Folgende Axiome definieren den linearen Vektorraum (vgl. Vorlesung lineare Algebra):

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1 5. Abstrate Forulerug der M 5Wo_AoForulerugM_3/4-5-5 Frage: Verbrgt sh hter de Kaptel 4 behadelte äquvalete Beshrebuge des Zustades ees quateehashe Telhes t Hlfe der Wahrshelhetsapltude (r,t) ud φ(p,t) ee tefere atheatshe Strutur? Estere wetere "Darstelluge der M"? 5. Learer Vetorrau (VR) F Folgede Aoe defere de leare Vetorrau (vgl. Vorlesug leare Algebra): Abgeshlossehet Für zwe Vetore, y sd Addto ud Multplato t reelle Zahle α ud β defert: Sd, y Œ F, so st auh z α β y Œ F. (5.) Salarprodut Defert als Vorshrft, de zwe Vetore ee reelle Zahl zuordet. Notato: y (5.) Egeshafte: y y, 0, z ( α βy) α z βz y, α, β - reell. (5.3) Der reelle Salar / ( ) wrd Betrag oder Nor des Vetors. Zwe Vetore ud y heße orthogoal, we y 0 für 0, y 0. Bass ud Vollstädget Es estere Sätze vo Vetore{ e }, de orthoorert sd, d.h. e e δ,,,. Dese blde ee sogeate Bass F. Vollstädget bedeutet: Jeder Vetor Œ F st als Learobato der Bassvetore darstellbar e, e. (5.4)

2 De Etwlugsoeffzete sd de Salarprodute der Vetore ud Der Spaltevetor e. aus de Etwlugsoeffzete wrd als Darstellug des Vetors Œ F zur Bass { e } bezehet. Whtg: I Abhägget vo der Wahl der Bass sd offeshtlh utershedlhe, äquvalete Darstelluge vo Œ F öglh. Obete, de de Aoe des leare VR erfülle sd (z.b.):. Bespel: Vetore dredesoale Euldshe Rau, 3 (vgl. MMP) (5.) Vetoraddto (Kräfteparallelogra) ud Multplato ees Vetors t eer reelle Zahl sd erlärt. (5.) Das Salarprodut (Läge ees Pfels ultplzert t der Läge der Proeto des adere Pfels) st erlärt. De Egeshafte (5.3) sd erfüllt. (5.4) De Ehetsvetore e, e y ud e z blde ee vollstädg orthoorerte Bass. De Darstellug des Vetors r zur Bass e, e y, e z (Kopoetedarstellug) lautet r e ye z e, y z r y (,y,z) z T. Wr ee opatere Notatoe uter Verwedug der Sueoveto: 3 r e e, r e, r (, 3, 3 ) T oder für das Salarprodut: a b 3 a b a b

3 . Bespel: De [0, L] stetge reelle Futoe f() t f(0) f(l) 0. (5.) Mt f() ud g() st auh h() α f() β g() stetg ud reell [0, L] t h(0) h(l) 0. (5.) E etsprehed der Vorshrft L d f ()g() : (f,g) defertes Salarprodut 0 Notato erfüllt alle uter (5.3) geforderte Egeshafte. π (5.4): Möglhe Bassfutoe sd z.b. () s,,, 3,, da L L ( δ. (Übugsblatt), ) De Vollstädget, d.h., de Etwelbaret eer belebge f() ah () bedeutet L () 0 f () () t (,f ) d f () für belebge f() aus de Vetorrau. I Fall perodsher Futoe f() f(l) st das Gegestad der Theore der Fourer- Rehe. Beahte: () I zwete Bespel werde Futoe als Vetore ee -desoale VR aufgefasst. () We e erste Bespel, st f () (,,...,,...) t (,f ) T zwete Bespel ee vo vele öglhe vershedee Darstelluge e ud desselbe "Vetors f()", älh de zur her gewählte Bass { () }. VONS aus orthogoale Polyoe sd adere Bespele für Base, ah dee f() ee Rehe etwelt werde a. () De Bass { () } besteht aus de orthoorerte WF für de d Bewegug ees qt uedlh tefe Potezaltopf. Das brgt us auf de Gedae, alle Wellefutoe öte als Eleete ees leare Vetorraus / Futoeraus t geeget deferte Salarprodut aufgefasst werde. Frage: We gehe wr dat u, dass de WF Gegesatz zu de ople sd ud vo ehrere Varable abhäge öe? f () F allgeee 3

