach seem Tod m Jahre 73 durch see Neffe Nkolaus Beroull veröffetlcht. I desem Buch wurde das erste Mal vom Gesetz der große Zahle gesproche: de relatve Häufgket für das Etrete ees Eregsses st e Näherugswert für de theoretsche Wahrschelchket für deses Etrete, we ma das etsprechede Expermet ausreched oft durchführt. Desem Przp wolle wr de folgede Smulatoe folge.. Zufallszahle Mt dem Befehl rad ( <PRB> :rad) ka ma auf de folgede verschedee Arte Zufallszahle erzeuge: rad ee Zufallszahl x zwsche 0 ud (0 < x < ) rad(4) ee Lste vo 4 Zufallszahle zwsche 0 ud rad4 ee Zufallszahl x zwsche 0 ud 4 (0 < x < 4) A+(B-A)rad ee Zufallszahl zwsche A ud B (A < x < B) Mt rad werde Zufallszahle geerert, be dee der Startwert des Zufallsgeerators stadardmäßg auf 0 gesetzt st. We ma mmer vom gleche Startwert ausgeht, erhält ma mmer de gleche Folge vo Zufallszahle. Um ee adere Folge vo Zufallszahle zu erzeuge, ka ma de Startwert für rad vo auße festlege. Das fuktoert da so: 44 ü rad. Astelle vo 44 ka jede adere Zahl geomme werde. T 3 Vlaadere Smulato vo Zufallsexpermete Koe Stules, Lmburgs Uverstar Cetrum

26 De Fukto radit ( <PRB> 5:radIt) geerert de folgede Zufallszahle: radit(,6) ee gazzahlge Zufallszahl x zwsche ud 6 ( x 6) radit(,6,5) ee Lste vo 5 gazzahlge Zufallszahle zwsche ud 6 3. Der Wurf eer Müze Für de Smulato ees Müzwurfs verschlüssel wr Kopf mt ud Zahl mt 0. a. Smulere das zwehudertmalge Werfe eer Müze: radit(0,,00) ü L. b. Ermttle de absolute ud relatve Häufgket des Eregsses Kopf. De Blder ute zege, dass de relatve Häufgket für das Etrete des Eregsses Kopf be vele durchgeführte Würfe ahe be ½ legt. Um deses Ergebs zu vsualsere defere wr de folgede Lste: L = seq(x,x,,00) L = radit(0,,00) L3 = cumsum(l) L4 = L3/L Y = / De abgebldete Dagramme der kumulerte Häufgkete zege, dass mehr durchgeführte Expermete cht automatsch zu eer Verbesserug des Ergebsses führe. We wr fortfahre, de Müze zu werfe, köe wr de relatve Häufgket vo 0,5 so gut approxmere we wr wolle, aber emad ka sage, we oft wr dafür de Müze werfe müsse. Klasseauftrag Jeder Schüler soll 00 Würfe smulere. Bereche da de relatve Häufgket für Kopf für de gaze Klasse. Jeder Schüler soll ee zufällge Startwert für de Zufallsgeerator wähle. Welches Ergebs ka ma erwarte? T 3 Vlaadere Smulato vo Zufallsexpermete 3 Koe Stules, Lmburgs Uverstar Cetrum

27 4. Der Wurf mt Würfel a. Das 40malge Werfe ees Würfels wrd smulert mt radit(,6,40) ü L. b. Bereche de relatve Häufgket des Eregsses 6 Auge. Das abgebldete Hstogramm st weder ee Vsualzerug vo Beroulls Gesetz der große Zahle. c. Der Aufruf radit(,6)+radit(,6) smulert de Augesumme für de Wurf mt zwe Würfel. Dce Dce Dce Dce Dce Dce Dce Dce Dce Dce Dce Dce Verwede das y[test] Meü ud führe de gezegte Versuch durch? Um welche Expermete (Eregsse) hadelt es sch dabe? 5. Aufgabe Erzeuge mttels Smulato ee Näherugswert für de Zahl π = (Mote Carlo-Methode). a. Überprüfe uter Esatz der rad-fukto, ob e zufällger Pukt (rad,rad)aus dem Itervall [0,] [0,] ee Etferug vo höchstes vom Ursprug aufwest. b. Führe dese Test 400 mal durch. Verwede ee Folge mt dem seq-befehl. c. We vele Pukte habe vom Ursprug höchstes de Abstad? d. Uter Verwedug des Ergebsses vo c lässt sch e Näherugswert für π agebe. T 3 Vlaadere Smulato vo Zufallsexpermete 4 Koe Stules, Lmburgs Uverstar Cetrum

