1. Aufgabe Es sei A ein Atlas auf dem Hausdorffraum M. Dann gibt es genau einen maximalen Atlas A max mit A A max.

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1 Keine Abgabe und Bewertung. Das Übungsblatt wird in der Übung am besprochen. Präsenzübungen 1. Aufgabe Es sei A ein Atlas auf dem Hausdorffraum M. Dann gibt es genau einen maximalen Atlas A max mit A A max. 2. Aufgabe (a) Sei Sr n = {x R n+1 x = r} die Sphäre vom Radius r im R n+1. Zeige Sie Sr n Untermannigfaltigkeit von R n+1. ist eine (b) Konstruieren Sie einen Atlas für den reell projektiven Raum RP = {{x, x} x S n }. 3. Aufgabe Zeigen, dass für die Gleichung x 3 + y 2 2xy = 0 alle Lösungen in einer Umgebung von ( 1, 1) als Graph einer Funktion in x dargestellt werden können. 4. Aufgabe (a) Sei (R m+1,, ) ausgestattet mit der euklidischen Metrik. Bestimmen Sie die induzierte Metrik auf der Sphäre S m. (b) Es sei f (a, b) R + eine glatte Funktion und setze x M = f(x) cos(ϕ) x (a, b), ϕ R. f(x) sin(ϕ) Zeigen Sie, dass M eine zwei-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R 3 ist.

2 Abgabe am Freitag, den in der Vorlesung. Das Übungsblatt wird in der Übung am besprochen. Übungsblatt 1 1. Aufgabe Untersuchen Sie, ob folgende Mengen glatte Untermannigfaltigkeiten sind: (a) A := {(x, y) R 2 xy = 0} R 2. (b) B := {(x, y, z) C 3 x n + y n + z n = 1} C 3 für n N. (Wir identifizieren C mit R 2 ). 2. Aufgabe Sei M der Rand des Einheitsquadrats in R 2, also die Menge M := {(x, y) x [0, 1], y {0, 1}} {(x, y) x {0, 1}, y [0, 1]}. (a) Zeigen Sie, dass M homöomorph zu S 1 := {x R 2 : x = 1} ist und deshalb einen maximalen Atlas / eine glatte Struktur besitzt. (b) Zeigen Sie, dass M keine Untermannigfaltigkeit von R 2 ist. 3. Aufgabe Sei f : R n+1 R, (x 1,, x n+1 ) x x 2 n x 2 n+1 eine glatte Funktion und für c R sei M c := {x R n+1 : f(x) = c} R n+1. (a) Bestimmen Sie für welche c die Teilmenge M c R n+1 eine glatte Untermannigfaltigkeit ist. Bestimmen Sie gegebenenfalls die Dimension von M c. (b) Zeigen Sie, dass die glatten Vektorfelder auf dem R 3 X(x 1, x 2, x 3 ) := x 3 + x 2, x 2 x 3 Y (x 1, x 2, x 3 ) := x 3 + x 1, x 1 x 3 sowie der Kommutator [X, Y ] = XY Y X sich zu glatten Vektorfeldern auf M 1 einschränken. Je Aufgabe 5 Punkte.

