Graphische Datenverarbeitung
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- Maike Fischer
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1 Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Goethe-Uerstät, Frakfrt Graphsche Dateerarbetg Der Ekldsche Ra E -desoaler Ekldscher Ra se t R beechet. E Vektor dese Ra st e -Tpel, also ee geordete ste reeller Zahle: R t R,,, et a Koeffete oderkopoete Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 2
2 ee Vektor ee r Nllektor Speelle Vektore für ee Vektor glt da : E Vektor ka soohl als Pkt ekldsche Ra als ach als gerchtete e o Ursprg dese Pkt, also als Rchtgsektor, terpretert erde. Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 3 Aerkge Ekldsche Ra Der Ekldsche Ra st de Grdlage der klasssche ekldsche Geoetre Geoetre der Beegge: Traslato, Drehg, Spegelg oder ach eleetare Geoetre, erstals ssteatsch beschrebe de Eleete des Ekld 365.Chr. 3.Chr.. Isbesodere gelte her de klasssche Gesete der Trgooetre Wkelse, Sssat, Kosssat,..., Kogresäte, Ählchketssäte d sbesodere ach das Ekldsche Paralleleao: egt e Pkt P cht af eer Gerade g, da gbt es g gea ee Parallele p drch de Pkt P. Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 4 2
3 Nchtekldsche Räe Wer de Geoetre ersteht, der ersteht alles der Welt. Galleo Galle Erst 9. Jahrhdert gelag es, ee Rehe alterater Geoetre e de ellptsche Geoetre oder de hperbolsche Geoetre ssteatsch beschrebe, dee das ekldsche Paralleleao cht glt, sehr ohl aber de adere Hlbertsche Aoe der Geoetre. Isbesodere de Säte r Wkelse Dreeck, Flächehalt, Ufag ees Kreses, der Ss- d Kosssat,..a.. gelte da cht e der klasssche ekldsche Geoetre. Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 5 Addto: + Operatore af Vektore Ekldsche Ra R ltplkato t ee Skalar a R : a a a a R Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 6 3
4 Recheregel für Vektoroperatoe Ekldsche Ra Asso atgeset Kotat geset + + ab ab a + b a + b a + a + b Dstrbt geset Dstrbtgeset Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 7 Betrag ees Vektors egl. or Es gelte de folgede Regel : 2,,, a a + + Dreecks glechg Cach Schar Uglech g Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 8 4
5 Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Skalarprodkt Ekldsche Ra eres Prodkt, Pktprodkt I Ekldsche Ra st e Skalarprodkt defert: Es gelte folgede Regel:,, K, + + a a De lette Regel sagt: Ze Vektore stehe gea da sekrecht afeader sd orthogoal, egl. perpedclar e hr Skalarprodkt st. Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 9 Orthogoale Projekto ees Vektors De orthogoale Projekto ees Vektors af ee Vektor st glech 2 t Ee solche Projekto lefert ee orthogoale Dekoposto o d -, d.h. Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 5
6 Geoetrsche Iterpretato des Skalarprodktes - φ φ Der Vektor rd orthogoal af de Vektor projert. Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre Vektorprodkt Kreprodkt Das Kreprodkt eer Vektore, R 3 st defert als e Vektor t folgede Egeschafte: 2 3 tφ st derkleste Wkel d sφ,,, bldeerechtssste sche d φ û Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 2 6
7 7 3 Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Egeschafte des Vektorprodkts + + b a b a sch das Kreprod kt orthoora le Bass berechet eer I sd parallel d 4 Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker eare Uabhäggket o Vektore d Bass ees Vektorraes De Vektore sd gea da lear abhägg, e glt: Aderfalls et a de Vektore lear abhägg. We e Sat o Vektore lear abhägg st, da et a dese Vektore ee Bass des drch se afgespate Ekldsche Ras. Jeder Vektor deses Raes ka da als earkobato der Bassektore geschrebe erde:,,, R,,,
8 Speelle Base Ee Bass für dere Bassektore paarese glt j j heßt orthogoal. Glt sätlch, j j, j da heßt dese Bass orthooral. Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 5 Wetere Regel Für ee orthoorale Bass,,, d ee belebge Vektor pp,p,...,p - glt: p p Sehr häfg gett rd de Stadardbass e, be elcher der -te Bassektor e jeder Kopoete Nll st, t Asahe der -te Kopoete, de glech Es st dredesoale: e e, e e, e e Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker, Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 2 6 8
9 atre Uter eer atr o Tp, oder -atr ersteht a e rechteckges Schea o Zahle,,,,, t Zele d Spalte. Dabe sd de Eleete jk reelle oder ach koplee Zahle. heßt qadratsch, e glt. Vektore sd speelle atre o Tp,, geat Spalteektore oder,, geat Zeleektore. Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 7 De - atr K K O O K De -atr K K E heßt Ehetsatr O K Ee atr be der alle Eleete terhalb oder oberhalb der Haptdago ale glech ll sd, et heßt Nllatr Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker,,,, Speelle atre a Dreecksa tr.,, Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 8 9
