Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am

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1 U Gaz, Institt Regelngs- nd Atomatisiengstechnik Schiftliche Püfng as Regelngstechnik am Name / Voname(n): Matikel-Nmme: Bonspnkte as den MALAB-Übngen: O ja O nein eeichbae Pnkte eeichte Pnkte

2 U Gaz, Institt Regelngs- nd Atomatisiengstechnik 2 Afgabe : Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühngsgöße nd de Asgangsgöße y : innee Regelkeis R 2 (s) R (s) P (s) P 2 (s) y 0. Die Regelstecke wid dch die beiden Übetagngsfnktionen P () s = nd s 0 P2 () s = s + beschieben. a) Betachten Sie znächst n den inneen Regelkeis! Dimensionieen Sie mit Hilfe des Feqenzkennlinienvefahens einen Popotionalegle R () s so, dass die Spngantwot des inneen Regelkeises eine Anstiegszeit von t, = 0.5 s besitzt. Wie goß ist das z ewatende pozentale Übeschwingen ü? b) Dimensionieen Sie nachvollziehba einen Integalegle R () 2 s fü den gesamten Regelkeis lat obige Abbildng, damit fü die Anstiegszeit de Spngantwot des gesamten Regelkeises t,2 =.5 s gilt. c) Emitteln Sie fü Afgabe 2: t () 2 3 t () t die bleibende Regelabweichng e lim e( t). Gegeben sei das mathematische Modell eine Regelstecke mit de Eingangsgöße nd de Asgangsgöße y (, eell): dx 3 2 x y x dt a) Geben Sie Bedingngen fü die Paamete nd an, damit das System steeba bzw. beobachtba ist. Fü die weiteen Beechnngen wid nd gewählt. dxˆ b) Entwefen Sie einen Zstandsbeobachte de Fom ˆ ˆ ˆy dt Ax b b so, dass asgehend kt x,0 x,0 e vom Anfangszstand x ( t 0) fü den Fehle x() t x() t xˆ () t x kt gilt. 2 2,0 x 2,0e Emitteln Sie den Paametevekto ˆb? Emitteln Sie die eellen Paamete k nd k 2? Ist de Beobachte dch obige Fodeng sinnvoll entwofen? Begünden Sie Ihe Antwot! c) Wo liegen die Eigenwete de Zsammenschaltng as Stecke nd Beobachte? Bestimmen Sie die Übetagngsfnktion de Zsammenschaltng. t

3 U Gaz, Institt Regelngs- nd Atomatisiengstechnik 3 Afgabe 3: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühngsgöße nd de Asgangsgöße y : e R(s) P(s) y -3 Die Übetagngsfnktion de Stecke latet: Ps () = 2 s( s+ ) Die Übetagngsfnktion des Regles latet: R() s = K (K eell) a) Zeichnen Sie die Otskve P( jw ) de Stecke. Bestimmen Sie alle Schnittpnkte de Otskve mit de eellen Achse. b) Bestimmen Sie mit Hilfe des NYQUIS-Kiteims den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K, fü den obige Regelkeis die BIBO-Eigenschaft besitzt. Emitteln Sie daz nachvollziehba fü alle möglichen Fälle die stetige Winkeländeng nd den Beeich des Paametes K! c) Als Fühngsgöße wid nn t () 2sint vewendet. Beechnen Sie den 2 Regelfehle et ( ) im eingeschwngenen Zstand fü folgende Wete des Reglepaametes K: (i) Hinweis: K (ii) 3 K 3 ac L( j ) ( na 2 n) / 2 Ls () stellt hiebei die Übetagngsfnktion des offenen Keises da. Afgabe 4: Gegeben sei das mathematische Modell eine Regelstecke mit de Eingangsgöße nd de Asgangsgöße y : dx 2 x x mit x dt x2 Z Regelng wid ein Zstandsegle de Fom hx V eingesetzt. h 2 so an, dass de Regelkeis asymptotisch stabil ist. Zeichnen Sie den emittelten Stabilitätsbeeich in de h h2-ebene ein. a) Geben Sie allgemeine Bedingngen fü die Elemente des Vektos h h b) Emitteln Sie h nd V so, dass die Eigenwete des geegelten Systems bei s s 2 liegen nd bei Vewendng de Eingangsgöße t t gilt: x, lim x ( t ). t

