2 Riemannsche Flächen

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1 $Id: flaechen.tex,v /11/16 12:37:19 hk Exp $ 2 Riemannsche Flächen 2.2 Karten und holomorphe Funktionen auf Flächen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir einige der Grundeigenschaften holomorpher Funktionen auf Gebieten in C auf allgemeine Riemannsche Flächen übertragen, den Identitätssatz, den Satz von der offenen Abbildung und das Maximumsprinzip. Als eine unmittelbare Folgerung erhalten wir einen Satz über kompakte Riemannsche Flächen. Korollar 2.8 (Global definierte holomorphe Funktionen auf kompakten Flächen) Ist S eine kompakte Riemannsche Fläche so ist jede holomorphe Funktion f : S C konstant, d.h. es gilt O S (S) = C. Beweis: Dies ist klar nach Satz 7.(c). Es gilt auch eine gewisse Umkehrung dieses Satzes, auf einer nicht kompakten Riemannschen Fläche S gibt es immer einer nicht konstante holomorphe Funktion f : S C, dies ist allerdings schon ein recht komplizierter Satz für dessen Beweis uns an dieser Stelle noch die Hilfsmittel fehlen. Wir wollen nun einige weitere Eigenschaften von Karten einer Riemannschen Fläche zusammenstellen. Lemma 2.9 (Grundeigenschaften von Karten Riemannscher Flächen) Seien S eine Riemannsche Fläche und h eine Karte von S. (a) Es ist h O S (dom(h)). (b) Ist U dom(h) offen in S so ist auch h U eine Karte von S. (c) Ist h eine weitere Karte von S, so ist die Koordinatentransformation biholomorph. h h 1 : h(dom(h) dom(h )) h (dom(h) dom(h )) (d) Sind U C offen in C und g : im(h) U biholomorph, so ist auch g h eine Karte von S. (e) Sind a S und U eine offene Umgebung von a in S, so existiert eine Karte h von S mit a dom(h) U, h(a) = 0 und im(h) = B 1 (0). 7-1

2 Beweis: (a) Dies ist klar wegen h h 1 = id im(h) O C (h(dom(h))). (b) Klar. (c) Nach (a) ist h O S (dom(h )) also auch h dom(h) dom(h ) O S (dom(h) dom(h )) und da h eine Karte von S ist folgt h h 1 = (h dom(h) dom(h )) h 1 O C (h(dom(h) dom(h ))). Ebenso ist (h h 1 ) 1 = h h 1 holomorph, d.h. h h 1 ist biholomorph. (d) Zunächst ist g h : dom(h) U ein Homöomorphismus. Nun sei W dom(g h) = dom(h) offen in S. Da g biholomorph ist, ist eine Abbildung f : h(w ) C genau dann holomorph wenn f g 1 : g(h(w )) C holomorph ist, also ist auch O S (W ) = {f : W C f h 1 O C (h(w ))} = {f : W C f h 1 g 1 O C (g(h(w )))} = {f : W C f (g h) 1 O C ((g h)(w ))}. Damit ist g h eine Karte von S. (e) Zunächst existiert überhaupt eine Karte h 1 von S mit a dom(h 1 ). Dann ist h 1 (U dom(h 1 )) offen in C, also existiert ein r > 0 mit B r (h 1 (a)) h 1 (U dom(h 1 )). Weiter ist V := h 1 1 (B r (h 1 (a))) U dom(h 1 ) offen in S und nach (b) ist auch h 2 := h 1 V : V B r (h 1 (a)) eine Karte von S. Weiter ist g : B r (f(a)) B 1 (0); z 1 r (z h 1(a)) biholomorph, also ist nach (d) auch h := g h 2 : V B 1 (0) eine Karte von S mit V U, im(h) = B 1 (0) und h(a) = 0. Die in Teil (e) des Lemmas konstruierten Karten sind sogenannte lokale Uniformisierungen von S. Auf diesen kann man auch bequem eine Form von Taylorreihen holomorpher Funktionen definieren. Wir wollen dies in einer kleinen Bemerkung festhalten. Bemerkung 2.10 (Lokale Uniformisierung Riemannscher Flächen) Seien (S, O S ) eine Riemannsche Fläche und p S ein Punkt von S. Nach Lemma 9.(e) gibt es dann eine Karte h von S mit p U := dom(h), im(h) = D := {z C : z < 1} und h(p) = 0 und wir nennen jede solche Karte eine lokale Uniformisierung von S bei p. Nach Lemma 9.(a) können wir z := h O S (U) als eine holomorphe Funktion auf U auffassen. Ist dann f O S (U) dann eine beliebige holomorphe Funktion auf U so ist f h 1 eine holomorphe Funktion auf D und damit können wir f als eine Potenzreihe f = a n z n n=0 schreiben die lokal gleichmäßig auf U konvergiert. In diesem Sinne haben wir eine Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen auf S, allerdings sind die Koeffizienten 7-2