10 T kj Traspoertetraspose adjgerte d adjkte adjot atre T, detraspoerte eer atr stee- atr beder glt jk für allek,,, j,, "Zele- d Spalteektore sd ertascht" Geht asätlch dekojgertkopleewerte über, soerhälta deadjgerte atr kj jk für allek,,, j,, Se d j j eade - te Rehedde j - te Spalte o strecht,da sd deeleeteder adjkte atr A adj a eer d + j j -atr desbdeterate cofactor, deaerhält Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 9 Wetere speelle atre Se ee -atr. * beeche de adjgerte atr für reelle atre glt T *: A heßt gea da selbstadjgert, e * A heßt gea da schefadjgert, e -* A heßt gea da tär orthogoal, e * * E A heßt gea da oral, e * *N De atre - sd oral. Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 2
11 Egeschafte tärer orthogoaler atre We ee täre orthogoale atr st, da glt: ± T st ach tär T e d Ntär orthogoa l sd, so st ach N tär orthogoa l Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker orthogoa l Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 2 Orthoorale d othogoale atre De Stadardba ss E e Beachte :ee orthogoal e atr st etas als e orthogoal er Sat o Vektore Bass. Ncht jeder orthogoal er Sat o Vektore Bass eregt ee orthogoal e atr. e e st orthoora l, de atr aderes E st orthogoal. Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 22
12 Für e -atre d N glt kopoeteeseaddto Recheregel: Operatoe af atre Addto A + N t aj j + j für,,, j,, + + N + + N + N N+ + Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 23 Operatoe af atre ltplkato Skalar-atr E Skalar a d ee atr köe ltplert erde, so daß das Prodkt T a t t j a j Recheregel: a b ab a a + b a + b a + N a + an Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 24 2
13 Operatoe af atre atr-atr Für de pq-atr d de qr-atr N also für erkettete atre st das Prodktatr T ee pr-atr t T N T N ttj j,, p, j,, r p q q, p, O, q p, q O q q q p,,, r O, r, r q, r Recheregel: N N + N N + N E E N N glt cht allgee Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 25 Deterate eer atr Für qadratsche atre sd Deterate defert: det D für für π sgπa 2 st 3 st 2 a det D det D 2 2,, sgπ das Voreche der etsprechedepertato a sd de Pertatoeder Zahle,2,,d 2 22 t Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 26 3
14 Spr Trace eer atr Uter der Spr tr der -atr ersteht a de Se der Haptdagoaleleete: tr a + a a Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 27 Wetere Egeschafte der Deterate Für 33-atre estert e teressater Weg de Deterate bereche. Beeche r de Spalteektore t,,, da glt :,, Ee Bass st gea da rechtshädg rght-haded, e hre Deterate post st bbb > Ist de Deterate egat ee r das de Bass lkshädg left-haded Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 28 4
15 Recheregel für Deterate Für ee atr N N a a T glt EeDeterate erädert hr Voreche, ea e Spalteoder e Zeleteader EeDeterate erädert schcht, ertascht. ea eer ZeleSpalte das Velfache eer adereaddert. EeDeterate stglechll,e see glechezeleoder Spalte bestt. DeDeterate eerdreecksatr stglechde Prodkt der Dagoalel eete. Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 29 Ierse eer atr - estert r für qadratsche atre, dere Deterate st. Da glt - - E kj adj jk oder Recheregel T T N N Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 3 5
16 Egeerte d Egeektore Esse A ee -atr,, λ e Skalar. et a Egeekor d λ, Egeert A λ charakterstscheglechg der atr A,e Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Graphsche Dateerarbetg Notatoe d Recheregel für Vektore d atre 3 6
Graphische Datenverarbeitung
Notatoe d Recheregel für Vektore d atre Prof. Dr.-Ig. Detlef Kröker Goethe-Uerstät, Frakfrt Der Ekldsche Ra E -desoaler Ekldscher Ra se t R beechet. E Vektor dese Ra st e -Tpel, also ee geordete Lste reeller
Kapitel XI. Funktionen mit mehreren Variablen
Kaptel XI Fuktoe mt mehrere Varable D (Fuktoe vo uabhägge Varable Se R ud D( f R Ist jedem Vektor (Pukt (,,, D( f durch ee Vorschrft f ee reelle Zahl z = f (,,, zugeordet, so heßt f ee Fukto vo uabhägge
3 Allgemeine lineare Gleichungssysteme über R. Superposition
Fole 3 Allgeee lere Glechugssystee üer R. Superposto (3.) Defto: E leres Glechugssyste Uestte ud Glechuge st: De sd de Koeffzete us R. De sd wetere Zhle, uch de Kostte get, ud de sd de Uestte, zw. de Uekte,
3 Allgemeine lineare Gleichungssysteme über R. Superposition
Fole 3 Allgeee lere Glechugssystee üer R. Superposto (3.) Defto: E leres Glechugssyste Uestte ud Glechuge st: De sd de Koeffzete us R. De sd wetere Zhle, uch de Kostte get, ud de sd de Uestte, zw. de Uekte,
( x) eine Funktion definiert, in der nur die i-te Komponente variabel ist. Folgende Schreibweisen werden aufgrund dieser Anmerkungen auch verwendet:
Pro. Dr. Fredel Bolle LS ür Volkswrtschatslehre sb. Wrtschatstheore (Mkroökoome) Vorlesug Mathematk - WS 008/009 4. Deretalrechug reeller Fuktoe IR IR (Karma, S. 00 06, dort glech ür IR IR m ) 4. Partelle
Hochschule Furtwangen University Sommersemester Prof. Dr. Thomas Schneider Medien und Informatik 2. Übungsblatt 5. dar.
