Mathematik der Finanzmärkte Vorlesungsskript

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1 Mathematk der Fnanzmärkte Vorlesungsskrpt Wnter 24/25 Achm Klenke Insttut für Mathematk Johannes Gutenberg-Unverstät Manz Staudngerweg 9 D-5599 Manz 16. Februar 25 korrgert: 11. Aprl 25

2 2 Inhaltsverzechns

3 Inhaltsverzechns 1 Enführung En Bespel Bnomsches En-Peroden-Modell Bnomsches Mehr-Peroden-Modell Wetere Dervate Stelkurs Martngale σ Algebren Bedngte Erwartungen Martngale Doob sche Zerlegung Stoppzeten und Optonal Samplng De Doob sche Unglechung Mathematsche Modellbldung dskreter Märkte Wertpapere und Portfolo Arbtrage Martngalprese Fundamentalsatz der Prestheore (für endlche Märkte) Amerkansche Clams Enführung Optmales Stoppen Exstenz optmaler Stoppzeten De Snell sche Enhüllende Charakterserung optmaler Stoppzeten Hedges und Prese Amerkanscher Clams

4 4 Inhaltsverzechns 5 Itô-Kalkül Prozesse n stetger Zet Integrale Das pfadwese Itô-Integral Das Itô-Integral der Brown schen Bewegung Mehrdmensonale Itô-Formel Lokalzet und Tanaka-Formel Lokale Martngale Der Itô sche Martngaldarstellungssatz Stochastsche Dfferentalglechungen De Grsanov Transformaton Ergänzungen Das Black Scholes Modell Modelle n stetger Zet Endmensonales Black Scholes Modell Europäsche Optonen und Black Scholes Formel Mehrdmensonales Black Scholes Modell Amerkansche Optonen n stetger Zet Allgemene Amerkansche Clams Der Amerkansche Put Ewge Put Opton Rentenmärkte Enführung Znsratenmodelle Vascek Modell Cox Ingersoll Ross Modell Das Heath Jarrow Morton Modell Znsratenmodelle als HJM Modelle Mehrfaktoren HJM Modell

5 INHALTSVERZEICHNIS 5 We start ths book wth a small ntroducton. Let us see how thngs wll develop, f not all but some of the quanttes are specfed by a small but not neglgble parameter.

6 6 INHALTSVERZEICHNIS

7 Kaptel 1 Enführung 1.1 En Bespel Betrachte ene Akte. Wert heute: S = 4 C=. Wert morgen { 5 C= mt WS p = 1 2, S 1 = 35 C= mt WS 1 p = 1 2. Ene Europäsche Call Opton st das Recht (aber ncht de Pflcht), ene Akte zum Fällgketstermn (expry oder maturty) T zum Ausführungspres (strke prce) K zu erwerben. Der Wert zur Zet T st C T = (S T K) +. Analog st ene Europäsche Put Opton en Verkaufsrecht mt Wert Frage: Was st der fare Verkaufspres π(c) von C? Im Bespel für K = 44 C=. Nav: Presung über den Erwartungswert P T = (K S T ) +. E[C] = E[(S 1 K) + ] = p(5 C= 44 C= ) = 3 C=. Denn der Wert der Opton zur Zet T = 1 st { 6 C=, falls der Kurs stegt, C =, falls der Kurs fällt. In Wrklchket st der fare Pres π(c) = 2 C=! Warum? Für 2 C= kann man de Opton von Hand herstellen. Handelsstratege (Hedge): Zet t = Kaufe.4 Akten je 4 C=. Das kostet 16 C=. Lehe dafür 14 C= von der Bank. Verblebende Kosten=Wert des Portfolos=2 C=. Zet t = 1 Fall 1: S 1 = 5 C=. Dann st der Wert des Portfolos.4 5 C= 14 C= = 6 C=. Fall 2: S 1 = 35 C=. Dann st der Wert des Portfolos.4 35 C= 14 C= = C=. In jedem Fall wrd genau der Wert der Opton nachgebldet. 7

8 8 Enführung Wäre der Marktpres π(c) für de Opton > 2 C=, so könnte man enen scheren Gewnn machen: Stelle Opton für 2 C= her und verkaufe se für π(c) > 2 C=. Wäre π(c) < 2 C= : Kaufe Opton, Verkaufe.4Akten, Verlehe 14 C=. In beden Fällen erwrtschaftet man enen scheren Gewnn. Bemerke: Der fare Pres π(c) hängt ncht von p ab! Gbt es enen Wert p, sodass π(c) = E [C]? Ja: p = 1 3 tut es, denn E [C] = p (5 C= K) Allgemener: Se H = = 5 C= 44 C= 3 = 2 C=. { H b, falls S 1 = 5 C=, H a, falls S 1 = 35 C=, en contngent Clam (kurz Clam). Dann st der fare Pres denn es gbt den Hedge π(h) = E [H] = p H b + (1 p )H a, Kaufe θ 1 = Hb H a 15 C= Akten Verlehe θ = H b Hb H a 5 C=. 15 C= Wert des Portfolos zur Zet 1 H b H a θ 1 S 1 + θ 15 = H b H a 15 = H. Kosten der Stratege (=Wert des Portfolos be t = ) 5 + H b Hb H a 5 = H b, falls S 1 = 5 C=, H b Hb H a 5 = H a, falls S 1 = 35 C=, 15 π(h) = θ 1 S + θ = Hb H a 15 = 1 3 Hb Ha = p H b + (1 p )H a = E [H]. Beachte: p st unabhängg von p und H. Was st p? p st endeutg festgelegt dadurch, dass 4 + H b Hb H a 5 15 E [S 1 ] = S. Das zugehörge Wahrschenlchketsmaß P heßt heßt rskoneutrales Wahrschenlchketsmaß. Problem: Nmmt S 1 dre oder mehr möglche Werte an, so kann en Clam m Allgemenen ncht durch enen rskofreen Hedge nachgebldet werden.

9 1.2. BINOMISCHES EIN-PERIODEN-MODELL 9 Marktannahmen Handel ohne Transaktonskosten unbegrenzte Stückzahlen (auch Bruchstücke) handelbar Geld lehen und verlehen unbegrenzt möglch, eventuell mt Znsen Negatver Bestz an Akten st möglch (short poston) Kene Arbtragemöglchket (Proft ohne Rsko) 1.2 Bnomsches En-Peroden-Modell Handelszetpunkte: T = {, 1} Bankkonto mt Verznsung r > : S = 1, S 1 = 1 + r Cash Bond Rskoanlage (S 1 t ) t T S 1 1 st ene Zufallsvarable n enem W-Raum (Ω, F, P) mt P[S1 1 = (1 + b)s 1 1 ] = p, P[S1 = (1 + a)s 1 ] = 1 p, } {{ } } {{ } =:S b =:S a für en p (, 1). Um Arbtrage auszuschleßen, muss a < r < b gelten. Wr setzen Portfolo: β = r. θ t = Enheten des Cash Bond S t n der Zet (t 1, t] θ t = Enheten der Rskoanlage S 1 t n der Zet (t 1, t] Wert des Portfolos Clam V = θ 1S + θ 1 1S 1 =: θ 1 S V t = θ t S t + θ 1 t S 1 t =: θ t S t für t 1. { H a, falls S 1 1 = (1 + a)s 1 H 1 = H b, falls S 1 1 = (1 + b)s 1. Farer Pres H = π(h) =? Wrd durch Hedge θ ermttelt. Dabe muss en Hedge erfüllen V = H, V 1 = H 1. Also H a = (1 + r)v + θ1( 1 (1 + a)s 1 (1 + r)s 1 ) H b = (1 + r)v + θ 1 1( (1 + b)s 1 (1 + r)s 1 ). Auflösen nach θ 1 1 ergbt θ 1 1 = Hb H a (b a)s 1 = Hb H a S b S a (sogenanntes ). (1.1)

10 1 Enführung Nochmal Ensetzen (mt β = 1 1+r ) lefert Es folgt und Also st Neues W-Maß Q auf (Ω, F) durch Dann st H b = (1 + r)θ1 + Hb H a (b a)s 1 (1 + b)s. 1 θ 1 = β (1 + b)ha (1 + a)h a b a [ V = β H a b r b a } {{ } =1 p +H b r a ]. b a } {{ } =:p π(h) = V = β[(1 p )H a + p H b ]. Q[S 1 1 = (1 + b)s 1 ] = 1 Q[S 1 1 = (1 + a)s 1 ] = p. E Q [βs1] 1 = βs 1 [ p (1 + b) + (1 p )(1 + a) ] [ 1 β(1 + a) = S 1 β(1 + b) 1 (1 + b) + (1 + a) ] b a b a = S 1. Das heßt, der dskonterte Pres S 1 t := β t S 1 t, t T st en Q Martngal. Nach Defnton von Q st π(h) = V = E Q [βh]. 1.3 Bnomsches Mehr-Peroden-Modell Das Modell wrd auch Cox-Ross-Rubnsten Modell genannt. De Menge der Handelszeten st T = {, 1,..., T }. Es gbt enen Cash Bond, der mt Znsrate r > verznst wrd S t = (1 + r) t für jedes t T. Wr schreben β := 1 1+r für den Dskonterungsfaktor. Es seen X 1,..., X T wobe a < r < b. unabhängge Zufallsvarablen auf enem W-Raum (Ω, F, P) mt P[X t = 1 + b] = 1 P[X 1 = 1 + a] = p (, 1) für jedes t T, Es gebe ene Rskoanlage S 1, de dargestellt wrd durch S 1 t = S 1 X 1 X t für jedes t T. Wr schreben S 1 t = β t S 1 t für de dskonterte Rskoanlage. En Clam H st ene Zufallsvarable auf (Ω, F, P), de nur von X 1,..., X T abhängt (also σ(x 1,..., X T )- messbar st). H t st der fare Handelspres von H zur Zet t. Spezell st H T = H und π(h) := H. Es st H t dann σ(x 1,..., X t )-messbar.

