FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 59

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1 Fiazmathematik 59 FINANZMATHEMATIK. Zise ud Ziseszise Die Zise als Preis für die Zurverfügugstellug vo Geld bilde das zetrale Elemet i der Fiazmathematik. Hierbei sid verschiedee Arte der Verzisug zu uterscheide. Eiteilug der Verzisug ach der Kaitalisierug: Bei de eifache Zise bleibt die Berechugsbasis für die Zise währed der gesamte Verzisugsdauer uverädert (lieares Wachstum). Bei de Ziseszise erhöht sich die Berechugsbasis für die Zise jeweils um die i der vora gegagee Periode gutgeschriebee Zise (exoetielles Wachstum). Eiteilug der Verzisug ach dem Zeitukt der Fälligkeit: Bei der dekursive Verzisug sid die Zise am Ede der Verzisugseriode fällig. Bei der atiziative Verzisug sid die Zise am Begi der Verzisugseriode fällig. Eiteilug der Verzisug ach der Dauer der Verzisugseriode: Bei der gazjährige Verzisug dauert die Verzisugseriode ei Jahr. Bei der uterjährige Verzisug dauert die Verzisugseriode kürzer als ei Jahr, d. h. ei Jahr umfasst mehrere Verzisugseriode. Da die atiziative Verzisug i der Praxis eher selte vorkommt, wolle wir us i de Beisiele ud Aufgabe auf die Behadlug der dekursive Verzisug beschräke. Weiters soll we icht aders agegebe davo ausgegage werde, dass die jeweilige Eizahluge zu Jahresbegi erfolge. Beisiel: Ei Betrag vo 00, wird zu 3 %. a. ) d. h. mit eifacher Verzisug agelegt. Ma gebe eie Zahlefolge für das Guthabe ach eiem, zwei, drei,..., zwölf Moate a. Die Verzisugseriode beträgt ei Jahr. Da es sich um eifache Zise hadelt, also um ei lieares Wachstum, ka dieses durch eie arithmetische Folge beschriebe werde. Für 00, betrage die Zise für das gaze Jahr 3 % vo 00, = 3, bzw. für eie Moat 2 vo 3, = 0,25. Das Guthabe ach eiem Moat beträgt daher 00,25, ach zwei Moate 00,50, ach drei Moate 00,75,..., ach zwölf Moate 03,. Für das Guthabe ach eiem, zwei, drei,..., zwölf Moate köe wir daher die Zahlefolge 00,25, 00,50, 00,75, 0, 0,25, 0,50, 0,75, 02, 02,25, 02,50, 02,75, 03 agebe. ) ro ao (lat.) = für ei Jahr. Historische Bemerkuge zu Zise: Bereits i der Atike ware Zise als Preis für die Leihe vo Geld oder Naturalie bekat. Allerdigs wurde die Erlaubis, Zise zu ehme, immer wieder durch Zisverbote beschräkt. Das aus dem Gebot der christliche Bruderliebe abgeleitete kaoische Zisverbot führte dazu, dass im Mittelalter Darlehe, für die Zise zu zahle sid, als Wucherdarlehe agesehe wurde. Vor diesem Hitergrud wurde die atiziative Verzisug etwickelt, bei der die Zise bereits im Voraus vom Kreditbetrag abgezoge werde. Der Kreditehmer erhält gleich de um die Zise verrigerte Betrag ausbezahlt, ud zahlt da bei Fälligkeit de volle Kreditbetrag a de Kreditgeber. Da bei dieser Methode keie umittelbare Zahlug vo Zise vom Kreditehmer a de Kreditgeber erfolgt, hat ma auf diese Weise das früher geltede Zisverbot umgage.

