1 Definition der Trägheits- und Zentrifugalmomente von Flächen. Abb.1. Flächenträgheitsmomente (axiale Trägheitsmomente) Zentrifugalmoment I
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- Pia Beltz
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1 Letzte ete ete... Glederug Ede Formelsammlug Defto der Trägets- ud Zetrfugalmomete vo Fläce d r s. 0 Defto Größe Maßeet Momete zweter Ordug (Kompoete des Trägetstesors) Fläceträgetsmomete (aale Trägetsmomete) d ( ) d ( ) Zetrfugalmomet d (Devatosmomet) ( ) > 0 >0; 0; <0 cm, mm Das Zetrfugalmomet verscwdet, we der Quersctt zu mdestes eer Koordateacse smmetrsc st. ezüglc des Koordatesstems mt dem Ursprug m Pukt 0 (, -stem) gelte de aaloge Deftoe. Zusammeag zwsce polarem Trägetsmomet ud aale Fläceträgetsmomete: llgeme: p + mt: : p p ( ) rd
2 Momete zweter Ordug für eface Quersctte Quersctt cwerpuktskoordate, -stem, Momete zweter Ordug -stem 0 s , s R, 0 π R π R 0, R 0 0 R π π R 8 π R 8 0 π 8 R 8 9π R 0 R π π R 6 π R 6 R 8 π R 6 9π π R 6 9π R 9π 8
3 a, s R R a, 0 π Ra R π Ra R 0 ( ) ( ), s, 0 π a π a 0 Der atz vo TENER Voraussetzuge für de wedug des atzes vo TENER: Das, -Koordatesstem at see Ursprug m cwerpukt des Quersctts; De cse des, -Koordatesstems sd zu de etsprecede des, - Koordatesstems paarwese parallel. d s J
4 erecug der Momete zweter Ordug für zusammegesetzte Quersctte estet de Gesamtfläce aus merere Telfläce, dere Momete zweter Ordug ekat sd, da errece sc de Momete zweter Ordug für de Gesamtfläce aus der umme der Momete zweter Ordug der ezele Telfläce. Voraussetzug: De Momete zweter Ordug der Telfläce sd auf dassele Koordatesstem ezoge. merkug: ussctte werde als Fläce mt "egatvem" Fläcealt eadelt. crttfolge e der erecug der Momete zweter Ordug für zusammegesetzte Fläce:. Zerlegug der Fläce mt dem Fläcealt Telfläce mt de Fläcealte. Wal ees, -Koordatesstems (Für deses Koordatesstem müsse sc möglcst alle Momete zweter Ordug für möglcst alle Telfläce agee lasse. - Das, -stem ka auc mt dem, -stem zusammefalle.). Ermttlug der cwerpuktskoordate der Gesamtfläce (, ). Ermttlug der cwerpuktsastäde der Telfläce ezug auf das, -stem (, ). Ermttlug der Fläcealte der Telfläce ( ). Ermttlug vo ud ac:. Ermttlug der Momete zweter Ordug für de Telfläce ezug auf re cwerpukt (,, ) 5. Ermttlug der Momete zweter Ordug für de Telfläce ezug auf das, -stem (,, ) mt lfe des atzes vo TENER 6. Ermttlug der Momete zweter Ordug für de Gesamtfläce ezug auf das, -stem (,, ) durc ummato der glece Größe für de Telfläce
5 (d ede Koordatesstem kogruet, da glt: ; ;.) 7. Ermttlug der Momete zweter Ordug für de Gesamtfläce ezug auf das, -stem ac dem atz vo TENER (,, ) wes: De egeklammerte crtte köe e estmmte Querscttsfläce telwese oder völlg üerflüssg werde.
