Lagemaßzahlen (1) Beschreibung quantitativer Daten. Statistische Maßzahlen, welche die absolute Lage der Verteilung beschreiben

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1 echrebug quattatver Date Um ee emprche Vertelug ee quattatve Mermal zu bechrebe, betrachte wr Parameter, de ee Verdchtug der Iformato de Dateatze bzw. der Vertelug ermöglche. De wchtgte Parameter d de og. Lageparameter, de da abolute Nveau (de Größeordug) der Date bechrebe owe de Streuugparameter, de mee, we tar ch de eobachtuge um de Mtte ozetrere Lagemaße Mmum, Mamum, Quatle zetrale Lage: rthmetche Mttel, Meda, Modalwert Streuugmaße Spawete, Quartlabtad, G-Koeffzet, Varaz, Stadardabwechug, Varatooeffzet Statt für SozologIe 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Lagemaßzahle () Stattche Maßzahle, welche de abolute Lage der Vertelug bechrebe Mmum Der lete Wert ee quattatve Mermal m(,, ) Mamum Der größte Wert ee quattatve Mermal ma(,, ) Statt für SozologIe 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Lagemaßzahle () rthmetche Mttel (mea) Mttelwert; Summe der Werte (Mermalumme) getelt durch de zahl der eobachtuge(fälle) Modalwert Der am häufgte auftretede Wert Lagemaßzahle (3) Meda Der Meda oder Zetralwert ee (zumdet ordal-alerte) Mermal t der Wert jeer eobachtug, de der ach deem Mermal geordete Geamthet der Mtte zu lege ommt. ~ 0,5 (( + ) /) ( + ) ( /) (( + ) /) () d de geordete eobachtuge, ugerade, gerade Statt für SozologIe 3 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe 4 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Mttelwert veru Meda Da arthmetche Mttel reagert ehr ebel auf ezele Etremwerte Der Meda erwet ch gegeüber etreme eobachtuge al relatv robut Rchter Note Rchter Note Rchter Note 9 8,5 8,5 C 9,5 C 9,5 C 9,5 D 9 D 9 D 9 E 9 E 9 E 9 rth. Mttel 9 rth. Mttel 7,6 rth. Mttel 6,3 Meda 9 Meda 9 Meda 9 Trmmed Mea 9 Trmmed Mea 8,83 Trmmed Mea 6,67 α-trmmed Mea Grudgedae: etfere vor der Mttelug de etreme eobachtuge, de da Ergeb tar beeflue öe Der Dateatz wrd um α eobachtuge reduzert. E werde de (α/) lete ud de (α/) größte eobachtuge vo der Mttelwertbldug augechloe llgemee Przp umfat ee Famle vo Lagemaßzahle: α0 ergbt da rthmetche Mttel α 00% ergbt de Meda Statt für SozologIe 5 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe 6 5. Maßzahle der Lage ud Streuug