4 U Gaz, Institt Regelngs- nd Atomatisiengstechnik Schiftliche Püfng as Regelngstechnik am Name / Voname(n): Matikel-Nmme: Bonspnkte as den MALAB-Übngen: O ja O nein 2 3 eeichbae Pnkte eeichte Pnkte

5 U Gaz, Institt Regelngs- nd Atomatisiengstechnik 2 Afgabe : Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühngsgöße, de Asgangsgöße y nd de Stögöße d: e R(s) P(s) d y Die Übetagngsfnktion de Stecke latet: Ê ˆ Ás - Ë 2 Ps () = Ê ˆ Ás + Ë 2 K Die Übetagngsfnktion des Regles latet: Rs () = (K ist ein eelle Paamete) s a) Bestimmen Sie mit Hilfe des NYQUIS-Kiteims den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K, fü den obige Regelkeis die BIBO-Eigenschaft besitzt. Emitteln Sie daz nachvollziehba fü alle möglichen Fälle die stetige Winkeländeng nd den Beeich des Paametes K! b) Af den Regelkeis wikt nn die Stögöße dt () 32sin t. Beechnen Sie die 2 2 dch die Stögöße hevogefene Asgangsgöße y() t im eingeschwngenen Zstand fü folgende Wete des Reglepaametes K: (i) K (ii) 3 K 3 Hinweis: ac L( j ) ( n 2 n ) / 2 a Ls () stellt hiebei die Übetagngsfnktion des offenen Keises da.

6 U Gaz, Institt Regelngs- nd Atomatisiengstechnik 3 Afgabe 2: Gegeben sei folgendes mathematische Modell eine Regelstecke mit de Eingangsgöße, dem Zstandsvekto x nd de Asgangsgöße y : dx dt x y 0 a) Emitteln Sie ein Regelgesetz de Fom h h2 xv h x V so, dass die Eigenwete des geegelten Systems bei 2 2 liegen nd fü einen Einheitsspng t t gilt: Welchen Wet besitzt dann x?, x lim x ( t ). 2, 2 t Da de Zstandsvekto x nicht messba ist, wid fü die paktische Realisieng obige Regelng ein Schätzwet ˆx heangezogen, d.h.: =- hxˆ + V. b) Fü die Beechnng des Schätzwetes ˆx stehen zwei Vaianten z Aswahl: x (i) dxˆ Ax ˆ ˆ bb ˆ y (ii) dt dxˆ Axˆ b dt Wählen Sie eine sinnvolle Vaiante nd begünden Sie Ihe Wahl! Die Zsammenschaltng von Regelstecke, Zstandsegle nd Zstandsbeobachte egibt ein Gesamtsystem 4.Odnng de Fom dz Azb dt y c z mit x xˆ z ˆ x nd A, wobei n wenige Elemente de Dynamikmatix A bekannt sind. c) Bestimmen Sie die fehlenden Elemente de Systemmatix A sowie die Systemdaten b nd c zahlenmäßig. d) Beechnen Sie die Fühngsübetagngsfnktion obige Zsammenschaltng: s y s s z0 0 c se A b Ist das Gesamtsystem steeba nd/ode beobachtba? Begünden Sie Ihe Antwoten!

