DESKRIPTIVE STATISTIK

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1 ue botattk: dekrptve tattk /9 DESKRIPTIVE STATISTIK Stchprobeumfag:..rd üblcheree mt agegebe ud etprcht der Geamtzahl der erhobee Date ee Dateatze, oder auch de Geamtzahl der durchgeführte Veruche. Im allgemee mmt mt zuehmedem Stchprobeumfag auch de Geaugket eer Auage zu, allerdg t de met auch mt zuätzlchem Aufad verbude. Wertevorrat: I der mathematche Notato t da e chtger Begrff. Daruter verteht ma de Azahl der möglche Ergebe ee Veruch. Z.B. der Wertevorrat de Epermete Würfel erfe t {,,3,4,5,6}. LAGEPARAMETER Arthmetche Mttel oder h( ). h( )...Häufgket de Auftrete vo Mttlere Abechug d, de mttlere Abechug t 0 ud daher ke geegete Maß um de Streuug der Date zu quatfzere Mttlere abolute Abechug vom arthmetche Mttel vom Meda d ~ d~ De abolute Abechug berechet ch al der Betrag der Abtäde der ezele Werte vom Meda oder arthmetche Mttelert. Se t robuter al de

2 ue botattk: dekrptve tattk /9 Stadardabechug. I der Regel rd de Abechug vom Meda veredet, da da arthmetche Mttel eger retet gegeüber Aureßer t. Bele rd tatt der mttlere Abechuge auch der Meda der Abechuge verede, da de Mttelug auch eder afällg gegeüber Aureßer de Date t. Erartugert: Der Erartugert t der ahre arthmetche Mttelert der zugrudelegede Vertelug. E X ) µ. p( ), p( ) Wahrchelchket vo ( Gechtete arthmetche Mttel: be mehrere Meuge de Mttelerte erfolgt de Wchtug mt de Kehrerte der eelge Varaze, Geometrche Mttel: G... bz. lg G lg, alle > 0 e Ezelerte vorlege, de elbt cht ormalvertelt d, aber hre Logarthme. Harmoche Mttel: h, h, bz. h, für alle 0, d Wchtugfaktore rd z.b. veredet zur Berechug der Durchchttletug, e uterchedlche Arbetehete derelbe Zetehet erbracht orde d. Sd de Zetehete uterchedlch, da d etprechede Wchtugfaktore azubrge. Bepel: E Autofahrer fährt taubedgt 0 km mt eer Gechdgket vo 0 km/h ud daach 0km mt 60 km/h. Wa t de Durchchttgechdgket? De Durchchttgechdgket beträgt cht, e ma rrtümlcheree mee köte (0 + 60)/ 40km/h km/h, oder v /(/0 + /60) 30km/h. De

3 ue botattk: dekrptve tattk 3/9 Nachrechug zegt, da der zurückgelegte Weg vo 0km ½ + /6 Stude tatächlch eer Gechdgket vo 30km/h etprcht. Hadelt e ch be dee Betrachtuge um uterchedlch lage Wegtrecke, o d de Gechdgketbeträge etpreched zu gechte. De Fahrt ach We be eer Geamttrecke vo 60km, ovo 50 km mt dem Zug 3 Stude ud de retlche 0 km der Stadt eer Stude zurückgelegt erde, ergbt ee Durchchttgechdgket vo v 60/4 675 km/h. De Wchtugfaktore ergebe ch au de ezele Streckeabchtte, 50; 0, bz. ormert 50/60; 0/60 (Nachreche!). Modu oder Modalert Der Modu oder Modalert t der häufgte Wert eer Häufgketvertelug. Da ee Vertelug mehrgpfelg e ka, köe eer Vertelug auch mehrere Mod zugeordet e Perzetle ud Quartle Da p.00-te Perzetl t der Wert mt der Ordugzahl p (+) mt 0 < p <. Da 50gte Perzetl, oder da 0,5 Quatl, t der Meda. So t z. B. da 50. Perzetl für 80 mt 0,5 (80+) 40,5 der Mttelert au dem 40. ud 4. Wert der aufteged geordete 80 Meßerte, da 0. Perzetl are da demetpreched 0,(80+) 8, der achte Wert. Da. Quartl Q 0,5 t omt da 5. Perzetl, der Meda da 50. Perzetl, da 3. Quartl Q 0,75 da 75. Perzetl. Aaloge glt für Dezle. (Iter-)Quartlabtad ((ter-)quartle rage) Hat ma de Quartle Q 0,5 ud Q 0,75 berechet, o bezechet ma dere Dfferez al Quartlabtad (QR) oder Iterquartlabtad (IQR): IQR oder Q R Q 0,75 Q 0,5 Ierhalb de QR komme 50% aller Meerte zu lege, er t - e auch der Meda bz Q 0,50 - uempfdlch gegeüber Aureßer. Meda oder Zetralert: ~ ( Schlage)... t der mttlere Wert eer geordeter Daterehe. Be ugerader Azahl t der Meda der mttlere Wert, be gerader Azahl der Datepukte t der Meda der arthmetche Mttelert der bede der Mtte tehede Ezelerte. Der Meda rd durch etrem legede Werte kaum beeflut m Gegeatz zum arthmetche Mttelerte, der tark beeflut rd. De Aureßeruempfdlchket de Meda et ma Robuthet. We ee Klaeetelug vorlegt, ud de ezele Datepukte cht bekat d, da rd der Meda durch leare Iterpolato gechätzt Meda für klaerte Date: rd durch leare Iterpolato ermttelt