11 1.3. BINOMISCHES MEHR-PERIODEN-MODELL 11 Rückwärtsndukton Wr schreben H x1,...,xt t für den faren Handelspres von H zur Zet t, wenn de Werte X 1 = x 1,..., X t = 1; x1,...,xt x t bekannt snd. Analog schreben wr St = S 1 t s=1 x s für den Wert der Rskoanlage zur Zet t, wenn de entsprechenden Werte bekannt snd. Dann st we m En-Peroden-Modell H x1,...,x T 1 T 1 = β [ (1 p )H x1,...,x T 1,1+a + p H x1,...,x T 1,1+b ] und θt = β (1 + b)hx1,...,x T 1,1+a T (1 + a)h x1,...,x T 1,1+b T b a un- Se (we m Enperodenmodell) p abhängg snd mt θt 1 = Hx1,...,x T 1,1+b H x1,...,x T 1,1+a (b a)s 1; x1,...,x. T 1 T 1 = r a b a. Defneren wr Q auf (Ω, F) so, dass X 1,..., X T Q[X t = 1 + b] = 1 Q[X t = 1 + a] = p für jedes t T, so st H x1,...,x T 1 T 1 = E Q [βh x1,...,x T 1,X T T ] = E Q [βh T X 1 = x 1,..., X T 1 = x T 1 ]. Ferner st (Nachrechnen!) Also st (S 1 t ) t T en Q-Martngal. E Q [βs 1 t+1 S 1 t = s t ] = s t für alle möglchen s t. Für den Induktonsschrtt betrachten wr nun H T 1 = H X1,...,X T 1 T 1 als Clam n enem Modell mt T 1 Handelstagen. Dann st Induktv erhalten wr Spezell für t = erhalten wr de Presformel H x1,...,x T 2 T 2 = E Q [βh T 1 X 1 = x 1,..., X T 2 = x T 2 ] = E Q [β 2 H T X 1 = x 1,..., X T 2 = x T 2 ]. H x1,...,xt t = E Q [β t H T X 1 = x 1,..., X t = x t ]. π(h) = H = E Q [β T H T ]. We oben erhalten wr für den Hedge θ t = β (1 + b)hx1,...,xt 1,1+a t θt 1 = Hx1,...,xt 1,1+b t (1 + a)h X1,...,Xt 1,1+b t b a H x1,...,xt 1,1+a t. (b a)s 1 t 1

12 12 Enführung Bespel: Europäscher Call Dann st H T = (S 1 T K) +. Q[S 1 T = S 1 (1 + b) t (1 + a) T t ] = Also, mt A = mn{t N : S 1 (1 + b) t (1 + a) T t > K}, ( ) T (p ) t (1 p ) T t. t T ( ) T H = β T (p ) t (1 p ) T t [ (1 + b) t (1 + a) T t S 1 K ] + t t= T ( [ T (1 + b) = S )(p 1 ) t (1 p ) T t t (1 + a) T t ] t (1 + r) T t=a T ( ) T Kβ T (p ) t (1 p ) T t. t t=a Setzen wr nun p = p 1+b 1+r, dann st p (, 1) und 1 p = (1 p )(1+a) 1+r. Wr defneren de Bnomalvertelung m ( ) n b n,q (m) = q k (1 q) n k. k Dann erhalten wr de CRR-Formel k= π(h) = H = S 1 (1 b T,p (A)) Kβ T (1 b T,p (A)). Des st das dskrete Analogon zur Black Scholes Formel, de wr später noch kennen lernen werden. 1.4 Wetere Dervate Europäscher Put P = (K S 1 T )+. Dann st C T P T = (S 1 T K) + (K S 1 T ) + = S 1 T K. Für jedes t T st also C t P t = S 1 t β T t K. (1.2) Deser Zusammenhang heßt de Call Put Partät für europäsche Optonen. Es recht also bem Presproblem, nur Calls zu betrachten. Amerkanscher Call/Put C(A)/P (A) Fällgket T, Ausführungspres K. En amerkanscher Call/Put st das Recht, zu enem belebgen Zetpunkt τ T, ene Akte zum Pres K zu kaufen/verkaufen. C(A) = C(A) = sup (Sτ 1 K) + β τ T, τ T Stoppzet sup (K Sτ 1 ) + β τ T. τ T Stoppzet Für amerkansche Optonen gbt es kene Call Put Partät.

13 1.4. WEITERE DERIVATE 13 Forward F En Forward st en Prvatkontrakt ( over the counter =OTC), der vorseht, dass en Partner ( long ) zum Lefertermn T ene Akte zum Leferpres K dem anderen Partner ( short ) abkauft. F = S 1 T K. K st dabe so gewählt, dass der Kontrakt anfangs wertlos st: F gewählt werden? Hedge: θt 1 = 1, t T, θt = β T K. Dann st V T = θ T S T = ST 1 βt KST = S1 T K = F. =. We muss nun also K F := V = θ 1S 1 = S 1 β T K! =, also st der Forward Pres K = β T S 1.

14 14 Enführung

15 Kaptel 2 Stelkurs Martngale 2.1 σ Algebren Se Ω ene höchstens abzählbare Menge von Elementareregnssen. Ene σ-algebra F auf Ω st en Mengensystem F 2 Ω mt den Egenschaften Interpretaton, Ω F A F = A c := Ω \ A F A 1, A 2... F = A n F. n=1 F = { A Ω : A st beobachtbares Eregns }. F gbt also den Informatonsstand enes Beobachters an. Deser Informatonsstand kann durch zetlchen Verlauf wachsen. Defnton 2.1 Ene Famle F = (F t ) t=,...,t von Tel-σ-Algebren heßt Fltraton, falls F F 1 F 2... F T F Interpretaton: F t snd de bs Zet t beobachtbaren Eregnsse. Bespel 2.2 T facher Münzwurf. Ω = {, 1} T, F = 2 Ω, F t = { A t {, 1} T t : A t {, 1} t}. A t beschrebt de möglchen Ausgänge der ersten t Würfe. Defnton 2.3 Ene Abbldung X : Ω R heßt F messbar, falls X 1 (B) F für jedes B R. Also, falls X B en F beobachtbares Eregns st. Ist (Ω, F, P) en W-Raum, so heßt X ene Zufallsvarable. Defnton 2.4 Ist X : Ω R ene belebge Abbldung, so heßt σ(x) := { X 1 (B) : B R } de von X erzeugte σ Algebra. 15

16 16 Stelkurs Martngale σ(x) umfasst alle Eregnsse, de sch mt Kenntns von X beschreben lassen. Lemma 2.5 σ(x) st de klenste σ-algebra G auf Ω, sodass X Zufallsvarable auf (Ω, F, P), so st σ(x) F. G messbar st. Ist spezell X ene Bewes Übung! Bespel 2.6 Ω = {, 1} 2, X(ω) = ω 1 + ω 2. { σ(x) =, {(, 1)}, {(, 1), (1, )}, {(1, 1)},{(, ), (, 1), (1, )}, } {(, ), (1, 1)}, {(, 1), (1, ), (1, 1)}, Ω Defnton 2.7 Snd X 1,..., X n : Ω R, so heßt σ(x 1,..., X n ) = {(X 1,..., X n ) 1 (B) : B R n} de von X 1,..., X n messbar snd. erzeugte σ Algebra. Des st de klenste σ Algebra auf Ω, sodass X 1,..., X n Defnton 2.8 Snd X,..., X T Zufallsvarablen auf (Ω, F, P), so heßt de durch F t := σ(x,..., X t ), t {,..., T } defnerte Fltraton F de von X erzeugte Fltraton. Idee: F stellt den durch Beobachtung von X wachsenden Informatonsstand dar. Defnton 2.9 Se T := {,..., T }. Ene Famle X = (X t ) t T von Zufallsvarablen auf (Ω, F, P) heßt stochastscher Prozess. Ist F ene Fltraton und X t F t messbar für jedes t T, so heßt X an F adaptert. Ist X t auch F t 1 messbar für t 1, so heßt X prevsbel. Bespel 2.1 (Münzwurf) X = X t (ω) = ω t Y t = X X t Z t = X X t 1. Dann st F de von X erzeugte Fltraton. X, Y, Z snd adaptert und Z st prevsbel. 2.2 Bedngte Erwartungen Se X ene Zufallsvarable auf (Ω, F, P) mt E[ X ] < und G F ene Tel σ Algebra. Für A G mt P[A] > defneren wr E[X A] = E[X1 A]. P[A]

