Short Listing für multikriterielle Job-Shop Scheduling-Probleme

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1 Short Lstg für ultkrterelle Job-Shop Schedulg-Problee Dr. Adré Heg, r.z.w.-cdata AG, Zu Hosptalgrabe 2, Wear, 1. Multkrterelle Job-Shop Schedulg-Problee Das Job-Shop Schedulg-Proble, Folgede als JSP bezechet, st foral we folgt defert: J = J de auf eer Mege vo Masche Das JSP besteht aus eer Mege vo Jobs { } { } bearbetet werde üsse. Jeder Job M = M = 1 { } J =1 besteht aus eer Mege vo Vorgäge T = T 1, T 2,...,T, de auch als Tasks oder Operatoe bezechet werde. De zu ee Job gehörede Tasks üsse eer vorgegebee feste Rehefolge auf de Masche bearbetet werde. Es gbt sgesat N Vorgäge, T = N = = 1. Der Vorgag T gehört zu Job J ud uss auf Masche M für ee uuterbrochee Dauer p bearbetet werde. Jeder Job hat see egee, vo de adere Jobs uabhägge Mascherehefolge ud durchläuft ede Masche höchstes eal. Jede Masche ka ur ee Vorgag glechzetg bearbete. Zwe Vorgäge des gleche Jobs köe cht sulta bearbetet werde. E zulässger Maschebelegugspla (egl. Schedule) st durch Startzete s 0 für alle Vorgäge T defert, so dass alle obge Nebebedguge erfüllt sd. Gesucht st e Schedule, der ee gegebee Zelfukto ert. Deses bekate Modell st für praktsche Aweduge zu uflexbel. Deshalb werde her folgede Erweteruge betrachtet: 1. Verallgeeerte Rehefolgebezehuge I der Praxs st de Ordug der Vorgäge erhalb ees Jobs cht er lear vorgegebe. Das bedeutet, de Vorgäge ee Job sd ur telwese geordet. Dese Schedulg- Problee werde als Mxed-Job-Problee bezechet. Vorgäge ees Jobs, zwsche dee kee Vorragbezehuge bestehe, werde als parallele Tasks bezechet. Wetere Rehefolgebezehuge ergebe sch aus Motageaufträge. Koplexe Edprodukte bestehe der Praxs est aus ehrere Baugruppe. Jede Baugruppe beötgt zur Produkto Ressource ud hat ee vorgegebee techologsche Rehefolge. De Produkto eer Baugruppe ka deshalb als Job Se ees Mxed-Job-Probles betrachtet werde. De Motagebezehuge werde durch Rehefolgebezehuge zwsche de Jobs odellert. 2. Verfügbarketstervalle auf Masche ud Fällgketstere Masche habe reale Produktosugebuge deterstsche Stllstadzete (z.b. Schchtpause). De Bearbetug der Vorgäge wrd währed der Stllstadszete gestoppt ud zu Beg des ächste Verfügbarketstervalls wetergeführt. Das bedeutet, dass de Dauer ees Vorgags vo der Startzet abhägg st. 3. Ereuerbare dskrete Ressource Oft beötge Vorgäge wetere Ressource zur Bearbetug. Das köe Werkzeuge, Palette oder Arbetskräfte se. Dese Ressource heße ereuerbar, da se ach Beedgug ees Vorgags weder zur Verfügug stehe ud cht (we z.b. Materale ) verbraucht werde. Der Mege = der r verschedee Ressourcearte Schedulg-Proble wrd der R { R } r k k = 1 Vektor ( ) Ν ra = ra 1,...,rar, rak zugeordet, der für ede Ressource de verfügbare Mege agbt. Jeder Vorgag ka ede Ressource erhalb hrer vorhadee Mege zur Bearbetug beötge. E weteres Merkal praktscher Schedulg-Problee st das Vorhadese ehrerer Zelfuktoe. Her wurde der Makespa C, de Lateess L, de totale Tardess T ud de ax ax