Hochschle Frtwage Uversty Sommersemester 0 Fakltät Dgtale Mede Mathematk Prof. Dr. Thomas Scheder Mede d Iformatk Übgsblatt. Elemetares Reche mt komplexe Zahle Es se w= +. a) Blde Se de komplex Kojgerte
1. Zufallsbewegung und Binomialverteilung. Statistische Betrachtungsweise bezieht sich stets auf ein Ensemble.
. Zfallsbewegg d Boalvertelg Statstsche Betrachtgswese bezeht sch stets af e Eseble. Eseble: Gesathet eer sehr große Zahl N detscher Systee. Wahrschelchket für das Etrete ees Eregsses A: Brchtel der Systee,
Mathematik für VIW - Prof. Dr. M. Ludwig ( ) ( ) ( ) n f. bestimmt m Funktionen. durch die Festlegung f (,,
Matheatk ür VIW - Pro. Dr. M. Ludwg 8. Deretato reeller Fuktoe ehrerer Varabler 8. Skalare Felder Vektorelder Koordatesystee Bsher wurde reelle Fuktoe ür ee Varable utersucht: : D t der egeührte Schrebwese
Statistische Grundlagen Ein kurzer Überblick (diskret)
Prof. J.C. Jackwerth 1 Statstsche Grudlage E kurzer Überblck (dskret De wchtgste Begrffe ud Deftoe: 1 Erwartugswert Varaz / Stadardabwechug 3 Stchprobevaraz 4 Kovaraz 5 Korrelatoskoeffzet 6 Uabhäggket
Hier die ausführlichen Lösungen (wenn auch nicht druckreif ): Zeigen Sie für vollkommene Konkurrenz auf dem Faktormarkt:
Her de ausführlche Lösuge (e auch cht druckref ): ufgabeblatt 5: ufgabe : Zege Se für ollkoee Kokurrez auf de Faktorarkt: a) e ollstädger Kokurrez auf de Güterarkt rd jeder Faktor t see Wertgrezrodukt
Eigenwerteinschließungen I
auptsemar: Numersche Lösuge für Egewertaufgabe Egewerteschleßuge I Referet: Wolfgag Wesselsky Glederug Eletug Kodto vo Egewerte 3 Eschleßugssätze Bauer-Fke, Gershgor, Wlkso, Bedxo 4 Zusatz: Courat / Weyl
Ein paar einfache q-analoga des binomischen Lehrsatzes
E paar efache -Aaloga des bosche Lehrsatzes Joha Cgler Sowet r beat st, gbt es ee allgeee Utersuchuge darüber, we sch das Reurrezverhalte vo Boalsue ädert, we a de Boaloeffzete durch ersetzt U ee erste
Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes. Redudaz. Eführug. Defto der Redudaz. allgemee Redudazredukto. redudazsparede Codes. Coderug ach Shao. Coderug ach Fao. Coderug ach Huffma.4 Coderug
2.2 Rangkorrelation nach Spearman
. Ragkorrelato ach Spearma Wr wolle desem Kaptel de Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma bereche. De erste Daterehe besteht aus Realseruge x, x,..., x der uabhägg ud detsch stetg vertelte Zufallsvarable
Grundlagen der Entscheidungstheorie
Kaptel 0 Grudlage der Etschedugstheore B. 0 (Gegestad) De Etschedugstheore befasst sch mt dem Etschedugsverhalte vo Idvdue ud Gruppe. Se besteht aus we Telgebete. Deskrptve Etschedugstheore De deskrptve
(Markowitz-Portfoliotheorie)
Thema : ortfolo-selekto ud m-s-rzp (Markowtz-ortfolotheore) Beurtelugskrtere be quadratscher Nutzefukto: Beroull-rzp + quadratsche Nutzefukto Thema Höhekompoete: Erwartugswert µ Rskokompoete: Stadardabwechug
Lösungen zu Übungs-Blatt 7 Klassische Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen, Bedingte Wkt, Unabhängigkeit, Satz von Bayes
Lösuge zu Übugs-latt 7 Klasssche Wahrschelchet Glücsspele, edgte Wt, Uabhägget, Satz vo ayes Master M Höhere ud gewadte Mathemat rof. Dr.. Grabows De folgede ufgabe löse wr uter Verwedug der bede ombatorsche
Im Wöhlerdiagramm wird die Lebensdauer (Lastwechsel oder Laufzeit) eines Bauteils in Abhängigkeit von der Belastung dargestellt.
