1.Differentialgleichungen mathematischer Hintergrund 1.1 Allgemeine Bemerkungen 1.2 Klassifikation von DGL s

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1 Ihaltsverzeichis.Differetialgleichuge mathematischer Hitergrud. Allgemeie Bemerkuge. Klassifikatio vo DGL s.allgemeie lieare part. DGL. Ordug mit kost. Koeffiziete. Trasformatio auf Normalform.. Exkurs: Hauptachsetrasformatio bei Kegelschitte 3.Lösugsmethode partieller Differetialgleichuge 3. Separatiosasatz 3. Numerische Lösugsmethode 3.. Fiite Elemete 3.. Mote-Carlo-Methode 3..3 Methode der Charakteristike 3.3 Greesche Methode 3.4 Eergieprizip 3.5 Operatoremethode 4.Aweduge partieller Differetialgleichuge i der Physik 4. Tabelle der wichtigste part. DGL s i der Physik 4. Physikalische Beispiele für die drei Gleichuge 4.3 Afagsbediguge 4.3 Radbediguge 5.Beispiel zur Schwigugsgleichug 5. Separatiosasatz 5. Methode vo d Alembert

2 . Differetialgleichuge (DGL s) mathematischer Hitergrud Allgemeie Bemerkuge Differetialgleichuge sid ötig, um physikalische Vorgäge ud Phäomee jeglicher Art zu beschreibe (Mechaik, Elektrotechik, etc.). Ei charakteristisches Merkmal eier DGL: Es trete i der Gleichug eie Fuktio selber ud ihre Ableituge auf. z. B. x + ax + b (homogee DGL, da 0).. Klassifikatio vo DGL s gewöhliche DGL gesuchte Fkt. ist ur vo eier Variable abhägig partielle DGL gesuchte Fkt. ist vo mehrere Variable abhägig Außerdem immt ma och weitere Uterscheiduge vor: liear: quasiliear: ichtliear: die Differetialgleichug ethält ur lieare Fuktioe. die Differetialgleichug ethält Koeffiziete, die auch vo der ubekate Fuktio der uabhägige Variable abhäge. die Differetialgleichug ethält ichtlieare Fuktioe. Die Naturphäomee sid i der Regel alle ichtliear zu beschreibe; allerdigs lasse sich die meiste Vorgäge mit eier lieare Beschreibug gut aäher. Semiar befasst sich mit lieare DGL s. Allg. lieare partielle DGL.Ordug mit kostate Koeffiziete u a x ( y) y) y) y) y) + b + c f y, u,, x y y x u y die die Gleichug i eier Teilmege gesucht : Fkt. ( ) y R erfüllt.

3 .. Trasformatio auf Normalform Koeffizietematrix der allg. part. DGL: Es existiert eie orthogoale Matrix C mit T A CDC a b A b c AC D 0 C T λ 0 λ, λi EW vo A Die Spalte vo C sid die zugehörige Eigevektore (EV). Mit zwei eu eigeführte Variable ξ, η gilt: ξ x C T ud der Fuktio v ( ξ, η) y) folgt: η y a u xx u xy u yy λvξξ λ v + b + c + ηη... Exkurs: Hauptachsetrasformatio bei Kegelschitte Liege die Kegelschitte icht achseparallel, so muß zuächst eie Hauptachsetrasformatio durchgeführt werde, damit die eue Koordiateachse parallel zu de Achse des Kegelschittes verlaufe. Ist folgede quadratische Gleichug i y gegebe, so stelle alle Pukte x R eie Kegelschitt dar: ax + bxy + c + px + p y + r y Für b0 ist der Kegelschitt achseparallel, für b 0 muß eie Hauptachsetrasformatio durchgeführt werde. Diese vollzieht sich aalog zu der o.g. Trasformatio. We ma eie Kegel mit eier Ebee scheidet, so ergebe sich außer Etartug ud leerer Mege, die drei wichtigste Fälle: Ellipse Parabel Hyperbel 3