6 Taelle zur erecug der Momete zweter Ordug für zusammegesetzte Fläce: Telfläce
7 ale Trägetsmomete äufg auftreteder zusammegesetzter Quersctte: Quersctt e e,, + / / / / a a e / e e d e e d e + ae a + d e a + d e e ( ) d e
8 5 Trägets- ud Zetrfugalmomete e Dreug des Koordatesstems der Querscttseee η C d ϕ ϕ G D E ξ. ξξ ηη ξη + + cosϕ + s ϕ; + cosϕ s ϕ; s ϕ + cos ϕ. varate des Trägetstesors: + + ξξ ηη p ξξ ηη ξη ;
9 6 auptträgetsacse ud auptträgetsmomete, kojugerte cse auptträgetsacse (,) - cse, für de das Zetrfugalmomet verscwdet; de Fläceträgetsmomete Etremwerte aeme. Rctug der ortogoale auptträgetsacse: ta ϕ 0 merkug: mmetreacse der Fläce sd mmer auptträgetsacse! auptträgetsmomete (, ) - Etremwerte der Fläceträgetsmomete: oder: + + cosϕ + s ϕ ; + cosϕ s ϕ , ( ) + ± + (Das größere Trägetsmomet geört zu der cse, de sekrect zur Rctug der größere Fläceausdeug stet.) Momete zweter Ordug ezüglc ees gege das, -stem um de Wkel ϕ gedrete Koordatesstems ξ, η, für de Fall, dass de cse, auptträgetsacse sd: ξξ ηη ξη + + cos ϕ ; + cos ϕ ; s ϕ Das etremale Zetrfugalmomet trtt uter eem Wkel vo 5 gegeüer de auptträgetsacse auf: ta ϕ cot ϕ0 taϕ Kojugerte cse - cse, für de das Zetrfugalmomet verscwdet. Folgerug: auptträgetsacse sd auc kojugerte cse 0
10 7 Grafsce Ermttlug der auptträgetsacse ud auptträgetsmomete Gegee:,, Gesuct: Rctug der auptträgetsacse auptträgetsmomete ξξ, ηη, ξη Lösug: s.. zw Trägetskres ac MOR ( ) ξη M D (, ) ηη ( + )/. 7. Trägetskres ac MOR-LND (, ) ηη ξη. 5 (- )
11 8 Trägetsradus ud Trägetsellpse Trägetsradus: llgeme:. für de cse ud : ;. für de auptträgetsacse: ;. Trägetsellpse: wedug: Gegee:,, (zw., ) Gesuct: ξξ, ηη (zw. ξξ, ηη ) Lösug: ξξ ξξ OD ηη ηη OE η D ξ η C E ϕ O ξ ϕ+ π/. 6 +
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1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen. 1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen
.. Jährlche Retezahluge... Vorschüssge Retezahluge Ausgagspukt: Über ee edlche Zetraum wrd aus eem Kaptal (Retebarwert v, ), das zseszslch agelegt st, jewels zu Beg ees Jahres ee bestmmte Reterate ř gezahlt
Pyramidenvolumen Was haben Treppenkörper mit Intervallschachtelung zu tun?
Pyramdevolume Was abe Treppekörper mt Itervallscactelug zu tu? Gegebe st ee Pyramde mt der Grudkate a = 5 ud der Höe = 8. De Höe st äqudstat Tele egetelt ud der Pyramde sd 3 Quader ebescrebe. 1) Berece
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( ) := 1 N. μ 1 : Mittelwert. 2.2 Statistik und Polydispersität. Definition des k-ten Moments: Definition des k-ten zentralen Moments: 1 N
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Strtte Auffassue zu Aforderusrofl ud Betrebsart be der Neufassu der IEC 6508-3 ud -7 Vortra a der TU Brauschwe m November 205 vo Wolfa Ehreberer, Hochschule Fulda 7..205 Ehreberer, IEC 6508, Strtte Auffassue...
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Musterlösung zu Übungsblatt 2
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Einführung in die Integralrechnung
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III. Die persönliche Einkommensteuer
Kp. -d Verso vom 3.0.05 III. De persölche Ekommesteuer Steuer küpfe ber cht ur - we de Verbruch- oder Verkehrsteuer - der Verwedug des Ekommes, soder uch desse Etstehug. De Steuerzhlug bemsst sch d cht
Formelsammlung Finanzmathematik
FH D WS 9/ Pof. D. Hos Pees Oobe 9 Foelslug Fze BA-Sudegg Ieol Mgee See /7 Foelslug Fze Sue, Folge ud ee eceegel fü Sue: U Aesce Folge: U U... U U U (Dsbuvgesez) U U U U (Udzeug) d d,,3,... Aesce ee: d
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
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8. Mehrdimensionale Funktionen
Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS05.05.05 8. Mehrdmesoale Fuktoe Wer Greze überschretet, versucht, ee eue Dmeso vorzustoße. [Dael Mühlema, (*959), Übersetzer ud Aphorstker] Ege Leute sollte cht dü werde,
Innovative Information Retrieval Verfahren
Thomas Madl Iovatve Iformato Retreval Verfahre Hauptsemar Wtersemester 004/005 Überblc Formales Vortrag Ausarbetug Scheerwerb Termplaug Kurzvorstellug Theme Themevergabe Wederholug Grudlage Gewchtug ud
Zählterme (Seite 1) Aufgabe: Wie viele Nummernschilder kann es theoretisch im Raum Dresden geben? Wann müsste die 4.Ziffer eingeführt werden?
