1. Runde Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik

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1 Budeswettewer Mthemtik Wisseshftszetrum Postfh 0 8 Bo Fo: Fx: e-mil: ifo@udeswettewer-mthemtik.de Korrekturkommissio Krl Fegert Aufge ud Lösuge. Rude 00 Üer Kommetre ud Ergäzuge zu diese Lösugseispiele freue wir us! Ashrift oder Emil Adresse s.o. Std: Mi 00

2 BWM 00 I Lösugseispiele Aufge : Zu Begi eies Spiels stehe der Tfel die Zhle,,..., 00. Ei Spielzug esteht drus, dss m eie elieige Azhl der Zhle der Tfel uswählt, de Elferrest der Summe dieser Zhle erehet ud die Tfel shreit, die usgewählte Zhle lösht. Bei eiem solhe Spiel stde irgedw oh zwei Zhle der Tfel. Eie dvo wr 000; m estimme die dere Zhl. Ergeis: I jedem Fll steht oh die Zhl der Tfel.. Beweis: Wir üerlege, wie sih die Gesmtsumme G ller Zhle der Tfel ei eiem Spielzug verädert: Die Summe der usgewählte Zhle ezeihe wir mit S, ihre Elferrest mit E. D ist G eu G lt S + E G lt (S E). Die Zhl (S E) ist durh teilr; dies folgt umittelr us der Defiitio des Elferrestes eier Zhl. I jedem Fll verrigert sih lso ei eiem Spielzug die Summe der Zhle der Tfel um ei Vielfhes vo. Dmit ht der Elferrest der Gesmtsumme ller Zhle der Tfel h jedem Spielzug de gleihe Wert, ämlih dejeige Wert, de er zu Begi des Spieles htte. Vo hier k vershiede geshlosse werde: Vrite : Nu erehe wir diese Wert: Nh ekter Formel ist ½ Also ht der Elferrest der Summe ller Zhle der Tfel h jedem Spielzug de Wert. Nh jedem Zug wird ei Elferrest lso eie Zhl us der Mege {0,,,...,0} die Tfel geshriee. Dmit steht h jedem Spielzug eie Zhl us dieser Mege der Tfel; isesodere ist lso die Zhl, die zum Shluss ußer der 000 der Tfel steht wir ezeihe sie mit X, eie Zhl us dieser Mege. Also muss X folgede Aforderuge erfülle: () X ist eie Zhl us {0,,,...,0} ud () X ht de Elferrest. Es ist ; gleihzeitig ist die Zhl die eizige Zhl us {0,,,...,0}, die zusmme mit 000 de Elferrest erzeugt. Die gesuhte Zhl ist lso. Vrite : Der Elferrest der Summe der letzte eide Zhle ist lso uhägig vo der Reihefolge ud Auswhl der weggeommee Zhle. Jede elieige Zugfolge führt zum gleihem Ergeis, z.b. diese: Wir wähle i jedem Spielzug zwei Zhle, dere Summe 00 ergit, ud zwr zuerst ud 00, dh ud 000, ud 999 usw. ud zuletzt 999 ud 00. Weil 00 8, ist der Elferrest jeder dieser Summe ull. Nh diese 999 Spielzüge stehe lso der Tfel ußer der Zhl 000 oh viele Nulle sowie die Zhle 00, 00, 00, 00 ud 00. Diese ehme wir eizel weg ud erhlte oh die Reste 0,, 0, ud. I eiem letzte Shritt wähle wir diese füf Zhle zusmme mit lle dere Nulle us ud shreie de Elferrest ihrer Summe, lso die Tfel. Jede dere Zugfolge kommt zum gleihe Ergeis: Zum Shluss steht ämlih der Tfel ußer der Zhl 000 ei Elferrest, lso eie Zhl us der Mege {0,,,...,0}. Aus dieser Mege git es er keie dere Zhl, die mit 00 eie Summe mit gleihe Elferrest ildet. Auh we diese Formel gelih vom juge Guß sho i der Grudshule selst gefude wurde - sie wr sho lge vor ihm ekt ud sollte m.e. deswege iht h ihm et werde.

