Grundlagen der Finanzmathematik

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1 Otto Praxl Grudlage der Fiazmathematik Eie kurze Eiführug mit Berechugsbeispiele.

2 2 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Impressum Verfasser: Otto Praxl. Iteretseite: Urheberrecht: Der Beitrag ist urheberrechtlich geschützt (Urheberrechtsgesetz UrhG vom 9. September 1965 i der Fassug vom 13. September 2003). Jede Verwertug außerhalb der gesetzlich zugelassee Fälle bedarf eier vorherige schriftliche Vereibarug mit dem Verfasser. Jede widerrechtliche Nutzug wäre ei Verstoß gege das Urheberrechtsgesetz, der gerichtlich verfolgt werde ka. Alle Werkutzugsrechte liege beim Verfasser. Alle Rechte vorbehalte! Veröffetlichug Dieser Beitrag wird als PDF-E-Book auf veröffetlicht. Layout ud Gestaltug (mit Microsoft WORD 2007): Otto Praxl Rechtschreibug: Die deutsche Rechtschreibug erfolgt ach de amtliche Regel vo We die Eideutigkeit eier Aussage es erfordert, wird vo diese Regel bewusst abgewiche. Haftugsausschluss: I diesem Beitrag köe auch Fehler ethalte sei. Für evtl. Fehler ud daraus resultierede Nachteile überimmt der Verfasser keie Haftug. Bildachweise: Alle Bilder stamme vom Verfasser. Letztes Bearbeitugsdatum: Bearbeitugskezeiche: FM

3 3 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Ihaltsverzeichis 1 Eileitug Ziel Berechugshilfsmittel Vorgefertigte Tabelle Wisseschaftliche Tascherecher Computerprogramme Fiazmathematische Grudlage Abkürzuge ud Formelzeiche Eglische Begriffe der Fiazmathematik Der Zis Eifache Zisrechug Beispiel: Edkapital bei eifache Zise Uterjährige Ziszahlug, Tageszise Beispiel: Tageszise Bemerkug zur uterjährige Ziszahlug: Ziseszisrechug Ziseszisformel Aufzisug Beispiel: Edkapital bei Ziseszise Abzisug Berechug vo Laufzeit ud Zissatz Laufzeit Zissatz i Ziseszisrechug bei uterjähriger Ziszahlug Effektiver Jahreszissatz Grezwert der Verzisug Beweis der Formel 12: Vergleich mit Augeblicksverzisug apitalbildug durch Ratezahluge Vorschüssig, achschüssig Reteedwert, apitaledwert Edwert bei vorschüssiger Ratezahlug Beispiel: Ertrag eier Lebesversicherug Edwert bei achschüssiger Ratezahlug Barwert Barwertfaktore Herleitug der Formel für de Barwertfaktor b Barwertfaktor für achschüssige Zahluge Barwertfaktor für vorschüssige Zahluge Berechug des Barwertes Praktische Awedug des Barwerts Wirtschaftlichkeitsberechug apitalisierug vo laufede Zahluge Beispiel: Nachschüssige Zahluge Schrittweise Nachrechug (Probe) Auität ud Auitätsfaktor... 19

4 4 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Rateschuld Auitäteschuld Beispiel: Auität Aufgabestellug für Auität Aufgabestellug für die apitalwiedergewiug Der Fiazlöser der HP-Tascherecher Eglische Bezeichuge Das Prizip Berechug über Eigabemaske Ausfülle der Maske Berechug der Werte Berechuge Schrittweise Amortisatio Amortisatiosstad zu eiem bestimmte Jahresede Berechug über TVM-Meü Die TVM-Befehle Tascherecherprogramme Beispiel: Zissatz eier Lebesversicherug Zissatz mit dem Fiazlöser Vorzeiche beim Fiazlöser Zusammefassug Ahag Literatur Formelverzeichis Bilderverzeichis Tabelleverzeichis Sachregister (Idex)... 32

5 5 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe 1 Eileitug 1.1 Ziel Bei der Ausbildug i de techische Berufe komme die Fächer Fiazmathematik, Projektmaagemet ud betriebswirtschaftliche Methodik kaum vor. Diese Eiführug ka deshalb de Berufsafäger bei der wirtschaftliche Beurteilug vo Projekte eie erste Hilfe sei. Hier werde die fiazmathematische Grudlage kurz umrisse ud Beispiele für Berechuge ud Programme agegebe. Auch der Fiazlöser der HP-Tascherecher wird vorgestellt ud seie Awedug a Beispiele gezeigt. 1.2 Berechugshilfsmittel Vorgefertigte Tabelle Früher, als es och keie Tascherecher gab, verwedete ma vorgefertigte Tabelle, um Aufzisugsfaktore, Zise, Reteedwerte, Retebarwerte, Auitätsfaktore, Laufzeite ud adere Werte icht mühsam jedes Mal eu bereche zu müsse Wisseschaftliche Tascherecher Die programmierbare wisseschaftliche Tascherecher (z. B. HP 48GX, HP 49G, HP 49g+, HP 50G, TI-89, ud adere) habe alle ötige mathematische Fuktioe, um solche Werte auf opfdruck zu bereche. Zistabelle sid icht mehr zweckmäßig ud werde icht mehr verwedet. Die HP- Tascherecher habe eie eigebaute Fiazlöser. Dieser löst zwar icht die fiazielle Nöte des Aweders, aber er erleichtert etsprechede Berechuge. Allerdigs ka ur derjeige Aweder de Fiazlöser utzbriged eisetze, der auch etwas vo Fiazmathematik versteht Computerprogramme Für fiazmathematische Probleme gibt es eie Fülle vo Computerprogramme für die Awedug auf dem Widows-PC. Auch hier muss der Aweder etwas vo Fiazmathematik verstehe.

6 6 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe 2 Fiazmathematische Grudlage Die fiazmathematische Berechuge sid uabhägig vo eier bestimmte Währugseiheit, gelte also für beliebige Währugseiheite. Der Eifachheit halber verwede wir i de Beispiele die bei us i der europäische Uio (EU) gültige Währugseiheit EURO, Währugszeiche. 2.1 Abkürzuge ud Formelzeiche Tabelle 1: Abkürzuge ud Formelzeiche Begriff Formelzeiche Beschreibug Bemerkug Währugseiheit EURO Zisfuß p Währugseiheite auf 100 Währugseiheite ud auf ei Jahr bezoge Zissatz i = p/100 Faktor auf ei Jahr bezoge = 0,01 p = p% Aufzisugsfaktor q = (1+ Faktor auf Jahre bezoge Abzisugsfaktor 1/q = 1/(1+ Faktor auf Jahre bezoge apital 1 (allgeme Geldbetrag Afagskapital, Afagswert, 0 Geldbetrag Afagsschuld, (eifacher) Barwert Edkapital, Edwert Geldbetrag Zisbetrag Z Geldbetrag Rate R Geldbetrag, alle Rate gleich Laufzeit Azahl Zisperiode, Rate Auität A Geldbetrag Auitätsfaktor, apitalwiedergewiugsfaktor a Faktor bezoge auf 0 Barwert vorschüssig Bw' Geldbetrag Barwert achschüssig Bw Geldbetrag Barwertfaktor, vorschüssig bwf' Faktor bezoge auf R Barwertfaktor, achschüssig bwf Faktor bezoge auf R 2.2 Eglische Begriffe der Fiazmathematik Tabelle 2: Eglische Begriffe der Fiazmathematik Eglisch Iterest Balace Paymet Pricipal Preset Value Future Value Deutsch Zis oder Zissatz, Abkürzug i Restschuld (sost: Bilaz) Rate Tilgugsbetrag (sost: apitalbetrag) Afagswert (Barwert) Edbetrag (Zukuftswert) 1 Mögliche apitalforme: Geldbetrag, redit, Darlehe, Schuld, Verpflichtug, Guthabe, Bakeilage, Forderug, Hypothek, Zahlug.