28 6. Zehuge Ee große Azahl vo Probleme der Wahrschelchketsrechug lässt sch erkläre als Zehug vo Kugel aus eer Ure. Dabe werde zwe Arte vo Zehuge uterschede: Zehug mt Zurücklege ud Zehug ohe Zurücklege. Wr wolle aehme, dass sch eer Ure 0 weße ud 5 schwarze Kugel befde. Wr stelle us vor, dass de weße Kugel vo bs 0 durchumerert sd, de schwarze vo bs 5. Nu wrd z.b. de Frage ach der Wahrschelchket gestellt, dre schwarze Kugel bem dremalge Zehe eer Kugel zu erhalte. 6. Zehe mt Zurücklege z /3 /3 z w z w /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 z w z w z w z w /3 w Etschedugs- oder Wahrschelchketsbaum P( 3 mal schwarz) = Das Zehe vo dre Kugel ka desem Fall efach durch radit(,5,3)modellert werde. sum(radit(,5,3)>0) zählt, we vele vo de dre gezogee Kugel schwarz sd ud legt de Ergebsse der Lste L ab. Aschleßed werde de Fälle gezählt, be dee geau dre schwarze Kugel gezoge worde sd. 6. Zehe ohe Zurücklege /3 /3 3/3 z z /7 5/7 0/ 3 w z w w P( 3 mal schwarz) 3 = z w z w z w z w T 3 Vlaadere Smulato vo Zufallsexpermete 5 Koe Stules, Lmburgs Uverstar Cetrum

29 Für de Smulato des Zehes mt Zurücklege müsse wr de Prozedur vo vorh verfeer. Das folgede kurze Programm smulert das Zehe ohe Zurücklege vo 3 Zahle aus eem Vorrat vo 5 Zahle. ClearLst L,L Repeat sum(¾lst(l)=0)=0 radit(,5,3)ül LüL SortA(L) Ed Das Zehe vo dre Kugel (radit(,5,3)ül) wrd so oft wederholt, bs de Bedgug der Repeat- Schlefe (sum(¾lst(l)=0)=0) erfüllt st. Da sd alle Elemete der Dfferezlste ¾Lst(L)=0 glech Null. Mt adere Worte gesagt, we ke Elemet vo ¾Lst(L) verschwdet, da sd alle Elemete vo L verschede. Für de Ausführug der Smulato wrd das obge Programm ee For-Schlefe egebaut. Das Programm erhält de Name WITHOUT. ClearLst L,L,L3 For (I,,00) Repeat sum(¾lst(l)=0)=0 radit(,5,3)ül LüL SortA(L) Ed sum(l>0)ül3(i) Ed sum(l3=3)/00ün Dsp N E ausführlcheres Programm für de Smulato vo Zehuge fde Se m Ahag (DRAWING). 7. Aufgabe. Smulere: Ma wrft dre Müze. We groß st de Wahrschelchket, mdestes e mal Zahl zu werfe?. I eer Packug befde sch 0 Glühbre, vo dee 5 kaputt sd. Es werde zufällg 3 Lampe etomme. We groß st de Wahrschelchket, dass (a) alle dre Lampe schlecht sd? (b) de dre Lampe fuktoere? (c) geau ee Lampe schlecht st? Äder sch de Lösuge, we ee Lampe ach der adere aus der Packug geomme wrd? Führe für alle Expermete de etsprechede Smulato durch. 3. Be eer Glücksmasche werde zufällg dre Zahle zwsche 0 ud 99 gezegt, wobe sch de Zahle wederhole köe. Ma gewt, we de Summe der Zahle durch 5 telbar st. Ermttle ee Näherug für de Gewchace durch ee Smulato. 4. Fde durch Mote-Carlo-Smulato ee Näherugswert für e x dx. 0 T 3 Vlaadere Smulato vo Zufallsexpermete 6 Koe Stules, Lmburgs Uverstar Cetrum