2 Sue der Bearbetugszete C sowohl ezel als auch ultkrterelle Schedulg- Problee betrachtet. De so egeführte verallgeeerte Job-Shop-Problee werde Wetere als praktsche Job- Shop Schedulg-Problee PJSP bezechet. Dese behalte ee oder ehrere Verallgeeeruge sowe verschedee oder ehrere Zelfuktoe. Für de Notato ultkrtereller Schedulg-Problee wrd de [12] vorgeschlagee Schrebwese für das γ-feld der α β γ- Notato geutzt. De Suche ach der Mege der chtdoerte Lösuge be Zelfuktoe wrd t #( f1,..., f ), f { Cax, Lax, T, C }, { 1,2,3,4 } γ-feld agegebe. 2. Algorthe zur Opterug eer Zelfukto ud zur Approxato der Pareto- Mege Da de Zelfuktoe sehr verschede sd ud sot auch de Struktur des Probles, wurde ee geetsche lokale Suche GLS etwckelt, u de Strukture scho gefudeer Lösuge zu utze. Als Lösugsrepräsetato wurde de topologsche Ordug oder aufstegede Nuererug der Vorgäge zugehörge dsuktve Graphe verwedet. I der lokale Suche wurde de Shft- Shft-Nachbarschaft pleetert. Dabe sd alle Lösuge beachbart, be der de Vertauschug zweer Vorgäge der topologsche Ordug weder zu eer zulässge Lösug führt. Als Varate der lokale Suche wurde e deterstscher Schwellwertalgorthus verwedet. Herbe werde alle geäß Shft-Shft-Nachbarschaft beachbarte Lösuge zufällger Rehefolge durchlaufe. Falls e Nachbar t gleche oder bessere Zelfuktoswert gefude wrd, wrd zu dese übergegage. Der Übergag zu ee Nachbar t gleche Fuktoswert wrd als Sdestep bezechet. De Suche brcht ab, falls der Nachbarschaft kee Lösug t gleche oder bessere Fuktoswert exstert oder ach eer vorgegebee Azahl vo Nachbarschaftsschrtte ohe Verbesserug. Als Rekobatosoperator der GLS wurde de [11] egeführte Mttelwertbldug der Afagszete der Vorgäge de Elterlösuge verwedet. Defto 1: (Mttelwertbldug) 1 2 Π = π, π,..., π k, k 2 de Mege der zulässge Elterlösuge hrer Darstellug als Se { } aufstegede Nuererug ud N de Azahl der Vorgäge der Lösuge. s, k = 1,...,k se de Startzet desvorgags der Lösug. Setze s = = 1,.., N, Algorthus 1: Geetsche lokale Suche für ee Zelfukto Se de axale Azahl der Lösuge Pool P. 1. Für = 1,..., (a) Geerere zufällge Startlösug y (b) Fde t Sdestep Algorthus beged t y lokales Optu x ud füge x P e. 2. Wähle zufällg geäß Glechvertelug k Lösuge { x 1,...x k } aus P t k. s = 1 für edes = 1,..., N ud sortere de Vorgäge aufsteged ach s. De resulterede Perutato π der Vorgäge st de durch Mttelwertbldug erzeugte aufstegede Nuererug der Rekobatoslösug. De Mttelwertlösug st zulässg ud der korrespoderede gerchtete Graph kresfre. Aus der aufstegede Nuererug wurde der se-aktve Schedule ud dat de Startzete der Vorgäge erttelt. Algorthus 1 beschrebt de GLS be Opterug t eer Zelfukto Pseudocode. De Startlösuge werde t ee Prortätsregelverfahre be zufällger Auswahl erzeugt.