Webull & Wöhler 0 CRGRAPH Wöhlerdagramm Im Wöhlerdagramm wrd de Lebesdauer ( oder Laufzet) ees Bautels Abhägget vo der Belastug dargestellt. Kurzetfestget Beaspruchug Zetfestget auerfestget 0 5 3 4 6 0
Das klassische Transportproblem
ptel 6 Lere Opterg Ds klsssche Trsportproble D. 6.. (Ds klsssche Trsportproble) Uter de klsssche Trsportproble versteht folgede Afgbe Her sd: M = c =, = b,, =,,..., ; =,,...,. = = = = (,,..., ) : (,,...,
Maße zur Kennzeichnung der Form einer Verteilung (1)
Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug (1) - Schefe (skewess): Defto I - Ee Vertelug vo Messwerte wrd als schef bezechet, we se der Wese asymmetrsch st, dass lks oder rechts des Durchschtts ee Häufug
Quellencodierung I: Redundanzreduktion, redundanzsparende Codes
Quellecoderug I: Redudazredukto, redudazsparede Codes Quellecoderug Durch de Quellecoderug werde de Date aus der Quelle codert, bevor se ee Übertragugskaal übertrage werde De Coderug det der Verkleerug
Statistik. (Inferenzstatistik)
Statstk Mathematsche Hlfswsseschaft mt der Aufgabe, Methode für de Sammlug, Aufberetug, Aalyse ud Iterpretato vo umersche Date beretzustelle, um de Struktur vo Masseerscheuge zu erkee. Deskrptve (beschrebede)
Erzeugen und Testen von Zufallszahlen
Erzeuge ud Teste vo Zufallszahle Jürge Zumdck Eletug Ee Lergruppe wrd aufgefordert 00 Zufallszahle (0 oder ) ach folgede Methode zu erzeuge: De Hälfte der Gruppe beutzt a) ee Müze oder b) de Zufallszahlefukto
Kapitel 6: Regression
udwg-maxmlas-uverstät Müche Isttut für Iformatk ehr- ud Forschugsehet für Datebaksysteme Skrpt zur Vorlesug Kowledge Dscovery Databases m Sommersemester 05 Kaptel 6: Regresso Vorlesug: PD Dr. Arthur Zmek
Definitionen und Aussagen zu Potenzreihen
Deftoe ud Aussage zu Potezrehe User bsherges Repertore a stetge Abblduge basert auf ratoale Fuktoe, also Ausdrücke, dee Addto, Subtrakto, Multplkato ud Dvso vorkomme. Auf dese Wese sd aber Epoetalfukto,
Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 7, Wintersemester vom 21. Januar 2006
Prof. E.-W. Zk Isttut für Matheatk Huboldt-Uverstät zu Berl Eleete der Algebra ud Zahletheore Musterlösug, Sere 7, Wterseester 2005-06 vo 21. Jauar 2006 1. Se = 2 p 1 Mersee-Zahl, d.h. p P 1. a) Zege:
v. Weter st + r X + = ( X + ) = ( X + ) ( X + ) = P Deshalb fr 6 6 = + X = K, d. h. I desem Berech ( 6 6 ) glt also ( Idukto ach ) ( ) ( mod ), was fr
5. De Stze vo Sylow Im gaze Abschtt st G ee edlche Grue, 4 #( G). 5.. Problem: Gbt es zu jedem Teler t vo ( tj ) ee Utergrue H mt #( H) = t? We ja, wevele? Gegebesel: 9 Utergrue H vo G = A 5 mt #( H) =
Grundgesetze der BOOLEschen Algebra und Rechenregeln
5... Grudgesetze der BOOLEsche Algebra ud Recheregel Auf de mathematsch korrekte Eführug der BOOLEsche Algebra ka ch verzchte, da das Ihrer Mathematkausbldug ausführlch behadelt wrd. Ich stelle Ihe zuächst
Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 06.0.008 Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche,
Asymptotische Stochastik (SS 2010) Übungsblatt 1 P X. 0, n.
Insttut für Stochastk PD. Dr. Deter Kadelka Danel Gentner Asymptotsche Stochastk (SS 2) Übungsblatt Aufgabe (Arten von Konvergenz reeller Zufallsvarablen und deren Zusammenhänge) Es seen X,, n N reelle
14. Folgen und Reihen, Grenzwerte
4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Ee Folge defere Defere de Folge (a ) Õ mt a =+: Eplzte Defto *+ a() Doe 3, falls = Rekursve Defto Defere de Folge (b ) Õ, b = : b + sost whe(=,
WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
1 Allgeme Geometrsche Rehe: q t = 1 q1 t=0 1 q Mtterachtsformel: ax 2 bxc=0 x 1/ 2 = b±b2 4ac 2a Bomsche Formel: 1. ab 2 =a 2 2abb 2 2. a b 2 =a 2 2abb 2 3. ab a b=a 2 b 2 Wurzel: ugerade 1 Ergebs gerade
Der Approximationssatz von Weierstraß
Der Approxmatossatz vo Weerstraß Ja Köster 22. Oktober 2007 1 Eführug Aus der Aalyss wsse wr, dass sch aalytsche Fuktoe durch Potezrehe der Form f(x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... darstelle lasse. Dabe kovergert
19. Amortisierte Analyse
9. Amortserte Aalyse Amortserte Aalyse wrd egesetzt zur Aalyse der Laufzet vo Operatoe Datestrukture. Allerdgs wrd cht mehr Laufzet ezeler Operatoe aalysert, soder de Gesamtlaufzet eer Folge vo Operatoe.
Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung
Formelsmmlug zur Zuverlässgetsberechug zusmmegestellt vo Tt Lge Fchhochschule Merseburg Fchberech Eletrotech Ihlt:. Zuverlässget vo Betrchtugsehete.... Zuverlässget elemetrer, chtreprerbrer ysteme... 3.