3 BWM 00 I Lösugseispiele Aufge : Die Seiteläge,, eies Dreieks seie gzzhlig, ferer sei eie der Höhe des Dreieks gleih der Summe seier eide dere Höhe. M eweise, dss d + + eie Qudrtzhl ist.. Beweis (üer Fläheformel): O.B.d.A. sei h h + h (derflls eee wir um); wie ülih sei der Fläheihlt des Dreieks mit A ezeihet. Aus der ekte Idetität A h h h folgt sofort A A A h h + h + Dies verwede wir für die Umformug + ( + ) [ ( + ) ]+ (+) (+) + ( + ). D h Vorussetzug, ud lle gzzhlig sid, ist uh ( + ) gzzhlig; es ist lso wie ehuptet + + ds Qudrt eier gze Zhl. Vrite : (mit Koordite ud Gerdegleihug i Hesse-Normleform): O.B.d.A. sei h h + h (derflls eee wir um). Wir lege ei Koorditesstem so uf die Figur, dss der Ursprug uf die Eke A ud die positive x Ahse uf die Seite AB zu liege komme. Mit x ezeihe wir d die x Koordite vo C; es ist dmit B( 0) ud C(x h ); o.b.d.a. ist h >0 (derflls spiegel wir der x-ahse). Eie möglihe Gleihug der Gerde (AC) ist d h x x 0, eie der Gerde (BC) ist h x + ( x ) h 0; dies wird durh Eisetze der Koordite der sie estimmede Pukte sofort estätigt. Für h ud h gilt d uter Verwedug der Hesse Normleform dieser Gerdegleihuge ( >0, h >0 h Kostruktio!): h d(a, (BC)) h h + ( x ) sowie h d(b, (AC)) h h + x. Die Vorussetzug h h + h ist d äquivlet zu h h h + ( x ) + h h + x. Nh Pthgors ist zusätzlih h + ( x ) ud h h + h h h + h h + x. Dmit ist ( +). A hier shließe wir wie im. Beweis. Vrite : O.B.d.A. sei h h + h, dies führt mit h siβ, h siβ sowie h siα siβ sofort zu siβ siβ + siβ, lso h Kürze vo siβ ud Multipliktio mit zu ( +). A hier shließe wir wie im. Beweis.. Beweis (elemetrgeometrish, vgl. Figur): O.B.d.A. sei h h + h (derflls eee wir um); die Höhefußpukte seie wie ülih mit H, H, H ezeihet. Wir etrhte diejeige Prllele zu (AB) im Astd h, die die Höhe CH sowie die eide Seite C CA ud CB sheidet. Die Shittpukte ee wir H * zw. X zw. Y. Nh Vorussetzug ist h < h, lso existiert diese Prllele ud es gilt zusätzlih CH * h ud H * H h. - Y Shließlih eee wir de Fußpukt des Lotes vo X uf (AB) H* X mit H *; es ist d uh BH h XH *. - Nu sid die Dreieke ABH ud AXH * h "sww" kogruet H (Sheitelwikel ei A, rehte Wikel ei H * zw. H, sowie BH h XH * ). Eeflls h "sww" sid die Dreieke H H* A B ABH ud CYH * kogruet (Stufewikel ei B zw. Y, rehte H Wikel ei H zw. H *, sowie AH h CH * ). (Diese Beziehuge gelte uh, we ABC spitzwiklig ist oder