4 5. Hlbert-Rau. Dra-Notato Wr führe folgede odfzerte Defto des Salarproduts für oplewertge Futoe φ() ud () ehrerer uabhägger Varabler e: Notato f d φ () () : ( φ, ), (,,..., f ) (5.') Egeshafte: () ( φ, ) ( φ, ), (5.'') f f f de ( φ, ) d φ () () ( d φ() () ) ( d () φ() ) (, φ) Also: Rehefolge ( φ, ) beahte!. () (, ) 0, ah Norerug (, ). () φ, α β ) α( φ, ) β( φ, ) lear bzgl. des htere Fators ( α φ βφ, ) α ( φ, ) β ( φ, ) atlear bzgl. des vordere Fators ( wobe u α, β ople. (v) Bass: Es estert destes e vollstädg orthoorertes Syste vo Bassfutoe {u ()} ( VONS), so dass für belebge Œ H ( u δ,u ) ud ) ( a t a (u, ) für Œ H. (5.4'') u () Mt φ( ) b u () folgt (, φ) d f a u () b u (), a b f d u () u () δ VONS a b. (5.5) Der uedlh desoale leare ( Superpostosprzp) Vetorrau t de Salarprodut (5.'') t de Egeshafte (-v), heßt Hlbert-Rau H. 4

5 Dra-Notato Zur Verefahug der Shrebwese führte Dra folgede opate Notato e: bezehe de Zustadsvetor (ZV) / de Wellefuto H uabhägg vo der Darstellug eer bestte Bass. Ee Darstellug vo ud φ zu eer spezell gewählte Bass {u ()} a b a : a geäß ( ) a u () ud φ b : b geäß φ( ) b u () a als Spaltevetor (Matr) t abzählbar uedlh vele Eleete aufgefasst werde. Da st das Salarprodut (5.5) (, φ) a b a b a b als Produt vo Matrze erlärt. Wr defere t (5.6) de zu adugerte ZV. Da öe wr das Salarprodut der For (, φ) a b φ : Dra, φ otere. I Se vo, φ φ sprht Dra vo Ket-Vetor, urz Ket..., ud braet bra et Bra-Vetor, urz Bra.... Beahte: () I der Darstellug vo zur Bass {u ()} st a. () (), de ( a ) a ud α α / st de Nor des Kets, α oplee Zahl. 5

6 Bra-Vetore sd Eleete des zu H duale Raus H der leare Futoale (z.b. des Salarproduts). Das Salarprodut, φ bezehet de oplee Zahl, de das leare Futoal ee Ket φ zuordet. De Dra-Notato a, a t de VONS { }, d.h. ' δ' st äquvalet zur Shrebwese f ( ) a u (), a (u, ) d u() () t de VONS { u ()}, ( u,u ) δ für belebge Œ H. 5.3 Operatore Hlbert-Rau E Operator ˆ st ee Vorshrft, de ede Ket H ee eue Ket ' H ' ˆ : ˆ H (5.7) zuordet. De der M betrahtete Operatore sd lear, deshalb glt ( α φ β ): αˆ φ βˆ φ ' ˆ, H, α, β - oplee Zahle. (5.8) Ehets- ud Nulloperator sd über ˆ bzw. 0ˆ für alle H defert. 6

7 Bespele, ud F(r,t) als Multplatore,,,, Δ ; t (p,r) ˆ ( h,r) (r,t) oder (p,r) ˆ (p, h p) φ(p,t) ; h Ĥ U(r, t), pˆ h, usw. usf. Aus der Vollstädgetsrelato ( Dra-Notato) folgt t a a für alle H. Also st e Operator t ˆ "ahrhafte " (5.9) ˆ st der zu Ket ˆ gehörede Bra. Deshalb glt ˆ ˆ ( ˆ ) ˆ. Bewes: Multplato vo Matrze, s.u. Mere: Wll a de leare Operator ˆ aus de Bra ˆ herauszehe, uss a h durh ˆ ersetze ud rehts vo Bra afüge. Dagege st der der Ausdru ˆ ht defert, de der Bra H! Matrzedarstellug vo Operatore (vgl. Vorlesug leare Algebra) Das Salarprodut φ ' φ ˆ φ ˆ st.a. ee oplee Zahl. Be Verwedug vo Eleete ees VONS { } Bra ud Ket werde de oplee Zahle ˆ ' Matreleete des Operators ˆ zur Bass { } (5.0) 7

8 Matreleete des Operators ˆ zur Bass { } geat. Wr erhalte de Matrzedarstellug des Operators ˆ zur Bass { } ˆ Matrzedarstellug des Operators ˆ zur Bass { } quadratshe Matr t abzählbar (dsrete Bass) oder überabzählbar (otuerlhe Bass) vele Zele ud Spalte. Das ee wr aus der leare Algebra: E learer Operator t dsrete Spetru (edlh oder abzählbar uedlh vele Egewerte) a als Matr auf ee (edlh bzw. uedlh desoale) Vetorrau dargestellt werde. Bespel Matr-Darstellug vo ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ' ' ˆ. Uter Verwedug der Etwlugsoeffzete b ud a folgt b ˆ a a ' '. Also wrd aus der darstellugsuabhägge Bezehug ' ˆ uter Verwedug der Bass { } de Matrdarstellug vo, ˆ ud etsprehed b a, also b b b a... a... a 8