3 Abgabe am Freitag, den in der Vorlesung. Übungsblatt 2 1. Aufgabe Seien a, b > 0 und bezeichne mit S R 3 ein Rotationsellipsoid, welches durch die Parametrisierung a sin(θ) cos(ϕ) F (0, π) (0, 2π) R 3, (θ, ϕ) a sin(θ) sin(ϕ) b cos(θ) gegeben ist. (a) Berechnen Sie g ( θ, θ ), g ( ϕ, θ ) und g ( ϕ, ϕ ). (b) Berechnen Sie ein Normalenfeld ν. (c) Berechnen Sie die zum Normalenfeld dazugehörige skalare zweite Fundamentalform. Geben sie dazu h ( θ, ) θ, h ( ϕ, θ ) und h ( ϕ, ϕ ) an. (d) Berechnen Sie die mittlere Krümmung und die Gauß-Krümmung des Ellipsoids. 2. Aufgabe Betrachten Sie die Wendelfläche W R 3 mit Parametrisierung sinh(t) cos(s) F R 2 R 3, (s, t) sinh(t) sin(s). s Berechnen Sie die Gaußkrümmung und die mittlere Krümmung. 3. Aufgabe Auf dem R n+1 definiere das Minkowskiprodukt, M R n+1 R n+1 R durch x, y M = x 0 y 0 + x 2 y x n y n. Der hyperbolische Raum (H n, g H ) ist der Raum H n = {x R n+1 x, x M = 1, x 0 > 0} ausgestattet mit der Metrik g H (X, Y ) = X, Y M. (a) Zeigen Sie, dass H n eine Untermannigfaltigkeit ist. (b) Zeigen Sie, dass g H eine Riemannsche Metrik auf H n ist. (c) Beweisen Sie, dass für t R die durch die Matrix cosh t sinh t sinh t cosh t 1 beschriebene Abbildung R n+1 R n+1 den Raum H n auf sich selbst abbildet. Zeigen Sie, dies definiert eine Isometrie. Pro Aufgabe 5 Punkte. 1 1

4 Abgabe am Übungsblatt 3 1. Aufgabe Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, x M und e 1,..., e m eine Orthonormalbasis von T x M. Seien K, ric und scal die Schnittkrümmung, der Ricci-Tensor und die Skalarkrümmung. Zeigen Sie ric(e i, e i ) = 2. Aufgabe m j=1 j i K(span{e i, e j }), scal(x) = Beweisen Sie, dass die stereographische Projektion m i=1 ric(e i, e i ) = m K(span{e i, e j }). i,j=1 j i S m {(0,, 0, 1) T } R m (sin ϑ)y, ( ) (cot(ϑ/2))y, ϑ (0, π], y Sm 1 cos ϑ ein konformer Diffeomorphismus ist. 3. Aufgabe Es sei M eine n-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit und sei R der Riemannsche Krümmungstensor. Relativ zur Basis { } n x i i=1 haben wir n Rijk l l=1 x = R ( l x, i x ) j x. k Zeigen Sie, dass der Riemannsche Krümmungstensor folgende Form in der lokalen Karte x U M hat: Rijk l = x i Γl jk n x j Γl ik + Γ s n jk Γl is Γ s ik Γl js. 4. Aufgabe Berechnen Sie Riemann-, Ricci-, Skalar- und Weyl-Krümmung von S n, S 2 R 2 R 5, H n und von S 1 R R 3. Je Aufgabe 5 Punkte. s=1 s=1

5 Abgabe am 4.5. Übungsblatt 4 1. Aufgabe Beweisen Sie folgende Aussagen: i) Seien p, q, r 1 mit 1 r = 1 p + 1 q. Es sei M eine kompakte Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass für alle messbaren Funktionen u, v M R: u v L r u L p v L q. ii) Es sei M eine C -Mannigfaltigkeit mit beschränktem Volumen. Für 1 p < q gilt u L p vol(m) q p pq u L q. Hier verwenden wir die Konvention 0 = Aufgabe Untersuchen Sie den Laplace-Operator Sn auf der Sphäre S n und zeigen Sie Sn x 1 = nx Aufgabe Wir betrachten R n+2 mit dem Minkowski-Produkt von Aufgabe 3 des zweiten Übungsblattes. Wir definieren die Abbildung ψ S n R n+2, x (1, x). (a) Sei L die Menge aller lichtartigen Vektoren ungleich 0, d.h. L = {X R n+2 {0} X, X M = 0}. Zeigen Sie ψ(x) L. Zeigen Sie, dass die Abbildung x [ψ(x)] eine Bijektion von S n nach L/R definiert. (b) Aus (a) erhalten wir eine Abbildung π L S n. Zu v T x S n definiere E x,v = {Y R n+2 dπ x (Y ) R v}. Zeigen Sie, dass X, x M = 0 für alle X E x,v. (c) Sind E 1 = span{x, v} und E 2 = span{x, w} Ebenen in R n+2, die einen gemeinsamen lichtartigen Vektor x enthalten, so definieren wir den Winkel cos (E 1, E 2 ) = v, w M v, v M w, w M. Zeigen Sie, dass der Winkel zwischen solchen Ebenen wohldefiniert ist und, dass (E x,v, E x,w ) = (v, w). Hierbei ist (v, w) analog definiert mit dem euklischen Skalarprodukt.

