Strichlisten bei Laplace-Experimenten zum Paradox der ungleichmäßigen

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1 Strchlste be Laplace-Experete zu Paradox der uglechäßge Vertelug DIETMAR PFEIFER, OLDENBURG Zusaefassug: Das Theegebet Zufall ud Wahrschelchket wrd auf eleetare Nveau zwsche berets der Grudschule behadelt. Dabe stehe experetelle Aufgabe we wederholtes Werfe ees Würfels oder das Zehe aus Dose t Kugel uterschedlcher Farbe Vordergrud, est Verbdug t der Erfassug der Ergebsse Strchlste. Be Laplace-Experete we de wederholte Würfelwurf herrscht dabe otvert durch das Gesetz der große Zahle tutv de Vorstellug, dass sch de Zählergebsse de Strchlste egeraße glechäßg vertele. Des st aber paradoxerwese cht so, we de vorlegede Betrag gezegt werde soll.. Das Proble ud see Herkuft I de letzte Kaptel Zufall ud Wahrschelchket des eue Uterrchtswerks Mathebau 4 fdet sch eführede Abschtt Zufallsexperete de folgede Aufgabe: Betrachtet a de ezele Augezahl-Lste separat, so st klar, dass de Azahl der Strche eder solche Lste eer B( p, )- Boalvertelug geügt t = ud p =/, woraus sch ee erwartete Strch- Azahl vo p= / =, ergbt. Bekatlch legt der axale Wert der zugehörge Eleetarwahrschelchkete be [( + ) p] (abgerudeter Wert), we ( + ) p cht gazzahlg st (vgl. BARTH UND HALLER (998), Satz 245.). I de her betrachtete kokrete Bespel legt deser Wert be. Es st also ahe leged, zu verute, dass sch de Strche de Augezahl-Lste u dese Wert heru epedel werde. Des st auch der Htergrud des Fragetels b). Allerdgs werde de Schüler be der Durchführug des Experets ettäuscht werde, de dese dealserte glechäßge Vertelug wrd sch be vorgegebee Wurfwederholuge t sehr hoher Wahrschelchket gerade cht estelle. Rückfrage be der Lehrkraft werde her verutlch kee Klarhet brge ud eher für Verwrrug auf alle Sete sorge.

2 Dass es sch be dese egeartge Phäoe cht u ee zufällge Erscheug, soder u ee systeatsche Effekt hadelt, soll Folgede äher erläutert werde. 2. Strchlste be Laplace-Experete Wr beschrebe soglech de allgeee Stuato, de sch folgederaße darstellt: e Laplace-Experet t glechwahrschelche Ausgäge werde al uabhägg wederholt. De Zufallsvarable Z k, zähle dabe, we häufg der Versuchsausgag k beobachtet wrd. Da geügt edes Z k, eer B(,/ ) - Boalvertelug, geauer: ( ) P Z k, ( ) = = für =,,. ( ),, De geesae Vertelug des Zufallsvektors Z = Z,, Z st dagege etwas koplzerter; wr erhalte her ee so geate Multoalvertelug M( ;/,,/ ) t de al zugehörge Eleetarwahrschelchkete,, P( Z = (,, ) ) = für,, {,, } t =. Dabe! bezechet,, = de so gea-!! te Multoalkoeffzete; er gbt de Azahl der Möglchkete a, we a uterschedbare Obekte auf Fächer so vertele ka, dass -te Fach geau Obekte zu lege koe. Für = 2 erhält a dabe wege + = de bekate Boalkoeffzete 2!! = = = =,!!!( )! zurück. Ee wetere lecht zu verfzerede Darstellugsöglchket für Multoalkoeffzete st k,, = k= t =. Des lässt sch kobatorsch auch folgederaße begrüde: aus de Obekte werde zuächst ohe Zurücklege gezoge ud das erste Fach gelegt; das geht auf Wese. Es verblebe Obekte; aus dee werde 2 ohe Zurücklege gezoge ud das zwete Fach gelegt; das geht auf Wese usw. 2 Ee ausführlche Dskusso vo Multoalkoeffzete ud der zugehörge Multoalvertelug fdet a z.b. HENZE (23), S. 49ff. Für das Ausgagsproble bedeutet des also: de geesae Strchlste Z be - fache Würfelwurf st M(;/,,/ ) - vertelt, d.h. es glt,, P( Z = (,, )) = { } für,,,, t =. 3. Das Paradox der uglechäßge Vertelug Ählch we be der Zehug der Lottozahle stelle wr us u vor, dass de Azahle der ezele Auge-Strchlste der Größe ach sortert werde. De resulterede Zufallsvektor bezeche wr glech allgeeer t S = ( S,,, S, ). Mt ee Arguet ählch de obge erhalte wr da als Vertelug vo de Ausdruck S 2