4 BWM 00 I Lösugseispiele stumpfwiklig ei B; eeso, we H A oder H B, d.h. die etrhtete Hilfsdreieke etrtet sid.) Isesodere ist lso AB AX CY, hierus folgt sofort CX ud YB Mit Strhlestz (Zetrum C, XY AB) folgt sofort : ( ) ( ) : oder äquivlet ( )( ). Dies verwede wir i der Umformug ( + ) + ( ) ( ) + + ( ) ( ) + + ( )( ) We,, lle gzzhlig sid, ist uh ( + ) gzzhlig; dmit steht liks wie zu zeige ds Qudrt eier gze Zhl. Bemerkuge: Oige Üerlegug ist umkehrr: Zuähst wählt m uf AC ud BC Teilpukte X zw. Y so, dss AX ud CY (oder uh CX ud BY) eide die Läge he. D gilt: XY AB h h + h. Dmit he wir eie zweite, äquivlete Chrkterisierug der etrhtete Dreieke gefude. Eie eifhe Beshreiug der Ortsliie für lle Pukte C, für die ei festem A ud B die Beziehug h h + h gilt, ist iht ekt. Vrite (Skizze; elemetrgeometrish mit Fläheumformuge): O.B.d.A. sei h h + h ; dmit ist h lägste Höhe ud es folgt us h h h, dss d die kürzeste Seite ist. C A T B C B A B C A C A B B C A A B Wir errihte üer de drei Seite des Dreieks h uße je ei Qudrt; die Mßzhle der Fläheihlte etsprehe d de Werte, ud. Wir drehe ds Qudrt üer AC um die Eke A um de Wikel α im Uhrzeigersi; dei wird die Eke C i eie Pukt uf der Gerde (AB) üerführt, de wir C A ee. Etsprehed drehe wir ds Qudrt üer BC um die Eke B um de Wikel ß gege de Uhrzeigersi; dei wird die Eke C i eie Pukt uf der Gerde (AB) üerführt, de wir C B ee. D die kürzeste Seite ist, liege die Pukte A ud B zwishe C A ud C B. Die Streke C A C B ht d die Läge +, d sih die Streke der Läge ud uf eier Streke der Läge üerlppe; die Streke BC A ht die Läge, die Streke AC B die Läge. Nu errihte wir üer C A C B ei Qudrt ud shiee ds Qudrt üer AC A "h oe". Dmit liege i dem große Qudrt zwei Rehteke mit Kteläge ( ) ud ( ), ei Qudrt mit Kteläge ud ei Qudrt mit Kteläge ; dei üerlppe sih die eide letzte Qudrte um ei Qudrt der Kteläge. Umittelr us der Figur lässt sih dmit die i jedem Dreiek mit, geltede Idetität (+ ) + + ( )( ) lese. We wir oh zeige, dss ( )( ) ist, d ist (+ ) ud wir sid fertig. Hierzu verwede wir die Bedigug h h + h wie im zweite Beweis ud ergäze desse Figur: Die Prllele zu CB durh X sheidet AB i eiem Pukt, de wir Z ee; ds Dreiek CXZ wird durh eie (eideutig estimmte) Pukt uf CB zu eiem Prllelogrmm ergäzt, desse Kteläge ( ) ud ( ) sid. Ferer estimmt dieses Prllelogrmm eie Zerlegug vo ABC i ee dieses Prllelogrmm, AZX ud eie weiteres Dreiek. D XY AB ud XZ CB, ewirkt ei Vershieug vo AZX um ZB ud eie Vershieug des dere Dreieks um ZA ereut eie Zerlegug vo ABC i diese eide Dreieke ud ei Prllelogrmm, desse eide Seite diesml die Läge he.

5 BWM 00 I Lösugseispiele C H * X Y H C H * X Y H Nh dem Prizip der Ergäzugsgleihheit he die eide Prllelogrmme de gleihe Ihlt; d zusätzlih eide Prllelogrmme de gleihe Iewikel γ esitze, ist ( )( ). H H * A Z B H H * A B H H Bemerkug: Zu eiem vollstädige Beweis fehlt oh eie Betrhtug drüer, o ei eiem iht stumpfwiklige Dreiek die verwedete Lgeeziehuge erhlte leie.. Beweis: O.B.d.A. sei h h + h (derflls eee wir um). Aus der Fläheihltsformel folgt h h h sofort h h h, lso ud sowie. Mit h h + h gilt d h h h + + h h + + h h ( hh) h h + + h h (( h h ) h ( ) ) h h h h h h + h h + h + + h h ( ) ( h ) h + hh + h + h h + h hh ( h h h h ) ( ) hh + + h h + + h h + +. We, ud gzzhlig sid, ist der Ihlt der rehte Klmmer eie rtiole Zhl ud die Gleihug esgt, dss die gze Zhl + + ds Qudrt der rtiole Zhl + + ist. Bektlih ist dies ur möglih, we diese rtiole Zhl eeflls gz ist. Bemerkug: Um die Gesmtheit ller Dreieke mit der Eigeshft h h + h, > zu estimme, verwede wir die hierfür otwedige ud hireihede Bedigug (vgl.. Beweis) (A) ( )( ) ud (B) + >. Der Prmeter r sei defiiert üer die Gleihug r; wege (B) ist d r. Wir setze dies i (A) ei ud erhlte (A) (r )( ) r r + Nu müsse wir r oh so eshräke, dss (B) erfüllt ist: r r +. + > + r > r r + 0 > r r r [ ; + ] Zusmme mit r erhlte wir die otwedige Bedigug r [;ϕ ] mit ϕ : + Nu eshräkte wir us uf Dreieke, dere Seiteläge i rtiolem Verhältis stehe; offesihtlih ist hierfür otwedig ud hireihed, dss r rtiol ist. Dmit köe wir lso zu jedem Prmeter r [;ϕ ] vermittels (',',') ( r(r+) ; r+ ; r ) ud shließedem "Erweiter" mit eiem gzzhlige Vielfhe des.