3 dieser Entwicklung nicht invariant, hängen also von der speziellen lokalen Uniformierung ab. Entsprechend gilt dies auch für in einer offenen Umgebung von p definierte holomorgphe Funktionen nur das die Potenzreihe dann nicht mehr auf ganz U sondern nur noch auf einer Umgebung von p konvergiert. Betrachten wir also die Menge aller Karten einer Riemannschen Fläche S, so besteht diese aus Homöomorphismen offener Teilmengen von S auf offene Teilmengen von C so, dass die Definitionsbereiche dieser Karten ganz S überdecken und alle Koordinatentransformationen zwischen ihnen biholomorph sind. Umgekehrt werden wir im nächsten Lemma festhalten das jedes solche System vorgeschlagener Karten zur Konstruktion einer Riemannschen Fläche verwendet werden kann, man könnte eine Riemannsche Fläche also auch als einen zusammenhängenden Hausdorffraum versehen mit einem System von Karten definieren. Dieser Standpunkt ist völlig gleichwertig zur von uns verwendeten Definition und wird auch oftmals verwendet. Lemma 2.11 (Konstruktion Riemannscher Flächen über Karten) Sei S ein zusammenhängender, hausdorffscher topologischer Raum und A eine Menge von Homöomorphismen offener Teilmengen von S auf offene Teilmengen von C. Es gelte S = h A dom(h) und für je zwei h 1, h 2 A sei h 2 h 1 1 holomorph. Dann existiert genau eine Untergarbe O von C S so, dass (S, O) eine Riemannsche Fläche ist und Jedes h A eine Karte von (S, O) ist. Beweis: Dies ist Aufgabe (6). Nach Lemma 9.(a) sind die Karten einer Riemannschen Fläche S spezielle holomorphe Funktionen auf S. Es gibt noch eine andere Art den Begriff einer Karte zu verstehen, es handelt sich gerade um die Isomorphismen offener Teilmengen von S auf offene Teilmengen von C. Dabei sind die Isomorphismen zwischen Riemannschen Flächen gerade diejenigen Homöomorphismen zwischen ihnen die holomorphe Funktionen wieder in holomorphe Funktionen transformieren. Definition 2.9 (Isomorphismen zwischen Riemannschen Flächen) Seiein S, T zwei Riemannsche Flächen. Ein Homöomorphismus h : S T heißt ein Isomorphismus, oder eine Äquivalenz oder eine biholomorphie, wenn h : O T h (O S ) ein Isomorphismus von Garben über T ist. Weiter heißen S und T isomorph, oder äquivalent oder biholomorph, wenn es einen Isomorphismus h : S T gibt, wir schreiben dann S T. Dass Isomorphie Riemannscher Flächen die üblichen Eigenschaften eines solchen Begriffs erfüllt sowie die Grundeigenschaften von Isomorphismen lassen sich leicht einsehen. Lemma 2.12 (Grundeigenschaften von Isomorphismen Riemannscher Flächen) Seien S, T zwei Riemannsche Flächen. 7-3