3 ,, r,, r P( S = (,, ) ) = für alle ageordete -Tupel ( ) r ud,, t wobe her och de agebe, we oft de Zahl de Tupel (,, ) vorkot (also de Velfachhete vo agebe). Es gbt älch gerade r,, r Strchlste t deselbe Eträge zu er- Strchlste zeuge. =, Möglchkete, aus der sorterte S Z alle öglche (usorterte) Dat hat be de ursprüglche Proble de der glechäßge Vertelug a ächste legede (der Größe ach) sorterte Strchlste (,,7,7,7,7) de Wahrschelchket ( S (,,7,7,7,7) ) P =,,7,7,7,7 2, 4 = =,358, d.h. Experetwederholuge t e Würfelwürfe trtt deser deale Fall (d.h. de Strchlste ethält ur de Eträge ud 7) durchschttlch etwa ur 3 al auf! Wr betrachte u zuächst de so geate Spawete D der Strchlste, d.h. de Dfferez aus de größte ud kleste Etrag, also de Zufallsvarable { } { } D = ax Z Z = S S,., k, k, k k Ihre Wahrschelchketsvertelug ka explzt berechet werde, älch veröge ( = ) = ( S = (,, )) P D d P t der vo d abhägge I- für d =,, dexege (,, ) I ( d) (,, ) I ( d) =,, r,, r {( ) I ( d) =,,, d,. = = I deser Idexege sd also alle ageordete Strchlste-Ergebsse ethalte, dere Spawete gerade d beträgt. De Struktur deser Idexege st sehr koplex; a ka aber t Hlfe des Coputers ee Lste t alle Eleete der ewelge Idexege sowe der Velfachhete hrer Eträge erzeuge ud aschleßed z.b. t EXCEL de Eleetarwahrschelchkete P( D = d) uersch bereche, wel EXCEL de Berechug vo Multoalkoeffzete über de tere Fukto POLYNOMIAL erlaubt. De achfolgede Tabelle zegt e Telergebs für das Afagsbespel t = ud =. Ma beachte, dass her P( D = ) = glt, wel kee Strchlste t lauter gleche Eträge exstert. (,, ) d ( r,, r) P( S = (,, )) , , , , , , , , ,584 3

4 (,, ) d ( r,, r) P S = ( ) (,, ) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,33472 Ma seht, dass de Azahl der Eleete der ewelge Idexege rasch sehr groß wrd. Be der Berechug der wurde der Vektor rechts t Nulle aufgefüllt. Das st für de Berechug der Multoalkoeffzete aber uerheblch, wel a bekatlch! = glt. Durch Addto der Wahrschelchkete der rechte Spalte für gleches d erhält a u folgedes Ergebs. r 4

