D. Rentenrechnungen 4 Progressive Renten 4.1 Geometrisch fortschreitende Renten. Formel: D. Rentenrechnung 3. Progressive Renten.

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1 Fazmathematk Thema: Reterechuge Dr. Alfred Brk Fazmathematk A Eführug B Fazmathematsche Grudlage C Zsrechuge D Reterechuge Systematserug vo Retevorgäge 2 Edlche Rete 3 Ewge Rete 4 Progressve Rete 5 Aufgabe E Tlgugsrechuge Dr. A. Brk Isttut für Wrtschafts- ud Sozalwsseschafte D. Reterechug 3. Progressve Rete D. Reterechuge 4 Progressve Rete 4. Geometrsch fortschretede Rete Formel: (achschüssg) REW gs, r f f Frage: Was st, we f =? Fazmathematk 2

2 D. Reterechug 3. Progressve Rete D. Reterechuge 4 Progressve Rete 4. Geometrsch fortschretede Rete ) Formal rchtg: Zähler + Neer = 0, d.h. ubestmmter Ausdruck Mathematker am Ede 2) Aber: es ka der Realtät doch se, dass f = da muss es ee ökoomsche Lösug gebe 3) Ke Problem: Stegerug f etsprcht doch der Abzsugsrate, d.h. de bede Effekte gleche sch aus. Vorscht! Fazmathematk 3 D. Reterechug 3. Progressve Rete D. Reterechuge 4 Progressve Rete 4. Geometrsch fortschretede Rete r f 3-4 r f 2-3 r f -2 r r - r r f r f 2 r f 3 4

3 D. Reterechug 3. Progressve Rete D. Reterechuge 4 Progressve Rete 4. Geometrsch fortschretede Rete r f 3-3 r f 2-2 r f - r r r f r f 2 r f 3 r 5 D. Reterechuge 5 Aufgabe Aufgabe D/9 E Juguterehmer möchte see juge Bruder, der gerade das 3. Lebesjahr volledet hat, fazell uterstütze. Bs zur Volledug sees 8. Lebesjahres möchte er hm jährlch achschüssg 3.000, daach bs zum Ede des 2. Lebesjahres jährlch achschüssg zur Verfügug stelle. Welche Betrag müsste der Uterehmer heute auf e Koto ezahle, das sch zu 4 % p. a. verzst? ; r 5 9;0,04 9, ,04,04,04 5 9;0,04 Fazmathematk ,50 Dr. A. Brk 6

4 D. Reterechuge 5 Aufgabe Aufgabe D/9 E Juguterehmer möchte see juge Bruder, der gerade das 3. Lebesjahr volledet hat, fazell uterstütze. Bs zur Volledug sees 8. Lebesjahres möchte er hm jährlch achschüssg 3.000, daach bs zum 2. Lebesjahr jährlch achschüssg zur Verfügug stelle. Welche Betrag müsste der Uterehmer heute auf e Koto ezahle, das sch zu 4 % p. a. verzst? 5;0, ,04 5;0, ,4 5,04,04 ; , ,4 43.9,9 Fazmathematk Dr. A. Brk D. Reterechuge 5 Aufgabe Aufgabe D/0 Ee Schuld soll jährlch achschüssg zu zahlede Rate vo Jahre getlgt se. We hoch müsste be 6% p.a. der emalge Betrag se, durch de de Schuld a) heute abgelöst werde ka? ; 0;0,06 r 3.000,06 0 0,06,06 0;0, ,26 Fazmathematk Dr. A. Brk 8

5 D. Reterechuge 5 Aufgabe Aufgabe D/0 Ee Schuld soll jährlch achschüssg zu zahlede Rate vo Jahre getlgt se. We hoch müsste be 6% p.a. der emalge Betrag se, durch de de Schuld b) ach 3 Jahre (ohe vorherge Ratezahluge) abgelöst werde ka? REW 0,06 r 3.000,06 ; , ,38,06 3;0, , ;0, ,26, ,94 Fazmathematk Dr. A. Brk 9 D. Reterechuge 5 Aufgabe Aufgabe D/3 Ee Erbschaft vo soll ee 0-jährge Rete umgewadelt werde. We hoch sd de achschüssge Moatsrate be eer jährlche Verzsug vo 6%? (Uterjährg wrd mt efache Zse gerechet!) ; REW; r e 0, re,06, re, Fazmathematk Dr. A. Brk 0

