3.9. Die QR-Zerlegung einer Matrix

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1 3.9. De QR-Zerlegug eer Matr Sho vorher habe wr bemerkt: - odu der Gauß-Elmato ev. groß, auh be kleem oda; - falls A shleht kodtoert: was st der Rag vo A? Welhe Pvotelemete werte wr als? - oda T A oft sehr groß. Aderersets: odqa = oda, falls Q orthogoal. Also sd orthogoale Matrze sehr gut für äquvalete Umformuge vo A geeget vgl. LU-Zerlegug. 7

2 Außerdem glt: Q = Q T. Also sd Glehugssysteme Q sehr leht zu löse. Versuhe daher, aalog zur LU-Zerlegug A=LR, ee Zerlegug der Form A = QR zu bestmme mt Q orthogoal R obere Dreeksmatr Vortele: - umersh stabler als LU - ählhe Koste - Systeme Q ud R leht zu löse 7

3 3.9. Elemetare orthogoale Matrze Orthogoale Matr : Frage: orthogoale Matr? G G T G os s GG s os os s heßt Gvesrefleo. s os os s s os De os s s os os s os s s os s os ; 73

4 Wlkso, Gves, Forsythe, Householder, Her, F.L.Bauer 74

5 Alteratv Gvesrotato: os s s os G st edeutg bestmmt durh de Wkel. Bestmme u so, dass ~ ~ ~ a a A GA ~ ~ obere Dreeksmatr wrd. a a Dazu muss gelte: a~ a! a s os s a os a 75

6 Lösug: ot a a ; artg a a oder artg a a Ist a =, so st kee wetere Trasformato ötg! Numersh stablere Art der Berehug : a oder a köte fast se: sg a; a ; a a a; os s a a a a s a os a a a ; ; 76

7 Gves-Refleo für de allgemee Fall: -dmesoale Gves-Refleo st m Wesetlhe we de Ehetsmatr, bs auf de gerade zu betrahtede Blok. Deser Blok wrd weder - we obe defert - abhägg vo bestmmt. Ma elmert weder der erste Spalte a,,,a m,, ud da etsprehed der zwete Spalte de Uterdagoale, usw. we be Gauss. 77

8 78 G os s s os Gestalt der allgemee Gves-Matr

9 Zur Elmato ees Elemetes a multplzere wr G A. der Matr A Deses Produkt verädert ur de -te ud de -te Zele vo A. Es geügt, vom Gesamt-System ur dese Tel zu betrahte. Also muss weder artg a a gesetzt se we obe. ud Mt eer solhe Matr G wrd da m erste Shrtt a zu Null gemaht. G G os s s, G I s os s 79

10 Geauere Aalyse ees allgemee Elmatosshrtts: verädert ur -te ud -te Zele; -te Zele: spezell: s -te Zele: a a k a s sa sa k Kee Pvotszele! ak a k a k sa k a a für k=,...,! k a a soll Null werde Legt daher fest. G, A für k=,..., mt ud s zu obge 8

11 Verwede der Rehe ah G, G3,, G zur Bearbetug der erste Spalte, also um a, a3,, a zu Null zu mahe, ud daah G,..., G, G, ud 3, G4,, G G a, a 3, a4,, a a a um,...,, ud zu Null zu mahe. 8

12 De Rehefolge, der de a, zu Null gemaht werde, st gegebe durh:.. 3 Jewels ötg st ee Multplkato mt Gves-Refleo G,, =,...,- ud.. /.. =+,...,. Also beötgt ma sgesamt -/ Gvesrefleoe um ee quadratshe Matr auf Dreeksgestalt zu trasformere. 8

13 Ma beutze also mmer das Dagoalelemet a ud ee Kombato vo -ter/-ter Zele, um a zu Null zu mahe. Q Q T T : G G G G G A, G, G G, G G,,, mt eer obere Dreeksmatr R. A R Daher st Q G G G,, da G G ud A=Q*R. T Q st gegebe durh de ezele G ; edes G st edeutg gegebe durh das, das ötg war, um geau e a zu elmere. 83

14 Geauso ka ma für ee m Matr A m> mt raka= ee QR- Zerlegug berehe A = Q. R We be der Gauss-Elmato elmert ma also mt de Dagoalelemete der Rehe ah sämtlhe Uterdagoalelemete. Der Vortel der QR-Zerlegug: oda = odqr = odr Gut für shleht kodtoerte Systeme Awedbar auf rehtekge Systeme Adere Orthogoalserugsverfahre: - Gram-Shmdt orthoormalsere Vektore - Householder erzeuge eem Shrtt ee gaze Nullspalte. H = I u u T 84