2 60 Fiazmathematik Eifache Zise: K = K Wir wolle die im vorige Beisiel agestellte Überleguge verallgemeier: Für ei Afagskaital K 0 betrage die Zise für das gaze Jahr K0 00 bzw. für eie Moat K Das Guthabe ach eiem Moat beträgt daher K0 + K0 = K ( ). Das Guthabe ach zwei Moate beträgt da K0 + K0 2 = K ( ), ach drei Moate K0 + K0 3 = K ( ), usw. Setzt ma für die Zeitdauer i Jahre (hier demach als Bruchteil eies Jahres) ei, so erhält ma für ei Edkaital K = K0 ( + 00 ). Beisiel: Ei Betrag vo 500, wird zu 2 %. a. Zise 3 Jahre agelegt. Ma gebe eie Zahlefolge für das Guthabe ach eiem, zwei, drei Jahre a. Die Verzisugseriode beträgt ei Jahr, die Alagedauer 3 Jahre. Wir reche mit Ziseszise, d. h. es liegt ei exoetielles Wachstum vor, das durch eie geometrische Folge beschriebe werde ka. Die Berechugsbasis für die Zise im erste Jahr ist 500,. Die Zise für das erste Jahr sid somit 2 % vo 500, = 0,. Das Guthabe am Ede des erste Jahres beträgt daher 50,. Die Berechugsbasis für die Zise im zweite Jahr ist 50,. Die Zise für das zweite Jahr sid somit 2 % vo 50, = 0,20. Das Guthabe am Ede des zweite Jahres beträgt daher 520,20. Die Berechugsbasis für die Zise im dritte Jahr ist 520,20. Die Zise für das dritte Jahr sid somit 2 % vo 520,20 = 0,40. Das Guthabe am Ede des dritte Jahres beträgt daher 530,60. Für das Guthabe ach eiem, zwei, drei Jahre köe wir daher die Zahlefolge 50, 520,20, 530,60 agebe. Ziseszise: K = K Wir wolle auch die Überleguge des zuletzt gezeigte Beisiels verallgemeier: Für ei Afagskaital K 0 betrage die Zise ( %. a.) für das erste Jahr K0 00 Das Guthabe am Ede des erste Jahres beträgt daher K0 + K0 = K 00 0 ( + 00). Das Guthabe am Ede des zweite Jahres beträgt da [ K0 ( + 00) ] + 2 ( 00) bzw. K0 ( + 00). Das Guthabe am Ede des dritte Jahres beträgt da 2 K0 ( + 00) + 3 ( 00) bzw. K0 ( + 00). Das Guthabe am Ede des -te Jahres beträgt da K = K ( + ) 0. 00

3 Fiazmathematik 6 Die folgede Tabelle gibt eie Übersicht über die Zusammehäge zwische Afagskaital K 0 ud Edkaital K ach Jahre bei eier Verzisug vo %. a.: dekursive Verzisug ( ) eifache Zise K = K Ziseszise K = K I der Praxis kommt es oft vor, dass die Veralagugsdauer icht eier volle Azahl a Verzisugseriode etsricht. I diesem Fall rechet ma für volle Verzisugseriode Ziseszise ud für de verbleibede Teil eifache Zise. Wird also z. B. ei Kaital bei gazjähriger Verzisug 4 Jahre ud 9 Moate lag agelegt, rechet ma für 4 Jahre Ziseszise ud für 0,75 Jahre eifache Zise. Diese Berechugsart wird gemischte Verzisug geat. Ziserträge gehöre i Österreich zu de steuerflichtige Eiküfte. Vo alle Zisgutschrifte müsse die Bake 25 % a Kaitalertragsteuer (KESt) eibehalte ud a das Fiazamt abliefer. Bei eier Verzisug vo 2 % verbleibe dem Sarer ur 3 4 vo 2%=,5 %, die restliche 0,5 % etfalle auf die KESt. Eier Bruttoverzisug vo 2 % etsricht also eie Nettoverzisug vo,5 %. Aus Vereifachugsgrüde wolle wir bei de Beisiele ud Aufgabe auf die Berücksichtigug der KESt verzichte. Beisiel: Zu Begi eies Jahres werde 600, auf ei mit 3,5 %. a. verzistes Sarbuch gelegt. Wie hoch ist das Guthabe ach a) 5 Moate b) 3 Jahre c) 55 Moate? a) Da die Alagedauer weiger als ei Jahr ist, werde eifache Zise berechet. Wir setze für K 0 = 600, für = 3,5 ud für = 5 2 ei: K = 600 ( + 3, )= 608,75 b) Da die Alagedauer mehrere Jahre beträgt, werde Ziseszise berechet. Wir setze für K 0 = 600, für = 3,5 ud für = 3 ei: = K = , ,23 c) Die Alagedauer beträgt 4 Jahre ud 7 Moate. Es werde daher zuächst für 4 Jahre Ziseszise ud da für die restliche 7 Moate eifache Zise berechet: K = 600 ( 3,5 4 + ) ( 3, )= ,57 4 Jahre 7 Moate Eifache Zise: K= K Ziseszise: K= K Gemischte Verzisug: ( + ) v K= K r v... Azahl der volle Verzisugseriode r... restliche Zeit als Teil der volle Verzisugseriode Bei de bisher gezeigte Beisiele war jeweils das Edkaital zu bereche. Ist dieses gegebe ud das Afagskaital oder der Zissatz oder die Alagedauer zu bestimme, so ist die jeweilige Formel etsreched umzuforme. Grudsätzlich reicht meist die Formel für die Berechug des Edkaitals, ur bedarf es bei mache Fragestelluge eier Umformug dieser Gleichug. Bei mache Umformuge sid Ketisse der bisher gezeigte Rechegesetze für Poteze ud Logarithme ötig.