6 (d) Sei A O(n + 1, 1), d.h. A GL n+2 (R) ist eine Isometrie von R n+2 R n+2. Zeigen Sie A(L) = L, und zeigen Sie, es gibt einen konformen Diffeomorphismus Ã, so dass das Diagramm L A L π π S n à S n kommutiert. Je Aufgabe 5 Punkte.

7 Abgabe am Übungsblatt 5 1. Aufgabe 1) Sei M eine C -Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass folgende Normen äquivalent sind: u 1 = u H k,p, (1) u 2 = max j=0...k j u L p, (2) k u 3 = ( j u q L ) p j=1 1 q für 1 < q < (3) 2) Es sei M kompakt und (ϕ 1 U 1 V 1,, ϕ l U l V l ) ein Atlas von M, sowie (η i ) l i=1 eine Partition der Eins. Dann ist die folgende Norm ebenfalls äquivalent zu (1)-(3): 2. Aufgabe u H k,p (R n ) = l j=1 (η j u) ϕ 1 j H k,p (R n ). (4) Sei M eine kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit. Beweisen Sie, dass für alle u C c (M) 3. Aufgabe Es sei F R 2 R 3 definiert durch u H k (M) C u H k+2 (M), für ein C > 0. ( x x y ) y cosh( x 2 + y 2 ) 0 und M = F (R 2 ). Bestimmen Sie die Geodätischen durch p = 0 und die Exponentialabbildung exp p T p M M. Berechnen Sie die Koeffizienten (g ij ) der Metrik g in 1 Normalkoordinaten mit Zentrum p. Hinweis: Zeigen Sie zunächst durch ein Symmetrieargument, dass alle Geodätische durch p die Form t F (τ(t)(x 0, y 0 )) = exp(t(x 0, y 0 )) mit τ (0) = 1 haben. 4. Aufgabe Es sei E M eine Vektorbündel vom Rang r über dem Körper K {R, C} mit einem reellen bzw. hermitschen Zusammenhang und einem damit kompatiblen Zusammenhang. Sei U ϕ V eine Karte, und seien s 1,, s r U E auf U definierte Schnitte von E, sodass (s 1 (x),, s r (x)) eine Orthonormalbasis von E x liefert für alle x U. Weiterhin seien

8 1,, n die Koordinatenvektorfelder von ϕ, die wir mit den zugehörigen Derivationen identifizieren. Zeigen Sie: Es existieren glatte Funktionen b i αβ U K und c αβ U K, so dass für alle Schnitte ρ, ψ Γ(E) mit kompaktem Träger in U, geschrieben als ρ = r α=1 ρ α s α und ψ = r β=1 ψ β s β gilt U ρ, ψ dvol = M Pro Aufgabe 5 Punkte. r β=1 n r i=1 α=1 ( ρ β + b i αβ iρ α + r α=1 c αβ ρ α ) ψ β dvol.