Schiefe- und Konzentrationsmaße
Statstk für SozologIe Schefe- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Merkmal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgketstabelle berchtet: Klasse m Gruppe
Es ist dann nämlich 2 2 2
Ege Bemerkuge zum Sklrprodukt See U,V,W Vektorräume üer eem Körper K. Ee Aldug ϕ :U V W heßt ler, we λ, λ, µ, µ K, u, u U, v, v V : ϕ( λ u + λ u, µ v + µ v ) = λ µ ϕ( u, v ) + λ µ ϕ( u, v ) + λ µ ϕ( u,
MST Übung 3 Mathematik 2 Prof.Dr.B.Grabowski Tel.:
MST Übug Mthemtk Prof.Dr.B.Grbowsk e-ml: grbowsk@htw-srld.de Tel.: 87- Iverse Mtrze ufgbe : Bereche Se de Iverse Mtr zu folgede Mtrze. Prüfe Se Ihr Ergebs, dem Se - bereche! b dg-,,-,,-, c 7 d ufgbe :
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Bedgte Wahrschelchket
Ordnungsstatistiken und Quantile
KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der
6.3.4 Rechenschema "Symbolische Methode"
6.3 Netzwerkberechg mttels komplexer echg 55 Der Verglech führt z C U I C 90 wege j e j π j (6.03) d: Z j Z Z 90 jc C C (6.04) Y j C; Y C 90 (6.05) Y De Mltplkato des Stromzegers mt dem Wderstadsoperator
5 Reproduktions- und Grenzwertsätze
Reproduktos- ud Grezwertsätze Reproduktos- ud Grezwertsätze. Reproduktossätze Bespel 0: Der Aufzug eer Frma st zugelasse für Persoe bzw. 000 kg. Das Durchschttsgewcht der Agestellte der Frma st µ = 80
Lösungen. Häufigkeitsverteilung (Stabdiagramm) Aufgabe 1. Häufigkeit (h) Merkmal (x)
Lösuge Aufgabe Merkmal (x) Häufgket (h) h x,, 3, 3,, 8, 5, 5, 6, 6, 7, 3, 8, 3 5, 9, 38,, 5,, 8 68,, 6 3, 3, 9,, 8, 5, 5 5, 6, 3 78, 7, 5, 8, 8, 3, 3, Summe 5.63, Aufgabe Häufgketsvertelug (Stabdagramm)
ξ i ξ i N ψ i 7. Zusammensetzung fluider Stoffgemische
7. Zusaesetzug fluder Stoffgesche I der Techk sele flude Stoffgesche ee bedeutede Rolle. ebe der atoshärsche Luft, de überweged aus Stckstoff ud Sauerstoff besteht, se vor alle auf de als Eergeträger für
Die Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Schadenversicherung
De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg Für da Modell eer Schadevercherg e gegebe: = Schade ee Verchergehmer, we der Schadefall etrtt w = Wahrchelchket dafür, da der Schadefall etrtt
Unter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung
8 Aweduge aus der Fazmathematk Perodsche Zahluge: Rete ud Leasg Uter eer Rete versteht ma ee regelmässge ud kostate Zahlug Bespele: moatlche Krakekassepräme, moatlche Altersrete, perodsches Spare, verteljährlcher
Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 0.0.008 Lagemaße der beschrebede Statstk. Zur Iterpretato eer Beobachtugsrehe ka ma ebe der grafsche Darstellug wetere charakterstsche Größe herazehe. Mttelwert ud
Mathematische Grundlagen der Quaternionen
Hochschle Haoer 9.9.7 Mathematsche Grdlage der Qateroe Prof. Dr.-Ig. E. Ke Qateroe Qateroe d erdmesoale Vetore mt der Bass,,,. Ee Qatero hat de Form. De er Elemete habe dem Name de Qatero geführt, de ma
Reihen n. Man benutzt letztere Schreibweise aber häufig auch zur Bezeichnung der Partialsummenfolge. konvergiert, die geometrische Reihe.
