Graßmann sche Mannigfaltigkeiten und universelle Bündel

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1 Graßmann sche Mannigfaltigkeiten und universelle Bündel Nicolas Ginoux Seminar Differentialtopologie - Universität Regensburg 23. Juli 2010 Zusammenfassung: Wir zeigen, dass jedes reelle Vektorbündel von einem universellen Bündel und auf eindeutige Weise bis auf Homotopie induziert wird. Der Vortrag basiert auf [3, Kap. 5] und setzt Kenntnisse aus der Differentialgeometrie von Faserbündeln (insbes. Lie-Gruppen und homogenen Räumen) voraus, siehe z.b. [1]. 1 Graßmann sche Mannigfaltigkeiten und ihr kanonisches Vektorbündel 1.1 Graßmann sche Mannigfaltigkeiten Definition 1.1 Für natürliche Zahlen n, k N wird die Graßmann sche Mannigfaltigkeit der n-dimensionalen Untervektorräume von R n+k definiert als G n (R n+k ) := {V R n+k V n-dim. Untervektorraum}. Sie heißt nicht zufällig Mannigfaltigkeit: Proposition 1.2 Seien n, k N, dann trägt G n (R n+k ) die Struktur einer glatten nk-dimensionalen kompakten Mannigfaltigkeit, die zum homogenen Raum O(n + k)/o(n) O(k) diffeomorph ist, wobei O(n) die orthogonale Gruppe von (R n,, ) bezeichnet. Beweis: Die Abbildung O(n + k) G n (R n+k ) G n (R n+k ) (A, V ) A(V ) 1

2 definiert eine transitive Linksgruppenwirkung und der Stabilisator von R n {0 R k} G n (R n+k ) ist O(n) O(k) (lässt eine orthogonale Abbildung einen Untervektorraum invariant, so lässt sie ihr orthogonales Komplement auch invariant). Deswegen induziert diese Linksgruppenwirkung eine bijektive Abbildung O(n + k)/o(n) O(k) G n (R n+k ). Da O(m) eine m(m 1) -dimen- φ 2 sionale kompakte Lie-Gruppe ist, folgt aus [1, Satz 1.23], dass der Rechtsquotient O(n + k)/o(n) O(k) ein nk-dimensionaler glatter kompakter homogener Raum ist. Mittels der obigen bijektiven Abbildung φ wird damit eine eindeutige glatte Struktur auf G n (R n+k ) so definiert, dass φ ein glatter Diffeomorphismus ist. Alternativ kann ein Atlas von G n (R n+k ) folgendermaßen definiert werden: für 1 i 1 <... < i n n + k sei π i1,...,i n : R n+k n j=1r e ij die Orthogonalprojektion (wobei (e j ) 1 j n+k die kanonische Basis des R n+k bezeichnet) und setze U i1,...,i n := {V G n (R n+k ) π i1,...,i n (V ) = n j=1r e ij }. Die entsprechende Karte wird definiert durch ϕ i1,...,i n : U i1,...,i n R nk, V (π π 1 i 1,...,i n (e i1 ),..., π π 1 i 1,...,i n (e in )), wobei π die Orthogonalprojektion von R n+k auf ( n j=1r e ij ) = R e j bezeichnet. j / {i 1,...,i n} Bemerkungen 1.3 Seien n, k N. 1. Die Inklusionsabbildung R n+k ι k,k+l R n+k+l, x (x, 0 R l), induziert eine glatte Einbettung G n (R n+k ) I k,k+l G n (R n+k+l ) mit I k+l,k+l I k,k+l = I k,k+l für alle l l N. 2. Die Abbildung G n (R n+k ) G k (R n+k ), V V, definiert einen Diffeomorphismus; diese Abbildung entspricht der Konjugation in O(n+k) mit dem Element aus O(n + k), welches R n {0 R k} auf {0 R k} R n und {0 R n} R k auf R k {0 R n} kanonisch abbildet. 3. Für n = 1 ist G n (R n+k ) die Menge aller linearen Geraden im R k+1, d.h., G 1 (R k+1 ) ist der k-dimensionale reelle projektive Raum. 1.2 Das kanonische Vektorbündel über G n (R n+k ) Definition 1.4 Für n, k N ist das kanonische Bündel über G n (R n+k ) das Tripel (γ n (R n+k ), π, G n (R n+k )), wobei γ n (R n+k ) := {(V, v) G n (R n+k ) R n+k v V } und π : γ n (R n+k ) G n (R n+k ), (V, v) V. 2