6 BWM 00 I Lösugseispiele kleiste gemeisme Neers ei Dreiek mit gzzhlige Seiteläge kostruiere; ud zu jedem solhe Dreiek mit de gzzhlige Seiteläge (,,) git es eie solhe Prmeter r : /( ). Beispiele: r führt zum Seitetripel (,,); r / führt üer ( 8 / 9 ; 7 / ; / ) zum Seitetripel (8,, ). Iteressterweise he wir hier eie Brüke geshlge zur Aufge "Stelle eie Stmmruh ls Summe zweier Stmmrühe dr": Aus h h +h folgt j sofort / / + /. Ttsählih ist (. Bsp.) / / + / 8. 6

7 BWM 00 I Lösugseispiele Aufge : M eweise, dss zwei kogruete regelmäßige Sehseke so i isgesmt sehs Teile zershitte werde köe, dss diese Teile sih lükelos ud üersheidugsfrei zu eiem gleihseitige Dreiek zusmmesetze lsse. Bemerkug: Im Origiltext hieß es "...dss die eide geildete kogruete Sehseke so i..." Gemeisme Voremerkug: O.B.d.A. he die Kte der eide regelmäßige Sehseke die Läge. Notwedige Bedigug für die Existez eier Zersheidug ist, dss der Fläheihlt des zusmmegesetzte gleihseitige Dreieks de gleihe Fläheihlt ht wie die zwei vorgegeee Sehseke zusmme. Für die Kteläge d des Dreieks gilt lso h ekter Formel (jedes der eide Sehseke setzt sih zusmme us 6 kleie gleihseitige Dreieke mit Kteläge ): d 6 d. Die kurze Digole i de vorgegeee Sehseke ht die Läge ; dies legt eie Zersheidug etlg vo je zwei dieser kurze Digole oder etlg der Lote vom Mittelpukt uf die Sehsekseite he. ' 6 ' ' '. Beweis (vgl. Figur): Wir lege die eide Sehseke eier Kte eider, dei etsteht eier gemeisme Eke ei Außewikel vo 0. Nu sheide wir etlg vo je zwei kurze Digole der Sehseke isgesmt vier Dreieke ; dmit sid die Sehseke i isgesmt sehs Teile zershitte. Die vier geshittee Dreieke k m d ttsählih so die eide ürig leiede Drheviereke lege, dss ei gleihseitiges Dreiek etsteht: Die Seite der geshittee Dreieke he etweder die Läge oder die der kurze Digole; die Iewikel he etweder die Weite 0 oder 0. Dmit psse die Dreieke ', ', ' ud ' lükelos ud üersheidugsfrei uf,, zw. ; die lge Seite vo ud ' sowie vo ud ' ilde mit eie gestrekte Wikel. Die Seite des etstehede Dreieks sid dmit lle doppelt so lg wie die kurze Digole der Sehseke; isesodere ist es gleihseitig. Bemerkug: Eie Berehug der Läge der kurze Digole ist hier iht ötig, wohl er eie Berehug der etstehede Wikel.. Beweis (Skizze): Wir zersheide ei gleihseitiges Dreiek i sehs Teile, us dee sih lükelos ud üersheidugsfrei zwei gleihseitige Sehseke zusmmesetze lsse. Hierfür lege wir uf eie Prkettierug der Eee mit kogruete Sehseke (die Existez eier solhe ist ekt!) ei gleihseitiges Dreiek, ds de gleihe Fläheihlt wie zwei der Sehseke ht ud deute die Seite vo zwei fest usgesuhte Sehseke ls Shittliie; die dere Prkettierugsliie sid ur im Bedrfsfll Shittliie. O.B.d.A. he ds Dreiek die Kteläge ; die Sehseke he d die Kteläge. Nu suhe wir eie solhe Lge des Dreieks, i der oe erwähte Shittliie eie Zersheidug des Dreieks i höhstes 6 Teile ewirke. Ashließed müsse wir oh üerprüfe, o sih us de sehs so gewoee Teile ttsählih zwei Sehseke lükelos ud üersheidugsfrei zusmmelege lsse. Drei Möglihkeite seie hier ufgeführt (uf eie für eie vollstädige Beweis ötige Betrhtug vo Strekeläge ud Wikelweite wurde hier verzihtet): Bemerkuge: Die Zersheidug im Beweis ist ei eide Sehseke idetish. Die zweite Zersheidug orietiert sih de Lote vom Mittelpukt uf die Sehsekseite. Die dritte Zersheidug lässt eies der Sehseke uzershitte; im Flähestük sheidet m iht etlg der durh die Prkettierug vorgegeee Liie. Bei der vierte Zersheidug muss Teile oder eim Zusmmelege umgedreht werde. 7