3 3. Blde Mttelwertlösug x aus de k Lösuge. 4. Fde t Sdestep Algorthus beged t x lokales Optu y ud füge y P e. 5. Etfere de geäß Zelfukto schlechteste Lösug aus P. 6. Falls Abbruchkrteru erfüllt, STOPP. Sost gehe zu 2. De durch de Sdestep Algorthus erzeugte lokale Opta werde ur de Pool egefügt, falls Pool kee Lösug t de gleche krtsche Pfad bezüglch C ax exstert, u zu schelle Kovergez gege schlechte lokale Opta zu verhder. Das Abbruchkrteru der GLS st ee Zetschrake oder ee vorgegebee Azahl vo Geeratoe. De GLS wurde auf eer Mege vo 242 Stadard-Bechark-Istaze für J ud a 60 C ax Istaze für J L ax getestet. [1,6,10] Vo dese gut utersuchte Istaze wurde be 78 de obere Schrake für de Makespa verbessert ud be wetere 141 Istaze Lösuge für de bekate obere Schrake gefude. Be de restlche 23 Bechark-Istaze lag de Abwechug zur obere Schrake be uter ee Prozet. Be de 60 J L ax -Istaze wurde alle bekate obere Schrake verbessert. Mt eer Zetbeschräkug vo 500 Sekude auf ee 1GHz Petu III Recher errechte de GLS Lösuge, de Durchschtt axal 5% über der beste bekate obere Schrake lage. [5] De verwedete Nachbarschaft ud der Rekobatosoperator ware be dese Utersuchuge uabhägg vo der zu opterede Zelfukto. Auf deser Bass wurde de GLS zur Approxato der Mege der Pareto-optale Lösuge verallgeeert. Zu Verglech der Lösuge der Nachbarschaft der lokale Suche wrd ee Rakg-Fukto F beötgt. Defto 2: (Rakg-Fukto F ) S = ee Mege vo Lösuge ees Schedulg-Probles, = de s Se { } =1,..., Mege der relevate Zelfuktoe ud w = 1 { } w =1,..., { f } F =1,..., W = ee Mege vo Gewchte für de Zelfuktoe aus F t = 1. Se f = f (s ) das Mu aller Lösuge aus = 1,..., S ud ax ax f ( ) das Maxu, da st de Rakg-Fukto F we folgt defert: für ax f = s = 1,..., f f F ( s ) = f ( s ) w = ax f 1. Be Glechhet wrd der Quotet glech 0 gesetzt. Der Pool P der Startlösuge der ultkrterelle geetsche lokale Suche (MGLS) wrd t zufällge Startlösuge oder t lokale Opta (bezüglch der ezele Zelfuktoe aus ) gefüllt. Mt Hlfe der Rakg-Fukto ud der vo Beutzer vorgegebee { f } F = = 1,..., Gewchtug, köe de Lösuge Pool geordet werde. I der ultkrterelle Verso des Sdestep Algorthus wrd e Nachbarschaftsschrtt durchgeführt, falls der Nachbar ee bessere Rakg-Fuktoswert hat oder bezüglch des Pools der MGLS de gleche Rag bestzt. Letzteres wrd her als Sdestep bezechet. Der ultkrterelle Sdestep Algorthus führt ee Lste t alle währed des Durchlaufs gefudee Pareto-optale Lösuge t. Dese werde ach de Abbruch des Sdestep Algorthus de Pool egefügt. Aus de Pool werde da de doerte Lösuge etfert, de de schlechteste Rakg-Fuktoswert bestze. Des wrd fortgesetzt, bs de vorgegebee Poolgröße errecht st. Falls ur och Pareto-optale Lösuge Pool exstere, werde ebefalls de t de schlechteste Rakg-Fuktoswert etfert. Zur Selekto aus de Pool der MGLS wrd de vo Beutzer vorgegebee Gewchtug verwedet. Für ede Lauf des ultkrterelle Sdestep Algorthus wrd ee eue Gewchtug zufällg glechvertelt erzeugt. f f