4 ue botattk: dekrptve tattk 4/9 ( f ) ~ ~ / + U b fmeda U ~ utere Klaegreze der Medaklae b Klaebrete Azahl der Werte ( f ) ~ U Summe der ab. Häufgketerte aller Klae uterhalb der Medaklae Azahl der Werte der Medaklae f Meda ~ U STREUUNGSPARAMETER Uter Streuug fat ma der dekrptve Stattk verchedee Maßzahle zuamme, de der Echätzug der Streubrete vo Stchprobeerte um hre Mttelert dee. De verchedee Berechugmethode uterchede ch przpell durch hre Beeflubarket bz. Empfdlchket gegeüber Aureßer. Spaete R (rage) De Spaete t da efachte Streuugmaß; Se etprcht der Dtaz zche dem größte ud dem klete Meert: R ma m R t aufgrud der Tatache, da - uabhägg vo der Stchprobegröße - ur ze Werte (de o geate Etremerte) berückchtgt erde, cht robut gegeüber Aureßer. Varaz der Vertelug bz. Grudgeamthet ( µ ) V ( X ) σ µ t der Erartugert der Vertelug, der Umfag der Grudgeamthet Epermetelle Varaz. ( ) Dee t e Schätzert der Varaz au dem Mttelert der Stchprobe. t der Stchprobeumgag Stadardabechug

5 ue botattk: dekrptve tattk 5/9 De Stadardabechug t de Wurzel au der Varaz; Damt hat e de gleche Dmeo e de Varaz. Se t da bevorzugte Streuugmaß be quattatv tetge, ymmetrch vertelte Date. De Stadardabechug darf ur be quattatve Merkmale berechet erde. Be ormalvertelte Date lege eta /3 der Meerte erhalb de Itervall µ ± σ ud eta 95 % erhalb de Itervall µ ± σ ( ) Mt der Dvo durch - rd de Schätzug der Stadardabechug erartugtreu. Für de praktche Berechug eget ch folgede Formel beer: ( ) Be klaerte Date (k Klae) rechet ma mt de Klaemtte ud de Klaehäufgkete. t de Geamtzahl aller Beobachtuge. k ( k ) Stadardabechug oder Stadardfehler de Mttelerte (SEM tadard error of the mea) SEM ( ) Schefe (Skee) De Schefe etprcht dem 3. zetrale Momet. Berechet rd e be quattatve Merkmale ach der Formel:

6 ue botattk: dekrptve tattk 6/9 g ( ) 3 Be ymmetrche Verteluge hat de Schefe de Wert 0. Fall g > 0, t de Vertelug rechtchef (oder lkgpfelg). Fall g < 0, t de Vertelug lkchef (oder rechtgpfelg). Varatokoeffzet CV (coeffcet of varato) CV / AM; Der CV t de relatve Stadardabechug bezoge auf de Mttelert, d.h. da Verhält /AM. Met rd der CV % agegebe. 3 GRAPHISCHE DARSTELLUNG (telee au der Hlfe vo Sgma Plot) D Plot Type Scatter, Le, ad Le/Scatter Plot Scatter, le, ad le/catter plot graph data a ymbol, a le oly th o ymbol, or a ymbol ad le. Le hape ca be traght egmet, ple, or tep. Add drop le to ether a to ay of thee plot type, ad add error bar to plot th ymbol. Dra lear or polyomal regreo th cofdece ad predcto terval for each curve. Area Plot Ug area plot, you ca fll a area uder a curve th a color makg the curve eaer to ee. You ca oret the fll up, do, left, or rght. If your curve a cloed polygo, you ca alo fll the polygo. You ca have multple curve (plot) o a page, o you ca tack Area Plot. Htogramme (Bar Chart) Htogramm