8 BWM 00 I Lösugseispiele Eie vollstädige Beshreiug ller Zersheidugsmöglihkeite ist iht ekt. Im Augelik ist keie Lösug ekt, die ohe eie Betrhtug vo Wikel ud Seiteläge uskommt. Dss solhe Betrhtuge otwedig sid, zeigt der vielfh ekte "66-Beweis": M k ei 8x8- Qudrt so i Teile zersheide, dss diese sih sheir lükelos ud üersheidugsfrei zu eiem x- Rehtek zusmmelege lsse. ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Ei Beispiel, ds iht i die isherige Shemt psst, er ei wudershöes Puzzle ergit: ' ' ' ' 6' 6 8

9 BWM 00 I Lösugseispiele Aufge : Ei Würfel sei so i edlih viele Quder zerlegt, dss der Rumihlt der Umkugel des Würfels so groß ist wie die Summe der Rumihlte der Umkugel ller Quder der Zerlegug. M eweise, dss d lle diese Quder Würfel sid. Bemerkug: Beide vorgestellte Beweise eütze die shwähere Vorussetzug, dss die Summe der Volumi der edlih viele Quder geu so groß ist wie ds Volume des (große) Würfels; es wird iht eützt, dss sie sih ttsählih zu eiem Würfel zusmmesetze lsse. Isofer wird im Folgede ei llgemeierer Stz ewiese. Zuähst eweise wir die Ugleihug zwishe rithmetishem ud geometrishem Mittel dreier iht-egtiver Zhle i folgeder Form: HS: Für lle,, 0 ist (++), woei Gleihheit für ud ur für gilt. Beweis: Für zwei elieige iht egtive Zhle, gilt zuähst: (+) mit Gleihheit geu für. Dies folgt us der äquivlete Umformug... (+) (+) 0 ( ) 0; woei die Äquivlez sowohl ei durhgeheder Verwedug des ""-Zeihes ls uh ei Verwedug des ">"-Zeihes gegee ist; es gilt lso Gleihheit geu für. Dies wede wir zuähst uf elieige vier iht egtive Zhle,,,d ud erhlte i zwei Shritte (+)+(+d) + d d d (Gleihheit d) Für elieige drei iht egtive Zhle, ud erhlte wir shließlih ( ) ( ) ( + + ) + + (++) mit Gleihheit geu für. (Flls 0, sid die eide letzte Äquivleze offesihtlih. Flls weigstes eie der Zhle,, größer ls ull ist, dividiert m durh de (positive!) Wurzelusdruk rehts, multipliziert mit ud poteziert shließlih mit. Bemerkug: Durh eie Verllgemeierug dieses Beweises erhält m die llgemeie Form: Für iht-egtive x,...,x ist stets (x+...+x ) x... x mit Gleihheit geu für x...x.. Beweis: O.B.d.A. he der (große) Würfel die Kteläge. Er sei i Quder mit de Kteläge i, i, i (i,,..., ) zerlegt. Aus der Vorussetzug der Volumegleihheit leite wir mit ekte Formel für de Rumihlt vo Würfel, Quder, Kugel sowie für die Rumdigole eies Quders die eide folgede Idetitäte her i i i ud ( ) ( ) π π i + i + i i 6 i 6 oder eifher ( i + i + i ) i. Nu eütze wir die Ugleihug zwishe geometrishem ud rithmetishem Mittel i der Form x + + z x z (Gleihheit für ud ur für x z ) ud erhlte so die Ashätzug i ( i i i ) ( ) i i i + + i i i i i. D ds erste ud letzte Glied i dieser Ashätzug gleih sid, muss lso Gleihheit herrshe. Also ist i i i für lle i,,..., ; somit sid lle Quder Würfel. 9