3 Es heißt auch nicht zufällig Vektorbündel: Proposition 1.5 Das kanonische Bündel über G n (R n+k ) trägt die Struktur eines glatten n-rangigen reellen Vektorbündels über G n (R n+k ). Beweis: Nach Proposition 1.2 ist G n (R n+k ) diffeomorph zum homogenen Raum O(n + k)/o(n) O(k). Die Lie-Gruppe O(n+k) kann daher als (O(n) O(k))-Hauptfaserbündel über G n (R n+k ) aufgefasst werden [1, Bsp. 2.6]. Nun betrachte die lineare Lie-Gruppen-Darstellung δ : O(n) O(k) GL(n), (A, B) A. Nach [1, Satz 2.7] trägt der zur Rechtswirkung (O(n + k) R n ) (O(n) O(k)) O(n + k) R n ((A, v), h) (Ah, δ(h 1 )(v)) gehörige Quotient die Struktur eines glatten n-rangigen reellen Vektorbündels O(n + k) R n /O(n) O(k) π G n (R n+k ). Die Abbildung Φ : O(n + k) R n /O(n) O(k) γ n (R n+k ) [(A, v)] (A(R n {0 R k}), A(v)) ist dann wohldefiniert, bijektiv und faserweise linear (p 2 Φ([(A, λv + µw)]) = λp 2 Φ([(A, v)]) + µp 2 Φ([(A, w)])) mit π Φ = φ π. Insbesondere induziert das Paar (Φ, φ) auf (γ n (R n+k ), π, G n (R n+k )) eine eindeutige Struktur eines glatten n-rangigen reellen Vektorbündels über G n (R n+k ) so, dass (Φ, φ) ein Vektorbündelisomorphismus ist. Bemerkung 1.6 Für k, l, n N sei I k,k+l die in Bemerkung definierte Einbettung G n (R n+k ) G n (R n+k+l ). Dann induziert I k,k+l einen Vektorbündelhomomorphismus Ĩk,k+l : γ n (R n+k ) γ n (R n+k+l ) (mit π Ĩk,k+l = I k,k+l π), welcher faserweise bijektiv ist (Übungsaufgabe). Daraus folgt insbesondere γ n (R n+k Ĩ k,k+l ) = I k,k+l (γ n (R n+k+l )). Außerdem gilt Ĩk+l,k+l Ĩk,k+l = Ĩ k,k+l für alle l l N (Übungsaufgabe). 2 Unendliche Graßmann sche und universelle Bündel Von hier aus wird mit R die direkte Summe R bezeichnet. Alternativ kann R als (unendlich dimensionaler) reeller Vektorraum der endlich k N getragenen reellen Folgen angesehen werden. 3

4 2.1 Die unendliche Graßmann sche G n (R ) Definition 2.1 Für n N wird die unendliche Graßmann sche der n-dimensionalen Untervektorräume von R definiert als G n (R ) := {V R V n-dim. Untervektorraum}. Jedes R k lässt sich auf kanonische Weise in den R linear einbetten: die Abbildung ι k : R k R, x (x, 0, 0,...) ist linear und injektiv. Auf triviale Weise gilt ι k+l ι k,k+l = ι k für alle k, l N. Damit induzieren die ι k s injektive Abbildungen G n (R n+k ) Gn (R ) mit I k+l I k,k+l = I k für alle k, l N. Nach der Definition von R gilt außerdem G n (R ) = k N I k (G n (R n+k )). Die von der Familie (I k ) k N induzierte Bildtopologie definiert eine Topologie auf G n (R ) so, dass alle I k s stetig sind (sie ist sogar die feinste Topologie auf G n (R ) mit dieser Eigenschaft). Konkret: eine Teilmenge U G n (R ) ist genau dann offen, wenn I 1 k (G n(r )) offen in G n (R n+k ) ist für alle k N. Der Raum G n (R ) ist somit der sogenannte direkte topologische Limes der Folge (G n (R n+k )) k N. Bemerkung 2.2 Es kann elementar bewiesen werden, dass der mit dieser