4 62 Fiazmathematik Allgemeie Berechug des Afagskaitals: K= K0 ( + 00 ) K K0 = ( + 00 ) Bei eifache Zise bzw. bei gemischter Verzisug erfolgt die Umformug der betreffede Formel aalog. Beisiel: Welche Betrag muss ma zu 3 %. a. alege, um ach 4 Jahre über ei Guthabe vo 200, verfüge zu köe? Es ist K 0 mit Hilfe der Ziseszis-Formel zu bereche, we K = 200, = 3 ud = 4 gegebe sid. = = = K + K ,8 + 3 ( 00 ) Beisiel: Mit wie viel Prozet. a. wird ei Koto verzist, we ei Afagskaital vo 800, i 5 Jahre auf 96,68 awächst? Allgemeie Berechug des Zissatzes bei gazjähriger Kaitalisierug: + = K = + K K = 00 K0 K = 00 K0 K K0 Es ist mit Hilfe der Ziseszis-Formel zu bereche, we K = 96,68, K 0 = 800 ud = 5 gegebe sid. = ( + ) 96,68 = , ,68 = ,68 = = ,68 = 3, = 3,75 %. a. Beisiel: Mit wie viel Prozet. a. wird ei Koto verzist, we ei Afagskaital vo 000, i 4 Moate auf 029,27 awächst? Das ebestehede Beisiel für die Berechug des Zissatzes bei gemischter Verzisug führt auf eie quadratische Gleichug, für dere exakte Lösug wir bereits etsrechede Formel kee gelert habe. Oftmals führt die Frage ach dem Zissatz auf eie Gleichug höhere Grades, für dere Lösug es mehr oder weiger komlizierte Näherugsverfahre gibt. Modere Hilfsmittel erlaube es, auch bei solche Fragestelluge ohe große Aufwad die Lösug zu bestimme, weshalb wir auf die Darstellug vo Näherugsverfahre hier verzichte. Eie Alagedauer vo 4 Moate bedeutet bei gazjähriger Kaitalisierug eie volle Verzisugseriode ud eie restliche Zeit vo 2 Moate. Es ist mit Hilfe der Formel für gemischte Verzisug zu bereche, we K = 029,27, K 0 = 000, v = ud r = 2 gegebe sid ,27 = ( + 00) ( ) Durch Umformug erhalte wir , = 0 bzw ,2 = 0 ud löse diese quadratische Gleichug mit Hilfe der bekate Formel: 2, = 350 ± ,2 =K Wir erhalte die Lösuge = 2,49993 ud 2 = 702, Es ist ur die ositive Lösug brauchbar. Auf Grud der Rudug vo Geldbeträge ka ma de Zissatz daher mit 2,5 %. a. agebe.

5 Fiazmathematik 63 Beisiel: Wie lage dauert es, bis ei Afagskaital vo 200, bei eier Verzisug vo 3 %. a. auf 350,6 awächst? Es ist mit Hilfe der Ziseszis-Formel zu bereche, we K = 350,6, K 0 = 200 ud = 3 gegebe sid. 350, = ( + 00) 350,6= 200,03 Logarithmiere l350,6= l200 + l,03 l350,6 l200 = l,03 l 350,6 l 200 = = 3,99999 l,03 Auf Grud der Rudug vo Geldbeträge köe wir die Alagedauer mit 4 Jahre agebe. Allgemeie Berechug der Alagedauer bei gazjähriger Kaitalisierug: K = K 0 ( + 00 ) lk = lk0 + l + 00 lk lk0 = l ( + 00 ) lk lk0 = l ( + 00 ) Ma beachte: Die Berechug der Alagedauer führt auf eie Exoetialgleichug, die durch Logarithmiere zu löse ist. Beisiel: Wie lage dauert es, bis ei Afagskaital vo 500, bei eier Verzisug vo 2 %. a. auf 568,40 awächst? () Es ist mit Hilfe der Ziseszis-Formel zu bereche, we K = 568,40, K 0 = 500 ud = 2 gegebe sid. Durch