17 2.2. BEDINGTE ERWARTUNGEN 17 Des st der Erwartungswert von X bezüglch der bedngten Wahrschenlchket P[ ] = P[ A]. P[A] Da Ω abzählbar st, gbt es ene endlche oder abzählbare Menge I und dsjunkte Eregnsse A G, I, A A j =, j, sodass G = { } A. J I J De A snd de unzerlegbaren Eregnsse oder Atome von G. Für ω A defneren wr { E[X A ], falls P[A Y (ω) := ] >,, sonst. Dann st Y ene Zufallsvarable auf (Ω, G, P) mt der Egenschaft Herdurch st Y endeutg charaktersert. E[Y 1 A ] = E[X1 A ] für jedes A G. Defnton 2.11 De Zufallsvarable E[X G] := Y heßt de bedngte Erwartung von X gegeben G. Ist B F, so heßt P[B G] := E[1 B G] de bedngte Wahrschenlchket von B gegeben G. Bespel 2.12 Se Ω = {, 1} 2, F = 2 Ω und P[{ω}] = 1 4 für jedes ω. Ferner seen G = {, {(, ), (, 1)}, {(1, ), (1, 1)}, Ω }, X(ω) = ω 1 + ω 2, A = {(, ), (, 1)}, A 1 = {(1, ), (1, 1)}. Dann st E[X A ] = 1 2 und E[X A 1 ] = 3 2. Also st E[X G](ω) = { 1 2, falls ω A, 3 2, falls ω A 1. Wchtger Spezalfall: G = σ(y ) für ene Zufallsvarable Y. Defnton 2.13 Wr schreben E[X Y ] = E[X σ(y )]. Satz 2.14 (Faktorserungslemma) Se X ene reelle Zufallsvarable auf (Ω, F, P) mt E[ X ] < und Y ene R d -wertge Zufallsvarable. Dann exstert ene (bs auf Glechhet P Y -fast überall) endeutg bestmmte messbare Abbldung f : R d R, sodass Für y R d schreben wr E[X Y = y] := f(y). E[X Y ] = f(y ).

18 18 Stelkurs Martngale Satz 2.15 (Egenschaften der bedngten Erwartung) Seen X und Y Zufallsvarablen auf dem Wahrschenlchketsraum (Ω, F, P) mt E[ X ] < und E[ Y ] <. Ferner seen G 1, G 2 und G Unter-σ Algebren von F. Dann gelten de folgenden Aussagen: () (Lneartät) Für jedes λ R st E[λX + Y G] = λe[x G] + E[Y G]. () Ist Y G-messbar, so st E[XY G] = Y E[X G] E[Y G] = Y. () (Turmegenschaft) Ist G 1 G 2, so st E [ E[X G 1 ] G2 ] = E [ E[X G2 ] G1 ] = E[X G1 ]. (v) (Monotone) Ist X Y, so st E[X G] E[Y G]. (v) (Jensen sche Unglechung) Ist ϕ : R R {+ } konvex, so st E[ϕ(X) G] ϕ(e[x G]). (v) Snd X und Y unabhängg, so st E[X Y ] = E[X]. Bespel 2.16 Seen X, Y unabhängge Zufallsvarable. Dann st E[X + Y Y ] = E[X Y ] + E[Y Y ] = E[X] + Y. Bespel 2.17 Seen X 1,..., X T unabhängg, E[X t ] =, t = 1,..., T, F t := σ(x 1,..., X t ), S 1 := X X t. Dann st für t > s E[S t F s ] = E[X 1 F s ] E[X t F s ] = X X s + E[X s+1 ] E[X t ] = S s. Korollar 2.18 (Bedngte Erwartung als Projekton) Se G F ene σ-algebra und X ene Zufallsvarable mt E[X 2 ] <. Dann glt für jedes G-messbare Y mt E[Y 2 ] < mt Glechhet genau dann, wenn Y = E[X G]. E [ (X Y ) 2] E [( X E[X G] ) 2 ] Mt anderen Worten: E[X G] st de beste Vorhersage, de man über X machen kann, wenn man den Kenntnsstand G hat, oder formal: E[X G] st de orthogonale Projekton von X auf L 2 (Ω, G, P). (Herbe st L 2 (Ω, G, P) der Raum der quadratntegrablen G-messbaren Zufallsvarablen.)

19 2.3. MARTINGALE 19 Bewes Se Y messbar bezüglch G. Dann st (nach der Turmegenschaft) E[XY ] = E[E[X G]Y ] und E [ XE[X G] ] = E [ E[XE[X G] G] ] = E [ E[X G] 2 ], also E [ (X Y ) 2] [ (X E E[X G ]) ] 2 = E [X 2 2XY + Y 2 X 2 + 2XE[X G] E[X G] 2] = E [Y 2 2Y E[X G] + E[X G] 2] = E[ (Y E[X G] ) 2 ]. 2.3 Martngale Defnton 2.19 Se (Ω, F, P) en W-Raum, T = {,..., T }, und F ene Fltraton. En adapterter Prozess X = (X t ) t T mt E[ X t ] <, t T heßt Martngal, falls E[X t F s ] = X s t > s Submartngal, falls E[X t F s ] X s t > s Supermartngal, falls E[X t F s ] X s t > s Bemerkung 2.2 Es recht jewels nur t = s + 1 zu betrachten, denn E[E[X s+2 F s ] = E [ E[X s+2 F s+1 ] Fs ], und wenn de defnerenden Glechung (bzw. Unglechung) n enem Zetschrtt glt, dann zeht se sch durch n den zweten Zetschrtt und so fort. Bemerkung 2.21 Wrd de Fltraton F ncht explzt angegeben, so wrd stllschwegend angenommen, dass F =: σ(x) de von X erzeugte Fltraton st F t = σ(x s, s t). Bespel 2.22 Seen Y 1,..., Y T unabhängge Zufallsvarablen mt E[Y t ] =, t T. F t := σ(y 1,..., Y t ) t und X t := Y s. Dann st X adaptert und für t > s st s=1 Es folgt, dass X en Martngal st. E[X t F s ] = E[X t X s F s ] + E[X s F s ] t = E[Y r F s ] +X s } {{ } r=s+1 = = X s. Analog mplzert E[Y t ] dass X en Submartngal st, und E[Y t ] dass X en Supermartngal st.

20 2 Stelkurs Martngale Bespel 2.23 We oben, jedoch mt E[Y t ] = 1 und X t = t s=1 Y s, X = 1. Dann st X adaptert und Also st X en Martngal. E[X s+1 F s ] = E[Y s+1 X s F s ] = X s E[Y s+1 F s ] = X s. Bespel 2.24 Ist Y ene Zufallsvarable mt E[ Y ] < und F = (F t ) t T ene Fltraton sowe X t := E[Y F t ], t T. Dann st X en Martngal. Übung! Tatsächlch hat jedes F-Martngal dese Gestalt für ene gewsse Zufallsvarable X (man nehme X := X T ). Be unbeschränktem Zethorzont (T = N ) st dese Strukturaussage nur unter Zusatzannahmen an das Martngal gültg. Bespel 2.25 (Dskretes Stochastsches Integral) Se S en F-Martngal und (θ t ) t T beschränkt und F-prevsbel, θ := θ 1. Defnere den stochastschen Prozess θ S durch t (θ S) t := V t := θ s (S s S s 1 ). Interpretaton: V t Wert des Portfolos mt Anlagestratege θ und Kurs S. Dann st V an F adaptert und Also st V en Martngal. s=1 E[V t+1 F t ] = E[V t + θ t+1 (S t+1 S t ) F t ] = V t + E[θ t+1 (S t+1 S t ) F t ] = V t + θ t+1 E[S t+1 S t F t ] } {{ } = = V t. Satz 2.26 (Stabltätssatz für Stochastsche Integrale) En adapterter Prozess S st genau dann en Martngal, wenn für jeden beschränkten prevsblen Prozess θ das dskrete stochastsche Integral θ S en Martngal st. Bewes = Das wurde schon gezegt. = Wähle t T, Setze θ t = 1 t=t Dann st = E[(θ S) t F t 1 ] = E[S t F t 1] S t 1. Satz 2.27 Se X en Martngal und ϕ : R R ene konvexe Funkton. Ist E[ ϕ(x T ) ] <, dann st (ϕ(x t )) t T en Submartngal. Spezell st für jedes p 1 ( X t p ) t T en Submartngal, falls E[ X T p ] <.