Topologie versehene Raum G n (R ) als direkter Limes einer Folge von kompakten (Hausdorff schen) topologischen Räumen selber parakompakt ist (d.h., G n (R ) ist Hausdorff sch und jede offene Überdeckung von G n (R ) besitzt eine lokal-endliche Verfeinerung), siehe [3, Cor. p.66]. Um aber eine (topologische bzw. glatte) Mannigfaltigkeit-Struktur auf G n (R ) zu definieren so, dass alle I k s (stetige bzw. glatte) Einbettungen sind, müssten wir Begriffe aus der unendlichdimensionalen Differentialgeometrie einführen, was uns zu weit treiben würde. Deswegen betrachten wir G n (R ) weiterhin lediglich als parakompakten topologischen Raum. 2.2 Das universelle Bündel über G n (R ) Analog wie bei G n (R n+k ) wird ein Bündel auf kanonische Weise auf G n (R ) definiert. Definition 2.3 Für n N ist das universelle Bündel über G n (R ) das Tripel (γ n (R ), π, G n (R )), wobei γ n (R ) := {(V, v) G n (R ) R v V } und π : γ n (R ) G n (R ), (V, v) V. I k 4

5 Und wie bei G n (R n+k ) ist das universelle Bündel ein Vektorbündel: Proposition 2.4 Das universelle Bündel über G n (R ) trägt die Struktur eines stetigen n-rangigen reellen Vektorbündels über G n (R ). Zur Erinnerung ist ein stetiges reelles n-rangiges Vektorbündel über einem topologischen Raum B ein Tripel (E, π, B), wobei E ein topologischer Raum ist und π : E B eine stetige Abbildung mit lokalen stetigen Trivialisierungen: zu jedem Punkt b B existieren eine Umgebung U b von b und ein φ b Homöomorphismus π 1 (U b ) Ub R n so, dass p 1 φ b = π (wobei p 1 die erste Projektion U b R n U b ist) und, falls U b U b, die Abbildung φ b φ 1 b : (U b U b ) R n (U b U b ) R n der Form (x, v) (x, a bb (x)(v)) ist für eine stetige Abbildung a bb : U b U b GL(n). Insbesondere trägt jede Faser E b := π 1 ({b}) die Struktur eines n-dimensionalen reellen Vektorraumes. Beweis von Proposition 2.4: Zu bemerken ist, dass für jedes k N eine Abbildung γ n (R n+k Ĩ ) k γ n (R ) existiert, die mit den entsprechenden Projektionen kommutiert (π Ĩk = I k π) und die faserweise ein linearer Isomorphismus ist mit Ĩk+l Ĩk,k+l = Ĩk für alle k, l N. Zusammen mit der Beziehung Ĩ k+l,k+l Ĩk,k+l = Ĩk,k+l folgt, dass (γn (R ), π, G n (R )) als direkter Limes der Familie {(γ n (R n+k ), π, G n (R n+k ))} k N aufgefasst werden kann. Die Vektorbündelstruktur auf (γ n (R ), π, G n (R )) ergibt sich aus diesen Tatsachen, siehe auch [3, pp ] für eine explizite Beschreibung der lokalen Trivialisierungen. 3 Hauptergebnisse In diesem Abschnitt erklären wir, warum (γ n (R ), π, G n (R )) als universell bezeichnet wird. 3.1 Einbettung von Vektorbündeln in das universelle Bündel Satz 3.1 Sei (E, π, B) ein n-rangiges stetiges reelles Vektorbündel über einem parakompakten topologischen Raum. Dann existiert ein stetiger Vektorbündelhomomorphismus (F, f) von (E, π, B) nach (γ n (R ), π, G n (R )), welcher faserweise ein Isomorphismus ist. Insbesondere ist (E, π, B) isomorph zu (f γ n (R ), π F, B). 5