7 U Gaz, Institt Regelngs- nd Atomatisiengstechnik 4 Afgabe 3: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühngsgöße nd de Asgangsgöße y : e y R(s) P(s) Fü die Übetagngsfnktion de Stecke gilt: P s s s s a) Skizzieen Sie die BODE-Diagamme des offenen Keises, wenn als Regle Rs gewählt wid. Entwefen Sie mit Hilfe des Feqenzkennlinenvefahens einen Regle R(s) so, dass die Spngantwot des Regelkeises nähengsweise eine Anstiegszeit von t 0.05 s nd eine Übeschwingweite von M.25 besitzt. Fü die bleibende Regelabweichng soll e lim e t 0 gelten. t p b) Welche Stkt mss de Regle besitzen, m obige Fodengen pinzipiell efüllen z können? Geben Sie die komplette Regleübetagngsfnktion an! c) Welche Bedingngen müssen efüllt sein, damit de offene Keis vom einfachen yp ist? Ist dies hie de Fall? d) Dimensionieen Sie den oben gewählten Regle. Hinweis: m : m max acsin : m m : db

8 U Gaz, Institt fü Regelngs- nd Atomatisiengstechnik Schiftliche Püfng as Regelngstechnik am Name / Voname(n): Kennzahl / Matikel-Nmme: Bonspnkte as den MALAB-Übngen: O ja O nein eeichbae Pnkte eeichte Pnkte

9 U Gaz, Institt fü Regelngs- nd Atomatisiengstechnik 2 Afgabe : Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühngsgöße nd de Asgangsgöße y : De Feqenzgang P( jw ) de Regelstecke liegt als BODE-Diagamm gaphisch vo: P(j) [db] ac(p(j)) [ ] [ad/s] Betachten Sie znächst n den Standadegelkeis mit de Übetagngsfnktion ( s ) bestehend as de Regelstecke Ps ( ) nd dem Regle R( s ). a) Es wid znächst ein Popotionalegle R( s) K eingesetzt (K sei hiebei ein eelle Paamete). Dimensionieen Sie mit Hilfe des Feqenzkennlinienvefahens den Regle so, dass die Spngantwot des Regelkeises s () eine Anstiegszeit t von t 0, 75s afweist. Beechnen Sie die Dchtittsfeqenz C. Wie goß sind das z ewatende pozentale Übeschwingen ü nd die bleibende Regelabweichng e? b) Dch den Einsatz eines Regles (lead-gliedes) gemäß s s Rs () Z N soll die Anstiegszeit t gegenübe Pnkt a) af ein Fünftel edziet weden. Bestimmen Sie Knickfeqenzen Z nd N, sodass die obige Fodeng efüllt nd die Phaseneseve so goß wie möglich ist.

10 U Gaz, Institt fü Regelngs- nd Atomatisiengstechnik 3 Es wid nn dem in Pnkt b) entwofenen Standadegelkeis ein statisches Vofilte V () s V vogestellt. F F c) Dimensionieen Sie das Vofilte V F so, dass de gesamte Regelkeis bei t ( ) ( t) stationä gena ist. Wie goß ist die bleibende Regelabweichng e beim Afschalten eine Rampenfnktion t () t () t? M m max acsin m m db Afgabe 2: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühngsgöße nd de Asgangsgöße y : e R(s) P(s) y 0 Die Übetagngsfnktion de Regelstecke latet: Ps () =. 2 ( s+ ) ( s+ 4) a) Skizzieen Sie die Otskve P( jw ) nd emitteln Sie alle Schnittpnkte de Otskve mit de eellen Achse. Als Regle wid nn ein Popotionalegle R( s) K eingesetzt ( K ist ein eelle Paamete). b) Bestimmen Sie mit Hilfe des NYQUIS-Kiteims nachvollziehba (mit Fallntescheidng nd Emittlng de stetigen Winkeländeng fü jeden Fall) den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K, fü den obige Regelkeis die BIBO- Eigenschaft besitzt. c) Als Fühngsgöße wid t () cos(3) t gewählt. Emitteln Sie fü hineichend goße 5 Wete t den Regelfehle et () fü die Fälle (i) K 4 (ii) K 6 Hinweis: ac L( j ) ( n 2 n ) / 2 a Ls () stellt hiebei die Übetagngsfnktion des offenen Keises da.