2 epel zu α-trmmed Mea epel: 40 α-trmmed Mea mt α0% ugechloe werde de ver etreme eobachtuge: (), (), (39), (40) ud 0, α ( ) 3 I Ecel Futo: GESTUTZTMITTEL wedugbepel für Trmmed Mea EURIOR: Euro Iterba Offered Rate; wrd täglch um Uhr rüeler Zet al ugewchteter Durchchtt au refätze vo Iterbaelage ertlager Ittute auf a der Traatoe vo 57 ae, daruter 47 au dem Euroraum, 4 au otge EU-Läder ud au 6 teratoale ae, berechet. Dabe werde de jewel 5% höchte ud tefte Werte elmert. Statt für SozologIe 7 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe 8 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Lagemaße (4) Quatl Wert eer quattatve Varable, welcher de geordete Date Gruppe utertelt, o da e betmmter Prozetatz darüber ud e betmmter Prozetatz daruter legt Quartl (0%, 5%, 50%, 75%, 00%) Dezl (0%, 0%, 0%, 30%,... 90%,00%) Zwe Kozepte a) Emprche alpha-quatl () wobe (-) < α* b) lpha-quatl: Iterpolato (z.. Ecel) ~ Statt für SozologIe 9 5. Maßzahle der Lage ud Streuug epel Schüler Wochezet für Hauaufgabe h Wochezet für Hauaufgabe h () 4,5 () 0,75,50 () 3,5 3 3,75 (3) 4,5 4 3,75 (4) 5,50 5 6,75 (5) 6,75 < emprche.quartl 6 3,5 (6) 9,5 7,00 (7) 0,5 8 3,50 (8),75 9 0,75 (9) 3,50 0 3,75 (0) 3,50 9,5 () 3,75,75 () 3,75 3 5,75 (3) 3,75 4 3,5 (4) 5,75 5 5,50 (5),00 < emprche 3.Quartl 6,00 (6),00 7 0,5 (7),50 8 3,50 (8),00 9 3,50 (9) 3,5 0,00 (0) 3,50 Summe 69,00 Mttelwert 3,45 Meda 3,65 Mmum 0,75. Quartl 8,65 Mamum 3,50 3.Quartl Statt für SozologIe 0 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Ee falche eobachtug Schüler Wochezet für Hauaufgabe h alpha Trmmed Mea 0%,90 Trmmed Mea 0% 3,74 Trmmed Mea 99% 3,63 em Trmmed Mea (getutzte Mttel) werde de größte ud de lete α/- Prozet abgechtte ud da Mttel der verblebede -α Prozet berechet. 4,5,50 3 3,75 4 3,75 5 6,75 6 3,5 7 0,00 8 3,50 9 0,75 0 3, ,5,75 3 5,75 4 3,5 5 5,50 6,00 7 0,5 8 3,50 9 3,50 0,00 Summe 458,00 Mttelwert,90 Meda 3,63 Statt für SozologIe 5. Maßzahle der Lage ud Streuug rthmetche Mttel e Würfe mt dem Würfel wurde folgede Ergeb beobachtet: 5, 3, 4, 5, 5,, 6,, 4,, 3, 6 Der Durchchtt (da rthmetche Mttel) deer ugezahle t 3,75. Statt für SozologIe 5. Maßzahle der Lage ud Streuug

3 epel Würfelwurf Da Ergeb de Würfelwurf lät ch auch eer Häufgettabelle zuammefae: h h / / / / 3 / 6/ 6 4 / 8/ / 5/ 5 6 / / Summe 45/ 45 45/ 3,75 rthmetche Mttel be tabellerte Date u vorgem epel ergebe ch folgede Formel:... zahl der verchedee upräguge h Statt für SozologIe 3 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe 4 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 4 Egechafte de arthmetche Mttel ) ( ) 0 ( ) ) c m! für c 3) y a + b y a + b Leartät 4 ) Te lg eamthete, :,,, mt y, y,, y mt y rthmetche Mttel der Grudgeamthet : + y z + fall z + y bzw. z h + h y epele: ad 3) Leartät Da Durchchtteomme eer betmmte Gruppe vo rbeter beträgt.000,- Im Zuge eer Tarfverhadlug wrd ee 4% Loherhöhug bechloe. Glechzetg wrd bechloe, da vom eue Gehalt vo jedem rbeter 0 für ee Soldartätfod ebehalte werde. We hoch t da eue Durchchtteomme? X... Eomme bher Y... Eomme eu Y,04*X-0 Neue Durchchtteomme y a + b 0 +, Statt für SozologIe 5 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe 6 5. Maßzahle der Lage ud Streuug epele ad 4) I eem Uterehme d 0 Peroe bechäftgt. De Lohumme beträgt Da Durchchtteomme der 40 mälche getellte e.400. We hoch t da Durchchtteomme der weblche getellte? Geamtmttelwert: (40* *X)/0 X.800 Geometrche Mttel wedugbepel: evölerugwachtum eobachtuge,,..., + Wachtumfatore: + w bzw. + w Wachtumrate: + r *00. ( bzw r w )*00 Durchchttlche Wachtum? Statt für SozologIe 7 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe 8 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 3