21 2.4. DOOB SCHE ZERLEGUNG 21 Bewes Da ϕ konvex st, exstert en λ R mt ϕ(x) λ x + ϕ() für jedes x R. Es folgt, dass E[ϕ(X t ) ] λ E[ X t ] + ϕ() <. Da ϕ konvex st, st auch ϕ + : x ϕ(x) + konvex, also nach der Jensen schen Unglechung (und nach Voraussetzung) E[ϕ(X t ) + ] E[ϕ(X T ) + ] E[ ϕ(x T ) ] <. Mthn st E[ ϕ(x t ) ] <. Nochmalges Anwenden der Jensen schen Unglechung lefert E[ϕ(X t+1 ) F t ] ϕ(e[x t+1 F t ]) = ϕ(x t ). 2.4 Doob sche Zerlegung Se X en adapterter Prozess mt E[ X t ] < für jedes t T. Defnere für t T und Dann st M t := X + A t := t (X s E[X s F s 1 ]) s=1 t (E[X s F s 1 ] X s 1 ). s=1 X t = M t + A t, (Doob Zerlegung) wobe M en Martngal und A prevsbel st mt A =. Durch dese Egenschaften st de Zerlegung schon endeutg charaktersert. Probe (dafür, dass M en Martngal st): Also st M en Martngal. E[M t M t 1 F t 1 ] = E [ X t E[X t F t 1 ] Ft 1 ] =, X st genau dann en Submartngal, wenn A monoton wachsend st, genau dann en Supermartngal, wenn A monoton fallend st, und genau dann en Martngal, wenn A t = für jedes t T. Bespel 2.28 Se Y en Martngal mt E[YT 2 ] <. Nach Satz 2.27 st en Submartngal. Es st A t = = = t s=1 t s=1 E[Y 2 s F s 1 ] Y 2 s 1 X = (Y 2 t ) t T E[(Y s Y s 1 ) 2 F s 1 ] 2Y 2 s E[Y s 1 Y s F s 1 ] } {{ } t E[(Y s Y s 1 ) 2 F s 1 ]. s=1 Bezechnung: Y t := A t heßt quadratscher Varatonsprozess von Y. =Y s 1E[Y s F s 1]=Y 2 s 1

22 22 Stelkurs Martngale 2.5 Stoppzeten und Optonal Samplng Se T = {, 1..., T } und F = (F t ) t T ene Fltraton auf (Ω, F, P). Defnton 2.29 Ene Abbldung τ : Ω T { } heßt Stoppzet, falls {τ t} F t für jedes t T. Bespel 2.3 Se X an F adaptert und K >. Dann st τ := nf{t T : X t K} ene Stoppzet, denn t {τ t} = {X s K} F t. s=1 Lemma 2.31 Snd σ, τ Stoppzeten, dann auch Bewes Exemplarsch für σ τ: σ τ, σ τ, und σ + τ. {σ τ t} = {σ t} } {{ } {τ t} F t. } {{ } F t F t Andere Aussagen ähnlch. Achtung: Mt τ st zwar auch τ + 1, ncht aber τ 1 weder ene Stoppzet. Defnton 2.32 Ist τ ene Stoppzet, so wrd mt de σ Algebra der τ-vergangenhet bezechnet. F τ = { A F : A {τ t} F t, t T } Anschaulch: De Eregnsse n F τ snd beobachtbar bs Zet τ. Bespel 2.33 τ = nf{t : X t K} A = { max{x t, t T} > K 5 } B = { max{x t, t T} > K + 5 } Wegen {τ t} A t T st A {τ t} = {τ t} F t. Also st A F τ. Jedoch st m Allgemenen B F τ. Defnton 2.34 Ist (X t ) t T durch X τ adaptert und τ < ene Stoppzet, so defneren wr de Zufallsvarable (X τ )(ω) := X τ(ω) (ω). Lemma 2.35 X τ st F τ messbar.

23 2.5. STOPPZEITEN UND OPTIONAL SAMPLING 23 Bewes Se B R und s T. Dann st (X τ ) 1 (B) = t T ( {τ = t} X 1 t (B) ) also (X τ ) 1 (B) {τ s} = s ( ) {τ = t} {X 1 t (B)} Fs. } {{ } F t t= Lemma 2.36 Snd σ τ Stoppzeten, so st F σ F τ. Bewes Se A F σ. Dann st A {τ = t} = A {σ t} } {{ } {τ t} F t, } {{ } F t F t also A F τ. Satz 2.37 (Optonal Samplng Theorem) Se τ T ene Stoppzet und X en Martngal. Dann glt X τ = E[X T F τ ]. Spezell st E[X τ ] = E[X ]. Bewes Es recht zu zegen, dass für jedes A F τ glt E[X T 1 A ] = E[X τ 1 A ]. Nun st für t T de Menge {τ = t} A F t, also E[X τ 1 A ] = = = = T E[X t 1 {τ=t} A ] t= T E [ ] E[X T F t ]1 {τ=t} A t= T E [ E[X T 1 A 1 {τ=t} F t ] ] t= T E[X T 1 A 1 {τ=t} ] t= = E[X T 1 A ].

24 24 Stelkurs Martngale Bemerkung 2.38 Das OST glt für Martngale mt unbeschränktem Zethorzont nur unter der zusätzlchen Annahme: (X t ) t T st unform ntegrabel. Hnrechend dafür st bespelswese: sup E[ X t p ] < für en p > 1. t N Korollar 2.39 Ist X en Submartngal und snd σ τ T Stoppzeten, so st und spezell E[X σ ] E[X τ ]. Ist X en Martngal, so glt jewels Glechhet. X σ E[X τ F σ ] Bewes Se X = M + A de Doob sche Zerlegung, also A prevsbel und monoton wachsend, A =, und M en Martngal. Dann st X σ = A σ + M σ = E[A σ + M T F σ ] τ σ E[A τ + M T F σ ] F τ F σ = E[Aτ + E[M T F τ ] F σ ] = E[A τ + M τ F σ ] = E[X τ F σ ]. Satz 2.4 (Optonal Stoppng) Se X en (Sub-,Super-)Martngal bezüglch F und τ T ene Stoppzet. Se X τ := (X τ t ) t T der gestoppte Prozess und F τ = (F τ t ) t T = (F τ t ) t T. Dann st X τ en (Sub-,Super-)Martngal sowohl bezüglch F als auch F τ. Bewes Wr führen den Bewes nur für den Fall, dass X en Submartngal st. De anderen Fälle ergeben sch, wel dann X en Submartngal st. Se also X en Submartngal. Klar st X τ an F und auch an F τ adaptert. Wegen {τ > t 1} F t 1 st E[X τ t X τ (t 1) F t 1 ] = E[(X t X t 1 )1 {τ>t 1} F t 1 ] = 1 {τ>t 1} E[X t X t 1 F t 1 ], da X en F Submartngal st. Also st X τ en F-Submartngal. Heraus folgt E[X τ t F τ (t 1) ] = E [ E[X τ t F t 1 ] ] Fτ (t 1) E[X τ (t 1) F τ (t 1) ] = X τ (t 1). Also st X τ auch en F τ -Submartngal.

25 2.6. DIE DOOB SCHE UNGLEICHUNG De Doob sche Unglechung Se T = {, 1..., T } und X = (X t ) t T en stochastscher Prozess. Wr schreben X = sup{x t, t T} X = sup{ X t, t T}. Proposton 2.41 Ist X en Submartngal, dann glt für jedes λ > λp[x λ] E[X T 1 {X λ}] E[ X T 1 {X λ}]. Bewes De zwete Unglechung st trval. Für de erste betrachte τ := nf{t T : X t λ} T. Nach Korollar 2.39 st E[X T ] E[X τ ] = E[X τ 1 {X λ}] + E[X τ 1 {X <λ}] λp[x λ] + E[X T 1 {X <λ}]. (Merke: τ = T, falls X < λ.) Jetzt subtrahere E[X T 1 {X <λ}]. Satz 2.42 (Doob sche L p -Unglechung) Se X en Martngal oder en postves Submartngal. Dann glt für jedes p 1 und λ > λ p P[ X λ] E[ X T p ] und für p > 1 E[ X T p ] E[( X ) p ] ( ) p p E[ X T p ]. p 1 Bewes Nach Satz 2.27 st ( X t p ) t T en Submartngal, und es folgt de erste Unglechung aus der Proposton. Be Tel 2 st de erste Unglechung trval. Für de zwete Unglechung beachte, dass nach der Proposton glt λp[ X λ] E[ X T 1 { X λ}].