6 Beweis: Zu finden ist eine stetige Abbildung ˆf : E R, deren Einschränkung auf jeder Faser ein linearer injektiver Homomorphismus ist. Dabei ist die Topologie auf R die von der Familie (ι k ) k N induzierte Bildtopologie und stimmt mit der vom euklidischen Skalarprodukt u, v := k=0 u kv k induzierten Topologie überein. Mit Hilfe von diesem ˆf kann das Paar (F, f) definiert werden durch: f(b) := ˆf(E b ) und F (v) := ( ˆf(E π(v) ), ˆf(v)) für alle v E b und b B. Es ist elementar, zu überprüfen, dass (F, f) den gesuchten stetigen Vektorbündelhomomorphismus liefert. Konstruktion von ˆf: Wegen B parakompakt existiert eine lokal endliche abzählbare offene Überdeckung (U p ) p N von B, die erfüllt: für jedes p N existiert ein Homöomorphismus π 1 (U p ) Up R n mit p 1 φ p = π und φ p φ 1 p ist faserweise linear (im Sinne der Definition oben) für alle p, p mit U p U p. Die Existenz einer solchen Überdeckung wird in [3, Lemma 5.9] bewiesen. Für jedes p N betrachte die injektive lineare Abbildung I p : R n R, v (0 R np, v, 0, 0,...). Wähle nun eine zu (U p ) p N gehörige stetige Teilung der Eins (χ p ) p N und definiere ˆf : E R, v p N χ p (π(v)) I p p 2 φ p (v). φ p Hierbei ist φ p (v) per Konvention 0 R, sobald π(v) / U p. Beachte, dass wegen (U p ) p N lokal endlich die Abbildung ˆf wohldefiniert und stetig ist. Für alle b B ist ˆf Eb per Definition linear und wegen der Injektivität von allen p 2 φ p und der Beziehung I p (R n ) I p (R n ) = {0} R für alle p p auch injektiv. Bemerkungen Im Fall, wo (E, π, B) glatt ist, folgt das Ergebnis unmittelbar aus dem Whitney schen Einbettungssatz [2]: bette den Totalraum von T E E in ein R m ein, schränke diese Einbettung auf das sogen. vertikale Untervektorbündel VE s0 (B) s 0(B) von T E entlang des Nullschnittes s 0 von (E, π, B) ein und benutze die Tatsache, dass das Vektorbündel VE s0 (B) s 0(B) isomorph zu (E, π, B) ist. 2. Man beachte, dass die zum Vektorbündelhomomorphismus (F, f) gehörige Abbildung f : B G n (R ) nicht notwendigerweise injektiv ist. Sei z.b. B R m eine glatte Untermannigfaltigkeit des R m und E := T B B R m, dann können die Untervektorräume T b B und T b B von R m eventuell gleich sein ohne, dass b = b gilt (wähle beispielsweise B := S m 1 R m und b = b). 6

7 Satz 3.1 impliziert, dass jedes n-rangige reelle Vektorbündel vom universellen Bündel γ n (R ) induziert wird. Dies gilt schon als überraschend, weil selbst auf einer festen Basis B durchaus viele verschiedene (zueinander nichtisomorphe) Vektorbündel existieren können. Andererseits existieren für ein festes Vektorbündel (E, π, B) i.a. verschiedene solche faserweise injektive Vektorbündelhomomorphismen nach (γ n (R ), π, G n (R )). Z.B. gibt es i.a. viele zueinander nichtkongruente Einbettungen einer festen glatten Mannigfaltigkeit B in ein R m (insbesondere in den R ), und jede dieser Einbettungen liefert jeweils einen anderen Vektorbündelhomomorphismus von (T B, π, B) nach (γ n (R ), π, G n (R )). Allerdings - und es ist vielleicht noch überraschender - wird jedes n-rangige reelle Vektorbündel auf eindeutige Weise vom universellen Bündel γ n (R ) induziert. Dies ist der Gegenstand des nächsten Abschnitts. 