13. Landeswettbewerb Mathematik Bayern

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1 3. Ladeswettbewerb Mathematik Bayer Lössbeispiele für die Afabe der. Rde 00/0 Afabe I eiem 0x0-Gitter mit qadratische Felder werde 0 Spielsteie so esetzt, dass i jeder Spalte d jeder Zeile ea ei Feld belet wird d dabei das Gitter mit de Spielsteie ei pktsymmetrisches Mster bildet. Zwei Mster elte als verschiede, we sie icht drch Dreh ieiader übereführt werde köe. Wie viele verschiedee Mster ibt es? Lös: Es ibt ( ) : = 90 verschiedee Mster. Beweismölichkeit: Für de Spielstei i der erste Spalte ibt es 0 Mölichkeite. Mit diesem erste Spielstei liet wee der Pktsymmetrie ach fest, af welches Feld i der 0. Spalte ei Spielstei esetzt werde mss. Isesamt sid damit scho zwei Spalte d zwei Zeile belet. Für die Wahl des Feldes i der. Spalte bleibe damit r och 8 Mölichkeite. Mit seier Wahl liet ach das Feld i der 9. Spalte fest d es wrde isesamt zwei weitere Zeile belet. Für die Wahl des Felds i der 3. Spalte bleibe damit r och 6 Mölichkeite. Mit seier Wahl liet ach das Feld i der 8. Spalte fest d zwei weitere Zeile wrde belet. Für das Feld i der 4. Spalte bleibe damit r och 4 Mölichkeite. Mit seier Wahl liet das Feld i der 6. Spalte fest d zwei weitere Zeile werde belet. Für die Wahl des Feldes i der 5. Spalte bleibe r och zwei Mölichkeite. Ud mit seier Festle liet ach das Feld i der 6. Spalte fest. Isesamt erhält ma damit = 3840 Mster. Nicht alle diese Mster sid aber verschiede, da sie drch eie Dreh ieiader überführt werde köe. So ehe beispielsweise die folede beide Mster drch eie Dreh m 90 ieiader über: 3. LWM 00-0 Lössbeispiele. Rde Seite vo 8

2 Aalo ibt es z jedem Mster M ei Mster M*, das drch Dreh m 90 im Uhrzeiersi as M etsteht. Dabei elte folede Eieschafte: () M ist icht mit M* idetisch. We ämlich ei Mster bei eier Dreh m 90 i sich selbst überie, so wäre mit jedem belete Feld ach drei weitere Felder belet, die as dem erste Feld drch drei Drehe m 90 etstehe. Wäre z.b. i der oberste Reihe das zweite Feld vo liks vo eiem Spielstei belet, so müsste afrd der Drehsymmetrie die folede vier Felder belet sei: Isesamt müsste bei eiem Mster, das drehsymmetrisch bezülich eier 90 - Dreh ist, die Azahl der belete Felder drch 4 teilbar sei. Da aber emäß Afabestell r ea 0 Spielsteie esetzt werde d 0 icht drch 4 teilbar ist, ist ei solches Mster mölich. () Es ist M** = M d aalo M*** = M*. Dreht ma ei Mster zweimal m 90, so etspricht das eier Dreh m 80, also ea eier Pktspieel. Da die Mster aber pktsymmetrisch sid, werde sie drch Pktspieel i sich selbst überführt. Somit trete die 3840 obe beschriebee Mster immer i Paare (M;M*) af. Jedes Paar hat ach () ea zwei Mster. Weder M och M* komme wee () i eiem adere Paar och eimal vor. Nach Afabestell elte die Mster eies Paares icht als verschiede. Es ibt also 3840 : = 90 verschiedee Mster. 3. LWM 00-0 Lössbeispiele. Rde Seite vo 8