26 26 Stelkurs Martngale Also st für jedes k > [ ] X k E[( X k) p ] = E pλ p 1 dλ [ ] k = p E λ p 1 1 X λ dλ = p p = p E k k λ p 1 P[ X λ] dλ λ p 2 E[ X T 1 X λ] dλ [ ] X T X k λ p 2 dλ = p p 1 E[ X T ( X k) p 1]. De Hölder sche Unglechung lefert dann E [ ( X k) p] p p 1 E[ ( X k) p] (p 1)/p E [ XT p] 1/p. Heraus folgt Lasse jetzt k. E[( X k) p ] ( ) p p E[ X T p ]. p 1

27 Kaptel 3 Mathematsche Modellbldung dskreter Märkte 3.1 Wertpapere und Portfolo Im folgenden st stets (Ω, F, P) en abzählbarer Wahrschenlchketsraum, F = 2 Ω. Zethorzont T N Handelstage T = {, 1,..., T } S = (S t) t T, =, 1,..., d de Presverläufe von d + 1 Wertpaperen (asset, securty) S t = (S t, =,..., d) R d+1 S := (S t ) t T. Annahme: S t > t T sowe S, = 1,..., d snd determnstsch F = (F t ) t T, wobe Annahme: F T = F. F t = σ(s s, = 1,..., d, s t). S heßt de rskofree Anlage oder Cash Bond. Defnton 3.1 Das Hexupel (Ω, F, P, T, F, S) heßt en Marktmodell, oder kurz: Markt. Durch β t = 1 wrd der Dskonterungsprozess β = (β St t ) t T defnert. Für jeden stochastschen Prozess X defneren wr den dskonterten Prozess X durch X st der Dfferenzenprozess X t = β t X t für jedes t T. X t = X t X t 1 für jedes t T \ {}. 27

28 28 Mathematsche Modellbldung dskreter Märkte Ene Handelsstratege st en prevsbler Prozess θ = (θ t ) t=1,...,t = ((θ t) t=1,...,t, =,..., d). θt st de Anzahl Wertpapere vom Typ, de n der Zet (t 1, t] gehalten werden. Der Wert des Portfolos mt Stratege θ st V (θ) = θ 1 S d V t (θ) = θ t S t = θts t für jedes t T \ {}. Der Zugewnnprozess st G (θ) = t G t (θ) = θ t S s = s=1 t = s=1 = d θt(s s Ss 1) für jedes t T \ {}. Defnton 3.2 Ene Handelsstratege heßt selbstfnanzerend (self fnancng), falls V t (θ) = V (θ) + G t (θ) für jedes t T. oder, äquvalent, V t (θ) = θ t S t für jedes t T \ {}. De Gesamthet selbstfnanzerender Handelsstrategen wrd mt Θ bezechnet. Außerdem st Θ + = { θ Θ : P[V t (θ) ] = 1 t T }. De Wertveränderung ener s.f. Stratege ergbt sch also nur durch Kursveränderungen, ncht aber durch externe Quellen oder Kosten. Insbesondere entsteht kene Wertveränderung durch das Umschchten zur Zet t 1: Lemma 3.3 θ Θ ( θ t ) S t 1 = für jedes t T \ {} ( θ t ) S t 1 = für jedes t T \ {}. Bewes Übung! Ene s.f. Stratege θ Θ st schon endeutg bestmmt durch de Angabe von θ 1,..., θ d. Es st nämlch S t =, also d t d V t (θ) = θt + θts t = V (θ) + θs S s. Es folgt θ t = =1 t d V (θ) + θ } {{ } s S s s=1 =1 Startkaptal } {{ } dskonterte Gewnne s=1 =1 d θts t =1 } {{ } Inv. n andere WP e.

29 3.2. ARBITRAGE 29 Defnton 3.4 Ene Zufallsvarable H auf (Ω, F, P) heßt Clam. H heßt abscherbar oder replzerbar (attanable), falls es ene selbstfnanzerende Stratege θ Θ gbt mt θ heßt dann en Hedge für H. V T (θ) = H. Defnton 3.5 En Markt, n dem jeder Clam abscherbar st, heßt vollständg. Bespel 3.6 Das Cox-Ross-Rubnsten Modell st vollständg. Wr hatten n Abschntt 1.3 für jeden Clam explzt enen Hedge angegeben. 3.2 Arbtrage Ene Arbtrage bezechnet de Möglchket, durch Handel enen rskofreen Proft zu machen. Defnton 3.7 Ene Arbtragemöglchket st ene selbstfnanzerende Stratege θ Θ mt V (θ) =, V T (θ) und P[V T (θ) > ] >. θ heßt starke Arbtragemöglchket, falls zudem θ Θ + glt. En Marktmodell heßt arbtragefre, falls es kene Arbtragemöglchket gbt. Ist H en Clam, so heßt jeder adapterte stochastsche Prozess (H t ) t T mt H T = H mt der Egenschaft, dass der um das Rskopaper S d+1 := (H t ) t T erweterte Markt arbtragefre st, en Arbtragepres- Prozess für H. Spezell heßt dann jeder Wert π(h) := H en Arbtragepres oder farer Handelspres für H. Lemma 3.8 Se θ Θ und τ ene Stoppzet. Dann wrd durch { θt τ = ene selbstfnanzerende Stratege θ τ Θ defnert. θ t, falls t τ, (V τ,,..., ), falls t > τ, Idee: Sell-and-Go, zur Zet τ wrd alles verkauft und der Erlös ns Bankkonto gebracht. Bewes Per Konstrukton st θ τ prevsbel. Außerdem st θ τ selbstfnanzerend, denn: t τ : θ τ t S t 1 = θ t S t 1 =, t > τ + 1 : θ τ t =, t = τ + 1 : θ τ τ+1 S τ = θ τ τ+1 S τ θ τ τ S τ = V τ (θ) V τ (θ) =. Satz 3.9 Ist θ Θ mt V T (θ) und P[V t (θ) < für en t T] >, so exstert ene starke Arbtragemöglchket.

30 3 Mathematsche Modellbldung dskreter Märkte Bewes Se T := sup { t T : P[V t 1 (θ) < ] > }. Nach Voraussetzung st 1 T T. Defnere de Stoppzet τ durch { T 1, falls V τ = T 1(θ) <,, sonst. Defnere φ := θ θ τ Θ. Dann st V (φ) = und V t (φ) = V t (θ) V t (θ τ ) = ( V t (θ) V t (θ τ ) ) 1 {t>τ} = ( V t (θ) V t (θ τ ) } {{ } } {{ } <, ) 1{t T, V T 1(θ)<} sowe P[V T (φ) > ] P[V T 1(θ) < ] >. Also st φ Θ + und φ ene starke Arbtragemöglchket. Korollar 3.1 En Markt st arbtragefre genau dann, wenn wenn es kene starke Arbtragemöglchket gbt. Korollar 3.11 Ist der Markt arbtragefre und θ Θ mt V T (θ) =, so st V t (θ) = t T. Bewes Satz 3.9 mt θ und θ anwenden! Aus technschen Gründen brauchen wr noch den Begrff der beschränkten Handelsstrategen, wobe nur der Bestz der Rskopapere beschränkt st, ncht jedoch das Bankkonto. Korollar 3.12 (Exstenz und Endeutgket des Arbtragepreses) Ist der Markt arbtragefre und H en replzerbarer Clam, so st der Arbtragepres-Prozess (H t ) t T und spezell der Arbtragepres π(h) endeutg und durch den Werteprozess enes jeden Hedges für H gegeben. Bewes Ist θ en Hedge für H, so st θ := (θ, θ 1,..., θ d, 1) ene selbstfnanzerende Stratege n dem um S d+1 = (H t ) t T erweterten arbtragefreen Markt mt V t ( θ) = V t (θ) H t. Da θ ene Hedge st, st V T ( θ) =, also V t ( θ) = für jedes t T und damt V t (θ) = H t für jedes t T. Übung 3.1 Man zege: Snd H 1 und H 2 Arbtragepres-Prozesse für den Clam H, so st für jedes λ [, 1] de Konvexkombnaton λh 1 + (1 λ)h 2 ebenfalls weder en Arbtragepres-Prozess. Spezell st de Menge der möglchen Arbtrageprese π(h) en Intervall. Defnton 3.13 Für N > bezechnen wr mt Θ N := { θ Θ : θ t N für alle = 1,..., d; t T } de Menge der durch N beschränkten selbstfnanzerenden Strategen und mt Θ b := N> Θ N de Menge der beschränkten selbstfnanzerenden Strategen.

31 3.3. MARTINGALPREISE 31 Satz 3.14 En Markt st arbtragefre genau dann, wenn es kene beschränkte starke Arbtragemöglchket φ Θ b Θ + gbt. Bewes Wr nehmen an, dass es ene Arbtragemöglchket gbt. Nach Korollar 3.1 können wr dann ene starke Arbtragemöglchket θ Θ + fnden. Defnere für N > τ N := nf { t T : max{ θ t+1, = 1,..., d} > N }. Da θ prevsbel st, st τ N ene Stoppzet und de Sell-and-Go Stratege θ τ N Θ N Θ +. Ferner glt τ N fast scher. Also st ( ) V θ τ N =, V T (θ ) τ N und ( P [V ) ] T θ τ N > P [ V T (θ) > ] P [ τ N < ] N P [ V T (θ) > ] >. ( ) ] Also exstert en N > mt P [V T θ τ N > > und φ := θ τ N Θ b Θ + st ene Arbtragemöglchket. 3.3 Martngalprese Ernnerung: β t = 1 S t und X t = β t X t. Defnton 3.15 () Seen P und Q zwe W-Maße auf enem Messraum (Ω, F) mt der Egenschaft für jedes A F glt : P [A] = = Q[A] =. Dann heßt Q absolutstetg bezüglch P, symbolsch Q P. () Se Q P. De endeutg bestmmte Zufallsvarable Z auf (Ω, F, P ) mt Q[A] = E P [1 A Z] für alle A F heßt Dchte von Q bezüglch P, oder Radon-Nkodym-Abletung dq := Z. Ist Ω dp abzählbar, so kann Z auf den Atomen A 1, A 2,... F defnert werden durch Q[A ] Z(ω) = P [A ], falls A ω und P[A ] >,, sonst. () Glt Q P und P Q, so heßen P und Q äquvalent: : P Q. Bespel 3.16 (Münzwurf) Ω = {, 1} T, F = 2 Ω. Für p [, 1] se π p := T ((1 p)δ + pδ 1 ) =1 das Produktmaß auf Ω mt Erfolgswahrschenlchket p, also π p ({ω}) = T p ω (1 p) ω. =1