4 3. Short Lstg Mt der ultkrterelle geetsche lokale Suche lässt sch ee Approxato der Mege der Pareto-optale Lösuge für praktsche Schedulg Problee erzeuge. De Aufgabe des Etschedugsträgers besteht dar, aus deser Mege vo Lösuge deege auszuwähle, de für de Awedug überoe werde soll. Rakg-Fuktoe köe herbe als ultkrterelle Bewertugsethode verwedet werde. Schwergkete bestehe der subektve Gewchtug der Zelfuktoe, Äderuge der Rehefolge Rakg durch hzufüge oder herausehe eer Lösug aus de Pool ud der Auswahl der Rakg-Fukto selbst. De große Azahl der Lösuge Pool ud de Dateege eer Lösug hgege erschwert de Vsualserug ud sot de Verglech aller Lösuge. Es wrd ee Methode zur Etschedugsuterstützug beötgt, de de Mege der Lösuge Pool auf ee überschaubare Mege (3 bs 6 Lösuge) reduzert. Dese reduzerte Mege ka de Etschedugsträger vorgelegt ud vsualsert werde. Wchtg st herbe, dass durch de Reduzerug öglchst strukturell verschedee Lösuge ausgewählt werde, u de Etscheder echte Alteratve zu bete. Aussage über de strukturelle Verschedehet vo Lösuge köe durch Abstadsaße Lösugsrau getroffe werde. Als Methode zur Redukto der Azahl der Lösuge betet sch de Clusterug der Lösuge ach dese Abstadsaße a. Aus de Cluster werde Lösuge ausgewählt, ud de so etstadee Lste überschaubar weger Lösuge wrd de Etscheder zur Auswahl vorgelegt. Der Vorgag der Redukto veler Vorschläge auf wege Kaddate wrd als Short Lstg bezechet. De her etwckelte GLS st ee Heurstk zur Rehefolgeopterug der Vorgäge auf de Masche. De Mege der Vorgäge { } üsse, st für alle Lösuge eer Istaz glech. Der Abstad π ud σ ka aus dese Grud we folgt defert werde: T, de auf der gleche Masche bearbetet werde ( σ ) = ( A, A π, σ = 1 σ sd herbe Perutatoe der Tasks aus { } π ). M A ( π,σ ) zwsche zwe Lösuge π ud T, de auf der Masche M bearbetet werde üsse. Weterh glt durch de Defto vo Abstadaße das Folgede. Se f ee Abbldug der Mege { T } auf de Mege {,..., }, = { } 1 T, da glt ( π, σ ) A ( α, β ) = f oσ Perutatoe auf der Mege {,...,} A, de auf der Mege {,...,} A =, wobe α = f oπ ud β 1 sd. Wr köe us sot auf de Utersuchug vo Abstadsaße 1 defert sd, beschräke. Aus Verefachugsgrüde wrd Wetere der Idex weggelasse. Abstadsaße auf Perutatoe sd aus der Lteratur bekat. Ee Überscht fdet a [2]. Her werde folgede Dstazaße verwedet: ( α, β ) ( α,β ) D = α ( ) β ( ) (Footrule) ud T =ale Azahl vo Traspostoe, u α β zu überführe (Cayley-Abstad). Bede Maße lasse sch learer Zet der Läge der Perutato bereche. Basered auf dese Abstadsaße ka de Mege der potetell Pareto-optale Lösuge geclustert werde. Als Heterogetätaße zwsche zwe Cluster C, wurde der ale Abstad zweer Lösuge Cluster v s (sgle lkage), der axale Abstad zweer Lösuge Cluster vc (coplete lkage) ud der durchschttlche Abstad der Lösuge beder Cluster (average lkage) verglche. Zur Klassfkato wurde e herarchsches ud e cht-herarchschesverfahre pleetert. I herarchsche Verfahre wurde kleere Cluster zu größere geeralsert (botto up). Begoe wurde t Cluster t ewels eer Lösug. De Cluster t der gergste Dstaz C va