9 De Egewertglehug (EWG) für de Operator ˆ st ˆ (5.) q t de Egefutoe/Egevetore (EW/EV) zu Egewert (EW) q vo ˆ. Aus ˆ q ˆ ˆ ˆ q ˆ folgt [ ] 0 ˆ q bzw. ( ˆ qδ),, ud da de lear uabhägg sd (VONS!) erhalte wr ( ˆ q δ ) 0 für alle. (5.') Deses Syste aus edlh oder abzählbar uedlh vele hoogee leare algebrashe Glehuge zur Bestug der hat ur da httrvale Lösuge, we de Deterate det ( ˆ q δ ) det ( q δ ) 0 vershwdet. Sd de Matreleete beat, lasse sh aus der haraterstshe Glehug de EW q beste. Da werde für edes q aus (5.') de Koeffzete erttelt. De zu EW q gehörede EF st. 9

10 Beerug: Be otuerlhe Spetru, also otuerlher Bass { }, wäre astelle vo (5.') de Itegralglehug d q zu löse. ˆ Beahte: Ageoe, de EF { } des Operators ˆ blde e VONS. Wrd der leare Operator ˆ zur Bass seer EF dargestellt, so st de darstellede Matr dagoal ud auf der Dagoale stehe de EW vo ˆ, de ˆ ˆ q q q δ. De Bestug der EW st also äquvalet zur Dagoalserug der Matr. Produte vo Operatore. Der Koutator Def.: ( Bˆ )  ( Bˆ )  (5.) I Allgeee sd Operatore ht vertaushbar. De Dfferez [ Â,Bˆ ] : ÂBˆ Bˆ  (5.3) wrd Koutator der Operatore  ud Bˆ geat. Bespele, 0 (für stetge WF) ˆ,pˆ Ortsd. [ ] h h h h h oplee Zahl 0

11 , δ δ Ortsd. ˆ,pˆ also [ ] h δ (5.4) Be.: Verglehe t de fudaetale Posso-Klaer aus der KM. Kopoete des Bahdrehpulses Drehpuls L r p Korrespodez przp Lˆ rˆ pˆ Orts darst. h r Für de Koutator der Operatore der Kopoete des Drehpulses erhalte wr [ Lˆ,Lˆ ] [ y pˆ z pˆ,z pˆ pˆ ] [ y pˆ,z pˆ ] [ ypˆ, pˆ ] [ z pˆ,z pˆ ] [ z pˆ, pˆ ] ypˆ y [ pˆ z,z] pˆ y [ z,pˆ z ] h(pˆ y ypˆ ) h Lˆ z 3 h z y 3 h z z z z 443 Null y 443 Null y z [ Lˆ,Lˆ ] ε Lˆ h (5.5) pˆ Für de Haltooperator Ĥ U(r) ees qt be Bewegug U(r) st h [ Ĥ,ˆ ] pˆ ud [ Ĥ,pˆ ] U U(r), h h (5.6) Matreleete vo  Bˆ ( Bˆ )  Bˆ  ˆ Bˆ  Bˆ A B Â, (5.7) also Matrzeultplato.

12 Nützlhe Relatoe () [  Bˆ,Ĉ] Â[ Bˆ,Ĉ] [ Â,Ĉ]Bˆ   () e Bˆ e Bˆ [ Â,Bˆ ] [ Â, [ Â,Bˆ ]]...! Baer-Hausdorff-Idettät   wobe der Ausdru e durh de Potezrehe e :  defert st! (vgl. Übugsblatt). 0 A deser Stelle se a ee whtge Satz aus der leare Algebra erert: Satz: Zwe leare Operatore habe geau da ee geesae VONS vo EF, we se outere. Bewes: ( ) Ageoe,  ud Bˆ habe ee geesae VONS vo EF { }, d.h.  a ud b Bˆ. Da glt für alle H  Bˆ Vollst.  Bˆ  Bˆ  b b  b a bzw. Bˆ Â... a b. Also st we zu bewese  Bˆ Bˆ  0, für belebge, de de EW sd als.a. oplee Zahle belebg vertaushbar. ( ) Se [ Â,Bˆ ] 0. Da st t auh also EF vo Â, de  ( Bˆ ) Bˆ  Bˆ a a ( Bˆ ). Bˆ Lösug des EWP  a,