7 7 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe 2.3 Der Zis Im Göschebädche (Lit. [1]) aus dem Jahre 1967 beschreibt Prof. Dr. Marcel Nicolas, Freie Uiversität Berli, de Begriff Fiazmathematik wie folgt: (Zitat): Uter Fiazmathematik versteht ma die Awedug mathematischer Methode auf die Probleme des Bak- ud reditweses, die eier recherische Behadlug zugäglich sid. I alle diese Probleme spielt die Erscheiug des Zises umittelbar oder mittelbar eie etscheidede Rolle. Seie Betrachtug bildet deshalb die Grudlage des fiazmathematische Dekes.... Für die Fiazmathematik ist der Zis... der für Leihgeld zu zahlede Nutzugspreis. (Zitatede). I der Fiazmathematik werde hauptsächlich die i der Mathematik übliche Grudlage der geometrische Reihe ud adere Fuktioe (Poteze, Logarithme, usw.) verwedet. Die fiazmathematische Formel sid auch auf Probleme aderer Bereiche (z.b. Versicherugsmathematik, Statistik, Betriebswirtschaft) übertragbar. Der Zis ist der Nutzugspreis (die Leihgebühr) für das geliehee Geld (Darlehe, redit). Ma vereibart für de geliehee Geldbetrag (apital) vo 100 Währugseiheite de Preis vo p Währugseiheite als Zisfuß p, der für eie gewählte Zeiteiheit, die Zisperiode, die meist 1 Jahr (p.a. = per aum oder pro ao) beträgt, festgelegt ist. Der Zisfuß p ist also die Zahl der Währugseiheite, bezoge auf 100 Währugseiheite ud für die Laufzeit vo eiem Jahr. Daraus wird der Zissatz i = p/100 = 0,01 p = p% abgeleitet. I der Praxis werde die beide Begriffe Zisfuß p (Währugseiheite) ud Zissatz i (reie Maßzahl) meist icht klar getret, machmal sogar verwechselt oder gleichgesetzt (siehe Lit.[1], dort Seite 11, Fußote 1). Merkregel: Der Zisfuß p ist die Zahl der Währugseiheite auf 100 Währugseiheite bezoge. Der Zissatz i = p/100 = p% = 0,01 p ist ei Prozetsatz. Der Zissatz i ist zahlemäßig 1/100 des Zisfußes. Die Höhe des Zisbetrages (Zise Z ) hägt vo der geliehee Geldsumme (apital ), dem Zissatz i ud der Laufzeit i Jahre ab. Die Zise sid währed der gesamte Laufzeit des redits jeweils am Afag (im Vorhiei, vorschüssig, atizipativ) oder am Ede (im Nachhiei, achschüssig, dekursiv) i gleiche Zisbeträge zu vereibarte Zistermie zu etrichte. Die Laufzeit ist i die Zisformel stets i gazzahlige Vielfache eier Zisperiode eizusetze. Ist die Laufzeit kleier als ei Jahr, da ist proportioal umzureche.

8 8 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe 2.4 Eifache Zisrechug Der Zisbetrag Z für Jahre Verzisug des apitals mit dem Zissatz i ergibt sich durch die eifache Zisformel: Formel 1: Zisformel für eifache Zis Z p i, 100 wobei i = p/100 ist. Das ach Jahre Verzisug des apitals mit dem Zissatz i erreichte Edkapital berechet ma mit der Edwertformel der eifache Zisrechug: Formel 2: Edwert bei eifachem Zis i 1 i Die eifache Verzisug et ma auch lieare Verzisug, weil die Zise proportioal zum Zissatz i ud zur Laufzeit awachse Beispiel: Edkapital bei eifache Zise Es solle die Zise (hier geht es um eifache Zise auf das Afagskapital, och keie Ziseszise!) für folgede Verzisug berechet werde: apital: = 1000 Zissatz: i = 5% = 0,05 Laufzeit: = 10 Jahre. Die (eifache) Zise betrage: Z 10 = i = ,05 10 = 500 Das Edkapital ach 10 Jahre beträgt da: 10 = + Z 10 = = Oder mit der Edwertformel berechet: 10 = (1 + i ) =1000 (1 + 0,05 10) = ,50 = Uterjährige Ziszahlug, Tageszise We es sich icht um Sparverträge mit vereibarter (mehrjähriger) Laufzeit, soder um kurzfristige Eilage hadelt, da müsse die Zise tageweise berechet werde. Für die uterjährige Verzisug ist i Deutschlad für die Laufzeite festgelegt: 1 Jahr = 12 Zismoate zu je 30 Zistage = 360 Zistage. Diese Vereifachug war ötig, weil die Zise früher mauell oder mit eifache Rechemaschie ausgerechet werde musste ud auf diese Weise das Bakpersoal vo de Laue userer Zeitrechug (verschiedee Moatsläge) befreit wurde. Für tageweise zu berechede Zise Z d lautet die Zisformel, wobei für die Azahl der Zistage die Bezeichug d (days) verwedet wird: Formel 3: Tageweise Zise Z d p d d i

9 9 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Beispiel: Tageszise apital: = 1000 Zissatz i = 5% = 0,05 Laufzeit: vom bis Berechug der Laufzeit i Zistage: bis = 7 Moate zu 30 Tage = 210 Tage ud = 2 Tage isgesamt = 212 Tage; d = 212. Z d = Z 212 = ,05 212/360 = 29,44 Ist die Tageszahl des Edtermis iedriger als die Tageszahl des Laufzeitbegis, da rechet ma bei der Ermittlug der Zistage die Tage des letzte Moats zum Vormoat: Für bis rechet vom bis ( Tage 2 = 42.9.) = bis = 4 Moate 30 + (42-25) = = 137 Tage Bemerkug zur uterjährige Ziszahlug: I agelsächsische Läder wird mit der tatsächliche Moatsläge gerechet, jedoch mit eiem Jahr eiheitlicher Läge vo 365 Tage (das Schaltjahr wird icht berücksichtigt). We im EU-Auslad kurzfristige redite aufgeomme werde oder Geld agelegt wird, da ist zu berücksichtige, dass dort die Azahl der Zistage aders als i Deutschlad berechet wird. Es ist zu empfehle, vorher die Bak zu frage. Im Computerzeitalter ist aber die Vereifachug der Berechug kei Argumet mehr, so dass eie Vereiheitlichug zu erwarte ist. 2.5 Ziseszisrechug Ziseszise sid gemäß 248 BGB 3, Absatz 1, verbote. Dort heißt es: Eie im voraus getroffee Vereibarug, dass fällige Zise wieder Zise trage solle, ist ichtig. Eie Ausahme lässt der Satz 1 des Absatzes 2 des 248 BGB für Sparkasse, reditastalte ud Bake zu: Sparkasse, reditastalte ud Ihaber vo Bakgeschäfte köe im Voraus vereibare, dass icht erhobee Zise vo Eilage als eue verzisliche Eilage gelte solle. Er ist die Hauptgeschäftsgrudlage der Bake ud Sparkasse. Bei verzislich agelegte Geldbeträge (Sparverträge, Sparbücher) werde die Zise icht regelmäßig ausbezahlt, soder ach Ablauf des Jahres dem verziste apital zugeschlage ud im ächste Jahr mitverzist. Weil die Zise auf diese Weise wieder verzist werde, spricht ma vo Ziseszise Ziseszisformel Herleitug der Ziseszisformel (der Multiplikatiospukt ist etbehrlich, wird aber der Deutlichkeit halber hier verwedet). Es gilt zur Vereifachug der Formel: q = 1 + i 2 Hier wird die Tageszahl eies Moats eifach weitergezählt. 3 BGB = Bürgerliches Gesetzbuch