3.2 Eindeutigkeit der Einbettung bis auf Homotopie Dazu soll noch erläutert werden, was eindeutig heißt. Definition 3.3 Sei (E, π, B) ein n-rangiges reelles Vektorbündel über einem parakompakten topologischen Raum. Zwei faserweise bijektive Vektorbündelhomomorphismen (F 0, f 0 ), (F 1, f 1 ) von (E, π, B) nach (γ n (R ), π, G n (R )) heißen genau dann bündelhomotop zueinander, wenn es ein Paar (H, h) H von stetigen Abbildungen E [0, 1] γ n (R h ), B [0, 1] G n (R ) gibt so, dass π H = h (π id) gilt und H(, t) : E γ n (R ) ein faserweise bijektiver Vektorbündelhomomorphismus ist für alle t [0, 1] mit H(, 0) = F 0 und H(, 1) = F 1. Beachte, dass insbesondere h eine Homotopie zwischen f 0 und f 1 definiert. Die Bündelhomotopie definiert trivialerweise eine Äquivalenzrelation auf der Menge der faserweise bijektiven Vektorbündelhomomorphismen von einem festen n-rangigen reellen Vektorbündel (E, π, B) nach (γ n (R ), π, G n (R )). Satz 3.4 Sei (E, π, B) ein n-rangiges reelles Vektorbündel über einem parakompakten topologischen Raum und (F 0, f 0 ), (F 1, f 1 ) zwei faserweise bijektive Vektorbündelhomomorphismen von (E, π, B) nach (γ n (R ), π, G n (R )). Dann sind (F 0, f 0 ), (F 1, f 1 ) bündelhomotop zueinander. Beweis: Die Vektorbündelhomomorphismen (F 0, f 0 ) und (F 1, f 1 ) induzieren stetige Abbildungen ˆf i : E R, v p 2 F i (v), i = 0, 1, deren Einschränkung auf jeder Faser von (E, π, B) linear und injektiv ist. 7

8 1. Fall: Gilt Ker(( ˆf 0 + λ ˆf 1 ) Eb ) = {0 b } für alle b B und λ [0, [, so definiert Ĥ : E [0, 1] R, (t, v) (1 t) ˆf 0 (v) + t ˆf 1 (v) eine stetige Abbildung, für die H(, t) Eb injektiv und linear ist für alle b B und t [0, 1] mit Ĥ(, i) = ˆf i für alle i {0, 1}. Wie im Beweis von Satz 3.1 definiert dann H(v, t) := (Ĥ(E π(v), t), Ĥ(v, t)), h(b, t) := Ĥ(E b, t) die gesuchte Bündelhomotopie zwischen (F 0, f 0 ) und (F 1, f 1 ). 2. Fall: Seien nun (F 0, f 0 ) und (F 1, f 1 ) allgemein. Definiere die faserweise bijektiven Vektorbündelhomomorphismen (τ i, t i ) von (γ(r ), π, G n (R )) nach (γ(r ), π, G n (R )), i = 0, 1, durch v = k N ˆτ v k e i k v k e 2k+i+1, wobei (e k ) k N die kanonische Basis von R ist (Übungsaufgabe: zeige, dass die ˆτ i s wohl faserweise bijektive Vektorbündelhomomorphismen definieren). Wegen ˆτ i (v) + λv 0 für alle 0 v R und λ [0, [ sind (F i, f i ) und (τ i F i, t i f i ) bündelhomotop zueinander für alle i = 0, 1. Nach Definition der τ i s liefert der 1. Fall die Bündelhomotopieäquivalenz zwischen (τ 0 F 0, t 0 f 0 ) und (τ 1 F 1, t 1 f 1 ). k N Als Folgerung von Satz 3.1 und Satz 3.4 bekommen wir das Korollar 3.5 Jedes n-rangige reelle Vektorbündel (E, π, B) über einem parakompakten topologischen Raum B definiert ein eindeutiges Element in der Menge [B, G n (R )], d.h., eine eindeutige Homotopieklasse von stetigen Abbildungen B G n (R ). Literatur [1] H. Baum, Eichfeldtheorie. Eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Faserbündeln, Springer-Verlag Berlin, [2] T. Bröcker, K. Jänich, Einführung in die Differentialtopologie, Heidelberger Taschenbücher 143, Springer-Verlag, Berlin-New York, [3] J. W. Milnor, J.D. Stasheff, Characteristic classes, Annals of Mathematics Studies 76, Princeton University Press,