4 (a) Sei h : S T ein Homöomorphismus. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1. Die Abbildung h ist ein Isomorphismus Riemannscher Flächen. 2. Für jede in S offene Menge U S gilt O S (U) = {f h f O T (h(u))}. 3. Sind U T offen in T und f : U C eine Abbildung so ist genau dann f O T (U) wenn f h O S (h 1 (U)) ist. (b) Ist h : S T ein Isomorphismus so ist auch h 1 : T S ein Isomorphismus. Insbesondere folgt aus S T auch T S. (c) Sind R eine weitere Riemannsche Fläche und h 1 : S T, h 2 : T R Isomorphismen, so ist auch h 2 h 1 : S R ein Isomorphismus. Insbesondere folgt aus S T und T R auch S R. (d) Sind U S ein Gebiet in S und h : S T ein Isomorphismus, so ist auch h U : U h(u) ein Isomorphismus. (e) Sind U S ein Gebiet in S und V C ein Gebiet in C so ist eine Abbildung h : U V genau dann eine Karte von S wenn sie ein Isomorphismus Riemannscher Flächen ist. (f) Sind U, V C zwei Gebiete in C, so ist eine Abbildung h : U V genau dann ein Isomorphismus Riemannscher Flächen wenn sie biholomorph ist. (g) Sind h : S T ein Isomorphismus Riemannscher Flächen und U T eine in T offene Teilmenge von T, so ist eine Abbildung f : U C genau dann eine Karte von T wenn f h eine Karte von S ist. Beweis: (a) Dass h ein Isomorphismus Riemannscher Flächen ist, bedeutet das h : O T h (O S ) ein Isomorphismus von Garben über T ist, dass also h U : O T (U) h (O S )(U) = O S (h 1 (U)); f f h für jede in T offene Menge U T ein Isomorphismus komplexer Algebren ist. (1)= (2). Ist U S offen in S so ist h(u) T offen in T und wir haben O S (U) = h h(u) (O T (h(u))) = {f h f O T (h(u))}. (2)= (3). Seien U T offen in T und f : U C eine Abbildung. Dann ist h 1 (U) S offen in S, ist also f O T (U) so auch h f O S (h 1 (U)) und gilt umgekehrt f h O S (h 1 (U)) so existiert ein f O T (U) mit f h = f h also auch f = f O T (U). (3)= (1). Sei U T offen in T. Ist dann f O T (U), so haben wir f h : O S (h 1 (U)), d.h. h U : O T (U) O S (h 1 (U)) ist ein wohldefinierter Algebrenhomomorphismus der wegen der Surjektivität von h auch injektiv ist. Sei schließlich f O S (h 1 (U)) gegeben. Dann ist f := f h 1 : U C eine Abbildung mit f h = f O S (h 1 (U)), also ist auch f O T (U) mit h U (f) = f. Damit ist h U ein Algebrenisomorphismus. 7-4

5 (b) Ist U T offen in T, so ist h 1 (U) S offen in S und (a) ergibt O T (U) = {f h h 1 f O T (h(h 1 (U)))} = {f h 1 f O S (h 1 (U))} und wieder nach (a) ist h 1 : T S ein Isomorphismus Riemannscher Flächen. (c) Ist U S offen in S, so ist h 1 (U) T offen in T und (a) ergibt O S (U) = {f h 1 f O T (h 1 (U))} = {f h 2 h 1 f O R (h 2 (h 1 (U)))}, und wieder nach (a) ist h 2 h 1 : S R ein Isomorphismus Riemannscher Flächen. (d) Klar nach (a). (e) Dies ist klar da wir die Karten von S genau so definiert haben. (f) = Nach (e) ist h eine Karte von U und da auch id U eine Karte von U ist, ist h nach Lemma 9.(c) biholomorph. = Da id U eine Karte von U ist, ist nach Lemma 9.(d) auch h = h id U eine Karte von U, also ist h nach (e) ein Isomorphismus Riemannscher Flächen. (g) = Zunächst ist f h : h 1 (U) im(f) ein Homöomorphismus. Ist W h 1 (U) offen in S, so ist h(w ) U offen in T und nach (a) gilt O S (W ) = {g h g O T (h(w ))} = {g f h g O C (f(h(w )))}. Damit ist f h eine Karte von S. = Nach (b) ist auch h 1 : T S ein Isomorphismus Riemannscher Flächen, ist also f h eine Karte von S, so ist nach der schon bewiesenen Implikation auch f = f h h 1 eine Karte von T. Bei konkreten Beispielen Riemannscher Flächen liefert uns die Konstruktion oftmals kanonische Karten, auf einer allgemeinen Riemannschen Fläche ist dagegen zunächst keine Karte besonders ausgezeichnet. Man kann allerdings zu einer vorgegebenen holomorphen Funktion stets eine Karte wählen bezüglich derer diese Funktion eine besonders einfache Gestalt hat. Dies beruht auf einem kleinen funktionentheoretischen Hilfsmittel, und da dieses nicht zum Standardumfang in Analysis IV gehört wollen wir es hier einmal beweisen. Zunächst einmal müssen wir uns an den Begriff der Ordnung einer holomorphen Funktion in einem Punkt erinnern. Seien U C ein Gebiet und f : U C eine holomorphe Funktion mit f 0. Weiter sei a U ein Punkt in U. Die Ordnung von f in U ist dann defininiert als ord a (f) := min{k N f (k) (a) 0} und da f 0 ist, ist dies nach dem Identitätssatz tatsächlich wohldefiniert. Es gibt einige alternative Beschreibungen der Ordnung, ist r > 0 mit B r (a) U, so können wir f für z B r (a) in eine Potenzreihe entwickeln f(z) = a k (z a) k k=0 7-5