10 10 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Afagskapital 0 am Begi des 1. Jahres. Edkapital am Ede des 1. Jahres bzw. Afag des 2. Jahres: i 0 ( 1 0 q. Edkapital am Ede des 2. Jahres bzw. Afag des 3. Jahres: 2 i ( 1 ( 1 ( q Edkapital am Ede des 3. Jahres bzw. Afag des ächste Jahres: 3 i ( 1 ( 1 ( 1 ( q Edkapital am Ede des -te Jahres: i ( 1 ( Ei Afagskapital 0 wächst ach Zisperiode mit dem Zissatz i ud der jeweilige Wiederverzisug der aufgelaufee Zise auf das Edkapital a, dabei gilt q = 1 + i: Formel 4: Edkapital bei Ziseszise 0 ( 1 0 q Aufzisug De Faktor / 0 = q = (1+ et ma Aufzisugsfaktor. Er gibt a, auf welches Vielfache das Afagskapital ach Zisperiode (am Ede des -te Jahres) mit dem Zissatz i ud der jeweilige Wiederverzisug der aufgelaufee Zise agewachse ist. We die y x -Fuktio des Tascherechers zur Berechug des Aufzisugfaktors beutzt wird, da sid die (früher otwedige) Aufzisugstabelle etbehrlich Beispiel: Edkapital bei Ziseszise 0 q Berechug der Ziseszise für das Beispiel uter 2.4.1: apital: 0 = 1000 Zissatz: i = 5% = 0,05; q = 1 + i = 1,05 Laufzeit: = 10 Jahre. Die Edkapital beträgt eischließlich Ziseszise: 10 = ,05 10 = ,62889 = 1628,89, (gegeüber 1500 bei eifachem Zis) Abzisug Mit der Ziseszisformel i der ursprügliche Form wird durch Multiplikatio des Afagskapitals mit dem Aufzisugsfaktor das Edkapital berechet. Mit der umgestellte Formel lässt sich bereche, welches Afagskapital (Barwert) verzislich agelegt werde muss, um ei bestimmtes Edkapital zu erreiche. Dazu muss ma dieses vorgegebee Edkapital abzise (diskotiere), idem ma es durch de Aufzisugsfaktor teilt. Der zum Abzise verwedete Zissatz i wird auch Diskotsatz geat. Formel 5: Abzisugsformel 0 q q 1 ( 1 0

11 11 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Formel 6: Abzisugsfaktor 1 0 q ( 1 ( 1 Der Faktor 0 / wird Abzisugsfaktor geat. Er ist der ehrwert des Aufzisugsfaktors. Auch hierfür gab es früher Tabelle, die u dak der Tascherecherfuktioe y x ud 1/x etbehrlich sid. Bei der eifache Verzisug ist der Abzisugsfaktor 0 / = 1/(1 + i ), wie ma aus obiger Edwertformel (Formel 2) der eifache Zisrechug leicht ermittel ka Berechug vo Laufzeit ud Zissatz Durch Umstellug der Ziseszisformel ka auch die Laufzeit oder der Zissatz i aus de übrige Größe berechet werde Laufzeit Formel 7: Berechug der Laufzeit q log( q) log( 1 log log 0 log 0 log( q) log( Zissatz i Formel 8: Berechug des Zissatzes q ( 1 i ( Hier wird willkürlich der dekadische Logarithmus log gewählt. Ma ka auch de atürliche Logarithmus l bei der Herleitug der Formel verwede Ziseszisrechug bei uterjähriger Ziszahlug Es ist auch möglich, astelle der jährliche Verzisug eie kürzere Zisperiode zu wähle, z.b. halbjährlich oder moatlich, wobei ach Ablauf der Zisperiode die Zise berechet ud zum verzisede apital addiert (zugeschlage) werde. Ab diesem Zeitpukt werde die Zise mitverzist. Dies führt zu eiem größere Edwert als bei jährlicher Ziszahlug. Meist werde Zisperiode für die Läge des m-te Teiles eies Jahres vereibart. Für die halbjährliche Ziszahlug (Ziszuschlag) gilt m = 2 ud für die moatliche m = 12. Die Laufzeit wird ach wie vor i Jahre agegebe. I Jahre gibt es da m Zisperiode. Ist i der omielle Jahreszissatz, so ist der auf die Zisperiode bezogee effektive Zissatz gleich i/m. Die Ziseszisformel für uterjährige Ziszahlug lautet da: 0

12 12 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Formel 9: Uterjährige Ziszahlug m 0 1 i m m Durch Umstellug dieser Formel köe da Barwerte, Laufzeit ud effektiver Zissatz aus de adere Größe ermittelt werde. Der Leser möge diese Formelumstelluge selber vorehme Effektiver Jahreszissatz Bei uterjähriger Ziszahlug müsse pro Jahr mehr Zise gezahlt werde, als sich aus dem jährliche (omielle) Zissatz i ergibt. Der aus uterjähriger Ziszahlug auf das Jahr bezogee Zissatz wird effektiver oder wirklicher Zissatz i' geat. Er wird aus Formel 9 hergeleitet, we = 1 ist: Formel 10: Aufzisugsfaktor q m für =1 ud m Zisperiode pro Jahr q m m i 1. m Formel 11: Effektiver Jahreszissatz i' q m Beispiel: m i m Wird bei eiem jährliche Zissatz i vo 6% der Zis moatlich (m = 12) berechet, so ergibt sich ei moatlicher Zissatz vo 0,5% mit eier Laufzeit vo 12 Moate: Der Aufzisugsfaktor für 1 Jahr beträgt da: m i 0, i' qm , , m 12 Der effektive Jahreszissatz beträgt da 0, ,17% Grezwert der Verzisug 12 Bei extrem kurzer Zisperiode, we m i Formel 10 ach uedlich strebt (kotiuierliche Verzisug oder Augeblicksverzisug geat), ergibt sich der Grezwert des erreichbare Edwerts ' ach Jahre: Formel 12: otiuierliche Verzisug Für m gilt: m i ' m Beweis der Formel 12: e i Nach Defiitio der Mathematiker hat das Biom gilt. m 1 m 1 de Grezwert e, we m

13 13 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Mathematisch ausgedrückt durch: Formel 13: Grezwert e m 1 m m e lim1. Für de Grezwert e ka eie biomische Reihe etwickelt werde, die koverget zu e ist: Formel 14: Biomische Reihe für de Wert e m e lim1 1 m m 1! 2! 3! 4! Mit 12 Summade erhält ma mit dieser Reihe die Zahl e auf 12 sigifikate Stelle: e = 2, , wie sie auch der Tascherecher im Normalfall ausgibt. e ist eie irratioale Zahl mit uedlich viele ommastelle. Mit eiem HP-Tascherecher ud der LONGFLOAT-Library (LIB 902) 4 vo Gjermud Skailad wurde 50 ommastelle für e berechet: e = 2, e wird als Basis des atürliche Logarithmus (l = logarithmus aturalis) verwedet ud als Wachstumskostate e bezeichet. Für de Beweis der Formel 12 brauche wir aber de Grezwert lim i m 1, de wir och m icht kee. Wir forme de mathematische Ausdruck für diese Grezwert um, wobei m/i = z gesetzt wird, ud erhalte: lim m m i i i m z i i lim lim1 e m m m. z z i i Dies ist der Aufzisugsfaktor q m der Augeblicksverzisug für 1 Jahr. Für Jahre ergibt sich bei m ud dem omielle Zissatz i der Aufzisugsfaktor der Augeblicksverzisug: q m e i Daraus ergibt sich die (hier abgekürzte) Formel 12, die zu beweise war: Formel 15: Augeblicksverzisug ' 0 e i I Lit.[1], Seite 47, ist ei etwas lägerer Beweis der Augeblicksverzisug zu fide, der auch och die Herleitug der biomische Reihe für de Wert e ethält. m 4 Zu fide im Iteret uter