Umformug vo 568,40 = ( + 00) erhält ma: l 568,40 l 500 = = 2,2577 l,02 (2) Im Gegesatz zum vorige Beisiel habe wir hier gaz offesichtlich keie gazjährige Alagedauer, soder eie Alagedauer vo 2 Jahre ud eier restliche Zeit. Wir müsse daher für die volle Verzisugseriode Ziseszise ud für die restliche Zeit eifache Zise berücksichtige ud bereche daher zuächst, auf welche Betrag das Afagskaital i 2 Jahre awächst: ( + 560,60 00) = (3) Dieser Wert steht am Ede des 2. Jahres zur Verfügug. Nu ist mit Hilfe der Formel für eifache Zise zu bereche, we K = 568,40, K 0 = 560,60 ud = 2 gegebe sid. Durch Umformug vo 568,40 = 560,60 2 ( + 00 ) erhält ma: ,40 = 2 ( 560,60 )= 0, , Jahre etsreche 90 Tage, also 3 Moate. Die gesamte Alagedauer beträgt daher 2 Jahre ud 3 Moate. Bemerkug: Bake reche bei Sarguthabe üblicherweise das Jahr mit 360 Tage ud jede Moat eiheitlich mit 30 Tage. Berechug der icht-gazjährige Alagedauer (gemischte Verzisug): () Berechug der Azahl der volle Verzisugseriode mit Hilfe der umgeformte Ziseszis-Formel (2) Berechug des Guthabes am Ede der letzte volle Verzisugseriode (3) Berechug der Alagedauer bei eifache Zise Allgemeie Berechug der Alagedauer bei eifache Zise: K = K0 ( + 00 ) K = + K 00 0 K = K K = K 0

6 64 Fiazmathematik Bei mehrere zu verschiedee Zeitukte zahlbare Beträge emfiehlt sich die Darstellug ahad eier Zeitliie. Aufzise: K = K Beisiel: Jemad eröffet zu Jahresbegi ei mit 3 %. a. verzistes Sarbuch mit eier Ersteilage vo 300,. Zwei Jahre säter werde 250, ud weitere drei Jahre säter 50, auf dieses Sarbuch eigezahlt. Wie hoch ist der Guthabestad 8 Jahre ach Eröffug des Sarbuchs? Wir stelle de Sachverhalt ahad eier Zeitliie dar: Jahre aufzise 6 Jahre aufzise 8 Jahre aufzise K = 300, , ,03 3 = 842,45 Vergleich zweier Agebote: Um zu verschiedee Zeitukte fällige Zahluge vergleichbar zu mache, sid sie auf de selbe Zeitukt zu beziehe, d. h. etsreched auf- oder abzuzise. Beisiel: Für ei Grudstück liege vo zwei Iteressete Kaufagebote vor. Iteresset A bietet a, 0 000, sofort ud , ach zwei Jahre zu zahle. Iteresset B bietet , sofort ud je 0 000, ach eiem ud ach zwei Jahre. a) Welches Agebot ist güstiger, we dem Vergleich eie Verzisug vo 4 %. a. zugrude gelegt wird. b) Welches Agebot ist güstiger, we dem Vergleich eie Verzisug vo 6 %. a. zugrude gelegt wird. c) Bei welchem Jahreszissatz wäre beide Agebote gleichwertig? Wir bereche de heutige Wert der eizele Zahluge ud stelle für beide Agebote eie Zeitliie auf: Abzise: K 0 = K + 00 Agebot vo A Jahre abzise Agebot vo B Jahr abzise 2 Jahre abzise Welches Agebot güstiger ist, ka auch vo dem zugrude gelegte Zissatz abhäge a) K A = = ,75, K B = = 8 860,95,04,04 2 Bei 4 %. a. ist Agebot A güstiger b) K A = = 6 799,57, KB = = 8 333,93,06,06 2 Bei 6 %. a. ist Agebot B güstiger.