3 Afabe Priscilla schreibt a jede Ecke eies -seitie Prismas ea eie der Zahle,, 3,...,, wobei keie der Zahle mehrfach vorkommt. Af jede Fläche des Prismas schreibt sie daach die Smme der Zahle, die a de Ecke dieser Fläche stehe. Für welche Werte vo ka Priscilla die Ecke so beschrifte, dass af alle Seitefläche d midestes eier der beide Deckfläche die leiche Zahl steht? Lös: Die eschte Werte vo sid 3, 4, 5 d 6. Beweismölichkeit: Die Smme aller Zahle, die Priscilla a die Ecke des -seitie Prismas ( + ) schreibt, ist = = ( + ) (Smmeformel vo Gaß). Jede Zahl,,..., ehört z ea zwei der Seitefläche. We S,...,S die Flächezahle der Seitefläche sid, so ist die Smme der Flächezahle also doppelt so roß wie die Smme der Eckezahle, also S S = ( + ). Sid die Flächezahle der Seitefläche alle leich roß, so ilt für S = S =... = S : ( ( )) S = + : = ( + ) = 4 +. Die Flächezahl D eier Deckfläche ist midestes so roß wie = ( + ) : Die kleistmöliche Zahle, die a de Ecke eier Deckfläche stehe köe, sid ämlich die Zahle,...,. Ist S = S =... = S = D, so mss also ( ) elte. Daras eribt sich Somit erhält ma: ( ) 3, ,5 ( 3,5 ) 6, 5 3,5 + 6,5 7,53 < 8. Da ei Prisma midestes drei Seitefläche hat, eribt sich: 3 7. Utersch des Falls =7: Hier ist: S = 4 + = 30. Seie a, a,..., a 7 bzw. b, b,..., b 7 die Eckezahle der beide Deckfläche, wobei die Ecke z a i d b i jeweils drch eie Seitekate verbde sid. Aßerdem sei s i = a i + b i ( i 7 ) die Smme zweier drch eie Kate verbdeer Eckezahle. 3. LWM 00-0 Lössbeispiele. Rde Seite 3 vo 8

4 Somit eribt sich: a + a + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 = b + b + b 3 + b 4 + b 5 + b 6 + b 7 = = = = = = = s s s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 Da alle Flächezahle der Seitefläche leich 30 sid, ist S= s +s = s +s 3 = s 3 +s 4 = s 4 +s 5 = s 5 +s 6 = s 6 +s 7 = s 7 +s = 30. Daras eribt sich s = s 3 = s 5 = s 7 = s = s 4 = s 6 =5. Hat ach eie Deckfläche die Flächezahl D = 30, so ist 30 die Smme vo siebe verschiedee Zahle. Da bereits = 8 ist, erebe sich r die beide folede Mölichkeite: = 30 d = 30. Es mss also etweder,,3,4,5,6,9 oder,,3,4,5,7,8 a de Ecke dieser Deckfläche stehe. Adererseits müsse 6 d 9 bzw. 7 d 8 a Ecke stehe, die drch eie Seitekate verbde sid, da = 5 d = 5. Weder 6 d 9 och 7 d 8 köe also a Ecke derselbe Deckfläche stehe. As diesem Widersprch eribt sich, dass = 7 mölich ist. Ma hat also r och 3 6 z betrachte. Realisiere für die Werte vo mit 3 6 : =3: S=4 D Bode =4 =4: S=8 D Bode =8 =5: S= D Bode = =6: S=6 D Bode =6 Für = 3,4,5,6 ka also Priscilla die Ecke wie ewüscht beschrifte. Beweismölichkeit : Da jede Ecke d damit ach jeder der Zahle,,..., z ea zwei Seite d alle Seite die leiche Seitezahl S habe, ilt: S = ( + ) : = 4 + () Werde die Kate zwische de Deckfläche mlafed vo bis drchmmeriert d sid k, k,..., k ihre Katezahle (= Smme der zwei Zahle, die a de Ede dieser Kate stehe), so ilt: S + k + k + k =... + k Daras folt: k 3 5 =... d k 4 =..., d. h. es ibt zwei Katezahle k d k, die sich abwechsel. 3. LWM 00-0 Lössbeispiele. Rde Seite 4 vo 8