14 14 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Vergleich mit Augeblicksverzisug apital 0 = 1000 Zissatz i = 0,05 = 5% Laufzeit = 10 Jahre. Die Berechug soll für jährliche (m = 1), moatliche (m = 12) ud tägliche (m = 360) Ziszuschlag ud für die Augeblicksverzisug durchgeführt werde. Jährlicher Ziszuschlag: m =1: 10 = ,05 10 = 1628,89 (wie obe uter 2.5.3). Moatlicher Ziszuschlag: m = 12: = 1000 (1+ 0,05/12) = 1647,01 Täglicher Ziszuschlag: m = 360: = 1000 (1+ 0,05/360) = 1648,66. Grezwert bei Augeblicksverzisug: m : ' 10 = 1000 e 0,05 10 = 1648,72. 3 apitalbildug durch Ratezahluge Aus der Verkürzug der Zisperiode resultiere besodere Begriffe ud damit verbudee Methode. Auch die achfolgede Formel für Reteberechug ud die daraus zu ermittelde Barwerte köe für verkürzte Zisperiode abgeleitet werde. Hier i dieser Eiführug werde diese Besoderheite icht behadelt. Alle obe abgeleitete Formel beziehe sich auf ei eiziges festes apital. apitalbildug erfolgt aber meist über regelmäßige Eizahluge, die sich im Laufe der Zeit mit Zis ud Ziseszis zu eiem Edwert summiere. Uter Rete versteht ma i der Fiazmathematik eie verzisliche Zahlug, die i mehrere Teilbeträge, de Reterate R 1 bis R, erfolgt. Meist gilt die Voraussetzug, dass die eizele Rate gleich sei solle: R = R 1 = R 2 =... = R. 3.1 Vorschüssig, achschüssig Die Ratezahluge R köe etweder am Afag (vorschüssig) oder am Ede (achschüssig) jeder Zisperiode erfolge. Bei der achschüssige Rete erfolgt die erste Zahlug am Ede der 1. Zisperiode, wirkt sich also erst ab Begi der 2. Zisperiode bei de Zise aus. Die letzte Ratezahlug erfolgt am Ede der Laufzeit ud hat auf die Zise keie Eifluss mehr. Diese Form wird bei Abzahlug vo redite verwedet, bei der Zis- ud Tilgugsbeträge jeweils am Ede der Zisperiode bezahlt werde. Bei Sparverträge, Versicherugsverträge ud adere apitalbildugsforme werde die Rate vorschüssig bezahlt. Jede Rate wird am Begi der Zisperiode eigezahlt ud ab diesem Zeitpukt verzist. Die letzte Rate wird am Begi der letzte Zisperiode eigezahlt ud bis zum Ede der Laufzeit verzist.

15 15 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe 3.2 Reteedwert, apitaledwert Edwert bei vorschüssiger Ratezahlug Die Herleituge der Formel 16 ud Formel 17 werde hier icht gezeigt, es hadelt sich um geometrische Reihe, die im Mathematikuterricht der Schule behadelt werde. We ma Jahre lag am Afag jede Jahres (vorschüssig) de gleiche Betrag R eizahlt, so erreicht ma am Ede des -te Jahres ach Verzisug mit dem Zissatz i (wobei gilt: q = 1+ folgede Edwert: Formel 16: apitaledwert bei vorschüssiger Ratezahlug q i R q 1 ( 1 ) 1 R( 1 q 1 i Diese Formel wird z. B. für die Berechug der Auszahlugssumme eier Lebesversicherug verwedet. Am Afag jedes Jahres werde die Prämie eigezahlt, die sich über Jahre verzislich asammel. Am Ede wird eie Summe ausgezahlt, die sich aus Versicherugssumme ud apitalertrag zusammesetzt. We ma de Zissatz ket, der wege des Risikoabschlags etwas kleier als die bakübliche Verzisug ist, ka ma die voraussichtliche Auszahlugssumme zum Ede der Laufzeit selbst bereche Beispiel: Ertrag eier Lebesversicherug Ei afags 30-jähriger Versicherugsehmer zahlt 35 Jahre lag am Afag jedes Jahres 600 i seie Lebesversicherug ei. Er schätzt de Zissatz auf 6 %. (Die vertragliche Versicherugssumme beträgt = ). Er rechet sich für seie 65. Geburtstag folgede Auszahlugssumme aus, die sich aus der Versicherugssumme ud dem apitalertrag zusammesetzt: = 600 1,06 (1, ) / 0,06 = ,12087 = 70872,52 Der Zissatz wird jedoch i de Versicherugsverträge icht agegebe, so dass ma ih später aufgrud der ageküdigte oder tatsächliche Auszahlugssumme selbst ermittel muss (siehe Beispiel uter 5.1) Edwert bei achschüssiger Ratezahlug We ma Jahre lag am Ede jede Jahres (achschüssig) de gleiche Betrag R eizahlt, so erreicht ma am Ede des -te Jahres ach Verzisug mit dem Zissatz i (wobei gilt: q = 1+ folgede Edwert: Formel 17: Edwert (achschüssig) q i R 1 ( 1 ) 1 R q 1 i Zur Berechug der Laufzeit aus de übrige gegebee Date müsse die Formel umgestellt werde. Dies wird hier icht gezeigt. Soll der Zissatz i aus de übrige gegebee Date berechet werde (wie z. B. für de Ertrag eier Lebesversicherug, siehe Beispiel uter ud 5.1), so führt die Umstellug der Formel 16 ud Formel 17 zu icht elemetar (icht mit Papier ud Bleistift) lösbare Gleichuge höhere Grades. Diese müsse iterativ gelöst werde. Dafür gibt es Tascherecherprogramme ud de Fiazlöser.

16 16 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe 3.3 Barwert Das Ergebis der Abzisug, also de Betrag, de ma afags zur Verfügug stelle muss, um das agegebee Edkapital durch Verzisug ach eier vorgegebee Zeit zu erziele, et ma Barwert. Bei eiem fest vorgegebee Edkapital lässt sich der Barwert durch eimalige Abzisug mit q - bereche (siehe Formel 6). Schwieriger wird die Berechug des Barwerts, we regelmäßige Zahluge (Rate), die ach bestimmter Zeit mit Zis ud Ziseszise zu eiem Edbetrag auflaufe werde, bereits afags durch eie eimalige Betrag (de Rete- Barwert) abgelöst werde solle. Zur Uterscheidug vom (eifache) Barwert 0 eies eizige abgeziste Betrages wird hier i diesem Beitrag der aus regelmäßige Ratezahluge zu ermittelde (Rete-)Barwert mit dem Formelzeiche Bw bezeichet. 3.4 Barwertfaktore Der Barwertfaktor bwf für achschüssige Zahluge gibt a, welches Vielfache der Rate ma als Afagskapital (Barwert Bw) alege muss, um die regelmäßige achschüssige Zahluge der Rate ach Verzisug mit dem Zissatz i zu de Fälligkeitszeitpukte damit abzudecke (zu kapitalisiere). We vorschüssige Zahluge geleistet werde solle, ist der Barwertfaktor bwf' zu verwede Herleitug der Formel für de Barwertfaktor b Der Barwertfaktor bwf für gleiche Rate R bei eier Verzisug mit dem Zissatz i ist die Summe der Abzisugsfaktore für die Zahluge der Jahre 1 bis. Weil es sich um gleiche Rate R hadelt, ka ma für de Barwertfaktor eie geschlossee Formel agebe Barwertfaktor für achschüssige Zahluge Der Barwertfaktor bwf für achschüssige Ratezahluge ist am gebräuchlichste. Als Grudlage werde Formel 17, Formel 20 ud Formel 22 mit q = 1 + i verwedet. Bw bwf R q 1 Bw ( 1 R bwf R( 1 q 1 Daraus ergibt sich: Formel 18: Barwertfaktor (achschüssig) q 1 ( 1 bwf q ( q 1) ( 1 1 i q 1 R bwf q q Barwertfaktor für vorschüssige Zahluge q 1 q 1 Da vorschüssige Zahluge am Begi der Zisperiode bezahlt ud i derselbe Zisperiode och mitverzist werde, ist die Verzisug um de Faktor q = 1 + i höher als bei achschüssige Zahluge. Der Barwertfaktor bwf' für vorschüssige Zahluge ist deshalb:

17 17 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Formel 19: Barwertfaktor (vorschüssig) bwf ' qbwf Berechug des Barwertes Da der Barwert ud ach Auszahlug der jeweilige Rate der verbleibede Restbetrag so lage weiter verzist wird, bis er aufgezehrt ist, muss ma weiger als Rate alege, weil die Zise mit ausbezahlt werde. Es muss also gelte: bwf < ud bwf' <. Nachschüssiger Barwert: Formel 20: Barwert (achschüssig) Bw bwf R Vorschüssiger Barwert: Formel 21: Barwert (vorschüssig) Bw' bwf ' R Auszahlug vo Rate: Formel 22: Auszahlug i Rate R Die Differez zwische Barwert Bw ud Edwert ist der Zisbetrag Z, der durch die apitalisierug der Rate erzielt wird. Formel 23: Zisbetrag (achschüssig) Z ( bwf ) R bzw. Formel 24: Zisbetrag (vorschüssig) Z ( bwf ') R Praktische Awedug des Barwerts Der Barwert wird icht ur beötigt, we ma de Betrag ermittel will, de ma heute alege müsste, um ach eier gewisse Zeit durch Verzisug eie agestrebte Wert zu erreiche, soder auch da, we eie zu eiem spätere Zeitpukt fällige Forderug vorzeitig abgelöst werde soll. I diesem Fall wird der Schulder (äufer) die Forderug um die och bis zum Fälligkeitszeitpukt zu erwartede Zise kürze, die ja u dem Gläubiger zufließe, weil er das Geld früher zurückbekomme hat. Bei Geschäfte mit Wechsel wird der Wechsel als Zahlugsverspreche wie Bargeld gehadelt. Falls er vor dem Fälligkeitszeitpukt verkauft wird, muss er etspreched abgezist (diskotiert) ud zum Barwert der Wechselsumme verkauft werde Wirtschaftlichkeitsberechug Bei Wirtschaftlichkeitsberechuge zur Beurteilug der verschiedee Variate vo Baumaßahme oder Aschaffuge müsse die zu verschiedee Zeitpukte zu zahlede Geldbeträge wertmäßig miteiader vergliche werde köe, um die wirtschaftlichste Lösug herauszufide. Um die Variate vergleiche zu köe, müsse die Beträge zuächst durch etsprechedes Auf- oder Abzise auf ei ud deselbe Zeitpukt bezoge werde. Dieser Vergleichszeit-

18 18 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe pukt ka beliebig gewählt werde, da bei gleichem Zissatz das Verhältis der Zeitwerte i jedem beliebige Zeitpukt das gleiche ist. Meist jedoch werde alle Werte auf de gleiche Afagszeitpukt (Zeitpukt der Fiazierug) bezoge, aus dere Summe sich da der Barwert ergibt. Um uterschiedliche Beträge, die och dazu zu uterschiedliche Zeite fällig sei köe, abzuzise, legt ma eie Tabelle a (Tabellekalkulatio!), weil i diesem Fall der Barwert icht durch eie geschlossee Formel ermittelt werde ka. Hierbei köe auch uterschiedliche Zissätze für eizele Beträge berücksichtigt werde, we die oditioe verschiedeer Bake zusätzlich vergliche werde solle apitalisierug vo laufede Zahluge Bei der Fiazierug vo Projekte muss ma berücksichtige: Herstellugskoste, die kurz ach Fertigstellug zu bezahle sid, ud regelmäßige laufede oste, die erst im Laufe der Nutzugsdauer vo Jahre auftrete. Da die laufede oste (z. B. oste für regelmäßige vorgeschriebee Wartug) erst später zu bezahle sid, müsse sie kapitalisiert werde, idem der Barwert ermittelt ud mitfiaziert wird Beispiel: Nachschüssige Zahluge Eie Perso hat sich verpflichtet, eier adere Perso 5 Jahre ( = 5) lag am Ede jedes Jahres 1000 (R = 1000) zu bezahle. Welcher Betrag (Bw) muss verzislich mit eiem Zissatz vo 5% (i = 0,05) zu Begi des 1. Jahres agelegt werde, damit aus dem agelegte Betrag ud de daraus resultierede Ziserträge diese Verpflichtug erfüllt werde ka? Es hadelt sich um achschüssige Zahluge. Der Barwertfaktor wird mit de Werte q = 1 + i = 1,05 ud = 5 berechet: bwf = (1,05 5-1) / (1,05 5 0,05) = 4, Der Barwert ist Bw = ,32948 = 4329, Schrittweise Nachrechug (Probe) Hier werde zur Aschauug die eizele Zahluge sowie Zise ud Restbetrag schrittweise verfolgt ud i der Tabelle 3 für jedes Jahr aufgelistet. Tabelle 3: Proberechug eier achschüssige Zahlug Zu Jahresbegi am Jahresede Jahr Bw oder Restbetrag + 5% Zise -Auszahlug Restbetrag 1. Bw = 4329, , , , , , , , , , , , , , ,00 Summe: 664,

19 19 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Der Barwert 4329,48 ud die Zise 664,52 ergebe zusamme die ausgezahlte Summe vo Die ach Tabelle ermittelte Zise ergebe sich auch ach der Formel 23: ( - bwf) R = (5-4,32948) R = 0,66452 R = 664, Auität ud Auitätsfaktor Bei der Abzahlug (Amortisatio) vo redite ka ma zwei Wege wähle: Rateschuld Die jährliche Zahlug setzt sich aus eier gleichbleibede Tilgugsrate (Tilgugsquote) ud de Zise auf de Schuldrest, der zum Zahlugstermi och vorlag, zusamme. Da durch jede Tilgugsbetrag die restliche Schuld kleier wird, sid jährlich kleier werdede Zisbeträge zu zahle. Diese Zahlugsweise ist für de Schulder umstädlich, weil er geau Buch führe muss, um die Höhe der ächste Zahlug zu ermittel Auitäteschuld Eifacher ist es, jährlich eie gleichbleibede Betrag A zu zahle, der sich ebefalls aus der Tilgug ud de Zise auf de Schuldrest zusammesetzt. Da die Schuld im Laufe der Zeit kleier wird, immt der Ateil der Zise ab ud die Tilgugsquote steigt etspreched a. Bei dieser Zahlugsweise et ma de gleichbleibede Betrag A Auität. a ma bei der Rateschuld die Rückzahlugsbeträge och mit eifache Rechevorgäge (4 Grudrechearte) ermittel, werde zur Berechug der Auität Potezrechug ud geometrische Reihe agewadt. Für die Berechug gilt folgede Voraussetzug: Damit die gestellte Bedigug der Auitäteschuld erfüllt ist, muss der Zeitwert aller Auitäte A zu Begi gleich der Afagsschuld 0 sei. Die Auitäte A köe also als Rate eier -mal zahlbare achschüssige Rete aufgefasst werde, dere Barwert gleich 0 zu setze ist: A bwf 0 Ma erhält daraus die Beziehug 1 1 A 0 a 0, wobei a der Auitätsfaktor ist, der im betriebswirtschaftliche Bereich auch apitalwiedergewiugsfaktor geat wird. Die Formel wird hier a- bwf bwf gegebe, die Herleitug wird icht gezeigt. Formel 25: Auität A ud Auitätsfaktor a A a 1 a bwf 0 i ( 1 ( q 1) q ( 1 1 q 1 Der Auitätsfaktor a ist also der ehrwert des (achschüssige) Barwertfaktors bwf. Der zweite Name apitalwiedergewiugsfaktor für deselbe Vorgag ergibt sich im betriebswirtschaftliche Bereich. Dort wird am Schluss jedes Jahres aus de Erträge, die z. B. ach auf eier Maschie damit erzielt wurde, regelmäßig ei bestimmter Betrag A für die ach Jahre Nutzugsdauer fällige Ersatzbeschaffug zurückgelegt.