4 Ma ka u a de Eigewerte der Matrix A erkee, um welche der drei Kegelschitte es sich hadelt:. Ellipse, we alle EW vo A gleiches Vorzeiche habe (A ist pos.-o. eg.defii. Hyperbel, we die EW vo A verschiedee Vorzeiche habe (A ist idefii 3. Parabel, we ei EW gleich ull ist. Diese Klassifikatio wird u auch bei de partielle DGL s agewedet: Die partielle DGL ist :. elliptisch, we alle EW vo A gleiches Vorzeiche habe (A ist pos.-o. eg.defii. hyperbolisch, we die EW vo A verschiedee Vorzeiche habe (A ist idefii 3. parabolisch, we ei EW gleich ull ist. Eie ochmalige Trasformatio liefert schließlich die gesuchte Normalform: mit α ξ ud β η folgt : λ λ. ω ω α, β, ω, ω, ω ) αα ββ α β. ω ω g( α, β, ω, ω, ω ) αα ββ α β 3. g( α, β, ω,, ) + für elliptische DGL für hyperbolische DGL ω αα ωα ω β für parabolische DGL 3. Lösugsmethode partieller Differetialgleichuge 3.. Separatiosasatz (Fourierasatz, Produktasatz) Der Separatiosasatz ist geeiget für alle drei Type vo part. DGL s. Ma stellt eie Fuktio u ( y) X ( x) Y ( y) auf ud setzt diese Asatz etspreched mit seie Ableituge i die DGL ei. Ma löst diese DGL u i zwei Probleme auf, die ma etspreched eizel behadel ka.. gewöhliche DGL. Eigewertaufgabe(EWA) die gefudee Eigefuktioe sid Lsg. Die Radbediguge sid scho erfüllt. Um u auch die Afagsbediguge zu erfülle, etwickelt ma die rechte Seite der Lösugsgleichug i eie Fourierreihe. Die Gesamtlösug erhält ma durch Summatio. 3.. Numerische Lösugsmethode 3... Fiite Elemete Ist ei gültiges Näherugsverfahre für hyperbolische ud elliptische DGL s. Diskretisierug des Problems i math. Grudforme, wie z. B. i Rechtecke, Quadrate, Dreiecke,...i der Ebee ud beispielsweise i Tetraeder im Raum (kompliziert!). 4

5 Zwei Verfahre:.Differezeverfahre: Berechug eizeler Gitterpukte durch Vorgabe vo Radwerte ud Startwerte. Aäherug a die exakte Lösug durch Bildug des Mittelwertes der vier ächste Nachbar. Der Fehler zur exakte Lösug verrigert sich, desto mehr Berechugsschritte ma durchführt. Das Verfahre ist koverget..ma gibt eie der Grudforme mit ihrer zugehörige Grudfuktio vor, ud berechet die Fuktio i diese Teilgebiete, ud erhält somit eie Bereich, i dem Werte bekat sid, ud icht ur ei Wert i eiem best. Pukt so wie beim erste Verfahre. Siehe auch: Variatiosrechug!!(aderes Semiar) 3... Mote-Carlo-Methode Ma geht ählich vor wie bei dem Differezeverfahre. Ma stellt sich dazu ei Teilche vor, welches vo eiem Startpukt aus eie sog. Irrfahrt (Irrfahrtprozeß) begit ud mit eier Wahrscheilichkeit vo 0,5 bei eiem seier Nachbarpukte ladet ud mit eier Wahrscheilichkeit vo am Rad Methode der Charakteristike Ist eie umerische Methode um hyperbolische DGL s zu löse. Ma ka eie part. DGL der Form auxx + buxy + cu yy + d durch etsprechede Trasformatio zu eier quadr. Gleichug a µ bµ + c b mit der Lösug: µ, ± b 4ac umforme. a Die Diskrimiate muß größer ull sei (dies ist ur bei hyperbolische DGL s erfüll. Trasformiert ma u durch Itegratio zurück, so erhält ma Itegralkurve, auf dee die Lösuge der ges. Fkt. liege. Diese Itegralkurve köe je ach Fuktio liear sei (also für jede Afagsbedigug ei Gerade, Geradeschar) oder aber auch durch Fuktioe wie z. B die e-fuktio beschriebe sei. 5