32 32 Mathematsche Modellbldung dskreter Märkte Es seen P = π p und Q = π q. Ist p (, 1), so st P [{ω}] > für jedes ω, also Q P. Ist p =, 1, so st genau dann Q P wenn p = q. Es glt also P Q p, q (, 1) oder p = q. Für p (, 1) st dq Q[{ω}] T (ω) = dp P [{ω}] = =1 ( q p ) ω ( ) 1 ω 1 q. 1 p Defnton 3.17 Ist Q P und (S t ) t T en Q Martngal, also jedes S en Martngal auf (Ω, F, Q, F), so heßt Q en äquvalentes Martngalmaß (ÄMM) für den Markt (Ω, F, P, F, T, S). De Menge der äquvalenten Martngalmaße bezechnen wr mt P Bespel 3.18 Im CRR Modell st Ω = {, 1} T, F = 2 Ω, P = π p für en p (, 1). S t = (1 + r) t, X t (ω) = ω t und S 1 t = t (1 + a + (b a)xt), wobe a < r < b, β = 1 1+r sowe Ft = σ(s 1 s, s t) = σ(x s, s t). =1 Se q = r a b a und Q = π q, also unter Q: (X t ) t=1,...,t snd unabhängg Bernoull(q). Dann st E Q [S 1 t F t 1 ] = E Q [β(1 + a + (b a)x t )S 1 t 1 F t 1 ] = r EQ [(1 + a + (b a)x t ) F t 1 ]S 1 t a + (b a)q = S 1 t 1 = S r t 1. Also st S 1 en Q Martngal. Wegen S 1 st auch S en Q Martngal. De Rechnung zegt: Q st das enzge ÄMM P = {Q}. Proposton 3.19 Ist P und Q P, so st für jedes θ Θ b der dskonterte Wertprozess V (θ) = (β t V t (θ)) t T en Q Martngal. Bewes Wegen S st V t (θ) = V (θ) + d ( θ S ), t =1 wobe θ S das stochastsche Integral aus Bespel 2.25 st: ( θ S ) t t = θs S s. s=1 Da θ beschränkt st, st θ S en Q Martngal. Also st auch V (θ) en Q Martngal.

33 3.3. MARTINGALPREISE 33 Satz 3.2 Ist P, so st der Markt arbtragefre. Bewes Se P und Q P. Wr nehmen an, dass der Markt ncht arbtragefre st. Dann exstert nach Satz 3.14 ene beschränkte Arbtragemöglchket θ Θ b Θ +. Es glt dann P[V (θ) = ] = 1 = Q[V (θ) = ] P[V T (θ) ] = 1 = Q[V T (θ) ] sowe Ferner st P[V T (θ) ] > = Q[V T (θ) > ] >. E Q [V T (θ)] = E Q [V (θ)] =, also Q[V T (θ) = ] = 1. Wderspruch! Satz 3.21 Se P und H en abscherbarer Clam. Dann st für jedes Q P der dskonterte Arbtragepresprozess H en Q-Martngal. Spezell st H t = E Q [β T H F t ] und π(h) = E Q [β T H]. Bewes Se θ Θ en Hedge für H: V T (θ) = H. Da P st, st der Markt arbtragefre (Satz 3.2), also st θ Θ + (Satz 3.9). Falls θ Θ b st, so lefert Proposton 3.19 de Aussage. Im allgemenen Fall müssen wr ene approxmerende Folge θ N θ, N n Θ b konstrueren. We m Bewes von Satz 3.14 st für N > τ N := nf { t T : max{ θ t+1, = 1,..., d} > N }. und θ τ N Θ b Θ + de entsprechende Sell-and-Go Stratege. Wegen τ N und {θ τ N θ} {τ N T } glt V t (θ τ N ) N Lemma von Fatou st daher V t (θ) Q fast scher. Nach dem E Q [V t (θ)] lm nf N EQ [V t (θ τ N )] = lm nf N EQ [V (θ τ N )] } {{ } =V (θ) = V (θ) <. Klar st T V t (θ τ N ) = V τ N t(θ) V s (θ) =: Y. s= Nach dem eben gezegten st E Q [Y ] = (T + 1)V (θ) <. Also st E Q [ V t (θ τ N ) V t (θ) ] = E Q [ V τ N t(θ) V t (θ) 1 τ N T ] E Q [(Y + V t (θ))1 τ N T ] N.

34 34 Mathematsche Modellbldung dskreter Märkte (Etwas drekter geht das mt dem Lebesgue schen Konvergenzsatz und Y als Majorante.) Also glt E Q [ E Q [V t (θ) V t 1 (θ) F t 1 ] ] E Q [ E Q [V t (θ τ N ) V t 1 (θ τ N ) F t 1 ] ] } {{ } =, da V (θ τ N ) en Q-Mart. + E Q [ V t (θ τ N ) V t (θ) ] + E Q [ V t 1 (θ τ N ) V t 1 (θ) ] N. Es folgt E Q [V t (θ) F t 1 ] = V t 1 Q-f.s. Also st V (θ) en Q Martngal. Satz 3.22 Ist der Markt vollständg, so st P 1. Bewes Se der Markt vollständg. Ist P =, so snd wr fertg. Se nun P angenommen und Q, Q P. Ist A F, so st H = 1 A en abscherbarer Clam. Nach Satz 3.21 st Q[A] = E Q [1 A ] = π(h) = E Q [1 A ] = Q [A]. 3.4 Fundamentalsatz der Prestheore (für endlche Märkte) En Markt (Ω, F, P, T, F, S) heßt endlch, falls Ω <. Ohne Enschränkung können wr dann F = 2 Ω und P[{ω}] > für jedes ω Ω annehmen. Lemma 3.23 (Trennsatz) Se (V,, ) en eukldscher endlch-dmensonaler Vektorraum und U V en lnearer Unterraum sowe C V konvex und kompakt mt C U =. Dann exstert en x V mt x, y =, y U x, y >, y C. Bewes Se π U : V U de orthogonale Projekton. Dann st π U (C) kompakt, und das Infmum d(u, C) := nf{ u c : u U, c C} = nf{ u c : u π U (C), c C} wrd angenommen für en u U und c C. Spezell st d(u, C) = u c >. Klar st u = π U (c ), also mt x := c u x, u = c π U (c ), u = u U. Außerdem glt für jedes c C und λ [, 1] aufgrund der Konvextät von C Also st c + λ(c c ) C und u (c + λ(c c )) u c >. d dλ u c λ(c c ) 2 λ= = d ( ) λ 2 c c, c c + 2λ c c, c u dλ λ= = 2 c c, x. Es folgt c, x c, x = c u, x = x 2 >.

35 3.4. FUNDAMENTALSATZ DER PREISTHEORIE (FÜR ENDLICHE MÄRKTE) 35 Satz 3.24 (Fundamentalsatz der Prestheore) En endlcher Markt st arbtragefre genau dann, wenn es en äquvalentes Martngalmaß gbt. Bewes = Se P. Nach Satz 3.2 st der Markt arbtragefre. = Se nun der Markt arbtragefre. Bezechne V = L2 (Ω, F, P) den Raum der Zufallsvarablen auf (Ω, F, P) mt Skalarprodukt X, Y = E[X Y ]. Es se { d } ( U = θ S ) T : θ Θ V. =1 U st lnear, wel θ lnear st. Schleßlch se C = {X V : X, E[X] = 1}. C st konvex und abgeschlossen. Außerdem st C Telmenge der kompakten Menge Also st C auch kompakt. Offenbar glt [, 1/P[{ω}]]. ω Ω Markt arbtragefre C U =. Nach Lemma 3.23 gbt es en X V mt X, G = G U und X, Y > Y C. Für A F, A st Y A := 1 A C. Also st E[X1 P[A] A] > und damt X(ω) > für jedes ω. Setze nun Q[A] = E[X1 A], A F. E[X] Dann st Q[A] > für A und Q[Ω] = 1, also Q P en W-Maß. Se {1,..., d}, t T, A F t. Defnere θ Θ durch θ j =, falls j {, } und θ s = 1 A 1 s>t. Das heßt be Entrtt von A wrd zur Zet t en Paper vom Typ gekauft und gehalten. Dann st also V T (θ) V t (θ) = (S T S t)1 A U, = X, V T (θ) V t (θ) = E[X (V T (θ) V t (θ))] = E Q [(S T S t)1 A ]. Da A F t belebg war, folgt nach Defnton der bedngten Erwartung, dass E Q [S T F t] = S t. Also st S en Q Martngal, und damt st Q P. Satz 3.25 En arbtragefreer endlcher Markt st vollständg genau dann, wenn es en endeutges äquvalentes Martngalmaß gbt.