20 20 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Beispiel: Auität Als Beispiel für de Auitätsfaktor werde die obe im Beispiel uter für de Barwertfaktor verwedete Zahle ud die dort gezeigte Tabelle 3 geomme. I eier zweite ausführliche Tabelle 4 wird ute gezeigt, wie sich Zise ud Tilgugsbeträge veräder. Ma ka feststelle, dass beide Tabelle i de Hauptspalte idetisch sid Aufgabestellug für Auität Eie Firma hat für de auf eies Computers bei der Bak eie redit vo 4329,48 aufgeomme. Nach 5 Jahre ist die Nutzugsdauer des Computers abgelaufe, so dass er da abbezahlt sei muss. Welche gleichbleibede Betrag A (Auität) muss die Firma jedes Jahr mit dem Computer (midestes) erwirtschafte (i die Verkaufspreise ihrer Produkte eikalkuliere), damit am Ede jedes Jahres der Betrag A gezahlt werde ka? Nach 5 Jahre darf keie Restschuld mehr bestehe Aufgabestellug für die apitalwiedergewiug Die Fiazabteilug eier Firma stellt eie Betrag vo 4329,48 aus eiem Bakguthabe für eie Computerkauf zur Verfügug. Welche gleichbleibede Betrag A (Auität) muss die Firma jedes Jahr mit dem Computer erwirtschafte, damit das Geld (ud die etgagee Zise) ierhalb 5 Jahre wieder i die Firmekasse zurückfließt (ud da wieder eu agelegt werde ka). Für beide Aufgabestelluge ka derselbe Lösugsweg beutzt werde. Zuerst wird der Auitätsfaktor (apitalwiedergewiugsfaktor) für i = 0,05 ud = 5 berechet: a = 0,05 1,05 5 /(1,05 5-1) = 0, Da wird die Auität für 0 = 4329,48 berechet: A = a 0 = 0, ,48 = Der jährlich zu zahlede Betrag für Zis + Tilgug beträgt also A = I Tabelle 4 werde alle Zahle schrittweise zur Probe achgerechet (siehe auch Tabelle 3 für obiges Beispiel uter ). Tabelle 4: Proberechug für apitalwiedergewiug Zu Jahresbegi am Jahresede Jahr Afagsschuld oder Restschuld aus Vorjahr Auität = 5% Zise + Tilgug Restschuld 1. 0 = 4329, ,00 216,47 783, , , ,00 177,30 822, , , ,00 136,16 863, , , ,00 92,97 907,03 952, , ,00 47,62 952,38 0,00 Bezahlte Summe: 5000,00 664, ,48

21 21 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe 4 Der Fiazlöser der HP-Tascherecher Der Fiazlöser (Fiace Solver) der HP-Tascherecher ka ur da sivoll eigesetzt werde, we der Aweder die dabei auftretede Begriffe der Fiazmathematik im Grudsatz ket. 4.1 Eglische Bezeichuge Tabelle 5: Bezeichuge des Fiazlösers Bezeichuge des Fiazlösers Time Value of Moey = Zeitwert für Geld Nomialer jährlicher Zisfuß Aktueller Barwert = Afagsbetrag (Preset Value) TVM I%YR Prozetzahl etspricht p = 100 i PV Geldbetrag Rate (Paymet) PMT Geldbetrag Zukuftswert, Edwert, (Future Value) Zisperiode, Laufzeit 4.2 Das Prizip FV zu Begi der erste Zisperiode, etspricht Bw etspricht R, für alle Zisperiode gleich Geldbetrag etspricht N Azahl etspricht Der Fiazlöser ethält TVM-Fuktioe (TVM = Time Value of Moey = Zeitwert für Geld) für Fiazierugs- ud Amortisatiosberechuge. Mit diese Fuktioe ka ma Ziseszise ud Amortisatioe bereche Berechug über Eigabemaske Nach Aufruf des Fiazlösers durch die Taste [ ][FINANCE] = [ ][9] erscheit eie Eigabemaske, i die ma die Werte eigebe ka. Der Fiazlöser ist so aufgebaut, dass alle Date i diese Maske eigegebe werde köe, ur das Feld für de zu berechede Wert braucht icht ausgefüllt zu werde. We im gleichzeitig agezeigte Meü der Maske für dieses Feld die Fuktio SOLVE freigegebe ist, da ka ma damit de gewüschte Wert bereche Ausfülle der Maske Nach Aufruf des Fiazlösers werde die Werte eigegebe. De Maske-Cursor auf das gewüschte Ergebisfeld stelle ud es dadurch markiere. Bei markiertem Feld erscheit i der uterste Zeile die Aweisug, was bei diesem Feld zu tu ist. Bild 1 zeigt die ausgefüllte Maske, die mit TIME VALUE OF MONEY bezeichet ist. N = 5 für die Laufzeit vo 5 Jahre, PV = 4329,48 für de Afagswert, i diesem Fall ist es die Afagsschuld, I%YR = 5 für de Zissatz vo 5% pro Jahr,

22 22 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe PMT bleibt frei, hier soll das Ergebis stehe. P/YR = 1 für Zahluge pro Jahr, (P/YR etspricht m aus Formel 9 bei uterjähriger Ziszahlug). FV = 0 für de Edwert, Restschuld soll Null sei, Ed = achschüssige Zahlug (ma ka für dieses Feld auch Beg für vorschüssige Zahlug auswähle) Berechug der Werte Da wird der Maske-Cursor auf das Feld PMT gestellt ud SOLVE gedrückt. Das Ergebis ist i Bild 2 zu sehe. Für die Auität A (PMT) ergibt sich der Wert Das Ergebis berechet der Tascherecher aus de übrige Date ud schreibt es is markierte Feld. Der vorherige Wert des Ergebisfeldes wird durch das berechete Ergebis überschriebe. We der Zissatz I%YR aus de übrige Date berechet werde soll, brigt der Fiazlöser ach Ausführug vo SOLVE machmal die Fehlermeldug No Solutio!. Die Ursache liegt i de Formel 11 ud 12, die sich icht ach dem Zissatz i auflöse lasse (siehe obe). Doch i de meiste Fälle fidet er auch hier die richtige Lösug, we ma die Vorzeiche richtig wählt (siehe ute). 4.3 Berechuge Hier soll obiges Beispiel (Abzahlug eies redits, siehe 3.5.3) mit dem Fiazlöser ochmals komplett durchgerechet werde. Bild 1: Maske TVM, PMT markiert Bild 2: Maske TVM, PMT berechet Schrittweise Amortisatio Die Date aus Bild 2 bleibe als Ausgagwerte für eie Amortisatiosberechug stehe. Die Meüfuktio SOLVE wurde soebe beutzt. Ohe die Werte der Maske zu veräder, wird mit [F5] i das Verzeichis AMOR (Amortisatio) gewechselt. Es erscheit eie eue Maske, die mit AMORTIZE überschriebe ist (Bild 3). Der Wert bei "Paymets:" gibt a, wieviele Amortisatiosschritte (Zahluge) ma auf eimal durchführe möchte. Die vorgegebee 1 bleibt dort stehe.

23 23 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Bild 3: Maske AMORTIZE (leer) Bild 4: Maske AMORTIZE (mit Ergebisse) Mit [F6] wird die Meüfuktio AMOR gestartet. Die Maske füllt sich mit Date, wie ma auf Bild 4 sehe ka. Bei Betrachtug der Tabelle 4 fällt auf, dass die jetzt i AMORTIZE befidliche Date de Date des 1. Jahres dieser Tabelle etspreche: Paymet = 1 = Zustad ach 1 Zahlug. Pricipal = -783,53 = Tilgug im 1. Jahr, Iterest = -216,47 = Ziszahlug im 1. Jahr, Balace = 3545,95 = Restschuld am Ede des 1. Jahres. Wieder folgt 1 Schritt mit Paymet = 1. Mit Druck auf die Meütaste BPV (Balace to Preset Value = Restschuld als Afagswert) wird die Restschuld als Afagswert eier eue Berechug i vorherige TIME VA- LUE OF MONEY-Maske überomme, die aber icht sichtbar ist. Ereutes Drücke der Meütaste AMOR i der mometa sichtbare AMORTIZE-Maske zeigt die Date für das 2. Jahr der Tabelle (siehe Bild 5). Die Wiederholug vo BPV ud AMOR zeigt die Date für das 3. Jahr (Bild 6): Bild 5: Maske AMORTIZE (mit Ergebisse) Bild 6: Maske AMORTIZE (mit Ergebisse) Weitere 2 Schritte mit je BPV ud AMOR führe zu Bild 7 ud Bild 8, welche die Date für das 4. ud 5. Jahr zeige. Der agezeigte Wert 5, für die Restschuld (Balace) am Ede der Laufzeit resultiert aus de Auf- ud Abruduge für die Beträge ud ka zu Null gesetzt werde.