5 d P( D = d),358 2,5432 3,8349 4, ,385328,7589 7, , ,45485,53523,7373 2,932 3, , ,4873, , ,843 9,7923 2,4445 De achfolgede Graphk zegt de Eleetarwahrschelchkete für de exakte Vertelug vo D ( grü) Verglech zu dee eer egatve Boalvertelug NB ( β. p) t de Paraeter β = 87,384 ud p =,8948 ( blau). De Eleetarwahrschelchkete eer NB( β. p) -Vertelug sd dabe gegebe durch β + (. ; ) k NB β pk = p β ( p) k, k=,,2, k,4,2,,8,,4,2 ( = d) P D t de verallgeeerte Boalkoeffzete β k + ( β+ k )( β+ k 2) β =, k =,,2, k k! ( ) Erstaulcherwese wrd de Wahrschelchket P D = d axal be d =, d.h. a häufgste ergebe sch her Strchlste, be dee de Spawete beträgt! Durch Addto der obge Wahrschelchkete seht a och, dass P( D ) >,55 st, d.h. durchschttlch ehr als ede zwete Experet beträgt de Spawete destes! De For der Wahrschelchketsvertelug vo D erert stark a de Noralvertelug. Se st aber cht gaz syetrsch; t ee Statstk-Progra ka a och ee gute Apassug a ee egatve Boalvertelug achwese. d Dese Vertelug bestzt de Erwartugswert p β ud de Varaz p β ; für β = p p 2 erhält a de bekate geoetrsche Vertelug, de Zusaehag t Wartezetexperete auftrtt (vgl. BARTH UND HALLER (998), Aufgabe 22, S. 22). Auf ählche Wese lässt sch auch de Vertelug des größte ud kleste Etrags der Strchlste erttel; a uss dazu ur de obge Idexege I( d ) ersetze durch de Idexege J( u) = (,, ) = u, = 5

6 für das Maxu U = ax Z = der k Strchlste t Wert u bzw. durch { }, k S, K () v = (,, ) v=, = für das Mu V = Z = der k { }, k S, Strchlste t Wert v. De folgede Tabelle lste ege der zugehörge Ergebsse auf. u PU ( = u) v PV ( = v) 7,4294 5,7449 8,8342, , ,4855 2,344 8, , , ,7825,988 23,34489, , ,242 25, ,28 2, , ,83 5, ,9757, ,4824 3, Dskusso Das agesprochee Proble zegt, dass a be eer tutve Arguetato, de be der Eführug ees eue Stoffgebets scher ageesse ud auch otwedg st, gerade der Stochastk aufpasse uss, wel se her achal zu falsche Vorstelluge führe ka. Der vorlegede Aufsatz soll deshalb ee Betrag dazu leste, sch auch krtsch t Lehrhalte auseader zu setze, gerade da, we Schüler aufgrud hres Alters selbst och cht der Lage sd, sch de Uterschede zwsche realer Beobachtug ud tutver Vorstellug zu erkläre. Be der kokrete Aufgabe dürfte es auch schwerg se, de Fragetel b) obe rchtg zu beatworte. De achfolgede Graphk zegt de eprsche Vertelug der Spawete be eer Würfelwurfzahl vo =. Herfür wurde sgesat Mllarde (!) Würfelwürfe t de PC sulert, das etsprcht der Sulato vo Mllo Strchlste.,4,35,3,25,2,5,,5 ( = d) P D d Als axaler Wert der Strchlste ergbt sch her a häufgste 2, als aler Wert a häufgste 2.,25,2 ( = u) PU De tutv erwartete glechäßgere Vertelug der Werte der Strchlste (wege der höhere Wurfzahl vo =) zegt sch t ee Modalwert vo etwa 3 für de Spawete D auch her och cht sehr deutlch.,5,, u Lteratur Barth, F.; Haller, R. (998): Stochastk Lestugskurs. Oldebourg Verlag, Müche.,25,2 PV ( = v),5,, v Heze, N. (23): Stochastk für Esteger. Veweg Verlag, Brauschweg. Hüber, G. et al. (24): Mathebau 4. Schroedel Verlag, Brauschweg.

7 Aschrft des Verfassers: Prof. Dr. Detar Pfefer Carl vo Ossetzky Uverstät Oldeburg Isttut für Matheatk Fakultät V Postfach Oldeburg detar.pfefer@ u-oldeburg.de 7