6 D. Reterechuge 5 Aufgabe Aufgabe D/3 Ee Erbschaft vo soll ee 0-jährge Rete umgewadelt werde. We hoch sd de achschüssge Moatsrate be eer jährlche Verzsug vo 6%? (Uterjährg wrd mt efache Zse gerechet!) re, r e 4.06,04 re 4.06,04 r m ( m ) 2 0, ,58 Fazmathematk Dr. A. Brk D. Reterechuge 5 Aufgabe Aufgabe D/ Aus eem Kaptal vo soll 20 Jahre lag ee vorschüssge Moatsrete bezahlt werde. We hoch st dese be verteljährlcher Verzsug vo %, we a) uterperodg mt efache Zse gerechet wrd? ; re r e : uartalskoforme Ersatzreterate r [m 2 ( m )] 80 0,0, r [3 4] 2,0,0 80 r : Moatsreterate Fazmathematk Dr. A. Brk 2

7 D. Reterechuge 5 Aufgabe Aufgabe D/ Aus eem Kaptal vo soll 20 Jahre lag ee vorschüssge Moatsrete bezahlt werde. We hoch st dese be verteljährlcher Verzsug vo %, we a) uterperodg mt efache Zse gerechet wrd? 80 0,0, r [3 4] 2,0, r 3,0254, r.508,8 Fazmathematk Dr. A. Brk 3 D. Reterechuge 5 Aufgabe Aufgabe D/ Aus eem Kaptal vo soll 20 Jahre lag ee vorschüssge Moatsrete bezahlt werde. We hoch st dese be verteljährlcher Verzsug vo %, we b) uterjährg mt efache Zse gerechet wrd? ; re r e : jahreskoforme Ersatzreterate r [m 2 ( m )] 20 0,04, r [2 3] 2,04,04 r : Moatsreterate 20 Fazmathematk Dr. A. Brk 4

8 D. Reterechuge 5 Aufgabe 20 0,04, r [2 3] 2,04, r 2,26 3, r.500,44 Fazmathematk Dr. A. Brk 5 D. Reterechuge 5 Aufgabe Aufgabe D/2 E Pesoär hat e Vermöge vo Mo.. Jährlch hebt er achschüssg ab. E Berufsafäger mt eem geerbte Vermöge vo spart am Ede sees erste Berufsjahres Er plat, dese Sparbetrag jährlch um 20% zu steger. Nach we vele Jahre habe bede e glech hohes Vermöge, we de Verzsug zu 6% erfolgt. [Vermöge des Berufsafägers] Edwert des Erbes + Edwert eer geom. stegede Rete = [Vermöge des Pesoärs] Edwert des Vermöges - Edwert der Etahme Fazmathematk Dr. A. Brk 6

9 D. Reterechuge 5 Aufgabe [Vermöge des Berufsafägers] Edwert des Erbes + Edwert eer geom. stegede Rete Fazmathematk ,06,2, ,2,06 [Vermöge des Pesoärs] Edwert des Vermöges - Edwert der Etahme ,06, ,06 Dr. A. Brk D. Reterechuge 5 Aufgabe 3.640,06 600,2 600, ,06 600,2.200 Durch Probere (Regula fals, S. 8): F() ,8 [Jahre] Fazmathematk Dr. A. Brk 8

10 D. Reterechuge 5 Aufgabe Aufgabe D/2 Zu welchem Zssatz muss de jährlch vo um % awachsede achschüssge Rete, de für 25 Jahre gezahlt wrd, agelegt werde, we der Kaptalstock beträgt?, ,0 REW geom. stegede Rete geom. stegede Rete Fazmathematk Dr. A. Brk 9 D. Reterechuge 5 Aufgabe 32,2222,0, , , , ,5 % Fazmathematk Dr. A. Brk 20

11 D. Reterechuge 5 Aufgabe Aufgabe D/29 Der Maager F legt zu 8% Jahreszse a. Am Ede des erste Jahres hebt er ab. Aufgrud der Teuerug rechet er damt, dass deser Betrag jährlch um 5,5% erhöht werde muss. Nach we vele Jahre st das agelegte Kaptal aufgebraucht?,055, , ,055,08 0. Zahlugsstrom 2. Zahlugsstrom Fazmathematk Dr. A. Brk 2 D. Reterechuge 5 Aufgabe,055, , ,055,08 0,5,08, log log 0,5,08-log,055 2,28 [Jahre] Fazmathematk Dr. A. Brk 22

12 23 Fazmathematk D. Reterechuge 5 Aufgabe Dr. A. Brk Aufgabe D/32 Der Reter E bezeht Jahre lag ee achschüssge Rete vo.000, de jedoch jährlch stege soll. Der Barwert der arthmetsch fortschretede Rete beträgt 46.80,52, de Alage erfolgte zu eem Zssatz vo 6% p.a. We hoch st de jährlche Stegerugsrate? as d r ; 24 Fazmathematk D. Reterechuge 5 Aufgabe Dr. A. Brk as r d ;

13 D. Reterechuge 5 Aufgabe d, , ,06,06,06,06,06,06, Fazmathematk Dr. A. Brk 25