10 BWM 00 I Lösugseispiele. Beweis: Wir eweise zuähst zwei Hilfssätze: HS : Ist die Summe der Rumihlte vo Würfel W i (i,,..., ) so groß wie der Rumihlt eies große Würfels W, so ist uh die Summe der Rumihlte der Umkugel der W i so groß wie der Rumihlt der Umkugel vo W. Beweis: Mit U(Q) ezeihe wir ds Volume der Umkugel des Quders Q; mit w zw. w i die Kte des Würfel W zw. der Würfel W i. Nh Vorussetzug ist d w wi i (*). Für die Umkugel eies Würfels gilt ektlih U(W) Kw mit K : π. Aus (*) erhlte wir dher h Multipliktio mit K ud Awedug des Distriutivgesetzes mit (W) i i (W i) i i i sofort die Behuptug. U Kw K w Kw U Bemerkug: Es geügt ereits die Age, dss ds Volume der Umkugel proportiol zur dritte Potez der Kteläge ist; eie Ketis des gegeee Fktors K ist iht ötig. HS : Uter lle Quder mit gleihem Rumihlt ht der Würfel ud ur dieser die kleiste Rumdigole ud dmit uh die kleiste Umkugel. Beweis: Wir ezeihe ds gemeisme Volume mit V, die Digole des Würfels mit Volume V mit d W. Für eie Quder mit Kte,, ud ud Volume V gilt für die Läge der Rumdigole d Q + + ud V. Nh der Ugleihug zwishe geometrishem ud rithmetishem Mittel ist er d Q + + woei Gleihheit geu für gegee ist. V d W ; lso d Q d W ; Nu köe wir de eigetlihe Stz eweise: Wir etrhte Quder Q i (i,,..., ), die zusmme ds gleihe Volume wie der große Würfel he. Mit W i ezeihe wir dejeige Würfel, der ds gleihe Volume wie Q i ht. Nh HS ud HS ist d U ( Qi ) U ( Wi ) U(W), i i woei Gleihheit geu d esteht, we lle Q i Würfel sid. Bemerkuge: Weithi ekt ud etws leihter eweisr ist der Stz: "I der Eee ht vo lle flähegleihe Rehteke ds Qudrt ud ur dieses de kleiste Umkreis." Eie Üertrgug uf die loge Situtio i der dritte Dimesio ist iht ohe weitere Beweis möglih. Die Ugleihug zwishe rithmetishem ud geometrishem Mittel k uh hgewiese werde, idem m für eie Fuktio zweier Veräderliher ei gloles Miimum hweist. Hierzu estimmt m die Nullstelle der prtielle Aleituge (leider eie ur otwedige Bedigug!) ud üerprüft shließed, dss die Mtrix der zweite prtielle Aleituge dieser Stelle eie positiv defiite qudrtishe Form eshreit ei deutlih üer de Stoff der Shule hiusgehedes Hilfsmittel. Es geht er uh mit Shulmittel: Beweis (des HS, mit Differetilrehug, kpp formuliert): Wir setze x : ; : (++) für lle,, (+x+) x für lle x,. D gilt + mit Gleihheit geu d, we + mit Gleihheit geu d, we x + x+ f( x, ) : (x, + ) ht für x ei (eiziges) gloles Miimum mit f(,). x Zum Nhweis deute wir f ls Shr vo Fuktioe mit Vrile x ud Shrprmeter. Zu jeder Shrkurve (d.h. zu kosttem ) estimme wir de x Wert, dem die Shrkurve de iedrigste Pukt esitzt (vgl. (A)), estimme de zugehörige kleiste Fuktioswert (hägig vo, vgl. (B)). Vo ll diese kleiste Fuktioswerte estimme wir d wieder ds Miimum üer lle (vgl. (C)): 0

11 BWM 00 I Lösugseispiele (A) df ( x) dx d + x+ dx x x + 0 x. 9x Jede der Shrkurve ht lso ei diesem x Wert eie wgrehte Tgete. Offesihtlih ist df ( x) df + + ( x) + df ( x) i gz defiiert. Ferer gilt > 0 für lle x > ud < 0 für dx dx dx + lle x <. Dmit ht jede Shrkurve dieser (ud ur dieser) Stelle ei gloles Miimum. + (B) Der Wert dieses Miimum ist d f(, ) ( + ) : m(). d (C) m ( ) d d ( + ) d ( ) 6 ( + ) 0. Mit + Wieder ist diese Aleitug üerll (d.h. i gz ) defiiert, wehselt ei ds Vorzeihe vo " " h "+"; es liegt lso ei gloles Miimum vor. + x erhlte wir shließlih wie zu eweise x ud f(,).