Bemerkug: I Mathematik sollte ma keie Fahrpläe verwede, i der Stochastik erst recht icht. Zitat vo S.L. Das Baumdiagramm ist aber fast immer ei geeigetes Hilfsmittel. Produktregel Aufgabe: Wie viele Nummerschilder
Hier die ausführlicheren Lösungen (wenn auch nicht druckreif): Aufgabe 1: Ein Monopolist sieht sich der Preis-Absatz-Funktion p( x)
Her de usührlhere Lösue we uh ht drukre: Aueltt 4: Aue : E Mooolst seht sh der Pres-Astz-Fukto 00 4 eeüer wor de esetzte Mee ud der Pres st. See Produktoskoste häe vo der roduzerte Mee emäß der osteukto
Einschlägige Begriffe zur Meßunsicherheit Dr. Wolfgang Kessel, Braunschweig
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Übungsblatt 02 Grundkurs IIIa für Physiker, Wirtschaftsphysiker und Physik Lehramt
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Investitionsentscheidungen im Multi-Channel-Customer-Relationship Management 1
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2. Runde Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik
Budeswettewer Mathemat Kortrjer Str. 5377 Bo Telefo: 08-9 59 5-0 Telefax: 08-9 59 5-9 E-Mal: fo@udeswettewer-mathemat.de www.udeswettewer-mathemat.de Korreturommsso Karl Fegert Aufgae ud Lösuge. Rude 00
κ Κα π Κ α α Κ Α
κ Κα π Κ α α Κ Α Ζ Μ Κ κ Ε Φ π Α Γ Κ Μ Ν Ξ λ Γ Ξ Ν Μ Ν Ξ Ξ Τ κ ζ Ν Ν ψ Υ α α α Κ α π α ψ Κ α α α α α Α Κ Ε α α α α α α α Α α α α α η Ε α α α Ξ α α Γ Α Κ Κ Κ Ε λ Ε Ν Ε θ Ξ κ Ε Ν Κ Μ Ν Τ μ Υ Γ φ Ε Κ Τ θ
= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel:
E Tilgugsrechug.. Jährliche Raeilgug Ausgagspuk: Bei Raeilgug wird die chuldsumme (Newer des Kredis [Aleihe, Hypohek, Darleh]) i gleiche Teilberäge T geilg. Die Tilgugsrae läss sich ermiel als: T =.. Jährliche
Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen
Voraussetzuge Utersucugseieite U,...,U Merka X, Y Zweidiesioae Häufigkeitsverteiuge Uriste (x, y, (x 2, y 2,..., (x, y geordete Uriste wird scwierig: Ordug ac de x- oder ac de y-werte? 2 diskret vs. stetig
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AG Kstrut KONTRUKTION Plaetegetrebe (Umlaufgetrebe) rpt TU Berl, AG Kstrut Plaetegetrebe Vrtele Plaetegetrebe: e Achsversatz z.t. sehr grße Über-/Utersetzuge möglch grße Tragraft guter Wrugsgrad Rhlff
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Ihalt: Efaktorelle Varazaalyse Bortz: Bortz Kap. 7.0-7. Übug Statstk II SS 006 Musterlösug rbetsblatt 6 ufgabe 1: Nee Se de Verfahre für Mttelwertsvergleche, de Se bsher für tervallskalerte Date kee gelert
Grundgesetze der BOOLEschen Algebra und Rechenregeln
5... Grudgesetze der BOOLEsche Algebra ud Recheregel Auf de mathematsch korrekte Eführug der BOOLEsche Algebra ka ch verzchte, da das Ihrer Mathematkausbldug ausführlch behadelt wrd. Ich stelle Ihe zuächst
Wir weisen die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potenzmenge einer endlichen Menge A nach!
Lösug zu Übug 4 Prof. Dr. B.Grabowski E-Post: grabowski@htw-saarlad.de Zu Aufgabe ) Wir weise die Gültigkeit der 4Axiome der sigma-algebra für die Potezmege eier edliche Mege A ach! ) Die leere Mege ud