24 24 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Bild 7: Maske AMORTIZE (mit Ergebisse) Bild 8: Maske AMORTIZE (mit Ergebisse) Der Wert 5,40E-9 im Feld Balace i Bild 8 ist die Restschuld, sie ist praktisch ull. Der Fiazlöser rechet hier geau, astatt abzurude, was jeder ormale Mesch mache würde. We ma u de Fiazlöser durch zweimaliges [ON] verlässt, sieht ma im Stack 5 alle berechete Werte mit eier Bezeichug vor eiem Doppelpukt. Außerdem sid im aktuelle Verzeichis die Variable N, I%YR, PV, PMT, PYR ud FV agelegt worde, i dee die Werte der letzte Berechug gespeichert sid Amortisatiosstad zu eiem bestimmte Jahresede Die Date vo Bild 2 solle u als Ausgagswerte diee. Wie sieht der Stad der Amortisatio am Ede des 2. Jahres aus? Mit AMOR wird die Maske AMORTIZE aufgerufe ud dort Paymets =2 gesetzt. Nach AMOR ud sieht ma das Ergebis (Bild 9). Die Meüfuktio BPV wird jetzt icht verwedet. Bild 9: Maske AMORTIZE (mit Ergebisse) Paymets = 2 zeigt de Zustad ach dem 2. Jahr. Pricipal = -1606,23 ist die Summe der bisher bezahlte Tilgugsbeträge (783, ,70) Iterest = -393,77 ist die Summe der bisher bezahlte Zise (216, ,30) Balace = 2723,25 ist die Restschuld ach dem 2. Jahr. Ei Vergleich mit Tabelle 4 bestätigt die Richtigkeit der Werte Berechug über TVM-Meü Wer die Eigabemaske TVM icht utze möchte, ka das Meü TVM (Meüummer 80.01) beutze. Das Meü TVM fuktioiert ählich wie die AMORTIZE-Maske. Es wird über de Befehl TVM oder über 80 MENU direkt aufgerufe ud ka durch Drücke der Tascherechertaste [VAR] verlasse werde. Eigabemaske ud Meüs greife auf dieselbe Variable zu, die sich im aktuelle Verzeichis befide. Nach Aufruf erscheit das TVM-Meü (Bild 10). Die Variableame sid i helle umradete Meüfelder zu sehe. Die Werte köe i de Stack gestellt ud da durch Drücke auf die Meütaste i die gewüschte Variable gespeichert werde. 5 Stack ist die auf dem Bildschirm agezeigte Liste der Werte

25 25 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Beispiel: Die Werte aus Bild 2 werde i die scho bekate Variable i de hell hiterlegte Meüfelder eigespeichert. Für das Ede des 2. Jahres wird die Zahl 2 (etspreched Paymets = 2) i de Stack gestellt. Nu wird die Meüfuktio AMRT gestartet. Ma erhält (wie i der Maske AMORTIZE) de Amortisatiosstad ach dem 2. Jahr (Bild 11). Die Ergebisse sid zu dee i Bild 9 idetisch. Bild 10: Fiazlöser Eigabemaske Bild 11: Fiazlöser Ausgabewerte Bei Bild 11 wurde aufgrud der Zeileläge ei kleierer Schriftfot beutzt Die TVM-Befehle Im Befehlskatalog gibt es 5 TVM-Befehle: Tabelle 6: TVM-Befehle des Fiazlösers Befehl Bedeutug TVM TVMBEG TVMEND Aufruf des TVM-Meüs (oder 80 MENU) Eistellug der Berechugsweise für vorschüssige Zahluge, (Flag -14 = 1) Eistellug der Berechugsweise für achschüssige Zahluge, (Flag -14 = 0) TVMROOT berechet de Wert eier TVM-Variable aus de Werte der übrige Variable. Der Variableame, z.b. 'PMT', ist i de Stack zu stelle. Nach Aufruf des Befehls steht das Ergebis im Stack, ist aber icht i der Variable selbst gespeichert. AMORT berechet aus de Werte der TVM-Variable eie Amortisatio. Der Wert "Paymets", z.b. 2 für de Stad ach dem 2. Jahr, muss im Stack stehe. Dieser Befehl fuktioiert geauso wie die Meüfuktio AMRT i der TVM-Maske.

26 26 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe 5 Tascherecherprogramme Bei de obige Beispiele wurde HP-Tascherecher mit ihre mathematische Fuktioe mauell eigesetzt, idem die Zahle eigegebe ud über die Potezfuktio die Werte berechet wurde. Der Fiazlöser deckt ur bestimmte Berechuge ab, geügt aber icht alle Erforderisse, weil er z. B. de Barwertfaktor icht agibt. Diese muss ma da über de Barwert per Tastatureigabe selbst bereche. Deshalb bietet der Verfasser auf seier Iteretseite uter der Bezeichug FINANZ.txt eiige Tascherecherprogramme a, mit dee ma Barwertfaktore, Auitäte ud Edwerte vo Ratezahluge im Eizele bereche ka, ohe a eie Maskeoder Meüumgebug gebude zu sei. Auch die Berechug des Zissatzes aus der Auszahlugssumme eier Lebesversicherug ka per Programm vorgeomme werde. Für fiazmathematische Berechuge stellt der Verfasser folgede Programme für de HP- Tascherecher als HP-Verzeichis FINANZ zur Verfügug: Tabelle 7: HP-Tascherecherprogramme Programm Berechugsergebis NVR NNR ZINSS BWFA BWDEF Ifo Berechug vo k = /R bei vorschüssige Ratezahluge ach Formel 16. Die Werte für Zissatz i ud Laufzeit müsse im Stack stehe. Berechug vo k = /R bei achschüssige Ratezahluge ach Formel 17. Die Werte für Zissatz i ud Laufzeit müsse im Stack stehe. Berechug des Zissatzes i aus der Formel 16 (für vorschüssige Zahluge). Im Stack müsse die Werte für k = /R ud Laufzeit stehe. Berechug des Barwertfaktors bwf für achschüssige Ratezahluge. Im Stack müsse Zissatz i ud Laufzeit stehe. Fuktiosgleichug BWF für de Barwertfaktor zur Aktivierug ud Umsetzug durch die DEFINE-Fuktio. Iformatio über das Ausgabedatum, Name des Autors ud Iteretadresse Hiweis: I de Programme wurde j als Variableame astelle vo i für de Zissatz verwedet, weil i bereits durch die ostate für die imagiäre Eiheit (Wurzel aus -1) belegt ist. Die Programme laufe im RPN-Modus, sid selbsterkläred ud köe ohe Aleitug verwedet werde. Allerdigs sollte ma auch hier das ötige fiazmathematische Grudlagewisse habe ud de Tascherecher kee (siehe Lit. [2]). Die Awedug der Programme ZINSS, NVR ud BWFA wird aschließed i eiem Beispiel gezeigt.