5 wurde zusaegefasst. De Azahl k der Cluster be der gestoppt wurde, wurde vo Etscheder bestt. Das cht-herarchsche Verfahre st e lokale Suche Algorthus. Zu Beg werde zufällg geäß Glechvertelug k Cluster erzeugt. Daach wurde de Lösuge zufällger Rehefolge durchlaufe. De ewels ausgewählte Lösug wurde aus hre Cluster etfert ud de Cluster t de gergste Abstad zugeordet. Gestoppt wurde, we ee Durchlauf kee Lösug hre Cluster gewechselt hat. Zu Verglech der Klassfkatosverfahre wrd och e Güteaß für ee Klassfkato C beötgt. Se das Hoogetätsaß der durchschttlche Abstad der Lösuge ee h a Cluster C. Das her verwedete Güteaß g( C) wrd folgederaße defert: g ( C) = ( C 1) ha ( C ) C C va ( C, C ) C, C C C C Für de Verglech der Klassfkatosalgorthe wurde ee Telege vo 60 Bechark- Istaze t verschedee Desoe verwedet. Zu eder Zelfuktoskobato wurde t der MGLS für edes Bechark e Pool vo 50 Lösuge erzeugt, de da t bede Verfahre geclustert wurde. [5] I de Versuche zegte sch, dass de durch das herarchsche Clusterverfahre erttelte Klassfkatoe be alle Zelfuktoskobatoe, zwe Abstadsaße ud dre Heterogetätsaße bessere Werte für das Güteaß als das cht-herarchsche Verfahre erreche. De Wahl des Abstadsaßes hat ur ee gerge Efluss auf de Güte der Klassfkato. Be de dre Heterogetätsaße sd de Uterschede der Güte der Klassfkatoe deutlcher. Das Maß errecht be herarchsche Clusterverfahre de beste Güte ud be cht-herarchsche v s de schlechteste. Be Verglech der Maße v c ud va erreche de Verfahre t va de etwas bessere Ergebsse. Nebe der Güte der Klassfkato sd wetere Egeschafte der Verfahre vo Bedeutug. Zu ee de Laufzet der Algorthe, da de Auswahl der Lösug aus de vorhadee Pool durch de Etscheder teraktv erfolgt. Her hat das cht-herarchsche Verfahre Vortele, da de Atwortzete deutlch gerger sd. Be eer Azahl vo 600 Vorgäge der Istaz ud eer Poolgröße vo 50 Lösuge, st das cht-herarchsche Verfahre u etwa de Faktor 4 scheller. Zu adere st de Größe der Cluster vo Bedeutug, falls der Etscheder de präfererte Lösug t adere ählch strukturerte Lösuge vergleche öchte. I de Fall sd Verfahre, de ehrere Cluster t eer Lösug ud ee Cluster t de restlche Lösuge lefer, ugüstg. Aus dese Grud wurde de Clustergröße der durch de 12 Varate erstellte Klassfkatoe erttelt. Dabe war erschtlch, dass das herarchsche Clusterverfahre zur Bldug kleer Cluster egt. Zel der Clusterug der Lösugsege st de Redukto der zur Auswahl stehede Lösuge. Dazu wurde aus ede Cluster ee Lösug ausgewählt. Es wurde de folgede zwe Methode der Auswahl utersucht: 1. I ede Cluster wurde de Lösuge ach der Rakg-Fukto sortert ud ewels de Lösug auf de erste Rag selektert. Dabe hatte alle Zelfuktoe de gleche Gewchtug. 2. Aus ede Cluster wrd de Medalösug selektert, d.h. de Lösug de de ale durchschttlche Abstad zu de adere Lösuge Cluster hat. Zur Utersuchug deser bede Varate wurde de obe erttelte Klassfkatoe verwedet. Dat wurde aus eder Klassfkato dre Lösuge ausgewählt. Es wurde der durchschttlche Abstad zwsche de Lösuge ud der ale Abstad zwsche e zwe der dre Lösuge erttelt. De de Versuche erttelte Date lasse folgede Beobachtuge zu:.