Deftoe ud Aussge über Rehe Bchräume ud Hlberträume E vollstädger ormerter Vektorrum (sehe Bemerkuge zur Alyss) heßt Bchrum Stmmt de Norm vo eem Sklrprodukt v = , so sprcht m vo eem Hlbertrum ZB sd
Neuronale Verfahren zur Regression
Neuroale Verfahre zur Regresso eares oell Vo Percetro zu ultlage-percetro Error-BAckroagato erregel Raale Bassfuktoe-Netze P r art Stetter Sees AG Regresso as leare oell Ausgagsukt: eares Percetro Fttet
Histogramm / Säulendiagramm
Hstogramm / Säuledagramm Häugkete 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3,45 3,75 4,05 4,35 4,65 Flüge lläge [mm] Be Hstogramme st soort deutlch, daß es sch um Häugketsauszähluge hadelt. De Postoe der Klasse sowe hre
Entladung Wanderung Entladung Wanderung H + --- Q -t - F OH - - F. Q --- +t - F
B - - Überführgszahle d Wadergsgeschwdgke fgabe: Besmmg der orfsche Überführgszahle vo - d O - -oe 0N O oder vo 2 - d SO 4 -oe 0N 2SO 4 d Berechg hrer oeäqvalelefähgkee 2 Besmmg der Wadergsgeschwdgkee
Multiple Regression (1) - Einführung I -
Multple Regreo Eführug I Mt eem Korrelatokoeffzete ud der efache leare Regreo köe ur varate Zuammehäge zwche zwe Varale uterucht werde. Beutzt ma tatt dee mehrere Varale zur Vorherage, egt ma ch auf da
Die komplexen Zahlen Eine erste Einführung für Schüler und Schülerinnen
De komplexe Zahle Ee erste Eführug für Schüler ud Schülere De Herkuft der Komplexe Zahle lässt sch we folgt beschrebe: De afäglche Probleme der Mathematk bestade dar, dass ma efache Recheoperatoe für mache
Modell zur Berechnung des Massenstromes der Abgasrückführung
odell zur Berechug des assestroes der asrückführug Be odere otore besteht aufgrud der Forderug ach er gergere NO-Essoe de Notwedgket as als Iertgaskopoete de Brerau zurückzuführe, u de Verbreugsteperatur
Verteilungen und Schätzungen
Verteluge ud Schätzuge Zufallseperet Grudbegrffe Vorgag ach eer bestte Vorschrft ausgeführt ( Przp) belebg oft wederholbar se Ergebs st zufallsabhägg be ehralge Durchführug des Eperets beeflusse de Ergebsse
Einführung in die Stochastik 3. Übungsblatt
Eführug de Stochastk 3. Übugsblatt Fachberech Mathematk SS 0 M. Kohler 06.05.0 A. Fromkorth D. Furer Gruppe ud Hausübug Aufgabe 9 (4 Pukte) Der Mkrozesus st ee statstsche Erhebug. Herbe werde ach bestmmte
Einführung in die digitale Signalverarbeitung
Eführg de dgtle glverrbetg Prof. Dr. tef Wezerl. Afgbebltt. Egeschfte dsreter stee. Erläter e de Begrffe Lertät Zetvrz pecherfrehet Ksltät d tbltät Lertät: E ste wrd ls ler bezechet, we für ds ste ds perpostosprzp
Korrelations- und Regressionsanalyse
Kaptel VI Korrelatos- ud Regressosaalse B 6 (Gegestad der Korrelatos- ud Regressosaalse) Währed de Korrelatosaalse de Estez, de Stärke ud de Rchtug des Zusammehags zwsche zwe oder mehrere statstsche Varable
Seminar aus reiner Mathematik
KARL FRANZENS UNIVERSITÄT RAZ Semar aus reer Mathemat E Lob der Uglechuge Tscherutter Dael 4. November 03 INHALTSVERZEICHNIS Eletug 3 Bewese der Uglechuge 4. Cauchy-Schwarz-Uglechug.............................
Übungen zum Vorkurs Mathematik
Matheatsches Isttut der Uverstät zu Köl Dr. L. Galat WSe 016/017 Motag, 19.09.016 Blatt 6-10 Übuge zu Vorkurs Matheatk Aufgabe 0. (1 Es gbt 6 5 4 3 7893600 Möglchkete. 1 ( Uter Aahe vo Glechvertelug ergbt
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Satz vo Bayes ud totale
Statistik für Ingenieure (IAM) Version 3.0/21.07.2004
Stattk fü Igeeue (IAM) Veo 74 Vaazaalye Mt de efache Vaazaalye (ANOVA Aaly of Vaace) wd de Hypothee gepüft, ob de Mttelwete zwee ode mehee Stchpobe detch d, de au omaletelte Gudgeamthete gezoge wede, de
Konzentrationsanalyse
Kaptel V Kozetratosaalyse B. 5.. Im Allgemee wrd aus statstscher Scht zwsche - absoluter ud - relatver Kozetrato uterschede Der absolute ud relatve Aspekt wrd och emal utertelt - statscher ud - dyamscher
Sitzplatzreservierungsproblem
tzplatzreserverugsproblem Be vele Zugsysteme Europa müsse Passagere mt hrem Zugtcet ee tzplatzreserverug aufe. Da das Tcetsystem Kude ee ezele Platz zuwese muss, we dese e Tcet aufe, ohe zu wsse, welche
Folgende Axiome definieren den linearen Vektorraum (vgl. Vorlesung lineare Algebra):
5. Abstrate Forulerug der M 5Wo_AoForulerugM_3/4-5-5 Frage: Verbrgt sh hter de Kaptel 4 behadelte äquvalete Beshrebuge des Zustades ees quateehashe Telhes t Hlfe der Wahrshelhetsapltude (r,t) ud φ(p,t)
Einführung Fehlerrechnung
IV Eführug Fehlerrechug Fehlerrechuge werde durchgeführt, um de Vertraueswürdgket vo Meßergebsse beurtele zu köe. Uter dem Fehler eer Messug versteht ma de Abwechug ees Meßergebsses vom (grudsätzlch ubekate
Lohnkosten pro Arbeitsstunde. Wie hoch sind die Lohnkosten pro Arbeitsstunde im Jahresdurchschnitt?
