Handout. Instationäre Wärmeleitung. ka t. kat V. ktg D. Mit dem Körperfaktor G = bzw. = folgt. ktga. ktg = D. λkörper. ktga. kdfog. Mit = + folgt.

Transkript

1 T T T T k ex t ρcv D G Mit dem Körerfaktor G bzw. folgt V V D kt ρc V ktg ρc D Körer Körer Mit a bzw. ρc folgt ρc a ktg ρc D ktga D Körer at at Mit Fo bzw. D Fo folgt D D ktga D Körer kdfog Körer Mit + folgt k α α i a kdfog Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie Körer DFoG + αi αa FoG Körer + α D α D i Körer Körer a Hadout

2 kdfog Körer DFoG + αi αa FoG Körer + α D α D i Körer Körer a Mit Nu K αid Körer! ud α a D Körer! folgt schließlich kt ρc V FoG Körer + αid αad Körer Nu FoG K + bzw. T T Θ T T k FoG ex t ex ρcv + Nu Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie K Hadout

3 Der zeitabhägige Wärmestrom ergibt sich aus Q & (t) k(t T ) k(t T FoG )ex + Nu K Für die bis zu t t übertragee Wärmemege Q Δ -ρc [ T( t )] V T folgt mit T(t) T l T T k t ρc V - ρc V kt T(t) T l T T T T(t) Q kt obe erweitert mit -T + T l (T(t [ ) T )/(T T )] kt kt T [ ) T )/(T T )] l (T(t T T(t ) + T ( T(t) T ) ( T T ) [ ) T )/(T T )] (ΔT lm : mittlere logarithmische Temeraturdifferez) Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie 3 kδtlmt l (T(t Hadout

4 terschiedliche Defiitioe vo Fo- ud -Zahle i der Literatur gebräuchlich hier: αad αar at Fo D at 4R i Literatur oftmals: α R a at Fo R Für idetische Geometrie liefer Lösuge der Differetialgleichug des Temeraturfeldes mit etsrecheder Defiitio vo - ud Fo-Zahl idetische Ergebisse. Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie 4 Hadout

5 Lösug der Differetialgleichug für das Temeraturfeld im Falle istatioärer Wärmeleitug für die Platte für die meiste adere Geometrie ud Radbediguge icht mehr mit vertretbarem Recheaufwad aalytisch lösbar Fourier-Gleichug uter ahme kostater Stoffwerte: T t T a + x T T + + y z q& V ρc Eidimesioale T-Verteilug; Platte uedlich i y- ud z-richtug ausgedeht keie Quelle vorhade! Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie 5

6 Zur Lösug der Gleichug erforderliche Radbediguge: fagsbedigug (. rt): t : T(x, t ) T i T Symmetriebedigug: x : x kovektive Wärmeabgabe (3. rt): x L: α( T(x L,t) T ) x T x x L mit dimesioslose Größe x ; R at 4R Fo; Θ T T T T ; αr dimesioslose Differetialgleichug ud Radbediguge: DGL für Platte ( ): Θ Θ 4 fagsbedigug (. rt): : Θ(, ) Θ Symmetriebedigug: : kovektive Wärmeabgabe (3. rt): : + Θ(, ) Θ Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie 6

7 Lösug der Differetialgleichug mit Produktasatz: Θ(, ) F( )G( ) Θ Θ satz i Differetialgleichug 4 eisetze: G( ) F( ) F( ) 4G( ) oder 4 F( ) F( ) G( ) G( ) da like Seite beliebige Fuktio vo ud rechte Seite beliebige Fuktio vo beide Seite köe ur eie Kostate sei! G( ) G( ) C Itegratio liefert: G( ) C e + C Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie 7

8 Über die Kostate C ka eie hysikalische ussage getroffe werde: C muss kleier als Null sei, de sost geht G() für große Zeite gege uedlich; deshalb schreibt ma auch: C G( ) C e Lösug der gewöhliche Differetialgleichug für F(): F( ) 4 C F( ) llgemeie Lösug hierfür ist: F( ) C + C3 Θ, ) G( )F( ) C e C si + C ( 3 si Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie 8

9 Θ, ) C e C + C ( 3 si Zusammefassug der Kostate C ud C zur Kostate bzw. C ud C 3 zur Kostate B: Θ(, ) + Bsi e Bestimmug vo ud B durch wedug der Symmetrie- bzw. Radbedigug: Die Symmetriebedigug : Θ liefert: e si ( ) + B ( ) B Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie 9

10 Die Radbedigug 3. rt : Θ + (, ) Θ liefert mit Θ(, ) + Bsi e ud B : si + e cot Traszedete Gleichug mit uedlich viele Lösuge (,, 3...): bhägigkeit der Eigewerte vo der ot-zahl Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie

11 Zu jedem Eigewert gehört eie Lösug der Differetialgleichug mit Eigefuktio ( /) ud der Kostate Da die Differetialgleichug liear ist, köe alle Eizellösuge zu eier Gesamtlösug überlagert werde: Θ, ) ( e Bestimmug vo durch wedug der Radbedigug. rt : Θ(, ) : Θ (,) Etwicklug vo i Reihe: m d m d Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie

12 Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie Nach uswertug der Itegrale: Da die Eigefuktioe ei orthogoales System bilde: ( ) ( ) ( ) ( ) si si + eidimesioale istatioäre Temeraturverteilug i der Platte: Itegrale, bei dee icht m ist, sid Null! d d m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + Θ ex si si ), ( d d m m mit ( ) cot

13 llgemeie Lösug für die istatioäre Temeraturverteilug i eier uedlich ausgedehte Platte (R s/) mit Θ(, ) cot si / + si ( / ) (,, 3,...) ( / ) ( / ) ( / ) ( / ) ex( Fo) Äußerer Wärmewiderstad verachlässigbar (R a << R i, >> ) Eigewert für de Fall, dass äußerer Wärmeübergagswiderstad verachlässigbar ist (R a << R i, >>): für cot( )! 3 5 π, π, π,... Für Zylider ud Kugel lasse sich ebefalls Reiheetwickluge agebe, die jedoch komlizierter sid. Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie 3

14 Istatioäre Temeraturverteilug i der Platte (Dicke S R) Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie 4

15 Istatioäre Temeraturverteilug i der Platte (Dicke S R) Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie 5

16 Mit abehmeder otzahl ergebe sich bei gleicher Fourierzahl gerigere Temeraturgradiete im Körer. Zeitabhägige mittlere Temeratur i der ebee Platte für uterschiedliche otzahle Für verschwide diese ud der zeitliche Verlauf der Temeratur a beliebige Stelle im Körer etsricht der mittlere Temeratur der Platte: Θ(, ) Θ( ) Für die mittlere Temeratur der Platte erhält ma allgemei, d.h. für beliebige otzahle Θ( ) Θ(, )d si ( ) ( )( ( ) + si( ) ( ) ) ex ( ) Prof. Dr.-Ig.. P. Fröba ud Dr.-Ig. Michael Rausch Wärme- ud Stoffübertragug Folie 6