13 Ageoe, der EW a st ht etartet. Da etsprht h (bs auf Multplato t eer (Norerugs)Kostate) geau ee EF Bˆ ost : b., es uss also Das bedeutet, st auh EF vo Bˆ (zu EW b ). Für etartete Egewerte a, wrd der Bewes etwas aufwädger, da da Bˆ ost () () öglh st. Ageoe, a se -fah etartet ud {,..., } se ee Bass Egerau vo  zu dese a. We obe gezegt, sd alle () Bˆ,..., auh EF zu () Â, d.h. ah de { } etwelbar, d.h. Bˆ () (). () Wr behaupte, es estere EF vo Bˆ, de passede Learobatoe der () ud dat auh EF vo  sd: Wr suhe also φ derart, dass Bˆ φ b φ ud φ () glt. Da habe wr Bˆ φ Bˆ () () b ud Bˆ φ Bˆ () Bˆ () () ( ) also. ( ) () () b ud shleßlh b δ 0 Das führt auf das EWP ( b δ ) 0 für de Matr : 3

14 b b Es hat Lösuge; dese sd reell, we Bˆ e hertesher Operator st (s.u). Beahte, dass alle () φ () ( ) zwar derselbe EW a bzgl. Â, aber.a. utershedlhe EW b () bzgl. Bˆ etsprehe. Adugerte ud selbstadugerte Operatore. Herteshe Kougato f I Zusaehag t Operatore Salarprodut φ ˆ d φ () ˆ () defere wr de adugerte Operator ˆ. Def.: ˆ st der zu ˆ adugerte Operator, we für belebge Kets φ ud glt ˆ φ φ ˆ, φ, H (5.8) Bespel I L st de Defto vo f d (ˆ φ) f d φ ˆ ˆ für alle quadratsh tegrable φ ( ), (). Def.: ˆ heßt selbstadugert oder hertesh, we ˆ ˆ. (5.9) Egeshafte: () ( ˆ ) ˆ, ( λ ˆ ) λ ˆ ( λ C) () Mt  ud Bˆ st auh α  βbˆ, α, β C e selbstadugerter Operator. () de (  Bˆ ) Bˆ  φ ( ÂBˆ ) (ÂBˆ ) φ Â(Bˆ φ) Bˆ φ  φ Bˆ Â. 4

15 Also st das Produt aus zwe vertaushbare herteshe Operatore hertesh, de da st (  Bˆ ) Bˆ  Bˆ  ÂBˆ. Da eder Operator t sh selbst outert, st der Operator f (Â) hertesh, we  hertesh st ud de Futo f ee Potezrehe (Taylor-Rehe) etwelbar st. (v) [ Â,Bˆ ] [ ] Bˆ,  de [,Bˆ ] (Â,Bˆ ) (Bˆ, ) Bˆ   Bˆ [ Bˆ,  ] Â. Also st der Koutator aus zwe herteshe Operatore  ud Bˆ athertesh [ Â,Bˆ ] [ Bˆ, ] [ Bˆ, ] [ Â,Bˆ ]. Der Operator [ Â,Bˆ ] st folglh hertesh, we  ud Bˆ hertesh. h Bewese Se, dass pˆ h ud Ĥ U(r) herteshe Operatore sd. Z.B. h d r (r) φ(r) 3 d r (r) 3 h φ(r), zweal partell tegrere uter der Voraussetzug, dass (r) ud φ(r) Uedlhe vershwde. Be.: Herteshe Operatore werde durh herteshe Matrze dargestellt. Dere Dagoaleleete sd reell. Egewerte ud Egefutoe hertesher Operatore st Egefuto ( Egevetor, Egezustad) des Operators ˆ zu Egewert q, we se Lösug der Egewertglehug (5.), ˆ q, st. 5

16 I der leare Algebra werde folgede bede, für us whtge Sätze bewese: Satz: EW hertesher Operatore sd reell. Bewes: ˆ ˆ 0 (q q ˆ ) q q ˆ ) q q Da 0 folgt q q. Satz: EF hertesher Operatore zu vershedee EW sd orthogoal. Bewes: See de EW q ud q des ˆ ˆ etsprehed ˆ ud q ˆ ht etartet. Wr habe q q ˆ q q. ˆ ˆ q q ˆ Daraus folgt 0 (q q) bzw. 0 für q q. Auh we ehrere EF zu ee EW gehöre, also Fall der Etartug, öe de EF ees herteshe Operators er so gewählt werde, dass de Orthogoaltätsrelatoe erfüllt sd ( Hlbert-Shdt-Verfahre). 6