30 8. Das Galtobrett Das Galtobrett st ee Vorrchtug mt der ma ee Kugel durch Rehe vo Nägel rolle lasse ka. De Nägel sd ach ebestehedem Muster agebracht. Sobald de Kugel auf ee Nagel trfft, st de Wahrschelchket glech, ach lks oder ach rechts zu falle Nachdem de Kugel alle Nagelrehe passert hat, ladet se eem der am Ede des Bretts agebrachte Fächer. Wr stelle us zuerst de Frage, auf wevele verschedee Arte ee Kugel de Weg e bestmmtes Fach fde ka. a. Betrachte wr e Galtobrett mt dre Nagelrehe. Auf we vele Arte ka jedes der Zelfächer errecht werde? (der her gezegte Weg ka mt LRL beschrebe werde) Fach x 0 3 Möglche Wege ach x 0 3 Um m Fach x zu lade muss de Kugel auf hrem Weg s Zel geau x mal ach rechts falle. Damt st de Zahl aller möglche Wege de Azahl der Möglchkete sch be 3 Nagelrehe x mal für R(echts) zu etschede. Dese Zahl wrd mt 3 berechet. x Da de Wahrschelchket für jede Wegwahl glech st, st ach dem Laplace-Modell de Wahrschelchket, # Wege ach x dass ee Kugel m Fach x ladet # Wege gesamt. Welche Bedeutug hat das u für e Galtobrett mt dre Nagelrehe? b. Wr füge ee wetere Nagelrehe hzu. We vele Wege führe s Fach 3? Azahl Wege zum Pukt A Azahl Wege zum Pukt B Azahl Wege s Fach 3 Fach x Möglche Wege ach x A B We groß st u de Wahrschelchket, dass de Kugel m Fach x ladet? c. Verallgemeerug We groß st be eem Galtobrett mt Nagelrehe de Wahrschelchket m Fach x zu lade? T 3 Vlaadere Smulato vo Zufallsexpermete 7 Koe Stules, Lmburgs Uverstar Cetrum

31 d. De Smulato des Galtobretts Im folgede wrd e Galtobrett mt 5 Nagelrehe smulert. De Etschedug für rechts wrd mt kodert, der Weg ach lks mt 0. Das ächste kurze Programm modellert de Weg eer Kugel. 0üP For(J,,5) P+radIt(0,)üP Ed We wr mehrere Kugel rolle oder falle lasse wolle, da müsse wr deses kurze Programm weder ee Schlefe ebaue. (Sehe m Ahag das Programm GALTON.) :GRAPH 3:FREQUENCY 4:REL FREQUENCY T 3 Vlaadere Smulato vo Zufallsexpermete 8 Koe Stules, Lmburgs Uverstar Cetrum

32 Ahag : TI-83 Plus Programme a. Galto s pball mache ClrLst L,L,L3,L4,L5 Iput "NUMBER OF ROWS ",R Iput "NUMBER OF BALLS ",N seq(x,x,0,r)ül For(I,,R+) 0üL(I) Ed NüM Lbl H For(I,,N) 0üP For(J,,R) P+radIt(0,)üP Ed PüL5(I):L(P+)+üL(P+) Ed L/MüL3 bompdf(r,.5)ül4 Lbl G ClrHome Meu("GALTON","EXTRA BALLS",A,"GRAPH",B,"FREQUENCY",C,"REL FRE- QUENCY",D,"TOTAL OF BALLS",E,"END",F) Lbl A Iput "NUMBER OF BALLS ",N ClrLst L5 M+NüM Goto H Lbl B PlotsOff FOff Plot(Scatter,L,L3,Ð):Plot(Scatter,L,L4,Ñ) AxesOff:ZoomStat:DspGraph Pause Goto G Lbl C For(K,,R+) Dsp {L(K),L(K)} Pause Ed Goto G Lbl D For(K,,R+) Dsp {L(K),L3(K),L4(K)} Pause Ed Goto G Lbl E Dsp "NUMBER OF BALLS",M Pause Goto G Lbl F Stop T 3 Vlaadere Smulato vo Zufallsexpermete 9 Koe Stules, Lmburgs Uverstar Cetrum

33 b. Drawg wth or wthout replacemet Meu("REPLACEMENT","WITHOUT",A,"WITH",B) Lbl A Dsp "DRAW" Iput R Dsp "OUT OF" Iput N Repeat sum(¾lst(l)=0)=0 radit(,n,r)ül LüL SortA(L) Ed Dsp L Stop Lbl B Dsp "DRAW" Iput R Dsp "OUT OF" Iput N radit(,n,r)ül Dsp L Stop Lteratur a. Hadbuch TI-83, Texas Istrumets (educato.t.com/gudes), 996 b. Statstek met ee grafsch reketoestel, Gudo Herweyers Koe Stules, Acco Leuve, 000 c. The Practce of Statstcs, TI-83 Graphg Calculator Ehaced, D.S.Yates, D.S. Moore, G.P. McCabe, W.H. Freema ad Compay, New York, 999. T 3 Vlaadere Smulato vo Zufallsexpermete 30 Koe Stules, Lmburgs Uverstar Cetrum