7 ue botattk: dekrptve tattk 7/9 Über ee Stchprobe mt reelle Meerte,..., rd zuächt e Itervall [a,b] gelegt, da alle Meßerte ethalte. Dee Itervall rd durch k glech große Teltervalle K,...,K der Läge L (b-a)/k zerlegt. Über eder Klae K rd e Rechteck der Höhe h errchtet. h h h 3 h 4 a K K K 3 K 4 b Für de Höhe h de Itervall K d üblch: / /L abolute Häufgket Azahl der der Klae K relatve Häufgket Dchtechätzug Mt der Agabe vo /L auf der Ordate rd de durch da Htogramm deferte Treppefukto ee Dchtefukto, d.h. h( ) d. Da erlaubt de Verglech mt über da Htogramm gelegte theoretche Dchte. b a Wahl de Itervall [a,b] ud der Klaezahl k: I vele Stattkprogramme gbt e ee automatche Betmmug vo [a,b] ud der Klaezahl k, ach cht mmer gaz klare Regel. De Klaezahl rd be gerge Stchprobe met zu groß geählt. Für de mauelle Fetlegug der Klaezahl gbt e folgede efache Regel: [a,b] [m( ), ma( )], für 00 k 0log( ) für > 00 Bar chart plot data ether a vertcal or horzotal bar. They orgate from zero ether a potve or egatve drecto. Smple bar chart plot each ro of data a a eparate bar, ad grouped bar chart plot multple colum of data by groupg data the ame ro. Stacked bar chart plot data a egmet of a bar; each data pot dra a a bar egmet tartg here the prevou data pot eded. Ue the Graph Properte dalog bo to modfy bar dth, bar fll color, ad bar fll patter. Add error bar to mple ad grouped bar chart.

8 ue botattk: dekrptve tattk 8/9 Bo ad Whker ("Schachtel Schurhaar") Emprche Quatle: I eer geordete Stchprobe () () (3).. () mt 0 p heßt q p /.( ( p) + ( p) + ) fall p gazzahlg ( p + ) fall p cht gazzahlg da p-te emprche Quatl oder p-te emprche Perzetl. Bedeutug vo q p : ca. 00.p% der Meßerte d kleer al q p. De emprche Quatle häge eg mt der emprche Vertelugfukto zuamme. Dee t für ee Stchprobe,.., durch defert. { Azahl der } R Fˆ ( ) Fˆ t ee Treppefukto, de be edem Stchprobe ert () der geordete Stchprobe () () (3).. () um de Wert / ächt ud zche de Stchprobeerte kotat blebt. / p 0,6 / / / / () () (3) (4) (5) q p (6) (7) Der Boplot t ee graphche Dartellug eer Stchprobe, de auf emprche Quartle beruht. m( (), q 0,75 +,5 IQR) q 0,75 q 0,50 (Meda) q 0,5 ma( (), q 0,5 -,5 IQR) Aureßer

9 ue botattk: dekrptve tattk 9/9 Aureßer oder Etremerte Dee köe real oder auch ur Artefakte e, z.b. Meß- oder Schrebfehler. E gbt verchedete Tet um Aureßer zu detfzere, de mete rgede auf Aahme über de zugrude legede Vertelug aufbaue. Jedefall muß mmer chergetellt erde, da cht e etremer Wert rrtümlcheree vorchell etfert rd, der e realer Meßpukt ud damt ee chtge Iformato e köte. Ee Methode (uter vele): Aureßer, fall außerhalb de Itervall [Meda ± 3 IQR] legt. Bo Plot Bo plot graph data a a bo repreetg tattcal value. The boudary of the bo cloet to zero dcate the 5th percetle, a le th the bo mark the meda, ad the boudary of the bo farthet from zero dcate the 75th percetle. Whker (error bar) above ad belo the bo dcate the 90th ad 0th percetle. I addto, you ca graph the mea ad outlyg pot. You eed a mmum umber of data pot to compute each et of percetle. At leat three pot are requred to compute the 5th ad 75th percetle, fve pot to compute the 0th percetle, ad pot to compute the 5th, 90th, ad 95th percetle. If SgmaPlot uable to compute a percetle pot, that et of pot ot dra.