36 36 Mathematsche Modellbldung dskreter Märkte Bewes = Ist der Markt arbtragefre, so st P nach Satz Ist er zudem vollständg, so st P = 1 nach Satz = Der Markt se arbtragefre, aber unvollständg. Zu zegen st: P 2. Nach Satz 3.24 st P. Se also Q P und X en ncht abscherbarer Clam. Seen Dann st X U und V := L 2 (Ω, F, Q) mt X, Y = E Q [XY ], U := { V T (θ) : θ Θ } V. X = X a + X, wobe X a U replzerbar st ( a für attanable) und X, Y = für alle Y U, und nach Voraussetzung X. Se < ε < sup { X (ω) ; ω Ω } und Wegen 1 U st E Q [X ] = und also Q ε en W-Maß. Außerdem st also Q ε Q. Q ε [A] = E Q [(1 + εx )1 A ] für jedes A F. Q ε [Ω] = E Q [1] + εe Q [X ] = 1, E Qε [X ] = εe Q [(X ) 2 ] = E Q [X ], We m Bewes von Satz 3.24 st für = 1,..., d, t T und A F t dann (S T S t)1 A U, also E Qε [(S T S t)1 A ] = E Q [(S T S t)1 A ] +ε E Q [X (S T S } {{ } t)1 A ] } {{ } =. = da S Q Mart. = da X U und (S T S t )1 A U Es folgt, dass S en Q ε Martngal st, also st Q ε P. Insbesondere st also P 2. Wr wollen nun de de Wrksamket der beden vorangehenden Sätze an zwe uns schon bekannten Bespelen nachprüfen: dem Cox-Ross-Rubnsten Modell und enem Modell mt drefacher Verzwegung m Presprozess. Entgegen der früheren ökonomschen Argumentaton können wr nun ganz formal de Bedngungen für Exstenz und Endeutgket enes ÄMM prüfen, um den Markt auf Vollständgket und Arbtragefrehet hn zu untersuchen. Bespel 3.26 Cox-Ross-Rubnsten Modell Im Cox-Ross-Rubnsten Modell st Ω = {, 1} T, F = 2 Ω und P = π p für en p (, 1). Wr defneren de Zufallsvarablen X t (ω) = ω t für t = 1,..., T und den Presprozess des Rskopapers S 1 durch St 1 (ω) = t s=1 (1 + a + (b a)x s(ω)) für t T, wobe a < b Parameter des Modells snd. Schleßlch defneren wr den Cash-Bond S durch St = (1 + r) t, wobe r de konstante Znsrate st. Ist Q nun en weteres Wahrschenlchketsmaß, so st der dskonterte Werteprozess des Rskopapers S 1 = ((1 + r) t S 1 t ) t T genau dann en Q Martngal, wenn 1 =! (1 + r) 1 E Q [(1 + a + (b a)x t ) F t 1 ] = 1 + bq[x t = 1 F t 1 ] + aq[x t = F t 1 ] 1 + r = 1 + a + (b a)q[x t = 1 F t 1 ]. 1 + r

37 3.4. FUNDAMENTALSATZ DER PREISTHEORIE (FÜR ENDLICHE MÄRKTE) 37 Dese Bedngung st aber äquvalent dazu, dass Q[X t = 1 F t 1 ] = q für jedes t = 1,..., T, wobe q := r a b a. Nun st Q durch alle bedngten Wahrschenlchketen berets festgelegt (we man etwa n der Schule lernt, wenn man de Wahrschenlchketsbäume malt), also st Q = π q. Ohne dass wr de Exstenz von Q explzt voraussetzen, können wr schleßen, dass en äquvalentes Martngalmaß Q stets endeutg st, was wederum äquvalent dazu st, dass der Markt vollständg st. Damt das Maß Q = π q en W-Maß st und äquvalent zu P st, st notwendg und hnrechend, dass q (, 1) a < r < b der Markt st arbtragefre. Ist der Markt nun also vollständg und arbtragefre, so erhalten wr den Arbtragepres enes Clams als den Martngalpres bezüglch des endeutgen äquvalenten Martngalmaßes. Im Falle des europäschen Calls C = (S 1 T K)+ st st we n Abschntt 1.3. π(c) = E Q [ (1 + r) T (S 1 T K) +] = (1 + r) T T l= ( ) T q l (1 q) T l [ (1 + b) l (1 + a) T l K ] + l Bespel 3.27 Se Ω = {1, 2, 3}, F = 2 Ω, P[{ω}] > für jedes ω, und T = {, 1}. Ferner gebe es den Cash-Bond S 1 (kene Verznsung) und das Rskopaper S 1 mt wobe s 1 < s 2 < s 3. S 1 = 1 und S 1 1(ω) = s ω, Ist s 1 > 1, so st E Q [S 1 1] s 1 > 1 für jedes Q, also P =, und der Markt st ncht arbtragefre. Ebenso, falls s 3 < 1. Se nun s 1 < 1 < s 3 und z.b. s 2 > 1 sowe ( s2 1 q 1, s ) 3 1 s 2 s 1 s 3 s 1 q 2 = s 3 1 q 1 (s 3 s 1 ) s 3 s 2 q 3 = 1 q 2 q 1. Dann defnert Q[{ω}] := q ω en Wahrschenlchketsmaß Q, das en ÄMM st (Nachrechnen!). Spezell st P =, also st der Markt ncht vollständg.

38 38 Mathematsche Modellbldung dskreter Märkte

39 Kaptel 4 Amerkansche Clams Amerkansche Clams unterscheden sch grundsätzlch von europäschen Clams dadurch, dass der Käufer bs zum letztmöglchen Fällgketstermn der Opton den Ausübungszetpunkt der Opton selber bestmmt. Dabe muss sch der Käufer ncht vorher festlegen, wann er de Opton ausübt, sondern kann des nach Beobachtung des Marktes dynamsch entscheden. Das wesentlche neue Problem (für den Käufer) n desem Zusammenhang st es, enen optmalen Ausübungszetpunkt zu fnden. Der Verkäufer muss hngegen für de Presgestaltung de optmalen Strategen kennen. Wr werden das auftretende Problem zunächst n enem konkreten Zusammenhang betrachten. Es folgt en Abschntt über de allgemene Theore des optmalen Stoppens. Schleßlch wenden wr de Ergebnsse an, um Hedges und Arbtragepres für amerkansche Clams zu bestmmen. 4.1 Enführung Wr betrachten enen vollständgen arbtragefreen Markt mt enem Wertpaper S 1 und mt ÄMM Q. Defnton 4.1 Se (f t ) t T en adapterter nchtnegatver Prozess. En amerkanscher Clam C f mt Auszahlungsfunkton (f t ) t T gbt dem Käufer zur Zet τ de Auszahlung f τ, wobe τ T ene vom Käufer fre gewählte Stoppzet st. Bespel 4.2 Amerkanscher Call mt Ausführungspres K: f t = (S 1 t K) +. Amerkanscher Put mt Ausführungspres K: f t = (K S 1 t ) +. Defnton 4.3 Für t T se und T = T. Lemma 4.4 T t = {τ st Stoppzet: t τ T } π(c f ) sup E Q [β τ f τ ]. τ T Bewes Annahme: π(c f ) < sup τ T E Q [β τ f τ ]. Wähle τ T mt E Q [β τ f τ ] > π(c f ). Kaufe C f und verkaufe den (europäschen) Clam β 1 T β τ f τ für E Q [β τ f τ ] mt scherem Gewnn. 39

40 4 Amerkansche Clams Defnton 4.5 En Hedge für C f st ene selbstfnanzerende Stratege θ Θ mt V t (θ) f t für jedes t T. En Hedge heßt mnmal, falls es ene Stoppzet τ T gbt mt V τ (θ) = f τ. Satz 4.6 Gbt es en τ T mt E Q [β τ f τ ] = sup E Q [β τ f τ ], τ T und gbt es enen mnmalen Hedge θ, so glt V τ (θ) = f τ und π(c f ) = E Q [β τ f τ ] = V (θ). Bewes Da θ mnmal st, exstert ene Stoppzet τ T Hedge st, st zudem β τ V τ (θ) β τ f τ. Also glt mt der Egenschaft V τ (θ) = f τ. Da θ en E Q [β τ f τ ] = E Q [β τ V τ (θ)] = V = E Q [β τ V τ (θ)] E Q [β τ f τ ] E Q [β τ f τ ]. Da überall n der Kette Glechhet herrscht, folgt f τ = V τ. Aus den bshergen Betrachtungen erkennen wr de Notwendgket, de Stoppprobleme besser zu verstehen. Des passert m folgenden Abschntt. 4.2 Optmales Stoppen Exstenz optmaler Stoppzeten Wr begnnen mt enem technschen Begrff. Bekanntlch st das Infmum (we auch das Supremum) von abzählbar velen Zufallsvarablen weder ene Zufallsvarable. Des glt so ncht mehr, wenn wr das Infmum von überabzählbar velen Zufallsvarablen blden. Da wr es mt Optmerungsproblemen über de Klasse aller Stoppzeten zu tun haben (de m Allgemenen überabzählbar groß st), müssen wr her enen geegnet Begrff fnden. Defnton 4.7 (Essenzelles Infmum) Se I und (U, I) ene Famle von Zufallsvarablen auf enem belebgen W-Raum (Ω, F, P). Ene Zufallsvarable X : Ω R { } heßt essenzelles Infmum X = ess nf U := ess nf{u, I}, I falls folgende beden Bedngungen erfüllt snd: () P[X U ] = 1 für alle I. () Ist Y ene Zufallsvarable mt P[Y U ] = 1 für alle I, so st P[Y X] = 1. Analog defneren wr das essenzelle Supremum durch ess sup I U = ess nf I U. Satz 4.8 Das essenzelle Infmum exstert stets, und es gbt ene abzählbare Telmenge J I mt ess nf U = nf U. I J Spezell st für abzählbares I das essenzelle Infmum glech dem Infmum der U.