34 Ergäzuge zum Betrag vo Koe Stules Josef Böhm Das folgede Problem eget sch als Estegsaufgabe de Wahrschelchketsrechug ud Beschrebede Statstk. E Würfelspel Es wrd mt dre Würfel geworfe. Jede Augesumme über gewt, ud zwar: 3 Auge brge de Gew vo, 4 Auge brge,... 8 Auge brge de Höchstgew vo 6. Welche Esatz wäre Se beret für e Spel zu gebe? Welche Esatz muss der Bakhalter verlage, um auf lage Scht chts zu verlere? Zuerst soll ee Smulato ee ugefähre Awort gebe. De Berechug des Erwartugswertes gbt da das exakte Ergebs. Verschedee statstsche Ausarbetuge köe folge (Varaz, adere Kezahle, dverse Dagramme). Tpp: Leere vorerst alle Lste, sost ka es zu eem Memory-Full-Error komme. Für jede Würfel wrd ee Lste vo 300 Würfe erzeugt. I Lste L4 wrd de Augesumme gebldet. De Gewlste L4 verdet etwas mehr Aufmerksamket: De Relato L4 > hat de Wert logsche Wert, we se wahr st ud de Wert 0 we se wahr st. Für alle Summe über wrd daher der Gew als Augesumme gebldet ud de Lste geschrebe. E Blck de Lsteedtor überzeugt us vo der Rchtgket useres Vorgehes. Über <CALC> wrd der Befehl -Var Stats aufgerufe ud auf de Lste der Gewe agewedet, de wr wolle atürlch sofort de Atwort auf usere Frage erhalte: Der Mttelwert legt be 0,547 ud de Stadardabwechug hat de Wert,686 (--Gewchtug) ud,667 (be -Gewchtug). Außerdem werde der Meda ud de Quartle agegebe. Be eer geegete Estellug der p-werte lefert de Lste der Würfe des erste Würfels e schöes Hstogramm für ee ageäherte Glechvertelug: T 3 Vlaadere Smulato vo Zufallsexpermete 3 Koe Stules, Lmburgs Uverstar Cetrum

35 De ächste bede Plots sd Hstogramm ud Kastedagramm (BoxPlot) der Augesumme. Wr habe 39 mal de Augesumme errecht. Der Meda legt be 0,5, währed der Mttelwert der Stchprobe be 0,49 legt. Nu ka ma dara deke, de theoretsche Werte für Erwartugswert ud Varaz der Zufallsvarable Spelgew zu bereche. De Smulato lässt sch bechleuge, we ute gezegt. mt [ENTRY] köe Befehle aus der Vergagehet weder auf de Schrm gebracht werde. Damt erspart ma sch de Arbet des Tppes. Es wurde wetere dre Smulatoe durchgeführt. Dabe ergebe sch de Mttelwerte 0,6, 0,67 ud 0,5. Ee Übug für de Schüler wäre, de Wahrschelchkete für de Gewe vo X = 0,,, 3, 4, 5, 6 durch de etsprechede relatve Häufgkete aus der Smulato äherugswese zu fde ud da exakt achzureche. Lösug: Der Erwartugswert E(X) = 6 0,583, de -gewchtete Stadardabwechug st, De Wahrschelchkete für de Gewe 0,,, 3, 4, 5, 6 sd,,,,,, T 3 Vlaadere Smulato vo Zufallsexpermete 3 Koe Stules, Lmburgs Uverstar Cetrum