15 Awedug be Learer Ausglehsrehug: m A b m Q m T QR b QR b m da Q orthogoal ud eukld she Norm. R Q T b R st obere Dreeksmatr der R Dmeso m ud volle R = Rages. 85

16 86 m m m ~ ~ ~ ~ b b R b b R b Q R T ~ b R Das obge Mmum erhält ma wege aus der Lösug des Dreekssystems ~ b Der Wert des Mmums st gegebe durh

17 87 Bespel: QR-Zerlegug für Least Squares: Erster Shrtt: a : m m b A / 4, / s mt s s s s s s

18 88 s s s /,, s Zweter Shrtt: a 3 : mt / / / / Q T A = R

19 89 / / / / Q Also m m / / / / m m A Awedug auf Mmerugsproblem :

20 Lösug als Lösug des Dreeksglehugssystems: I desem Fall lefert sogar ee geaue Lösug vo A=b, da der Fehlerterm b gleh Null st. QR-Zerlegug st deser Form awedbar für belebge rehtekge Matr A, so lage A volle Rag bestzt. 9

21 Koste des QR-Verfahres mt Gves für Matr: 3 + O also teuerer als Gauss-Elmato mt 3 /3 E Elmatosshrtt be Spalte k: mult + addk = 6k flop Isgesamt: k k *6k 3 O Be m Matr mt m> ud RagA=: 3m- 9

22 Awedug des QR-Verfahre be - shleht kodtoertem Glehugssystem - überbestmmtem Glehugssystem mt vollem Rag a Stelle der Normalglehug, we obe beshrebe - allgemeem htquadratshe System der Form QAP = R mt Permutato P zum Vertaushe vo Spalte. P st ötg, um ee Blok volle Rages ah vore/obe zu trasportere Bespel: 9

23 - Etdekug fast lear abhägger egetlh überflüssger Glehuge oder Ubekater umershe Bestmmug des Rags vo A - Redukto der Matr auf de wesetlhe Tel Nose-reduto R S A Q Q Q R S Q R Q S 93

24 3. Regularserug I vele praktshe Aweduge hat ma zwar e überbestmmtes leares Glehugssystem vorlege, aber so, dass de Normalmatr A T A auh oh fast sgulär st! Dadurh erhält ma be der Lösug deses Problems ee Vektor, der etrem groß st: Ist B=b de Matr B fast sgulär vb sehr groß = vb*b sehr groß 94

25 Durh Mess/Rudugsfehler ethält aber de rehte Sete b vele klee Störuge ose, Raushe, de der berehete Näherugslösug da sehr groß werde, so dass - selbst be eakter Rehug - ubrauhbar st. ~ B b b B b B b B b Störatel Vel größer als 95

26 m Ausweg: Suhe verüftge Least Squares Lösug durh Mmerug mt Nebebedgug: soll ht zu groß werde. A b Mmerug Nullstelle der Abletug führt auf das sog. regularserte Glehugssystem T T A A I A b Idee: Vershebe A T A durh Aufaddere vo I, so dass de eue Matr besser kodtoert st. 96

27 Da st v T T A A I v A A Daher führe dem eue Glehugssystem de Raushkompoete b ht mehr zu eem etreme Awahse der Lösug. Ma weß, dass de gesuhte Lösug ht zu groß se ka, ud des wrd durh de Regularserug gewährlestet. γ heßt Regularserugsparameter ud de her beshrebee Methode heßt Tkhoov-Regularserug. 97

28 Regularserug muss häufg agewedet werde be Probleme der Bldverarbetug z.b. be verraushte, usharfe Blder Regularserede Zusatzbedguge: - Beshräkthet der Lösug - Ev. Dübesetzthet der Lösug,,, k,,, - Ev. Glatthet der Lösug Δ - Nähe zu sho bekater Näherugslösug - appro - Gauss-Elmato, - Normaleglehug ud QR-Zerlegug, - Regularserug sd de whtgste Werkzeuge zur drekte Lösug vo A=b. 98

29 IV. Iterpolato ud Quadratur 4.. Iterpolato 4... Bespel: Iterpolato mt Tafelwerke für ep, s, os, log Gesuht: ep.454 ; Tabellert: ep.45 ud ep.46 Leare Iterpolato. : ep:

30 4... Allgemee Problemstellug: Gegebe: Puktepaare, y, =,,...,, paarwese vershede, ud lear uabhägge Fuktoe g k, k=,,..., Gesuht: Koeffzete k, k=,,..., mt für =,,..., k k k y g G! y y g g g g ++ leares Glehugssystem

31 Iterpolato führt auf quadratshes Glehugssystem! Geauso vele Bedguge we Frehetsgrade. Ma utershede Iterpolato ud Appromato! Bespel zu Appromato: Ausglehsgerade führt auf überbestmmtes Glehugssystem Normalglehug, QR 3

32 4..3. Spezalfall Polyom-Iterpolato: Asatzfuktoe g k sd Polyome k Gesuht: Koeffzete k, k=,,..., mt für =,,..., 4 k k k y p! y y + Glehuge für + Ubekate: Teuer! O 3

33 4..4. Lösug mt Lagrage-Polyome Defere geshkt Bass-Polyome: + Polyome vom Grad, besser als,,,.., 5 :, L falls falls L Egeshafte der Lagrage-Polyome: Grad mt L p Gesuht das de Iterpolatosbedguge erfüllt.

34 6 y y L L L L Aus dese Egeshafte ergbt sh zur Lösug des Iterpolatosproblems e leares Glehugssystem für de Koeffzete: - -

35 De Lösug st = y ; daher st das Iterpolatospolyom: de es st. Damt st de Estez ees terpolerede Polyoms gezegt! Edeutgket? 7 Hauptsatz der Algebra: Jedes Polyom p vom Grad ka als Produkt vo leare Faktore de ev. komplee Nullstelle z k geshrebe werde der Form z z z p L y p y L y L y p

36 Aahme: Es gbt zwe Polyome p ud q vom Grad <=, de bede de Iterpolatosbedguge erfülle. Defere eues Polyom h := p - q. Da glt h z z z ud h : p q für =,,..., Daher hat das Polyom h de Grad ud + Nullstelle. Aus dem Hauptsatz der Algebra folgt daher, dass = se muss, ud daher st h, oder p q. Also es estert geau e Iterpolatospolyom! Lagrage zur Lösug der Iterpolato ht geeget, da umersh problematsh ud teuer. 8

37 4..5. Berehug des Iterpolatospolyoms Löse ht das leare Glehugssystem, da des zu teuer st! Außerdem wrd oft ur der Wert des Polyoms a eer ezge Stelle gesuht! Idee: Berehe duktv terpolerede Polyome für mmer mehr Stützstelle. Setze dazu als das terpolerede Polyom vom Grade l, das geau a de Stelle,,, l de Iterpolatos-Bedguge erfüllt. Zur Bestmmug vo verwede de terpolerede Polyome vom Grade l- ud, de zu de Stützstelle,, bzw.,, gehöre., l, l 9

38 ,,,,,, l l l l l p p p l l l l l l y y p,, Wesetlhe Formel : l l l y y p,, Bewes: Nahprüfe der Iterpolatosbedgug. ud für alle adere mt < < +l : l l l y y y p,,

39 Wege der Edeutgket des terpolerede Polyoms st edes der so deferte Polyome geau de edeutge Lösug des ewelge Iterpolatosproblems! Daher st p,, l de gesuhte Lösug! Awedug der Formel * zur puktwese Auswertug des Iterpolatospolyoms a eer Stelle : p? Egabe: Stützwerte, y, =,..., ud Stelle ; Ausgabe:. p,, l Tableau-artge Berehug der Iterpolatospolyome aufstegede Grades, aber ur a der Stelle.

40 Nevlle-Tableau: Erste Spalte sd kostate terpolerede Polyome, also geau de ewels vorgegebee Werte y. Zwete Spalte sd terpolerede leare Polyome zu ewels zwe beahbarte Stützstelle. Letzte Spalte ethält das terpolerede Polyom zu alle vorgegebee Stützstelle.

41 Neue Stützstelle _4 mt Wert y_4 ka das Tableau egefügt werde ud führt zu eer eue Zele ud eer eue Edspalte p_34. Auswertug des Tableaus ewels ur a eer feste Stelle möglh., y, y 3,, y Bespel:, 3 Auswertug des terpolerede Polyoms a der Stelle = mt Lagrage, bzw. Nevlle-Tableau: 3

42 4 3 3 L 3 3 L 3 3 L Lagrage:, ud L L L p

43 p ud daher auh p 5 3 p Nevlle-Tableau: Da ah * p p p

44 Folge vo Iterpolatospolyome zu 3 ud 4 Stützstelle: terpol.m 6