9 Abgabe am 18.5., Besprechung am MITTWOCH, den Übungsblatt 6 1. Aufgabe Seien X, Y metrische Räume, f X Y eine stetige Abbildung und Y vollständig. Dann ist f X Y kompakt für jede beschränkte Folge (x k ) k N hat die Bildfolge (f(x k )) k N eine konvergente Teilfolge. 2. Aufgabe Das Ziel der folgenden Aufgabe ist es, zu zeigen, dass der Satz von Rellich-Kondrakhov nicht auf (R n, g eucl ) gilt. Konstruieren Sie dazu eine Folge u i C c (R), die in H k,p (R n ) beschränkt ist für alle k N 0 und alle p [1, ), die aber in keinem dieser Sobolev-Räume konvergiert. 3. Aufgabe Es sei Q = {(x, y, z) R 3 0 x, y, z 1} R 3 der Einheitskubus. Sei S der Rand von Q mit der nach außen orientierten Normalen. Es sei v R 3 R 3, v(x, y, z) = (2xy, 3ye z, x sin(z)). Berechnen Sie S v dvol S mittels Satz von Gauß. Bonusaufgabe Es sei M R n offen. Bezeichne mit τ u die Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf Kompakta, d.h. die Nullumgebungsbasis dieser Topologie aus Mengen der Form U K,r,k = {f C (M) sup α f < r, α k} K mit α = (α 1,, α n ) N n 0, K M kompakt, k N und r > 0 besteht und die Operationen (C (M), τ u ) (C (M), τ u ) (C (M), τ u ), (f, g) f + g, (C, ) (C (M), τ u ) (C (M), τ u ), (λ, f) λf stetig sind, d.h. die Topologie ist verträglich mit der Vektorraumstruktur von C (M). i) Überlegen Sie sich wie man C (M) mit der Struktur eines topologischen Vektorraums versehen kann mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf Kompakta, wenn M eine beliebige C -Mannigfaltigkeit ist, die das 2. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. ii) Zeigen Sie C c (M) C (M) ist ein linearer Unterraum und mit der von τ u induzierten Topologie ein topologischer Vektorraum. iii) Beweisen Sie, dass die Topologie τ u vollständig metrisierbar ist, d.h. es existiert eine Metrik d auf C (M), sodass die durch d erzeugte Topologie τ d äquivalent ist zu τ u.

10 iv) Es sei d die auf C c (M) C (M) von d induzierte Metrik. Zeigen Sie, dass (C c (M), τ d) ein topologischer Vektorraum ist, aber kein vollständiger metrischer Raum ist. (Hinweis: Satz von Baire (Analysis I).) v) Zeigen Sie, dass es keine Norm auf C (M) gibt, sodass (C (M), ) ein vollständiger normierter Raum ist. (Hinweis: Satz von Montel (Analysis III).) Pro Aufgabe 5 Punkte.

11 Abgabe am Übungsblatt 7 1. Aufgabe Sei (M, g) eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass in lokalen Koordinaten Γ l ij = 1 2 gkl ( i g jk + j g ik k g ij ) gilt, wobei wir die Einsteinsche Summenkonvention nutzen. 2. Aufgabe Sei I ein Intervall, M eine riemannsche Mannigfaltigkeit und γ I M glatt. Ein Vektorfeld längs γ ist eine glatte Abbildung X I T M mit X(t) T γ(t) M. i) Sei φ U V eine Karte mit Christoffel-Symbolen Γ k ij U R. Für alle t γ 1 (U) schreiben wir unter Nutzung der Einsteinschen Summenkonvention X(t) = X i (t) φ i γ(t) und γ (t) = τ i (t) φ i γ(t). Zeigen Sie für t 0 γ 1 (U) γ (t 0 )X = dxi dt hängt nicht von der verwendeten Karte ab. φ i γ(t 0 ) + τ i (t 0 )X j (t 0 )Γ k ij(γ(t 0 )) φ k γ(t 0 ) ii) Seien a, b I. Zu jedem η T γ(a) M gibt es ein eindeutiges Vektorfeld X längs γ mit X(a) = η und γ (t)x = 0 für alle t. Hinweis: Reduzieren Sie die Behauptung in Karten auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen. iii) Für η und X wie in ii) definieren wir P b a(η) = X(b). Die dadurch definierte Abbildung P b a T γ(a) M T γ(b) M heißt Parallelverschiebung von γ(a) nach γ(b) längs γ. Zeigen Sie: P b a ist linear, bijektiv und isometrisch. 3. Aufgabe Sei I ein Intervall, M eine riemannsche Mannigfaltigkeit und γ I M glatt. Dann ist γ I T M ein Vektorfeld längs γ. Wir sagen γ ist Geodätische, falls γ (t)γ (t) = 0. Zeigen Sie: zu p M und X T p M gibt es eine Geodätische γ ( ɛ, ɛ) M mit γ(0) = p und γ (0) = X. Sind γ ( ɛ, ɛ) M und τ ( δ, δ) M zwei solche Geodätische, so stimmen sie auf ( ɛ, ɛ) ( δ, δ) überein. Anmerkung: Im Spezialfall, dass γ eine Kürzeste zwischen nahe beieinander liegenden Punkten x = γ(a) und y = γ(b) ist, stimmt P b a mit τ y x in Def des Skripts überein.