6 3.3. Greesche Methode Verweis auf das ächste Semiar Eergieprizip ( Methode.Itegral ) Ma multipliziert die gegebee DGL mit der.abl. der gesuchte Fuktio ud ka da durch etsprechede Umformug die Gleichug i folgede Form brige: (...) (...). t t Eie Itegratio liefert da eie gewöhliche DGL Operatoremethode Geeiget für alle Type vo part. DGL s. Beruht auf eiem Übergag vo der gesuchte Fuktio zu dere Trasformierte (Itegraltrasformatio). Die ges. Fkt. wird dazu als Fkt. eier der uabh. Variable aufgefasst, ud die Trasformatio wird bezüglich dieser Variable durchgeführt. Die übrige Variable werde als Parameter behadelt. Die DGL zur Bestimmug der Trasformatiio der ges. Fkt. hat da eie uabh. Variable weiger. Im spezielle Fall wird aus eier part. DGL mit uabh. Variable eie gewöhliche DGL. Die ges. Fkt erhält ma aus der Rücktrasformatio. Für lieare partielle Differetialgleichuge. Ordug lässt sich im allgemeie keie allgemeie Lösug agebe. Dieses ist auch icht ubedigt otwedig, da für die meiste physikalische Probleme Rad-bzw. Afagsbediguge gegebe sid, oder sich aufstelle lasse. Es müsse je ach DGL-Typ eie bestimmte Azahl vo Rad-ud/oder Afagsbediguge vorliege, damit die Afagsradwertaufgabe(ARWA) eideutig lösbar ist. 4. Aweduge partieller Differetialgleichuge i der Physik 4.. Tabelle der wichtigste part. DGL s i der Physik Im folgede sid die drei wichtigste part. DGL s der Physik ud ihre Klassifikatio äher erläutert: Welle-/ Schwigugsgleichug beschreibt Schwigugsvorgäge Wärmeleitugs-/ Diffusiosgleichug beschreibt Ausgleichsvorgäge Laplace Gleichug beschreibt Gleichgewichtszustäde c t Gleichug Typ Azahl der A.B. u r ( t, r ) 0 hyperbolisch r λ t, ) parabolisch t ( r ) u r elliptisch 0 6

7 mit dem Laplace-Operator + +. x y z Für de statioäre Fall gehe die Welle- ud Wärmeleitugsgleichug über i die Laplace Gleichug. 4.. Physikalische Beispiele für die drei Gleichuge. Welle-/Schwigugsgleichug: -el.mag. Felder E( t, r ), B( t, r ) -mech. Schwiguge eier Saite/Stabes. Wärmeleitugs-/Diffusiosgl.: -Ausbreitug der Wärme i eiem homogee Medium -Kozetratiosäderug eies Stoffes durch Diffusio 3. Laplace Gleichug: -z. B. Potetialelder i der Elektrotechik etc Afagsbediguge Wellegleichug: A.B. z. B. die Amplitude ud Äderugsgeschw. der Amplitude, da vergleichbar mit der Newtosche Bewegugsgleichug für die lt. N Freiheitsgrade N A.B. vorzugebe sid. Wärmeleitugsgleichug: A.B. z. B. die Temperatur zur Zeit t0 r r 0, x) a( x) 4.4. Radbediguge s r Dirichletsche Radbedigug: V räumliches Gebiet ud V der Rad, u t, x für alle t, x V bekat. da ist ( ) Neumasche Radbedigug: Die Normaleableitug ( ) t, x) für alle t, x V ist bekat, wobei die Normale auf V im Pukt x V sei. 5. Beispiel zur Schwigugsgleichug 5.. Separatiosasatz Gegebe ist die Schwigugsgleichug mit der Zeitvariable t ud der Ortsvariable x: a t x 0) ( x) ( 0) ϕ ut ϕ ( x) Afagsbed. 0, l, Radbed. 7

8 u X ( x) T( T X a t x Wähle eie egative Kostate λ : X + λ X T + a λ T X + λ X mit R.B. X ( 0) X ( l) folgt: X ( x) C si λx mit: si λ l λ, N l T + a λ T liefert mit λ l die part. Lösug: T ( a cos t + b si t l l Summatio der Lösuge der beide Gleichuge ist Lösug der homogee DGL eischl. R.B. falls die uedliche Reihe koverget ud mal ach t ud mal ach x stetig differezierbar ist. u ( a cos t + b l si si x l l Damit u auch och die Afagsbediguge erfüllt sid muß gelte: 0) a si x ( x ϕ ) l u ( 0) b si x t ϕ ( l l Nu müsse ϕ ( x ) ud ϕ ( x ) i Fourierreihe etwickelt werde. Dazu berechet ma die Fourierkoeffiziete a ud b (beka ud setzt sie i die obige Lösug ei. 5.. Methode vo d Alembert x ) a t x 0) ( x) ( 0) ϕ ut ϕ ( x) Afagsbed. 0, l, Radbed. Eiführug zweier euer Variable: Für y) w( ξ, η) u Eisetze i DGL ergibt w ξη ξ x at η x + at w ξ + w η w w x ξ x η x ξ +... Nach Itegratio dieser DGL folgt w ( ξ, η) f ( ξ ) dξ + G( η) w( ξ, η) F( ξ ) + G( η) wobei F ud G zwei beliebige stetig differezierbare Fkt. sid. 8 η

9 Daraus folgt die Lösug der Schwigugsgleichug: u ( F( x a + G( x + a mit A.B u ( s) ds x+ at ( ( ϕ ( x a + ϕ( x + a + a ϕ x at (siehe Abbilduge). 9