36 Mt der ächste Aufgabe solle zusammegesetzte ud bedgte Wahrschelchkete smulert ud berechet werde. Auf ach Las Vegas mt dem TI-83+ oder ur ach Bade be We, we das Geld cht recht. Ee Glücksmasche Slot Mache besteht aus zwe vo eader uabhägg roterede Schebe. Auf bede Schebe sd Zahle auf jewels glech große Sektore zu lese. De Schebe blebe zufällg so stehe, dass de Pfele auf Zffer zege. Smulere ee größere Azahl vo Spele ud bestmme daraus Näherugswerte für de Wahrschelchket des Etreffes der folgede Zufallseregsse. Versuche da dese Ergebsse durch Mttel der Wahrschelchketsrechug zu bestätge. (Du kast auch umgekehrt vorgehe, d.h. zuerst reche ud da smulere.) a) bede Pfele zege auf, b) ke Pfel zegt auf, c) bede Pfele zege auf gleche Zffer, d) de Summe der bede Zffer st 4, e) mdestes e Pfel zegt auf 3, f) dremal htereader zege bede Pfele auf verschedee Zffer, g) der lke Pfel zegt auf, we de Summe beder Zffer st, h) de Summe der bede Zffer st 4, we der lke Pfel auf zegt. Wr wolle weder = 300 Versuche durchführe. Der TI-83+ stößt da bald a see Specherkapaztäte. De folgede Vorgagswese ka gewählt werde: Wr erzeuge zwe Lste Z ud Z mt glech vertelte gaze Zufallszahle vo -6, bzw. vo -5. Se stelle de Bass für usere Utersuchug dar. (Das Lstesymbol L wrd über [LIST] <OPS> B erzeugt.) De Zffer der erste Schebe ergebe sch so: {}, {,3,4,5} ud {6} 3. Be der zwete Schebe ählch: {}, {,3} ud {4, 5} 3. Das muss u etspreched kodert werde ud ergbt de Lste S ud S. Im Lsteedtor köe wr us davo überzeuge, dass usere Prozedur rchtg war. Im wetere Verlauf der Aufgabe werde ur mehr de Lste S ud S beötgt. Der TI-83+ spechert ämlch (leder) cht dyamsch de Etstehug vo S ud S d.h., be eue Lste Z ud Z werde S ud S cht automatsch agepasst. T 3 Vlaadere Smulato vo Zufallsexpermete 33 Koe Stules, Lmburgs Uverstar Cetrum

37 a) Wr beschrebe das Eregs, dass bede Pfele auf zege ud bereche de Wahrschelchket dafür: 4 4 = 6,67% b) Ke Pfel soll auf zege......smulato ud Ergebs. c) Bede Pfele zege auf de gleche Zffer... d) De Summe der bede Zffer st 4... e) Mdestes Pfel zegt auf 3... f) Dremal htereader zege bede Pfele auf verschedee Zffer g) Lks zegt auf, we de Summe st h) De Summe st 4, we lks auftrtt Über de Gegewahrschelchket vo Aufgabe c). De - lägere - Smulato wrd ute gezegt. Her sollte kee Smulato otwedg se, um zu erkee, dass des e scheres Eregs darstellt. De Atwort muss daher oder 00% laute = = 40% zu f) I L5 habe alle Versuche mt ugleche Zffer de Wert. L5 wrd Dreergruppe zerlegt ud de Summe der Elemete gebldet. Falls de Summe 3 ergbt, da st das gewüschte Eregs egetroffe. T 3 Vlaadere Smulato vo Zufallsexpermete 34 Koe Stules, Lmburgs Uverstar Cetrum

38 Hwes auf ee ette TI-83+ Applkato Für de TI-83+ steht ee recht brauchbare Applkato zur Smulato vo Zufallsexpermete zur Verfügug. Se ka ee svolle Ergäzug zu de gezegte Bespele se. Für de Uterrcht wertvoller st scher de mt de Schüler erzeugte Modellerug der Expermete. Zusätzlche spelersche Bespele locker aber de Uterrcht auf. Sowohl das Programm als auch de kurze Dokumetato sd ur eglscher Sparche verfügbar ud köe vo der TI-Homepage herutergelade werde. De folgede Smulatoe lasse sch durchführe: Der Wurf mt bs zu 3 Müze, wobe de Sete der Müze gewchtet werde köe. Der Wurf mt bs zu 3 Würfel, de bs zu 0 Setefläche mt uterschedlcher Gewchtug aufwese köe. Das Zehe vo Kugel (maxmal 5 verschedee Farbe) mt oder ohe Zurücklege. De Azahl der Kugel vo jeder Art ka fre festgelegt werde. Das Drehe ees Glücksrads mt bs zu 8 Sektore, de uterschedlch gewchtet werde köe. Das Zehe vo Karte (3 Blatt oder 5 Blatt) mt ud ohe Zurücklege. De Erzeugug vo Sere vo gaze Zufallszahle ( 6) aus eem zu deferede Berech, mt ud ohe Wederholug. Be ege Expermete werde Häufgketsdagramme ausgegebe. Alle Date köe Lste exportert ud da weterbearbetet werde. T 3 Vlaadere Smulato vo Zufallsexpermete 35 Koe Stules, Lmburgs Uverstar Cetrum