12 Abgabe am 1.6. Übungsblatt 8 1. Aufgabe Es sei (M, g) = (M 1 M 2, g 1 g 2 ), wobei (M i, g i ) glatte riemannsche Mannigfaltigkeiten sind und die Produktmannigfaltigkeit M 1 M 2 mit der Produkt-Metrik g 1 g 2 ausgestattet ist, die in p = (p 1, p 2 ) M 1 M 2 definiert ist durch (g 1 g 2 ) (p1,p 2 )((X 1, X 2 ), (Y 1, Y 2 )) = g 1 p1 (X 1, Y 1 ) + g 2 p2 (X 2, Y 2 ) für alle X i, Y i T pi M, i = 1, 2. Man beachte T p1,p 2 M = T p1 M 1 T p2 M 2. i) Seien γ i [0, 1] M i Geodätische für i = 1, 2. Zeigen Sie, dass (γ 1, γ 2 ) eine Geodätische auf M ist. ii) Drücken Sie den Krümmungstensor, Ricci- und Skalarkrümmung auf M in Form der Krümmungstensoren, Ricci- und Skalarkrümmungen auf M 1 und M 2 aus. 2. Aufgabe Führen Sie den Beweis von Satz 2.54 (Sobolev scher Einbettungssatz, 2. Teil) für n = 2: Ersetzen Sie dazu im Beweisschritt d) die Funktion r 2 n durch ln(r). 3. Aufgabe Es sei M eine kompakte n-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit, w M R stetig. Bezeichne mit F das Funktional für u H 1,2 (M) {0} und 2 p 2n n 2. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen gelten: i) F is wohldefiniert, d.h. u L p. ii) inf F >. iii) Falls w > 0 gilt inf F > 0. F(u) = M ( u 2 + wu 2 ) dvol u 2 L p iv) Es sei 2 p < 2n n 2, dann existiert ein u 0 mit F(u 0 ) = inf F. Hinweis: Nutzen Sie die Kompaktheit der Einbettung H 1,2 L p in der Art, dass jede beschränkte Folge in H 1,2 eine in L p konvergente Teilfolge besitzt. Nutzen Sie nun, dass diese Folge eine in H 1,2 schwach konvergente Teilfolge besitzt.

13 4. Aufgabe Seien M und F wie in Aufgabe 3 für p [2, 2n n 2 ]. Zeigen Sie, dass für u C (M) die folgenden Aussagen äquivalent sind: (1) Für alle v C (M) gilt (2) Es gibt eine Konstante c R mit d dt F(u + tv) = 0. t=0 u + wu = c u p 2 u. Falls eine der (und damit beide) Bedingungen erfüllt sind, so bestimmen Sie bitte die Konstante c als Ausdruck in F(u) und u L p.