4 Geometrche Mttel + + w w log( w w w ) log( + w w ) log( w) log( w ) epel zum Geometrche Mttel Umatz Wachtumfatoratrate Wachtum- Wachtum- Jahr Mo DM % l(w.-fator) ,4,0 0,0% 0,83 978,9, 0,8% 0,89 979,7 0,93-6,9% -0, ,,5 4,8% 0,38 Produt,55 rth. Mttel 0,096 4.Wurzel,6,6% ep(.m.),6 l 0,096 Statt für SozologIe 9 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe 0 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Harmoche Mttel bzw. w W w W Mermal e Quotet: Dmeo-/Dmeo- zahl (Gewchte) der Mermalträger: Dmeo-: Mttelug durch arthmetche Mttel Dmeo-: Mttelug durch harmoche Mttel epel zum Harmoche Mttel Gechw. Strece 30 m/h 60m 90 m/h 60m /*4/90 4 /*( + ) /0* 40 / 90 /0*( + ) Ugewchtete Harmoche Mttel (ur zuläg, da bede Strece glech lag d) W w w W Gewchtete Harmoche Mttel (Gewchte d Strece) Statt für SozologIe 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe 5. Maßzahle der Lage ud Streuug epel zum Harmoche Mttel erechug der Durchchttgechwdget: Gechw. Dauer 30 m/h h 90 m/h /3h erechug mttel gewogeem arthmetche Mttel: Gewchte d Zetdauer (30* +90*/3)/(+/3)3*0/845 W w W w Statt für SozologIe 3 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Perodcher Kauf vo Wertpapere Summe Summe/ / otate udget Kur / , , , , , , Cot average effect Statt für SozologIe 4 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 4

5 Perodcher Kauf vo Wertpapere Kur / Stüc Volume , ,0007 6, , , , , , Streuugmaße Stattche Maßzahle, welche de Varabltät oder de Streubrete de Date mee. Se bechrebe de bwechug vom Zetrum eer Häufgetvertelug We eg lege de Mermalaupräguge ee quattatve Mermal beeader? Maßzahle: Dfferez vo Quatle Summe der btäde aller Mermalaupräguge vo eem Lagemaß Statt für SozologIe 5 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe 6 5. Maßzahle der Lage ud Streuug epel: lterverteluge mt glechem Mttel Gruppe Gruppe Gruppe Gruppe Durchchtt 37, 37, Mmum,0,0 Mamum 57,0 57,0 Spawete 36,0 36,0 Varaz 44,6 37,0 Std.bw.,0 6, VC 3% 6%.Quartl 8,5 35,0.Quartl 34,0 37,0 3Q 3.Quartl 5,55 38,33 Meda 34,0 37,0 IQ-Dtaz 3,0 3,3 6 Streuugmaße () Spawete (rage) Dfferez zwche größtem ud letem Wert eer umerche Varable; Werteberech, dem alle Mermalwerte lege R ( ) () b 9 30 b b b b 70 Statt für SozologIe 7 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe 8 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Streuugmaße () Quartlabtad (IQ-rage) Dfferez zwche drttem ud ertem Quartl; Ierhalb de Quartlabtade lege 50% der Werte; uempfdlch gegeüber Etremwerte ~ ~ 0,75 0,5 Mttlere btäde vo eem Lagemaß Mttlere abolute bwechug vom Meda (mea abolute devato (from the meda) - MD) MD Mttlere abolute bwechug vom arthmetche Mttel (M) (mea abolute devato (from the mea) -MD) M Meda der abolute bwechuge vom Meda (meda abolute devato - MD) MD meda( ) Statt für SozologIe 9 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug 5