11 U Gaz, Institt fü Regelngs- nd Atomatisiengstechnik 4 Afgabe 3: Gegeben sei folgendes mathematische Modell eine Regelstecke mit de Eingangsgöße nd dem Zstandsvekto x: 2 2 dx : dt x Axb Z Regelng diese Stecke wid ein Zstandsegle de Fom h h h eingesetzt, wobei af Gnd des Spapakets h2 0 gilt. 2 3 x a) Beechnen Sie das chaakteistische Polynom de Systemmatix des geegelten Systems. b) Geben Sie notwendige nd hineichende Bedingngen fü h nd h 3 an, damit de Regelkeis asymptotisch stabil ist. Stellen Sie den emittelten Beeich in de h - h3 -Ebene gafisch da. Afgabe 4: Gegeben sei das mathematische Modell eine Stecke mit de Eingangsgöße, de Messgöße y nd dem Zstandsvekto x : dx : dt x Ax b, y x: c x a) Unteschen Sie die Beobachtbakeit de Stecke in Abhängigkeit des eellen Paametes. Wählen Sie nn 2. b) Es soll ein asymptotische Beobachte de Fom dx ˆ ˆ ˆ dt Ax ˆ ˆ bbˆy, b ˆ : b, b 2 h x vewendet weden. Ist dies pinzipiell möglich? Begünden Sie Ihe Antwot! Wie müssen die Koeffizienten ˆb nd ˆb 2 gewählt weden, damit die Eigenwete de Systemmatix des Beobachtes  bei 4nd 2 3 liegen? c) Die Zsammenschaltng von Stecke nd Beobachte egibt ein Gesamtsystem de Fom: dz dt Az b y c z mit x z ˆ x Bestimmen Sie zahlenmäßig die Systemdaten A, b nd de Matix A? c. Wo liegen die Eigenwete

12 U Gaz, Institt fü Regelngs- nd Atomatisiengstechnik Schiftliche Püfng as Regelngstechnik am Name / Voname(n): Kennzahl / Matikel-Nmme: Bonspnkte as den MALAB-Übngen: O ja O nein eeichbae Pnkte eeichte Pnkte

13 U Gaz, Institt fü Regelngs- nd Atomatisiengstechnik 2 Afgabe : Betachten Sie einen Standadegelkeis mit de Fühngsgöße nd de Asgangsgöße y. De Feqenzgang P( j ) de Stecke liegt fü 0 gaphisch vo: Im{P(j)} Re{P(j)} a) Z welche de folgenden Übetagngsfnktionen Ps () kann obige Otskve gehöen? Begünden Sie Ihe Antwot! i) ii) Ps () Ps () 0 s2s3s5 0 s2s3 iii) iv) Ps () Ps () s 0 s 2s 3 s 0 s 2s 3 b) Als Regle wid ein Popotionalegle R() s = K eingesetzt (K ist dabei ein eelle Paamete). Bestimmen Sie mit Hilfe des NYQUIS-Kiteims nachvollziehba (mit Fallntescheidngen nd Emittlng de stetigen Winkeländeng fü jeden Fall) den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K, fü den obige Regelkeis die BIBO-Eigenschaft besitzt. c) Fü den Regle gilt nn K =. Ist bei diesem Regelkeis das veeinfachte Schnittpnkt- Kiteim anwendba? Geben Sie die daz notwendigen Voassetzngen an nd übepüfen Sie diese! Bestimmen Sie die Phaseneseve F nd die Dchtittsfeqenz w c. Hinweis: ac{ L( j )} ( na 2 n) 2 Ls () stellt hiebei die Übetagngsfnktion des offenen Keises da.