39 Eführug das Programmere mt eemti-83 Plus Regs Ockerma. Programm E Programm st da besoders ützlch, we ma mmer weder de gleche Prozess, aber mt adere Date ablaufe lasse muss. I desem Workshop bege wr mt eem efache Bespel: mt der Berechug des Body Mass Idex, BMI.. De Formel für de BMI st (Gewcht Klogram) /(Körpergröße Meter). Ma beötgt mmer de gleche Formel, aber für jede Perso gelte adere Date. Um e Programm zu erzeuge, gehe wr u vor we folgt: Nach dem Eschalte der Masche drücke wr auf de Taste. Falls och kee Programme gespechert sd, seht das so aus: Wr wähle <NEW>, bestätge mt Í ud erhalte ee eue Schrm. Nach der Bestätgug mt Í werde wr um de Name des eue Programms gefragt. [A-LOCK] st berets aktvert. Damt ka der Programmame egegebe werde, etwa SBPM. Für de Eser muss [A-LOCK] weder ausgeschaltet werde. Damt ergebe sch de Bldschrme we ute gaz lks abgebldet. Jetzt köe de Programmzele geschrebe werde. Über [QUIT] ka jederzet das Programmerfester verlasse werde ud ma fdet sch weder m Hauptbldschrm (Rechefester, Homescree). E euerlcher Aufruf vo führt weder s Programmerfester ud über <EDIT> Í sd wr weder zurück m Edterfester. Nu köe wr bege, Awesuge (Befehle) zu schrebe. Es st mmer güstg, de Arbet mt eem leere Bldschrm zu bege. T 3 Vlaadere Eführug das Programmere auf dem TI Regs Ockerma

40 Wr drücke ochmals auf ud es erschet ee eue Auswahl, der wr das Utermeü <I/O> wähle. Der Pfel be 7 west darauf h, dass es och wetere Optoe gbt. Her geht es weter bs zum Buchstabe B. Wr brauche de Awesug [ClrHome], daher gehe wr etweder mt dem Cursor bs zu desem Befehl ud drücke Í oder wr gebe de etsprechede Nummer - her 8 - e. Damt wrd de Awesug s Programm übertrage. Mt eem achfolgede Í wrd de ächste Programmzele mt dem Doppelpukt [:] egeletet. User Programm soll mt eem Ttel bege. Dazu beötge wr weder das <I/O]> - Utermeü ud wähle de Befehl [Dsp] aus. Damt lässt sch Text oder der Wert eer Varable auf de Ausgabeschrm brge. Her hadelt es sch um ee Text ud deser muss zwsche Doppelhochkomma " " geschrebe werde. Deses Soderzeche fde wr am Recher uter ƒ Ã, der Zwscheraum - das Zeche ' - wrd über ƒ Êagesproche. Beachte, dass ausschleßlch Großbuchstabe verwedet werde köe. Als Ttel wähle wr gaz efach "BMI". Nu werde de Date zur Berechug des BMI abgefragt. De Dateabfrage erfolgt durch de Awesug [Iput]. Se betet auch de Möglchket, ee Egabeabfrage azubrge. Der Text steht zwsche " " ud achher folgt der Name der, der Egabe zugewesee Varable, getret durch e Komma. Der TI-83 Plus ket ur ebuchstabge Varable! Zuerst frage wr ach dem Gewcht ud verwede de Varablebezechug G. Auf de gleche Wese frage wr um de Körpergröße (Läge) ud verwede de Varable L. Da wrd der BMI berechet ud uter der Bezechug B gespechert. Zum Schluß wrd das Ergebs gemesam mt eer kurze Erklärug mt der Awesug [Dsp] ausgegebe. Das =-Zeche wrd aus dem Meü [TEST] <TEST> geholt. Nu soll user erstes Programm getestet werde. Der Edtor wrd mt [QUIT] geschlosse ud mt sehe wr ee us scho bekate Schrm. T 3 Vlaadere Eführug das Programmere auf dem TI Regs Ockerma