41 4.2. OPTIMALES STOPPEN 41 Bewes Indem wr gegebenenfalls zu Ũ := 2 π arctan U übergehen, können wr annehmen, dass U 1 glt. Setze Für n N wähle J n I, J n N mt Setze J := n=1 b := [ ] nf E nf U. J I J J N [ ] E nf U b + 1 J n n. J n und X := nf J U. Für jedes I st also E[(X U ) + ] = E[X X U ] = E[X] } {{ } =b Heraus folgt aber, dass P[X U ] = 1. [ E ] nf U. j J {} } {{ } b Ist nun Y ene wetere Zufallsvarable mt P[ Y U ] = 1 für alle I, so st fast scher Y nf J U = X. Damt st X das essenzelle Infmum von (U, I). Anstelle der m enletenden Abschntt betrachteten Auszahlungsfunkton wollen wr de Auszahlung nun X nennen. Se also X = (X t ) t T en adapterter Prozess mt E[ X t ] < für alle t T. Defnton 4.9 Ene Stoppzet τ T heßt optmal, falls E[X τ ] = sup E[X σ ]. σ T Durch en enfaches (Rückwärts-)Rekursonsschema, wollen wr uns optmale Stoppzeten verschaffen. Dazu defneren wr den Prozess Z = (Z t ) t T rekursv durch Z T := X T Z t 1 := X t 1 E[Z t F t 1 ] für t = 1,..., T. (4.1) Setze nun τ := nf{s : Z s = X s } τ t := nf{s t : Z s = X s }. Satz 4.1 Es glt () τ T und τ t T t. () Z t = ess sup E[X τ F t ] = E[X τ t F t ] für jedes t T. τ T t Insbesondere st τ optmal.

42 42 Amerkansche Clams Bewes () X und Z snd adaptert, also st τ t T t. () Für t = T st de Aussage trval. Se nun () für t schon gezegt. Se τ T t 1 belebg. Dann st τ t T t, also E[X τ F t 1 ] = X t 1 1 τ=t 1 + E[X τ t 1 τ t F t 1 ] Wegen {τ t 1 = t 1} = {X t 1 E[Z t F t 1 ]} st = X t 1 1 τ=t τ t E [ E[X τ t F t ] F t 1 ] I.V. X t 1 1 τ=t τ t E[Z t F t 1 ] X t 1 E[Z t F t 1 ] = Z t 1. E[X τ t 1 F t 1 ] = 1 {Xt 1 E[Z t F t 1]} X t {Xt 1<E[Z t F t 1]} E[Z t F t 1 ] = X t 1 E[Z t F t 1 ] = Z t De Snell sche Enhüllende Das Zel deses Abschnttes st es, den oben explzt hergestellten Prozess Z zu charakterseren als klenstes Supermartngal, das ncht klener als X st. Herzu müssen wr zunächst zegen, dass Infma von Supermartngalen weder Supermartngale snd. Lemma 4.11 Se I und {Y, I} ene Famle von Supermartngalen. Es gebe enen stochastschen Prozess X mt X t Yt und E[ X t ] < für jedes I und t T. Dann st ( ) Y := ess nf Yt I en Supermartngal mt Y X. Bewes Nach Voraussetzung st (für belebges I) E[ Y t ] E[ Y t ] + E[ X t ] < für jedes t T, also Y ntegrerbar. Für jedes I st t T E[Y t F t 1 ] E[Y t F t 1 ] Y t 1. Also st E[Y t F t 1 ] ess nf Yt 1 = Y t 1, I und damt st Y en Supermartngal. Proposton 4.12 Se X = (X t ) t T an F adaptert mt E[ X t ] < für alle t, und se Dann st SM X und ess nf(sm X ) SM X. SM X := {Y X : Y st F Supermartngal}. Bewes Setze Y t := E[X + t + X + t X+ T F t]. Dann st Y t X t und E[Y t Y t 1 F t 1 ] = X + t 1. Also st Y SM X. Nach Lemma 4.11 st dann ess nf(sm X ) SM X.

43 4.2. OPTIMALES STOPPEN 43 Defnton 4.13 Wr nennen ess nf(sm X ) de Snell sche Enhüllende von X. Satz 4.14 Se X we oben und Z aus Satz 4.1. Dann glt Z = ess nf(sm X ). Bewes Klar st Z X. Qua defntonem st und Es folgt, dass Z SM X. Z t 1 E[Z t F t 1 ] [ ] E[ Z t ] E X t <. t T Um zu zegen, dass Z mnmal n SM X st, betrachten wr en weteres Y SM X und zegen per (Rückwärts-)Indukton, dass Y t Z t für jedes t T. Klar st Y T X T = Z T. Se nun für t T de Aussage Y t Z t schon gezegt. Dann st Y t 1 E[Y t F t 1 ] X t 1 E[Z t F t 1 ] X t 1 = Z t 1. Also st tatsächlch Y Z und damt Z = ess nf(sm X ). Satz 4.15 Ist X en Submartngal, so st de Snell sche Enhüllende Z t = E[X T F t ] en Martngal. Des st klar, wel Z T = X T und Z t 1 = X t 1 E[X T F t 1 ] = E[X T F t 1 ] für jedes t = 1,..., T Charakterserung optmaler Stoppzeten Lemma 4.16 Se Y en Supermartngal und σ T ene Stoppzet. Dann snd äquvalent () E[Y ] = E[Y σ ]. () E[Y ] E[Y σ ] () Y σ = (Y σ t ) t T st en Martngal. Bewes () = () klar. () = (): E[Y ] = E[Y σ ] = E[YT σ] = E[Y σ]. () = (): Se E[Y ] E[Y σ ]. Nach dem Optonal Stoppng Theorem st Y σ en Supermartngal, also Also st Y σ t E[Y σ T F t ] = E[Y σ F t ]. E[Y ] E[Y σ t ] E[E[Y σ F t ]] = E[Y σ ] E[Y ]. Heraus folgt Y σ t = E[Y σ F t ] und damt st Y σ en Martngal.

44 44 Amerkansche Clams Lemma 4.17 Z τ Bewes Wegen st st en Martngal. {τ > t 1} {Z t 1 > X t 1 } = {Z t 1 = E[Z t F t 1 ]} E[Z τ t Z τ t 1 F t 1 ] = E[(Z t Z t 1 )1 τ >t 1 F t 1 ] = (E[Z t F t ] Z t 1 ) 1 τ >t 1 =. Satz 4.18 Ene Stoppzet τ T st genau dann optmal, wenn de beden folgenden Bedngungen gelten () Z τ = X τ () Z τ st en Martngal. Spezell st τ de klenste optmale Stoppzet. Bewes Der Zusatz folgt drekt aus Satz 4.1 und der Defnton von Z (sehe (4.1)). = Gelte () und (). Nach Lemma 4.16 st E[Z ] = E[Z τ ]. Also st nach Lemma 4.16 Es folgt, dass τ optmal st. = Se τ optmal. Wegen Z τ X τ st E[X τ ] = E[Z τ ] = E[Z ] = E[Z τ ] = E[X τ ]. E[Z ] = E[X τ ] = E[X τ ] E[Z τ ] E[Z ]. Also st X τ = Z τ, und nach Lemma 4.16 st Z τ en Martngal. Zel: Wr wollen aus allen optmalen Stoppzeten de maxmale auswählen. Lemma 4.19 Se Z = M C de Doob sche Zerlegung des Supermartngals Z, also C prevsbel und monoton wachsend mt C =, sowe M en Martngal. Se Dann st ν T, und für jede Stoppzet τ snd äquvalent () τ ν, ν = nf {t T 1 : C t+1 > } T. (4.2) () Z τ st en Martngal. Bewes Da C prevsbel st, glt für jedes t T, dass {ν t} = {C t+1 > } F t. Also st ν T. Gelte (). Dann st Zt τ = M τ t C τ t = Mt τ, also Z τ = M τ. Gelte (). Dann st C τ und E[C τ ] = E[Y τ M τ ] = E[Y M ] =. Also st C τ = und damt τ ν.