6 btäde vo eem Lagemaß Varaz (varace) erechug vo Streuugmaße bolute Quadraterte bolute Quadraterte bwechug bwechug bwechug bwechug bwechug bwechug Nr. Gruppe vom Mttel vom Meda vom Mttel Nr. Gruppe vom Mttel vom Meda vom Mttel ( ) De mttlere quadrerte bwechug vom arthmetche Mttel Häufg wrd auch tatt durch durch - dvdert (Erlärug folgt m.semeter) 4-3, 0,0 70,3-6, 6,0 57,6 34-3, 0,0 9,3 35 -,,0 4, , 0,0 9, , 3,0 9, ,,0 4, ,0 0,0 0, ,,0 97, ,,0 4, 6 3-5,,0 5, ,,0, 7-6, 3,0 57, ,0 0,0 0, ,,0, , 3,0 9, , 4,0 49, ,,0 4, 0 3-5,,0 5, ,0,0 3,8 34-3, 0,0 9,3 57 0,0 0,0 398,0 38,0 4,0 0,9 37 0,0 0,0 0,0 3-5,,0 6, ,,0, ,0 9,0 54,4 4 38,0,0 0, ,0 0,0 87, ,0 0,0 0, ,0 7,0 94, , 3,0 9, ,,0 97,4 7 38,0,0 0, ,0 3,0 398,0 8 39,0,0 3, ,0 0,0 87, ,0 3,0 8, ,0 0,0 87, ,0 5,0 4,5 Summe: Summe: 0,0 9,0 893,0 0,0 67,0 74,0 9,55 44,6 3,35 37,0 MD Varaz MD Varaz Statt für SozologIe 3 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe 3 5. Maßzahle der Lage ud Streuug bgeletete Streuugparameter Stadardabwechug (tadard devato) ( ) Varatooeffzet ato oe e t (coeffcet c e of varace) a v bzw. v 00 edeutug de Varatooeffzete Ee Stadardabwechug vo 300,- bem moatlche Eomme t eer Geellchaftchcht mt eem Durchchtteomme vo.500,- vo weetlch größerer edeutug al eer Gruppe vo Eommebezeher, de m Moatdurchchtt.400,- verdee. I der erte Gruppe t der Varatooeffzet 0%, währed er der zwete Gruppe ur,5% beträgt, obwohl de Stadardabwechug bede Gruppe glech groß t. Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Volatltät De Volatltät glt al Echätzug de üftge Ro eer te. l Maß für de Volatltät verwedet ma häufg de Varatooeffzete epel: Im Durchchtt über 50 Hadeltage betrug der mttlere Kur eer te 50,59 be eer Stadardabwechug vo 36,8. Über de elbe Verglechzetraum t betrug der mttlere Kur eer te 396,0 be eer Stadardabwechug vo 8,96. Obwohl de Stadardabwechug der te deutlch gerger t, mu e Ivetor her mt eem größere Ro reche al be der te, de wrd durch de Varatooeffzete quatfzert: VK 36,8/50,59*007% VK 8,96/396,0*0046% Rechebepel: Reatozete -q ab( -q) ab( -med) ( -q)² 0,30 0,04 0,04 0,035 0,0076 0, -0,05 0,048 0,055 0, ,9-0,07 0,068 0,075 0, ,7 0,0 0,0 0,005 0, ,3 0,06 0,06 0,055 0, ,30 0,04 0,04 0,035 0, ,6 0,00 0,00 0,005 0, , -0,04 0,038 0,045 0, ,3 0,05 0,05 0,045 0, ,0-0,06 0,058 0,065 0,00336 Summe,58 0,00 0,44 0,40 0,096 rthmetche Mttel (q) Meda (med): 0,58 0,65 MD: 0,040 Mttlere abolute bwechug vom Meda M: 0,044 Mttlere abolute bwechug vom arthmetche Mttel MD: 0,0450 Meda der abolute bwechuge vom Meda Varaz: 0,0096 Stadardabwechug: 0,04686 Varatooeffzet: 8,% Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug 6

7 Iterpretato De gabe der Stadardabwechug erfolgt oft der Form ±σ Im epel: 0,58±0,047 Uter der ahme eer Normalvertelug (Form der Häufgetdchte etprcht eer Gloceurve) [Detal m SS] lege ca. 95% der Datepute eem erech vo ± σ lteratve erechugformel () () (3) ( ) Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug lteratve erechugformel m epel ² 0,30 0,09 0, 0,04 ( ) 3 0,9 0,04 4 0,7 0,07 (/0)*0,69-0,58² 5 0,3 0,0 0, ,30 0,09 7 0,6 0,07 8 0, 0,05 9 0,3 0,0 0 0,0 0,04 Summe,58 0,69 rthmetche Mttel (q) (/0)*(0,69-,58²/0) 0,58 0,0096 Egechafte der Varaz "Steer cher Verchebugatz" ( a) ( ) + ( a) uwrug u learer e Traformatoe at o ( ) ( ) y a+ b y b Verchebug-Ivaraz (/0)*(0,69-0*0,58²) 0,0096 Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Varazermttlug au Telpopulatoe Telg eamthete, :,,, mt y, y,, y mt y p + + ( ) + ( ) + + p + + ( ) ( ) p + p + p + p epel: Ermttlug de Mttelwerte au Telgeamthete E lege Date au etrebe ud vor: 400 getellte au etreb verdee moatlch m Mttel.90, getellte au etreb verdee moatlch m Mttel.0,7 Da beträgt der Geamtmttelwert ach dem Przp de gewogee arthmetche Mttel:.959,98 Geamte Varaz t da gewchtete Mttel der Telvaraze plu dem gewchtete Mttel der quadratche bwechuge der Gruppemttel vom Geamtmttel (V tot V wth +V betwee ) , ,7 μ Statt für SozologIe 4 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe 4 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 7