14 Abgabe am 8.6. Übungsblatt 9 Aufgabe 1 Sei (M, g) eine glatte riemannsche Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass für alle Vektorfelder X, Y auf M die Symmetrieeigenschaft für die Hesse sche gilt: Aufgabe 2 2 X,Y u = 2 Y,Xu, u C (M). Es sei (M, g) eine glatte riemannsche Mannigfaltigkeit und der Laplace-Operator. Beweisen Sie folgende Identitäten: i) (f f) = f f + f f 2 df, d f, f, f C (M). ii) Aufgabe 3 (f u) = (f u) u (f u) u 2, u C 2 (M), f C (R). Es sei g = e 2u g die zu g gehörige konforme Metrik, wobei (M, g) eine n-dimensionale glatte riemannsche Mannigfaltigkeit und u M R eine glatte Funktion ist. i) Beweisen Sie folgende Identität: div g X = e nu div g (e (2 n)u X) für X glattes Vektorfeld auf M. ii) Zeigen Sie folgende Formel für den Laplace-Operator der konformen Metrik g = g (n 2)e 2u g ij u x j x i.

15 Abgabe am Übungsblatt 10 Aufgabe 1 5 Punkte Es sei (M, g) eine glatte riemannsche Mannigfaltigkeit und g = e 2u g, u C (M). Beweisen Sie, dass für alle ϕ C 2 (M) gilt Y g (ϕ) = e n+2 2 u Y g (e n 2 2 u ϕ). Aufgabe 2 5 Punkte Mit den gegebenen Daten aus Aufgabe 1 und p = 2n n 2, zeigen Sie: Insbesondere gilt für f = ϕ Aufgabe 3 Y g (f 1 ϕ) = f 1 p Y g (ϕ). scal g = f 1 p (4 n 1 n 2 gf + scal g f). 10 Punkte Sei M eine zusammenhängende, geschlossene riemannsche Mannigfaltigkeit. Es gelte die Gleichung Y g (f) = λf n+2 n 2 für f C (M), f > 0, wobei wir annehmen, dass die Skalarkrümmung konstant ist. Zeigen Sie folgende Aussagen: i) sgn scal = sgn λ. ii) f ist konstant, falls λ 0. Hinweis: Verwenden Sie das Maximum-Prinzip.

16 Abgabe am Übungsblatt 11 Aufgabe 1 5 Punkte Zeigen Sie, dass es für p M n κ und p Mn κ mit κ, κ R Zahlen r, r > 0 und einen konformen Diffeomorphismus gibt. Aufgabe 2 B Mn κ r (p) B Mn κ r ( p) 5 Punkte Sei M eine riemannsche Mannigfaltigkeit (nicht notwendigerweise vollständig). Sei Ω M, das heißt Ω M und Ω ist kompakt. Sei Ω auch offen. Für r 0 definieren wir Ω r = {y M x Ω d(x, y) < r}. Zeigen Sie: es gibt ein R > 0, so dass für alle r [0, R] gilt: Ω r ist offen und Ω r M. Konstruieren Sie daraus offene Ω j mit Aufgabe 3 Ω = Ω 0 Ω 1 Ω 2... Ω j M. j=0 5 Punkte Sei (M, g) eine riemannsche Mannigfaltigkeit und Ω M offen. Sei 1 < q <. Die Funktion u L q (M) löse die Gleichung u = f im schwachen Sinne. Sei f C k,α (M) mit f C k,α (M) <. Zeigen Sie: u Ω C k+2,α (Ω) C ( f C k,α (M) + u L q (M)). (1) Hinweis: Wenden Sie die lokale elliptischen Abschätzungen, die Schauder-Abschätzungen in Kombination mit den Einbettungssätzen mehrfach an.