27 27 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe 5.1 Beispiel: Zissatz eier Lebesversicherug Berechug des Zissatzes eier Lebesversicherug aus der Auszahlugssumme ud der Azahl ud Höhe der Rate. Der 30-jährige Versicherugsehmer (siehe Beispiel uter ) zahlt 35 Jahre lag am Afag jedes Jahres 600 i seie Lebesversicherug ei. Er schätzt de Zissatz auf 6%. Er hatte sich mit Formel 11 eie Auszahlugssumme vo 70872,52 ausgerechet. I de jährliche Mitteiluge seier Versicherugsgesellschaft wird ihm jedoch eie Auszahlugssumme vo ageküdigt. Wie hoch ist der Zissatz? Zur Berechug mit dem HP-Tascherecher wird das Programm ZINSS verwedet. Zuerst muss der Edfaktor k = /R berechet werde, der agibt, auf welches Vielfache eier Rate das Edkapital agewachse ist: k = / 600 = 125. Dies bedeutet, dass der Versicherugsehmer ach Eizahlug vo = 35 Rate am Ede der Laufzeit de Wert vo 125 Rate zurückbekommt. Das Verhältis der ausgezahlte zur eigezahlte Summe beträgt 125/35 = 3,57. Die Zahle 125 ud 35 werde i de Stack gestellt ud das Programm ZINSS gestartet. Da eie direkte Berechug (wege der icht elemetar lösbare Gleichuge) icht möglich ist, berechet das Programm das Ergebis durch Iteratio, also durch Probiere, bis die Abweichug kleier als 0, ist. Das beötigt etwas Zeit. Da gibt der Recher das Ergebis aus (siehe Bild 12). Der Zissatz ist auf 4 ommastelle gerudet, der geaue Wert steht i der Variable j im aktuelle Verzeichis zur Verfügug (Bild 13). Bild 12: ZINSS, Ergebisausgabe Bild 13: ZINSS, Ergebisse im Stack Die Ihalte der Variable it = 28 (Iteratioe), k = 125 (Edfaktor), = 35 (Azahl der Rate), q = 1, ud j = 0, (etspricht Zissatz wurde i de Stack geholt, damit sie im Bild 13 gezeigt werde köe. Mit LOE köe die Variable gelöscht werde. Zur Nachprüfug diet das Programm NVR (vorschüssige Rate). (i =) 0, ud ( =) 35 wird i de Stack gestellt. Ergebis: k = 125 (wie erwartet, siehe Bild 14).

28 28 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe Bild 14: NVR, Ausgabewert Bild 15: Barwertfaktor BWFA Nu och der Barwert der Eizahluge: I de Stack wird eigegebe: (j =) 0, ud ( =) 35. Nach Aufruf des Programms BWFA erhält ma de Barwertfaktor bwf = 14,07687 (Bild 15). Dieser muss für user Beispiel och mit q = (1 + = 1, multipliziert werde, weil es sich bei de Rate der Lebesversicherug um vorschüssige Zahluge hadelte: bwf' = 14, , = 14, Daraus ergibt sich der Barwert Bw = 14, = 8974,33. Wäre diese Summe zu Vertragsbegi als Gesamtbetrag eibezahlt worde, so hätte sie sich i 35 Jahre mit dem Zissatz vo 6,25% auf erhöht. Probe mit Aufzisugsfaktor (Formel 4): 8974,33 1, = 75000, Zissatz mit dem Fiazlöser Nu soll der Zissatz für das uter 5.1 gezeigte Beispiel auch mit dem Fiazlöser ermittelt werde. Die Maske "TIME VALUE OF MONEY" wird, wie im Bild 16 gezeigt (bitte auf die Vorzeiche achte!), ausgefüllt ud für I%YR wird der Wert 0 eigegebe. Da wird die Berechug für das markierte Feld I%YR mit SOLVE gestartet. Als Lösug steht dort da der Wert I%YR: 6, Nach Verlasse der Maske mit CANCEL zeigt der Bildschirm im Stack das geaue Ergebis (siehe Bild 17): 6, Bild 16: Maske TVM Ermittlug des Zissatzes Bild 17: Zissatz im Stack Der Fiazlöser kommt also zu derselbe Lösug wie das Programm ZINSS.

29 29 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe 5.3 Vorzeiche beim Fiazlöser Zu beachte sid bei der Zissatzberechug die Vorzeiche i de Felder PMT ud FV. We ma für beide Felder das gleiche Vorzeiche agibt, meldet der Fiazlöser Error: No Solutio. Die Berechug des Zissatzes fuktioiert ur mit gegesätzliche Vorzeiche: PMT = -600 ud FV = oder auch mit PMT = 600 ud FV = Die Vorzeichefestlegug des Fiazlösers ist auf die Cash-Flow-Diagramme zurückzuführe, die die Barwerte meist egativ (als Darlehe) ud die Zahluge als zurückfließede Beträge (aus der Sicht des Darlehesgebers) positiv bewerte. Aus der Sicht des Schulders kehre sich die Vorzeiche um. Beide Sichte ka ma mit dem Fiazlöser darstelle. 6 Zusammefassug Wir habe die Fiazfuktioe der HP-Tascherecher verwedet. Beim Aweder wird die etis der Grudlage fiazmathematischer Berechuge vorausgesetzt. I der Praxis werde solche Berechuge trotz der gute Fiazfuktioe der Computer ud Tascherecher oft fehlerhaft durchgeführt, weil die Aweder icht damit umgehe köe oder etsprechede Beschreibuge fehle. Deshalb wurde i diesem Beitrag die fiazmathematische Grudlage sehr ausführlich behadelt. Es wurde jedoch ur die wichtigste Grudbegriffe der Fiazmathematik gezeigt ud viele spezielle Besoderheite ausgespart. Der Leser möge bei Bedarf die fiazmathematische Fachbücher zu Rate ziehe.

30 30 Otto Praxl: Grudlage der Fiazmathematik, 2. Ausgabe 7 Ahag 7.1 Literatur [1] Prof. Dr. Marcel Nicolas, Fiazmathematik, Zweite Auflage, Sammlug Gösche, Bad 1183/1183a, Verlag Walther de Gruyter & Co, Berli, Das Buch verwedet och die obe beschriebee Tabelle, weil im Jahr 1967 Tascherecher mit de ötige Potezfuktioe och icht verfügbar ware. [2] Otto Praxl, Wisseschaftliche HP-Tascherecher im praktische Eisatz, GRIN-Verlag, ISBN , 2. Ausgabe, Das Buch ethält eie ausführliche Eiführug i die professioelle Awedug dieser wisseschaftliche Tascherecher. 7.2 Formelverzeichis Formel 1: Zisformel für eifache Zis... 8 Formel 2: Edwert bei eifachem Zis... 8 Formel 3: Tageweise Zise... 8 Formel 4: Edkapital bei Ziseszise Formel 5: Abzisugsformel Formel 6: Abzisugsfaktor Formel 7: Berechug der Laufzeit Formel 8: Berechug des Zissatzes Formel 9: Uterjährige Ziszahlug Formel 10: Aufzisugsfaktor q m für =1 ud m Zisperiode pro Jahr Formel 11: Effektiver Jahreszissatz Formel 12: otiuierliche Verzisug Formel 13: Grezwert e Formel 14: Biomische Reihe für de Wert e Formel 15: Augeblicksverzisug Formel 16: apitaledwert bei vorschüssiger Ratezahlug Formel 17: Edwert (achschüssig) Formel 18: Barwertfaktor (achschüssig) Formel 19: Barwertfaktor (vorschüssig) Formel 20: Barwert (achschüssig) Formel 21: Barwert (vorschüssig) Formel 22: Auszahlug i Rate Formel 23: Zisbetrag (achschüssig) Formel 24: Zisbetrag (vorschüssig) Formel 25: Auität A ud Auitätsfaktor a Bilderverzeichis Bild 1: Maske TVM, PMT markiert Bild 2: Maske TVM, PMT berechet Bild 3: Maske AMORTIZE (leer) Bild 4: Maske AMORTIZE (mit Ergebisse) Bild 5: Maske AMORTIZE (mit Ergebisse)... 23