14 U Gaz, Institt fü Regelngs- nd Atomatisiengstechnik 3 Afgabe 2: Gegeben sei ein Standadegelkeises mit de Fühngsgöße nd de Asgangsgöße y : e R(s) P(s) y Weites sind die BODE-Diagamme de Stecke P s s s s gegeben: 50 P(j) [db] (log) ac P(j) [ ] (log) a) De Regelkeis soll ein Anstiegszeit von t.5s afweisen. Ist diese Fodeng mit Hilfe eines P-Regles efüllba? (Begünden Sie Ihe Antwot!) Wenn ja, geben Sie die Regleübetagngsfnktion an. s / Z b) Es wid nn de Regle Rs () K (K, Z nd N sind hiebei eelle Paamete) s / N eingesetzt. Dimensionieen Sie mit Hilfe des Feqenzkennlinen-Vefahens nähengsweise nd nachvollziehba den Regle so, dass die Spngantwot des geschlossenen Keises eine Anstiegszeit von t.5 s nd eine pozentale Übeschwingweite von ü 33% afweisen. c) Es soll nn ein PI Regle mit Hilfe de closed loop Methode nach ZIEGLER nd NICHOLS emittelt weden. Bestimmen Sie die hiefü notwendigen Wete fü die kitische Vestäkng K nd die kitische Peiodendae. Geben Sie die Übetagngsfnktion des Regles an. (Hinweis: Z Beantwotng diese Fage sind keine längeen Rechnngen notwendig.)

15 U Gaz, Institt fü Regelngs- nd Atomatisiengstechnik 4 Hilfestellng: m : m max acsin : m m : ZIEGLER-NICHOLS db Regletyp P open loop method K P A K PI 0,9 A K PID,2 A K S S S V V V I D closed loop method K - - 0,5 K ,4 K 0,8 - V 2 0,5 0,6 K 0,5 0,2 V V P I D Afgabe 3: Gegeben sei folgendes System 2. Odnng: dx 0 Ax y 2x dt Zwei Rechts-Eigenvektoen p nd p 2 de Systemmatix A laten:, 0 p p2 2 a) Ist das System steeba? (Geben Sie eine mathematische Begündng an!) b) Ist das System beobachtba? (Geben Sie eine mathematische Begündng an!)

16 U Gaz, Institt fü Regelngs- nd Atomatisiengstechnik 5 Afgabe 4: Gegeben sei die Übetagngsfnktion P(s) eine Regelstecke mit de Eingangsgöße nd de Asgangsgöße y : s 2 Ps () ( s)( s) a) Geben Sie das zgehöige mathematische Modell de Fom dx, y dt Ax b c x in de so genannten Steebakeits-Nomalfom an. b) Z Regelng des obigen Systems wid ein Zstandsegle de Fom kx V eingesetzt. Welchen Bedingngen müssen die Reglepaamete k : k k2 nd V genügen, damit die Systemmatix des geegelten Systems n Eigenwete mit negativem Realteil besitzt? c) Kann das geegelte System fü eine spezielle Wahl de Paamete k nd V nicht beobachtba weden? Welche Odnng besitzt dann die zgehöige Fühngsübetagngsfnktion (s)? Emitteln Sie fü diesen Fall (s). (Begünden Sie Ihe Antwoten!) d) Wählen Sie nn k k2 3. Wie mss de Paamete V gewählt weden, damit fü einen Einheitsspng als Fühngsgöße die Asgangsgöße stationä gena ist, d.h. lim yt ( ) Da de Zstandsvekto x nicht messba ist, wid fü die paktische Realisieng obige Regelng (nach Pnkt d) ) ein Schätzwet ˆx heangezogen, d.h.: =- kxˆ + V. Dafü wid ein asymptotische Zstandsbeobachte de Fom dxˆ ˆ ˆ ˆy dt Ax b b vewendet. Hiebei wde de Vekto ˆb so gewählt, dass ein Eigenwet de Dynamikmatix  bei -3 liegt. Die Zsammenschaltng von Regelstecke, Zstandsegle nd Zstandsbeobachte egibt ein Gesamtsystem de Fom t dz Az b dt y c z mit x z ˆ x x nd A, wobei dch ein fehlehaftes Speichemedim leide einige Elemente de Dynamikmatix A veloen gingen. e) Bestimmen Sie die fehlenden Elemente de Dynamikmatix A sowie die Vektoen b nd sowie den Vekto ˆb (zahlenmäßig). det se A 0. f) Beechnen Sie alle Lösngen de chaakteistischen Gleichng c,