5 S + k + k : Ist erade, so ilt k. Daras folt as () d k + k k = S : = ( 4 + ) : = + () Wir kostriere Belee der Ecke des Prismas mit de Zahle,,..., für 3 6 ( = 3 ist die kleiste Katezahl, die ei Prisma habe ka) ach dem folede Verfahre: (I) Wir verteile af die obere Eckpkte der Kate,,..., die Zahle,,..., d af die tere Eckpkte die Zahle,..., +, so dass alle Katezahle de Wert + habe. (II) Wir vertasche die Eckezahle eier Kate (Die Seitezahl wird dadrch icht eädert.), bis die Deckflächezahl D = S ist. Für = 3 erhält ma mit S 3 = = 4 : 3 Vertasche i Kate d 4 eribt D 3 = 4 Für = 4 erhält ma mit S 4 = = 8 : 3 4 Vertasche i eribt D Kate d = Bemerk: Ach Vertasche i Kate d 4 ist mölich. Für = 5 erhält ma mit S 5 = = : Vertasche i Kate Für = 6 erhält ma mit S 6 = = 6 : Vertasche i Kate Für = 7 ist S 7 = = 30. Da erade ist, müsse ach () alle Katezahle 5 sei. Damit eribt sich etspreched (I): eribt D 5 = D 6 = Die kleiste Deckflächezahl ist D, mi = = Vertasche i Kate 7 liefert: D 7 = = 9 < 30 = S7 Da i de adere Kate die Differez der Eckezahle rößer als ist, bedetet ei Vertasche i dieser Kate, dass D 7 > 30 = S7 ist. Damit ist ezeit, dass die Ecke eies 7-seities Prismas icht i der eforderte Weise mit Zahle,,..., 4 belet werde köe. Für = 8 ist S 8 = = 34 d D 8,mi = = 36 > S8. 7. Für 8 ilt bei Übera vo af +: - S + S = 4 ( + ) + ( 4 + ) = 4, d.h. die Seitezahl verrößert sich m 4, - D + D = + 4, d.h. die Deckflächezahl verrößert sich m mehr als 4.,mi, mi > Damit ist ezeit, dass D > S für 8.,mi Demach ist das estellte Problem r für 3 6 lösbar. 3. LWM 00-0 Lössbeispiele. Rde Seite 5 vo 8

6 Afabe 3 I der Ebee sid drei Pkte K, L d M eebe, die icht af eier Gerade liee. Kostriere vier Pkte A, B, C d D so, dass die Strecke [AB], [BC] d [CD] leich la sid d K der Mittelpkt vo [AB], L der Mittelpkt vo [BC] d M der Mittelpkt vo [CD] ist. Berüde die Richtikeit der Kostrktio.. Beweismölichkeit: D Kostrktiosbeschreib: () Kostriere die Mittelsekrechte m LM d m KL der Strecke [LM] d [KL]. Ihr Schittpkt sei S. S existiert, da K, L d M icht af eier Gerade liee. () Spiele S a L d erhalte S. (3) Kostriere die Parallele z m KL drch S. (4) scheidet m LM i C. (5) B ist der Spieelpkt vo C a L, A ist der Spieelpkt vo B a K, D ist der Spieelpkt vo C a M. A K B m KL S m LM L S' M C Berüd der Richtikeit der Kostrktio: Das Viereck SBS C ist ei Viereck, i dem sich ach Kostrktio die Diaoale im Pkt L scheide d eeseiti halbiere. Die Strecke [SC] eht also drch Pktspieel a L i die Strecke [S B] über, also ist SC parallel z S B. Aalo ist BS parallel z CS. Also ist SBS C ei Paralleloramm. Da S C ach Kostrktio parallel z m KL verläft d S af m KL liet, mss ach B af m kl liee. Da B af der Mittelsekrechte m KL vo [KL] liet, sid die Strecke [BL] d [BK] leich la. Da L d K ach Kostrktio die Mittelpkte vo [AB] d [BC] sid, sid ach die Strecke [AB] d [BC] leich la. Da C af der Mittelsekrechte m LM vo [LM] liet, sid die Strecke [CL] d [CM] leich la. Da L d M ach Kostrktio die Mittelpkte vo [BC] d [CD] sid, sid ach die Strecke [BC] d [CD] leich la. Somit sid alle Bedie der Afabe erfüllt. 3. LWM 00-0 Lössbeispiele. Rde Seite 6 vo 8

