fdv f x, yz, dzdydx Folie 1

Transkript

1 fd f x, y, ddydx R R 1 1 f ( rcossi, rsisi, r cos) r si dddr Folie 1

2 Dreifachitegrale orspa Als orwisse sollte Sie die Grudlage u Doppelitegrale mitbrige (s..b. L. Papula, Mathematik für Igeieure ud Naturwisseschaftler Bad ). Wie Sie da wisse, werde bei Doppelitegrale 'Fuktioswerte über eiem Gebiet aufsummiert'. ( x, y ) k i j Ak yj xi Wiederholug Doppelitegral: A k k k... A k1 k ( x, y ) A i1 j1 k i j i, j Defiitio: Doppelitegral lim ( x, y ) y x i 1 j 1 A G ( x, y) dydx i j j i Folie

3 Dreifachitegrale eiführedes Beispiel Das vo de Doppelitegrale bekate orgehe lässt sich auf dreidimesioale Körper übertrage. Als eiführedes Beispiel betrachte wir die Berechug der Masse eies olumekörpers. m Die Gesamtmasse ergibt sich durch Summatio aller Teilmasse m i : m1 = I Formel: m m m m mit m k1 k1 k k k k k = mittlere Dichte des Masseelemets k = olume eies (jede) Masseelemets Folie

4 Dreifachitegrale eiführedes Beispiel Wie üblich, geschieht der Übergag um Itegral durch die Betrachtug des Grewertes eier 'uedlich feie' Summe: m mit x, y, k1 k k k k k m lim x, y, x, y, d k 1 k k k Die hier verwedete Schreibweise ist etwas abstrakt, so dass das dreifache Itegral icht klar u erkee ist. Astelle der eifache Summe über k, bei der jedes Masseelemet durch eie Idex gekeeichet ist, ka jedes Masseelemet aschaulicher durch drei Idies (i, j, k) 'adressiert' werde: x, y, k i j k x y x, y, x, y, m x, y, mit yx i j k1 i j k x y i j k m lim x, y, y x x, y, d dy dx i j k1 Folie 4

5 Dreifachitegrale allgemeie Defiitio Zur Itegratio eier allgemeie Fuktio f(x,y,) geht ma etspreched vor: ma uterteilt de Itegratiosbereich (hier: das Itegratiosvolume ) i kleie Teilbereiche () ud ähert das Itegral über eie solche Teilbereich durch de Ausdruck f x, y,. k k k Der Grewert der Summe über alle Teilbereiche defiiert das Itegral: I lim f x, y, k 1 f f x, y, d k k k x, y, d dy dx Folie 5

6 Dreifachitegrale Awedugsbeispiele I der Schule werde Eifachitegrale (leider oft ausschließlich) ur Flächeberechug herageoge. Daebe gibt es aber beliebig viele weitere Aweduge. Die Flächeberechug ist lediglich ei, we auch sehr aschauliches, Beispiel ur Eifach-Itegratio. Etspreched ist die olumeberechug ei sehr aschauliches Beispiel ur Iterpretatio vo Doppelitegrale. Dreifachitegrale habe i.a. keie etsprechede geometrische Iterpretatio. Nicht-geometrische Awedugsbeispiele sid, ebe der scho besprochee Masseberechug,.B. Thermische Eergie: W lim c T x, y, c T x, y, d dy dx oder Masseträgheitsmomet: k 1 p k k k p J x y ddydx Folie 6

7 Dreifachitegrale Berechug Bei der Berechug verfährt ma wie bei Doppelitegrale ud itegriert vo vo ie ach auße bgl. der eiele ariable. Die jeweilige Itegratiosgree sid durch die Geometrie des Itegratiosbereichs festgelegt.,,,,, x y x x, y o y x x y x o f xyddydx f xyddydx o u u u 1. (ierste) Itegratio: wird elimiiert (ausitegriert). Itegratio: y wird elimiiert (ausitegriert). Itegratio bgl. x Wie bei Doppelitegrale, ist auf die Zuordug u achte: & d... wirke jeweils wie eie Klammer. Bei der liks festgelegte Reihefolge müsse die Itegratiosgree für also am iere Itegral stehe, die y-gree am Mittlere ud die x-gree auße. Folie 7