8 epel: Ermttlug der Varaz au Telgeamthete Da Eomme der 400 getellte au etreb hat ee Stadardabwechug vo 0,3 Da Eomme der 300 getellte au etreb hat ee Stadardabwechug vo 4,98 Da beträgt de Stadardabwechug der getellte beder etrebe zuamme: 30, ,3² ,98² ² (90,84 959,98)² (0,7 959,98)² ,76 050,76 30,9 Stadarderug Gegebe ee eobachtuge,..., mt Mttel ud Varaz Geucht t ee leare Traformato za+b, o da für de traformerte Date da arthmetche Mttel 0 ud de Varaz wrd. z + a b z + 0 z Uterchede: - () /( () - () ) bldet [0,] ab Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug epel zur Stadarderug -q z ( -q)/ z ² 0,30 0,04 0,8963 0, , -0,05 -,043, ,9-0,07 -,45, ,7 0,0 0,56 0, ,3 0,06,330, ,30 0,04 0,8963 0, , , ,047 0, , -0,04-0,809 0, ,3 0,05,097, ,0-0,06 -,377, Summe,58 0,00 0,00 0,00 rthmetche Mttel (q): 0,58 Varaz(z): Stadardabwechug (): 0,04686 Stadardabwechug (z): erechug be drete Date Trete ur uterchedlche Werte,..., mt zugehörge abolute Häufgete,..., bzw. relatve Häufgete h,..., h auf, o ergbt ch de Varaz al: ( ) ( ) h ² ² h ² Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug erechug Varaz drete Date e Würfe mt dem Würfel wurde folgede Ergeb beobachtet: 5, 3, 4, 5, 5,, 6,, 4,, 3, 6 De Summe der ugezahle t 45. Der Durchchtt (da rthmetche Mttel) deer ugezahle t 3,75. De Summe der quadrerte ugezahle beträgt Demach t de Varaz: /(03 *3,75²),85 erechug mttel Häufgete h h ² -q ( -q)² ( -q²)h ( -q²) 0,7 0,7 -,75 7,56,6 5,3 0,08 0,7 4 -,75 3,06 0,6 3,06 3 0,7 0, ,75 0,56 0,09,3 4 0,7 0, ,5 0,06 0,0 0, ,5,5 5 75,5,56 0,39 4,69 6 0,7,00 7,5 5,06 0,84 0,3,00 3, ,85 34,5 rthmetche Mttel 3,75 Varaz,85 lteratv: 03/-3,75²,85 ² ² Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug 8

9 erechug be lafzerte Date Sd de Date Klae egetelt, a ma de Varaz ur äherugwee bereche, dem ma mt de Klaemttelwerte m,..., m arbetet. ( m ) ( m ) h bzw. m m h Rechebepel:Varaz be lafzerte Date Vo zahl m h m *h m ² *h 0 0, 0, 0, ,3 0,96, ,3,9, ,6, ,08,8 0,48 SUMME 00 5,88 5 Varaz 6,4 (5-5,88²) Stadardabwechug 4,05 Varatooeffzet 0,69 Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug Statt für SozologIe Maßzahle der Lage ud Streuug epel Körpergröße vo 00 Studete Klae h m m h m ²h b ,00 (50-55] 3 0,03 5,5 4,58 697,69 (55-60] 4 0,04 57,5 6,30 99,5 (60-65] 0 0,0 6,5 6,5 640,63 (65-70] 6 0,6 67,5 6, ,00 (70-75] 3 0,3 7,5 39, ,94 (75-80] 0 0,0 77,5 35,50 630,5 (80-85] 0, 8,5 0, ,69 (85-90] 0 0,0 87,5 8,75 355,63 (90-95] 0,0 9,5,93 370,56 (95-00] 0,0 97,5 3,95 780, , ,75 Mttelwert 73,80 Varaz 30.94,75-73,8²88,3 Eate erechuge auf a der Urlte 00 Summe Summe ² rthmetche Mttel 74,4 Varaz 83,78 Stadardabwechug 9,5 Statt für SozologIe 5 5. Maßzahle der Lage ud Streuug Sheppard-Korretur E lät ch theoretch zege, da be eer umodale Vertelug de auf der a der lafzerte Date berechete Varaz größer t al de au de Orgaldate. e eer Klaeetelug mt otater rete Δ a der Fehler mt der og. Sheppard-Korretur aäherd augeglche werde: Δ σ² orr. σ² 5 σ ² orr. 88,3 86,3 Statt für SozologIe 5 5. Maßzahle der Lage ud Streuug 9