6 1. De durch das herarchsche Clusterverfahre erzeugte Klassfkatoe lefer größere Abstäde zwsche de ausgewählte Lösuge als de durch das cht-herarchsche Verfahre erzeugte Klassfkatoe. Des glt für bede Auswahlverfahre. 2. De Abstäde zwsche de Lösuge sd be Auswahl der ewels erste Lösug Cluster größer als be der Auswahl der Medalösug. Des glt wederu für bede Klassfkatosalgorthe. 3. De Wahl des Abstadsaßes hat ur ee gerge Efluss auf de relatve Abstäde zwsche de ausgewählte Lösuge. 4. Das Heterogetätsaß v s lefert uter Verwedug des cht-herarchsche Verfahres de schlechteste Ergebsse. Nach dese Resultate st es be bede Clusteralgorthe a güstgste, de Lösuge auf de erste Rag aus ede Cluster zu wähle. Dabe wrd Verglech t der zwete Auswahlethode de größte Dverstät zwsche de ausgewählte Lösuge errecht. Weterh werde dadurch de Präfereze des Etscheder berückschtgt. Es blebt festzuhalte, dass de Vortele des herarchsche Verfahres der bessere Güte der Klassfkatoe ud der größere Dverstät der ausgewählte Lösuge lege. De Vortele des cht-herarchsche Algorthus lege der kürzere Laufzet, der ugefähr gleche Größe der Cluster ud der bessere Berückschtgug der Etschederpräfereze. Be bede Algorthe errechte de Heterogetätsaße v ud v sowe de Auswahlethode 1 de beste Ergebsse. c a Lteratur [1] Bechark-Istaces of Derkol et al. [2] Dacos, P.: Group Represetatos Probablty ud Statstcs. Lecture Notes - Moograph Seres, Vol. 11, Isttute of Matheatcal Statstcs, Harvard Uversty (1988). [3] Esquvel S.; Ferrero S.; Gallard R.; Salto C.; Alfoso H.; Schütz M.: Ehaced evolutoary algorths for sgle ad ultobectve optzato the ob shop schedulg proble. Kowledge-Based Systes 15, (2002). [4] Hase, M. P.; Jaszkewcz, A.: Evaluatg the qualty of approxatos to the o-doated set. Techcal report 07/98, Isttute of Matheatcal Modellg, Techcal Uversty of Deark, Lygby, Deark (1998). [5] Heg, A.: Praktsche Job-Shop Schedulg-Problee. Dssertato, Fakultät für Matheatk ud Iforatk, Fredrch-Schller-Uverstät Jea, Jea (2002). [6] Tallard, É: Hoepage : [7] Ja, A. S.: A ult-level hybrd fraework for the deterstc ob-shop schedulg proble. Ph. D. Thess, Departet of Appled Physcs ad Electroc ad Mechacal Egeerg, Uversty of Dudee (1998). [8] Neua, K.; Schwdt, C.; Zera, J.: Proect schedulg wth te wdows ad scarce resources. Lecture Notes Ecoocs ad Matheatcal Systes, Vol. 508, Sprger, Berl Hedelberg New York (2001). [9] Nowck, E.; Sutck, C.: New deas TS for ob shop schedulg. Preprt r 50/2001, Isttute of Egeerg Cyberetcs, Techcal Uversty of Wroclaw, Wroclaw, Polad (2001). [10] OR-Lbrary: [11] Rose, C.: Mehrhetsbldug der Kobatorsche Opterug. Dssertato, Fakultät für Matheatk ud Iforatk, Fredrch-Schller-Uverstät Jea, Jea (2001). [12] T'kdt, V; Bllaut, J.-C.: Multcrtera schedulg probles: a survey. RAIRO Oper. Res. 35, (2001).