44. Lektion: Stehende Wellen

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1 44. Lektio: Stehede Welle H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 1 15.Schwiguge

2 Lerziel Stehede Welle etstehe aus der Überlagerug vo laufede Welle a feste oder lose Ede. Die Superpositio vo eilaufeder ud reflektierter Welle ergibt eie stehede Welle. H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge

3 Begriffe: Radbedigug: festes ud loses Ede Stehede Welle (trasversal ud logitudial) Diskreter Satz vo Welleläge Eigefrequeze Itesität vo stehede Welle H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 3 Begriffe

4 Radbediguge Betrachte eie trasversale Seilwelle, die auf ei festes ud ei loses Ede zuläuft. Festes Ede: Loses Ede: = 0 Am feste Ede x=0 ist die Amplitude für alle Zeite Null. x x = 0 Am lose Ede x=0 ist die Amplitude zeitabhägig. H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 4

5 Beobachtuge Festes Ede: Amplitude der reflektierte Welle ist ivertiert, etspreched eies Phasesprugs der reflektierte Welle um δ=π bzw. δ=180. Loses Ede: Richtug der Auslekug bleibt ach Reflexio erhalte, d.h. keie Phaseäderug oder δ =0. H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 5

6 Veraschaulichug der Radbedigug durch Überlagerug vo realem ud virtuellem Puls Festes Ede Loses Ede real virtuell real virtuell x = 0 x = 0 H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 6

7 Stehede Welle mit zwei feste Ede t = T/10 t = T/4 t = T/ Stehede Welle etstehe durch die Überlagerug (Superpositio) vo zwei gegeläufige Welle, die a de feste Ede reflektiert werde. t = 3T/4 t = 8T/10 t = T H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 7

8 Stehede Welle H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 8

9 Stehede Welle L = L = λ 1 λ λ L = 3 3 λ L = 4 4 H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 9

10 Wellelägebedigug für stehede Welle mit zwei feste Ede Kote L = λ Oder: Bäuche λ = L H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 10

11 Formale Herleitug Superpositio vo rechts ud liks laufeder Welle: y ( x, t) = y si( ωt kx) y si( ωt + kx) = y rechts laufed ( ωt) si( kx) cos 13 Zeitabhägigkeit 13 Ortsabhägigkeit reflektiert ud likslaufed A jedem Ort x variiert die Amplitude zwische de Maximalwerte: -y 0 si(kx) ud +y 0 si(kx). Für die Werte kx =π bleibt die Amplitude immer Null (Kote). Für die Werte kx =(+1)π/ hat die Amplitude immer de Maximalwert (Bauch). H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 11

12 Radbedigug für Welleläge Die Radbedigug verlagt, dass Kote a de feste Ede sid, d.h. für x=0 ud x=l muss die Amplitude Null sei. x=0: si(kx) = 0 automatisch erfüllt x=l si(kl) = 0 ur da we kl = π Oder für: π L λ = π λ = L Nur Welleläge, die diese Bedigug erfülle, sid erlaubt. Die Radbedigug schliesst ei kotiuierliches Spektrum vo Welleläge aus. Der Radbedigug erzwigt, dass ur bestimmte Welle, d.h. ei diskreter Satz vo Welleläge erlaubt ist: λ = L, L, L/, L/4,... H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 1

13 Wege Erlaubte Frequeze ω = πf = kv = π v λ Folgt für die erlaubte Frequeze aus der Radbedigug: f = L Die erlaubte Frequeze werde auch Eigefrequeze geat. Sie sid typisch für die gesetzte Radbediguge. v Auch Elektroe i Atome uterliege Radbediguge, die eie Satz erlaubter Eigefrequeze der Elektroe erzeuge. Übergäge zwische erlaubte Zustäde, gekezeichet durch Eigefrequeze, erzeuge das atomare Liiespektrum. H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 13

14 Stimme vo Saiteistrumete Die Geschwidigkeit der trasversale Seilwelle hägt vo de elastische Eigeschafte ab, so dass ma erhält: f = L σ ρ Bei Saiteistrumete wird über die Spaug σ die Grudfrequez bestimmt. Um tiefere Töe zu erreiche, wird häufig die Saite mit eiem Draht umspoe, der die Dichte ρ erhöht. H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 14

15 Höhere Harmoische eier stehede Welle H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 15

16 Itesität der stehede Welle Laut 41. Lektio, Folie 8 ist die Itesität der trasversale Welle gegebe durch I = τ H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 16 u y Auf die stehede Welle agewadt ergibt sich: u y t ( x, t) y τ = σ = σ x x = + σ y k cos y = Eisetze ergibt: I 0 ( x, t) ( ωt) cos( k x) = + y 0 ω si ( y cos( ωt) si( kx) ) 0 ( ωt) si( k x) ( k x) si( k x) cos( ωt) si( ωt) 0 = t 4y 0σ kω cos