Klausur Wrtschaftsstatstk. [ Pukte] E Uterehme hat folgede Date ermttelt: Moat Gelestete Arbetsstude Lohkoste pro Arbetsstude Jauar 86.400 0,06 Februar 75.000 3,0 März 756.000 4,47 Aprl 768.000,53 Ma 638.400
Seminar: Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen - Unbegrenzt teilbare und stabile Verteilungen.
Uverstät Ulm, Isttut Stochastk 5. Jul 200 Semar: Stochastsche Geometre ud hre Aweduge - Ubegrezt telbare ud stable Verteluge. Ausarbetug: Stefa Fuke Betreuer: Ju.-Prof. Dr. Zakhar Kabluchko Ubegrezt telbare
Skript Teil 7: Polygonzug
Prof. Dr. tech. Alfred Mschke Vorlesug zur Verastaltug Vermessugskude Skrpt Tel 7: Polgozug Der Begrff Polgo letet sch aus Pol = vel ud Go = Wkel ab ud bedeutet uregelmäßges Veleck. Das Polgoere det zum
Definitionen und Aussagen zu Ringen
Deftoe ud Aussage zu Rge Mchael Hortma, 1142002 Währed wr es be Gruppe mt ur eer Operato zu tu habe, kee wr zb vo de gaze Zahle das Zusammespel zweer Operatoe, Addto ud Multplkato, wobe charakterstsch
Mathematische Randbemerkungen 5: Die Tripelproduktidentität von Jacobi. qz q z. n k
Matheatsche Radbeeruge 5: De Trpelprodutdettät vo Jacob De Trpelprodutdettät vo Jacob besagt, dass + q ( + q)( + )( q) = q () bw. + q ( + )( + ) = q q ( q ) glt. Deses grudlegede Resultat aus der Theore
NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher.
PV - Hausaugabe Nr. 7.. Berechnen Se eakt und verglechen Se de Werte ür de Nullstelle, de mttels dem Verahren von Newton, der Regula als und ener Mttelung zu erhalten snd von der! Funkton: ( ) Lösungs
Verdichtete Informationen
Verdchtete Iormatoe Maßzahle Statstke be Stchprobe Parameter be Grudgesamthete Maßzahle zur Beschrebug uvarater Verteluge Maßzahle der zetrale Tedez (Mttelwerte) Maßzahle der Varabltät (Streuugswerte)
Lineare Algebra Formelsammlung
ee Algeb Fomelsmmlug vo Gábo Zogg Fomelsmmlug ee Algeb Gábo Zogg. ee Glechugsssteme. Ds Guss'sche Elmtosvefhe Defto: Σ Sstem vo m Glechuge ud Ubekte Opetoe: - Vetusche vo Glechuge - Addee/Subthee ees Velfche
(5) Freiformflächen. Vorlesung Computergraphik III S. Müller. Dank an Reinhard Klein U N I V E R S I T Ä T KOBLENZ LANDAU
(5) Freformfläche Vorlesg Comptergraphk III S. Müller Dak a Rehard Kle KOLENZ LANDAU Wdh. I: -Sples ézer Jedes Polyom om Grad lässt sch drch ee -Sple mt Hlfe o + Kotrollpkte defere drch ee ézer-kre mt
Es wird zwischen expliziter und impliziter Integration unterschieden. Die explizite Integration hat die Form:
Eleg er Grgeae er olgee beschrebee Verahre beseh ar, ass a as Glechgewch r z bese Zee bes. ese Vorgeheswese a be Aagswerroblee agewee were. Bege beae Were z Ze wr schrwese er Glechgewchszsa z ee säere
Ergebnis- und Ereignisräume
I Ergebs- ud Eregsräume Zufallsexpermete Defto: E Expermet, welches belebg oft uter gleche Bedguge wederholbar st ud desse Ergebs cht mt Bestmmthet vorhergesagt werde ka (d.h. es gbt md. 2 Mgk.), heßt
Schiefe- und Konzentrationsmaße
Statst für SozologIe Schefe- ud Kozetratosmaße Uv.Prof. Dr. Marcus Hudec Höhere Vertelugsmaßzahle E stetges Mermal wurde 3 Gruppe beobachtet ud Form der folgede Häufgetstabelle berchtet: Klasse m Gruppe
Wenn man mehrere Verbraucher in Reihe schaltet, so werden alle vom gleichen Strom durchflossen, siehe auch Abschnitt und Formel ( ).
- rudlage der Elektrotechk - 60 22..04 4 Der komplzertere elektrsche lechstromkres 4. Kombato vo Verbraucher 4.. Sere- oder eheschaltug vo Wderstäde We ma mehrere Verbraucher ehe schaltet, so werde alle
Rekurrenz. Algorithmen rufen sich selbst (rekursiv) auf.