6 und dann ist n = min{k N a k Ordnug ist 0}. Eine dritte Möglichkeit zur Definition der n = ord a (f) { Es existiert eine holomorphe Funktion g : U C mit g(a) 0 und f(z) = (z a) n g(z) für alle z U. Aus letzterer Variante ergibt sich leicht die Produktformel, ist g : U C eine weitere von Null verschiedene holomorphe Funktion auf U, so gilt ord a (f g) = ord a (f) + ord a (g). Denn setzen wir n := ord a (f) und m := ord a (g), so können wir für alle z U stets f(z) = (z a) n f(z) und g(z) = (z a)m g(z) mit holomorphen Funktionen f, g : U C mit f(a) 0 und g(a) 0 schreiben, und haben dann auch f(z)g(z) = (z a) n+m f(z) g(z) für alle z U, d.h. n + m ist tatsächlich die Ordnung von fg in a. Damit kommen wir zu unserem Lemma. Lemma 2.13 (Lokale Normalform holomorpher Funktionen in C) Seien U C ein Gebiet, a U und f : U C eine nicht konstante holomorphe Funktion. Dann existiert eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl n 1 so, dass es eine offene Umgebung V U von a in C und eine holomorphe Funktion g : V C mit g(a) = 0, g (a) 0 und f(z) = f(a) + g(z) n für alle z V gibt. Es gilt n = ord a (f f(a)). Beweis: Die Funktion f f(a) : U C ist holomorph und nicht konstant und hat in a eine Nullstelle, also ist die Ordnung n := ord a (f f(a)) 1 von f f(a) in a mindestens 1. Es existiert eine holomorphe Funktion h : U C mit h(a) 0 und f(z) f(a) = (z a) n h(z) für alle z U. Auf der Kreisscheibe B h(a) (h(a)) C\{0} n gibt es dann eine holomorphe Wurzel : B h(a) (h(a)) C\{0}, setzen wir also V := h 1 (B h(a) (h(a))) so ist V U eine offene Umgebung von a in C und die Funktion g : V C; z (z a) n h(z) ist holomorph mit g(a) = 0 und g (a) = n h(a) 0. Für jedes z V gilt dabei f(z) f(a) = (z a) n h(z) = g(z) n. Damit ist die Existenzaussage bewiesen und wir kommen zur Eindeutigkeit von n. Sei also auch m 1 eine natürliche Zahl und es gebe eine Umgebung W U von a in C und eine holomorphe Funktion q : W C mit q(a) = 0, q (a) 0 und f(z) = f(a) + q(z) m für jedes z W. Dann ist ord a (q) = 1 und somit gilt n = ord a (f f(a)) = ord a (q m ) = m ord a (q) = m. Damit können wir nun unsere angekündigten speziellen Karten konstruieren. Als Vorbereitung erinnern wir an eine weitere Tatsache der Funktionentheorie. Sind U C 7-6

7 offen in C, a U und f : U C eine holomorphe Funktion mit f (a) 0, so existieren nach dem reellen Datz über Umkehrfunktionen zwei in C offene Mengen V, W mit a V U so, dass f V : V W bijektiv ist. Dann ist f : V W weiter sogar biholomorph, da eine bijektive, holomorphe Funktion zwischen offenen Teilmengen von C bereits biholomorph ist. Will man diesen Satz nicht verwenden kann man alternativ auch über den reellen Satz über Umkehrfunktionen argumentieren, die Umkehrabbildung ist zumindest reell stetig differenzierbar und ihre Ableitung ist in jedem Punkt die Inverse der entsprechenden Ableitung von f, also auch komplex linear. 7-7