41 Wr gehe folgedermaße vor: Mt Í wrd der Programmame auf de Schrm gebracht. Ma muss m Hauptbldschrm mt dem Cursor eer eue leere Zele stehe, sost wrd der Programmame efach wo agefügt ud ma erhält ee Fehlermeldug. Nochmalges Í lässt das Programm starte. Wr teste für ee Perso vo,88 m Körpergröße ud 0 kg Gewcht. Das ergbt de obe abgebldete Ausgabe. We wr ach Ablauf des Programms ochmals Í drücke, da begt es ereut mt der Abfrage ach de Egabedate.. Programm Wr sehe, dass e Programm aus dre Tele besteht: Egabe, Verarbetug ud Ausgabe EVA- Przp. I userem Bespel war de Verarbetug sehr kurz. Her erfolgte de Egabe der Date über [Iput]. Dafür gbt es auch de [Prompt]-Awesug. Mt hr ka ur der Wert eer Varable ohe Beglettext abgefragt werde. Machmal kombert ma [Dsp] mt [Prompt]. Um ee Text a ee bestmmte Stelle des Ausgabeschrms zu setze steht de Awesug [Output] zur Verfügug. Nähres dazu fdet ma m Hadbuch. Ma ka sch frage, was gescheht, we jemad be Ausführug useres Programms z.b. e egatves Gewcht oder ee adere slose Egabe macht? Daher stellt sch weters de Frage, ob ma de Egabe cht abscher ka. Wr wolle ee Prüfug auf Plausbltät der Egabe ebaue. Des lestet etwa de Awesug [Repeat]. Mache werde sch möglcherwese dara erer, dass es PASCAL ee REPEAT... UNTIL- Kostrukto gbt. Das bedeutet, dass e Block vo Befehle solage wederholt wrd, bs ee bestmmte Bedgug erfüllt st. Wr sollte daher de Frage ach der Egabe des Gewchts so lage wederhole, bs mt eer postve Zahl getwortet wrd. I TI-BASIC seht dese Kostrukto etwas aders aus: De etsprechede Sytax lautet: Repeat Bedgug Awesug(e) Ed. (Ee Überscht fdet sch uter 6.) Das wrd u eer verbeserte Programmverso SBPM durchgeführt. T 3 Vlaadere Eführug das Programmere auf dem TI Regs Ockerma

42 Über de Tastefolge [RCL] erschet das bekate Telmeü (. Bld). Wr wähle <EXEC> ud sehe Bld 3 mt alle vorhadee Programme. Mt zwemalgem Í werde de Programmzele überomme. Dese köe u erwetert ud/oder verädert werde. Auf dese Art ud Wese erspare wr us ee Mege Tpparbet. So lässt sch auch e Programmame veräder! Wr gehe gaz a de Afag des Programms ud füge mt [INS] Í ee leere Programmzele e, um de Beg der REPEAT-Schlefe ezufüge. Dazu holt ma de Awesug [Repeat] aus dem CTL-Utermeü (Repeat-Ed st ee Kotrollstruktur, daher st se m CTL-Utermeü zu fde). Umttelbar dara schrebe wr de Bedgug, de erfüllt werde muss, bevor mt der Durchführug des Programms fortgefahre wrd. De Bedgug heßt her: G > 0. Das Relatoszeche > fde wr [TEST]. Damt sollte sch de folgede Bldschrme ergebe: Zuerst veräder wr de Überschrft vo BMI BMI. Zwsche de bede [Iput]-Awesuge wrd ee Leerzele egefügt, de de [Ed]- Awesug geschrebe wrd, de weder aus dem CTL-Utermeü abgeholt wrd. Nu ka das Programm ausgeführt werde. Jetzt stehe scho zwe Programme zur Auswahl. Mt dem Cursor wähle wr SBPM a ud starte mt Í de Ausführug. Sollte jemad -5 als Gewcht egebe, da wrd das Programm cht weter ausgeführt, soder de Frage wrd ereut gestellt, ud zwar so lage, bs ee postve Zahl egegebe worde st. Asoste läuft das Programm gaz ach dem Muster des erste ab. Das Abfage vo slose Date st e wesetlches Merkmal für de Beützerfreudlchket ees Programms. Dek dabe z.b. a de Auflösug eer quadratsche Glechug. De Lösugsformel macht ur ee S, we der Koeffzet des quadratsche Gleds vo Null verschede st. T 3 Vlaadere Eführug das Programmere auf dem TI Regs Ockerma