8 Dreifachitegrale Berechugsbeispiel or der eigetliche Itegratio soll uächst auf die Bestimmug der Itegratiosgree eigegage werde. Betrachte wir das ebestehed abgebildete Itegratiosvolume. Die Gree der -Itegratio ergebe sich aus de begreede Fuktioe (hier Ebee) i -Richtug. Die Gleichug für die obere Ebee ergibt sich aus de Steiguge i x- ud i y-richtug sowie dem -Achseabschitt:,, Für die Gree der y-itegratio betrachtet ma die Projektio auf die x-y-ebee. Die Gree ergebe sich (wie bei Doppelitegrale) aus de begreede Fuktioe für y: 4 y x x4 ud y x. o u x y x y1 1 1 o 4 x y u Für die x-itegratiosgree gilt: x = ud x. o u Folie 8

9 Dreifachitegrale Berechugsbeispiel,,,, f xyd f xyddydx x4 x y1 f xyddydx,, Für ei erstes, eifaches Beispiel sette wir f( x, y, ) 1 4 x x y1 1 ddy dx x y x y1 1 d x y x4 4 x4 4 4 x y 1dy ( 1 ) 1 ( 1 )( ) 1 x 1 y 8 y x 1 x 4 8( x 4) x x x4 x x x x x x 6 dx 7 x 6 x 6 x Folie 9

10 Dreifachitegrale Übuge Gegebe ist das abgebildete Itegratiosvolume : Bereche Sie: 1d xy d x si( ) d 1 1 ur Kotrolle die Ergebisse: 1d, xy d x si( ) d Folie 1

11 Dreifachitegrale vereifachte Berechug Uter folgede oraussetuge lässt sich die Berechug vo Dreifachitegrale vereifache: 1. Die Itegratiosgree für alle drei eräderliche sid kostat. Der Itegrad f(x,y,) lässt sich i ei Produkt erlege, wobei die Faktore jeweils ur vo x, ur vo y ud ur vo abhäge, also f(x,y,) = u(x) v(y) w() Da (ud ur da!) gilt: b d f b d f f( xy,, ) ddydxuxdx ( ) vy ( ) dyw ( ) d a c e a c e Uter de oraussetuge 1. &. lässt sich also ei Dreifachitegral als Produkt dreier Eifachitegrale schreibe. Folie 11

12 Dreifachitegrale vereifachte Berechug Beispiel Gegebe ist das abgebildete Itegratiosvolume. Itegriert werde soll die Fuktio: f xy,, xe y y f x, y, d xe ddydx 4 4 or. 1. &. erfüllt 4 4 y y xe e ddydx xdxe dye d 1 1 Substitutio: u y x e e e 1 e e Folie 1

13 Dreifachitegrale i Zyliderkoordiate I Zyliderkoordiate werde x ud y durch Polarkoordiate beschriebe. Die -Koordiate bleibt uverädert. Es gilt also: y x = r cos() y = r si() = r x Für das olumeelemet gilt etspreched d d dy dx d r d dr d (Flächeelemet i Polarkoordiate mal d) Folie 1

14 Dreifachitegrale i Kugelkoordiate r. y I Kugelkoordiate werde x ud y wieder i Polarkoordiate beschriebe. Der etsprechede Radius (Projektio auf die x-y- Ebee) hägt jedoch jett vom Polarwikels ab. Auch die -Koordiate wird mit Hilfe des Polarwikels ausgedrückt: x = r cos() si() y = r si() si() = r cos() x Für das olumeelemet gilt: d r si d ddr ur Herleitug siehe.b. T. Ares et al., Mathematik, Spektrum Folie 14

15 Dreifachitegrale i kartesische, Zylider- ud Kugelkoordiate kartesische Koordiate f xy,, d x o o, y x x y x y x x, y o u u o f xyddydx,, Zyliderkoordiate f( x, y, ) d Kugelkoordiate f( x, y, ) d x rcos x rcos si y rsi y rsi si R R f ( rcos, rsi, ) r ddrd R R 1 1 rcos f ( rcos si, rsi si, rcos) r si dddr Folie 15

16 Dreifachitegrale Beispiel für Zylider- ud Kugelkoordiate Gesucht ist das Masseträgheitsmomet des abgebildete Körpers bgl. der -Achse: J ( x y ) d. (Zur Defiitio vo J s..b. L. Papula, Mathematik für Igeieure ud Naturwisseschaftler ). J ( x y ) d ( x y ) d ( x y ) d Zylider Kappe r cos r si rdddr r d ddr 1 r / / / r cos si r si si r sidd dr 4 cos si r si dd dr 4 r si dd dr / si ( )cos( ) cos( ) 1 r ( cos( )) Folie 16