17 Abgabe am Übungsblatt 12 Aufgabe 1 5 Punkte Mit den Definitionen aus der Vorlesung, berechnen Sie das Differential von Φ = σ 1 F σ für Translationen F sowie von Ψ = σ 1 δ α σ, jeweils in e 0. Aufgabe 2 10 Punkte Sei σ S n {e 0 } R n die stereographische Projektion. Sei u C (R n ) eine positive Lösung von u = λu n+2 n 2 ( ) auf R n mit R n u 2n/(n 2) dvol <. a) Zeigen Sie, dass sich dann u u 1 σ S n {e 0 } R zu einer schwachen Lösung von Y (v) = λv n+2 n 2 auf S n fortsetzt. b) Nehmen Sie nun an, dass die a) konstruierte Funktion v in C 2 ist und die Gleichung ( ) sogar im klassischen Sinne erfüllt. Zeigen Sie v(e 0 ) > 0 und v ist glatt auf S n. c) Zeigen Sie: Die Metrik g = v 4/(n 2) g sph hat konstante Schnittkrümmung. Geben Sie die Schnittkrümmung an. d) Berechnen Sie Hinweis: Es gilt die Gleichung 2 n R n λ ( u 2n/(n 2) 2/n dvol). R n u 2n n 2 dvol Rn = v 2n n 2 dvol Sn = vol(s n, g) = r n ω n S n S n r (0) wobei g = v κ n 2 g sph und ω n bezeichnet das Volumen der n-sphäre.

18 Abgabe am 6.7. Übungsblatt 13 Aufgabe 1 5 Punkte Wir untersuchen die Gleichung Y (f s ) = λ s f s 1 s, f s L s = 1, λ s = aq g s(f s ). (1) Sei M eine kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n 3 und seien f s L s (M) Lösungen von (1) für s [2, 2n/(n 2)). Sei (s i ) i N eine Folge in [2, 2n/(n 2)) mit f si L. Zeigen Sie: Dann gilt lim s i = 2n i n 2. Hinweis: Verwenden Sie die verstärkte Version von Satz Aufgabe 2 5 Punkte a) Sei G eine abgeschlossene Untergruppe von O(n) (oder allgemein eine kompakte Lie- Gruppe) und α G M M, (γ, x) α(γ)(x) eine isometrische glatte Gruppenoperation. Sei g eine G-invariante Metrik und Angenommen g erfüllt [g] G = { g [g] g ist G invariant}. Q( g) = inf{q(g) g [g] G }. Zeigen Sie, dass g konstante Skalarkrümmung hat. b) Konstruieren Sie ein Beispiel von M, G, g wie oben, so dass Q( g) > λ(m, [g]) gilt. Hinweis: Betrachten Sie die Wirkung R/LZ auf M = S n 1 R/LZ durch Translation im zweiten Faktor und verwenden Sie Proposition 3.46 von Aubin. Aufgabe 3 5 Punkte Es seien m, n 3 und (M m, g M ), (N n, g N ) geschlossene riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Q(g M ) = λ(m, [g M ]), Q(g N ) = λ(n, [g N ]). Bezeichne mit g M N die Metrik auf M N, welche als Produktmetrik aus g M und g N gewonnen wird. a) Zeigen Sie, dass g M N konstante Skalarkrümmung s 0 R besitzt. b) Ist s 0 0, dann gilt Q(g M N ) = λ(m N, [g M N ]). Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass ein g [g M N ] existiert mit Q( g) = λ(m N, [g M N ]). c) Konstruieren Sie ein Beispiel für M, N, g M, g N, sodass ( ) nicht gilt. Hinweis: M = N = S 3, g M = g sph, g N = L 2 g sph. d) [Offenes Problem Bonuspunkte] Sei λ M > 0, λ N > 0. Zeigen Sie, dass dann ein µ R + existiert, sodass g = g M + µg N die Gleichung ( ) erfüllt. ( )