7 . Beweismölichkeit: Kostrktiosbeschreib: () Kostriere die Mittelsekrechte m KL d m LM vo [KL] d [LM]. Nach Vorassetz sid sie icht parallel zeiader, soder scheide sich i eiem Pkt S. A D () Kostriere die Parallele z m KL drch L. Sie scheidet m LM im Pkt X. (3) Spieele Pkt S a X. Wir erhalte de Pkt C. K m LM S m KL M (4) Die Gerade drch C d L scheidet die Mittelsekrechte m KL im Pkt B. (5) Spieele Pkt B a K. Der Spieelpkt ist A. (6) Spieele Pkt C a M. Der Spieelpkt ist D. B L X C Berüd der Richtikeit der Kostrktio: Nach Kostrktiosschritt () ist X der Mittelpkt der Strecke [SC]. Somit ist die Parallele z m KL eie Mittelparallele im Dreieck BCS, isbesodere ist L der Mittelpkt der Strecke [BC]. Nach Kostrktio ist ach K der Mittelpkt der Strecke [AB] d M der Mittelpkt der Strecke [CD]. Der Pkt B ist ei Pkt af der Mittelsekrechte m KL. Daher ilt: AK = KB = BL = LC. Somit sid die Strecke [AB] d [BC] leich la. Da S d X af der Mittelsekrechte m LM liee, ist ach C af m LM. Daher ilt: BL = LC = CM = MD. Somit sid ach die Strecke [BC] d [CD] leich la. Follich sid alle Bedie der Afabe erfüllt. 3. LWM 00-0 Lössbeispiele. Rde Seite 7 vo 8

8 Afabe 4 Elvis möchte as de Zahle,, 3,, 0 eiie so aswähle, dass keie zwei vo ihe eie emeisame Teiler habe, der rößer als ist. Aßerdem möchte er, dass keie der Zahle die Form p k mit eier Primzahl p d eier positive aze Zahl k hat. Wie viele Zahle ka Elvis höchstes aswähle? Lös: Die maximale Azahl ist 4. Beweismölichkeit: Elvis ka zm Beispiel die folede 4 Zahle wähle:, 0 = 0, 3 97 = 9, 5 89 = 445, 7 83 = 58, 79 = 869, 3 73 = 949, 7 7 = 07, 9 67 = 73, 3 6 = 403, 9 59 = 7, 3 53 = 643, = 739, 4 43 = 783. Diese 4 Zahle sid alle kleier als 0 d sie sid alle keie Primzahlpoteze mit positivem Expoete, de es sid, bis af die Zahl, Prodkte vo zwei verschiedee Primzahle. Die Zahl ka aber r als Primzahlpotez mit Expoete 0 eschriebe werde. Damit ist bewiese, dass Elvis midestes 4 aswähle ka. Wir müsse och beweise, dass Elvis keie 5 Zahle mit de eforderte Eieschafte aswähle ka. Aeomme, Elvis hätte 5 solche Zahle efde. Bis af die möliche Asahme der Zahl hat jede der 5 Zahle eie kleiste Primteiler. Es komme also midestes 4 kleiste Primteiler vor. Da diese 4 vorkommede kleiste Primteiler ach Vorassetz alle verschiede sei müsse (sost hätte zwei Zahle vo Elvis eie emeisame Teiler rößer als ), köe es icht r die erste 3 Primzahle (, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4) sei, soder es mss als kleister Primteiler vo (midestes) eier vo Elvis Zahle eie Primzahl vorkomme, die midestes 43 ist. Sei eie der Zahle vo Elvis, dere kleister Primteiler midestes 43 ist. Weil zwei verschiedee Primteiler habe mss (sost wäre eie Primzahlpotez mit positivem Expoete) hat och eie weitere Primteiler, der rößer als 43, als midestes 47 sei mss. Somit ilt = 0. Das ist ei Widersprch z 0. Also ka Elvis keie 5 derartie Zahle fide. 3. LWM 00-0 Lössbeispiele. Rde Seite 8 vo 8