17 Itesität der stehede Welle Die Itesität, die im zeitliche Mittel pro Zeititervall durch eie Querschittsfläche durchtritt, ist Null. Im zeitliche Mittel wird keie Eergie trasportiert. Geauso viel Eergie läuft ach liks wie ach rechts, so dass die Summe Null ergibt. I der stehede Welle ist selbstverstädlich Eergie gespeichert, aber wie beim Pedel ka diese Eergie icht vom Ort weg trasportiert werde, daher I = 0. Aders ausgedrückt: zwische τ ud u y besteht bei stehede Welle eie Phasedifferez vo 90, bei laufee Welle dagege vo 0. Adererseits köe wir ei Istrumet höre, d.h. Itesität wird trasportiert. Widerspruch wird aufgelöst durch die Tatsache, dass das Istrumet vo Luft umgebe ist. Damit wird durch Erzeuge vo Schallewelle Eergie ausgekoppelt. Die Saiteschwigug ist da gedämpft ud die Phaseverschiebug weicht ab vo 90. H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 17

18 Stehede Welle mit eiem feste ud eiem lose Ede λ L = 1 4 λ L = 3 4 L = λ 3 3 L Allgemei: L = ( + 1) λ 4 λ = 4L + 1 H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 18

19 Eigefrequeze ( + 1) v ( + 1) f = = 4L 4L Die Eigefrequeze bei eiem freie Ede verhalte sich wie: f 1, f, f 3 = 1 : 3 : 5 Im Fall vo zwei feste Ede verhalte sich die Eigefrequeze wie: f 1, f, f 3 = 1 : : 3 σ ρ H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 19

20 Logitudiale Welle: beiseitig offees Schallrohr L = λ 1 L = L = λ λ 3 3 Oder: λ = L Radbediguge sid aalog zu der beidseitig eigespate Saite: L = λ L v λ ; f = 0 = = L L κp ρ H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 0

21 Druckamplitude ud Verschiebugsamplitude Verschiebug Druck Beim Schallrohr sid Druckamplitude ud Verschiebugsamplitude 90 aus der Phase. Kote i der Druckamplitude etspricht Bäuche i der Verschiebugsamplitude. Teilche sammel sich im Kote der Verschiebugsamplitude a (siehe Kudt sches Schallrohr). Beim offee Schallrohr muss a de Ede ei Druckkote sei, da der Druck der Umgebug etspreche muss. H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 1

22 Logitudiale Welle: ei offees ud ei geschlossees Ede L = λ 1 4 L = λ 3 4 Druckamplitude Offees Ede Geschlossees Ede Frequezbedigug wie bei der eiseitig eigespate Saite: ( + 1) v ( 1) + κp f 0 = = 4L 4L ρ H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge

23 Membraschwigug Membraeschwiguge sid zwei-dimesioale trasversale Schwiguge mit festem Rad i der Schwigugsebee. Die Radbedigug erzeugt Eigemode, geauso wie im eidimesioale Fall. Lösuge sid icht sius-fuktioe soder Besselfuktioe. Grudschwigug Erste Oberschwigug H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 3

24 Stehede Welle auf eier Trommel H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 4 Welle auf eier Trommel

25 H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 5 Rechtwiklige Membrae Koteliie für =m=1 Koteliie für =m= Auslekug i der z-richtug (sekrecht zur Blattebee) wird aalog zur Dgl. I eier Dimesio ausgedrückt: l 1,0, 0 l 0,0 Die zeituabhägige Eigefuktioe sid i cartesische Koordiate: ( ) ( ) ( ),, 1,,,, t t y x z v y t y x z x t y x z phase = + 1, si si ), ( l y m l x A y x z m π π =

26 Stehede Welle auf eier Gitarre H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 6

27 Stehede Welle auf dem Schallkörper eier Schallbilder Geige Sichtbar gemacht: durch Mehl Laseriterferometer H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 7

28 Stehede Elektroewellefuktioe a Oberfläche: Quatum corral (IBM) H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 8

29 Zusammefassug h Stehede Welle etstehe durch Überlagerug vo eilaufeder ud reflektierter Welle h Zeitlich gemittelte Itesität vo stehede Welle ist Null, geauso wie bei lokale Schwiguge h Bei schwigede Saite bzw. im Schallrohr wird Itesität ausgekoppelt, was zur Dämpfug führt. h Radbediguge erzeuge Eigefrequeze, d.h. ei diskretes Spektrum vo Frequeze h Die Eigefrequeze häge vo der kokrete Radbedigug ab, d.h. loses oder festes Ede. h Bei der trasversale Saiteschwigug ist Spaug ud Geschwidigkeit um 90 phaseverschobe. h Bei der stehede Schallwelle ist Druckamplitude ud Teilcheverschiebug um 90 phaseverschobe. H. Zabel 38. Lektio: Schwiguge 9