Rekurrez Rekurso: Algorthme rue sch selst rekursv u. Rekurrez: Ds Luzetverhlte zw. der Specherpltzedr vo rekursve Algorthme k der Regel durch ee Rekursosormel recurrece, RF eschree werde. Rekurrez Bespel:
1 Elementare Finanzmathematik
Elemetare Fazmathemat 4 Elemetare Fazmathemat Zel: Bewertug ud Verglech atueller ud zuüftger Geldströme. Determstsche Zahlugsströme Defto: E determstscher Zahlugsstrom st ee Futo Z: N R, de jedem Zetput
Varianzfortpflanzung
5.0 / SES.5 Parameterschätzug Varazortplazug Torste Maer-Gürr Torste Maer-Gürr Dskrete Zuallsvarable Ee dskrete Zuallsvarable mmt edlch vele oder abzählbar uedlch vele Werte a. - Werte: - Wahrschelchket:,,,,,,,,
annehmen, so heißt die Funktion, die jedem atomaren Ereignis { x i } mit i { 1; 2; ;
Wahrschelchet Ee Futo X : Ω R, de edem Ergebs ees zufällge Vorgages ee reelle Zahl zuordet, heßt Zufallsgröße (oder auch Zufallsvarable Ee Zufallsgröße X heßt edlch, we X ur edlch vele Werte x aehme a
F 6-2 π. Seitenumbruch
6 trebsauslegug Für dese ckelprozess üsse de otore so ausgelegt werde, dass dese Fahrbetreb cht überlastet werde. Herfür üsse de ezele asseträghetsoete [7] der Bautele (otor, etrebe, ckler ud Ulekrolle)
Aufgaben. 1. Gegeben seien folgende Daten einer statistischen Erhebung, bereits nach Größe sortiert (Rangliste):
Aufgabe. Gegebe see folgede Date eer statstsche Erhebug, berets ach Größe sortert (Raglste): 0 3 4 4 5 6 7 7 8 8 8 9 9 0 0 0 0 0 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 30 Erstelle Se ee Tabelle, der de Merkmalsauspräguge
1.4 Wellenlängenbestimmung mit dem Prismenspektrometer
F Lorbeer ud Ardt Quer 5.0.006 Physkalsches Praktkum für Afäger Tel Gruppe Optk.4 Wellelägebestmmug mt dem Prsmespektrometer I. Vorbemerkug E Prsmespektrometer st e optsches Spektrometer, welches das efallede
Vektorraum. Ist =, so spricht man von einem reellen Vektorraum, ist =, so spricht man von einem komplexen
6. Vektorra Ein Vektorra oder linearer Ra ist eine algebraische Strktr die in fast allen Zweigen der Matheatik erwendet wird. Eingehend betrachtet werden Vektorräe in der Linearen Algebra. Die Eleente
Theoretische Physik II Elektrodynamik Blatt 2
PDDr.S.Mertens M. Hummel Theoretsche Physk II Elektrodynamk Blatt 2 SS 29 8.4.29 1. Rechnen mt Nabla. Zegen Se durch Auswertung n kartesschen Koordnaten de folgende Relaton und werten Se de anderen Relatonen
für j=0,1,...,n Lagrange zur Lösung der Interpolation nicht geeignet, da numerisch problematisch und teuer. 1 n
Aahme: Es gbt zwe Polyome p ud q vom Grad
Zum Problem unterjähriger Zinsen und Zahlungen in der Zinseszinsrechnung
Zu Proble urjährger Zse ud Zahluge der Zsessrechug Gewöhlch geht a der Zsessrechug davo aus, dass de Zse ach ee Jahr de Kapl ugeschlage werde ud da weder Zse trage. Der Zssat, t de das Kapl ultplert wrd,
Wie man für einen Test Peroe testet
Pädagogche Ittut der Uvertät Freburg 996 ALLES ZUFALL - ODER WAS? Eführug de Stattk für Pädagoge ud Pädagoge III Formelammlug Ha-Peter Hotz, Iwa Schrackma Ihaltverzech. Stattche Kewerte. Verglech eer Stchprobe
Klausur Statistik IV Sommersemester 2009
Klausur Statstk IV (Lösug) Name, Vorame 013456 Klausur Statstk IV Sommersemester 009 Prof. Dr. Torste Hothor Isttut für Statstk Name: Name, Vorame Matrkelummer: 013456 Wchtg: ˆ Überprüfe Se, ob Ihr Klausurexemplar
Festverzinsliche Wertpapiere. Kurse und Renditen bei ganzzahligen Restlaufzeiten
Festverzslche Wertaere Kurse ud Redte be gazzahlge Restlaufzete Glederug. Rückblck: Grudlage der Kursrechug ud Redteermttlug 2. Ausgagsstuato 3. Herletug der Formel 4. Abhäggket vom Marktzsveau 5. Übugsaufgabe
Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik
Prof. Dr. Ig. Post Grudlage der Eergetechk Eergewrtschaft Kosterechug EEG. Vorlesug EEG Grudlage der Eergetechk De elektrsche Eergetechk st e sogeates klasssches Fach. Folglch st deses Fach vele detallert
Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig
Üerscht üer essuscherhetserechuge vo der Darstellug der Ehet des Drehmometes üer de Wetergae s h zur Aedug ud Bespel eer Ope-ource-Aedug dafür Drk Röske Physkalsch-Techsche Budesastalt, Brauscheg Darstellug
Teil II. Analysis in der Ökonomie
Tel II Aalyss der Ökoome D (Fuktoe vo uabhägge Varable Se N ud D( f R Ist jedem Vektor (Pukt ( Vorschrft f ee reelle Zahl z f (,,, D( f durch ee =,,, zugeordet, so heßt f ee Fukto vo uabhägge Varable,,,