7 Fiazmathematik 65 c) Wir setze r = + 00 ud K A = K B : = r r r Durch Umformug erhalte wir 9r 2 +r = r,2 = ± + 8 = K Wir erhalte die Lösuge r =,0538 ud r 2 =,6249. Es ist ur die ositive Lösug brauchbar. Aus r = + 00 ermittel wir de gesuchte Zissatz mit 5,38 %. Das ebestehede Beisiel für die Berechug des Zissatzes, bei dem beide Agebote gleichwertig sid, führt auf eie quadratische Gleichug. Allerdigs köe auch derartige Fragestelluge auf eie Gleichug höhere Grades führe. AUFGABEN Bei de folgede Aufgabe ist stets dekursive Verzisug azuehme ud we icht aders agegebe davo auszugehe, dass die jeweilige Eizahluge zu Jahresbegi erfolge: , werde auf ei mit 2,5 %. a. verzistes Sarbuch gelegt. Wie hoch ist das Guthabe ach a) 7 Moate b) 2 Jahre c) 38 Moate? 268. Ma bereche, auf welche Wert a) ei Afagskaital vo 2 700, bei 2,75 %. a. i 3 Jahre b) ei Afagskaital vo 3 800, bei 3,25 %. a. i 5 Jahre awächst Welche Betrag muss ma zu 2 %. a. alege, um ach 2 Jahre über a) 300, b) 800, verfüge zu köe? 270. Welche Betrag muss ma zu 2,25 %. a. alege, um ach a) Moate b) 3 Jahre c) 40 Moate über ei Guthabe vo 500, verfüge zu köe? 27. Welches Afagskaital ist erforderlich, um a) bei eier Verzisug vo 3 %. a. i 3 Jahre eie Betrag vo 803, ud b) bei eier Verzisug vo 4 %. a. i 7 Jahre eie Betrag vo 2 900, azusare? 272. Mit wie viel Prozet. a. wird ei Koto verzist, we ei Afagskaital vo 250, i 3 Jahre auf a) 326,5 b) 346, awächst? 273. Mit wie viel Prozet. a. wird ei Koto verzist, we ei Afagskaital vo 200, i a) 8 Jahre b) 0 Jahre auf 462, awächst? 274. Mit wie viel Prozet. a. wird ei Koto verzist, we ei Afagskaital vo 600, i 9 Moate auf a) 638,2 b) 65,04 awächst? 275. Ma bereche, mit wie viel Prozet. a. ei Sarbuch verzist wird, we a) ei Afagskaital vo 2 800, i 6 Jahre auf 3 492,0 b) ei Afagskaital vo 5 000, i 8 Jahre auf 6 842,85 awächst Zu wie viel Prozet. a. müsste ma sei Geld alege, damit sich dieses i a) 8 Jahre b) 23 Jahre verdoelt? 277. Wie lage dauert es, bis ei Afagskaital vo 800, bei 2,5 %. a. auf a) 883,05 b) 950,95 awächst? 278. Wie lage dauert es, bis ei Afagskaital vo 000, bei 2 %. a. auf a) 040,40 b) 050,80 awächst?

8 66 Fiazmathematik 279. Wie lage dauert es, damit a) ei Afagskaital vo 4 720, bei eier Verzisug vo 3,5 %. a. auf 5 46,30 b) ei Afagskaital vo 600, bei eier Verzisug vo 4 %. a. auf 960,62 awächst? 280. Wie lage dauert es, bis sich ei zu a) 3,5 %. a. b) 4 %. a. agelegtes Kaital verdoelt? 28. Jemad eröffet zu Jahresbegi ei mit 2,75 %. a. verzistes Sarbuch mit eier Ersteilage vo 720,. 2 Jahre säter werde 800, ud weitere 4 Jahre säter 500, auf dieses Sarbuch eigezahlt. Wie hoch ist der Guthabestad 9 Jahre ach Eröffug des Sarbuchs? 282. Für ei Grudstück liege vo zwei Iteressete Kaufagebote vor. Iteresset A bietet a, , sofort ud , i 7 Jahre zu zahle. Iteresset B bietet eie i 4 Jahre fällige Zahlug vo , a. Welches Agebot ist güstiger, we dem Vergleich eie Verzisug vo a) 2,5 %. a. b) 3,5 %. a. zugrude gelegt wird? 283. Eie Schuld vo ,, die mit 6 %. a. verzist wird, ist durch drei Rate, die ach 3, 5 ud 7 Jahre fällig sid, zu tilge. Die erste Rate beträgt ,, die zweite ,. Wie hoch ist die dritte Rate? 284. Zu welchem Jahreszissatz sid folgede Agebote für eie Gebrauchtwage gleichwertig? A: 600, sofort, 2 520, ach eiem Jahr, 480, ach zwei Jahre B: 000, sofort, 300, ach eiem Jahr, 2 370, ach zwei Jahre Bemerkug: Diese Aufgabe führt auf eie quadratische Gleichug. Es ist zu begrüde, warum eie der beide Lösuge zwar theoretisch möglich, i der Praxis jedoch urealistisch ist Bei eier Bak war ei bestimmter Betrag zu 6,75 %. a. agelegt. Bei dieser Verzisug wäre er i 5 Jahre auf , agewachse. Nach 9 Jahre wurde aber der Zissatz herabgesetzt. Um deoch i der vorgesehee Zeit de volle Edwert zu erreiche, wurde zum Zeitukt der Zissatzäderug ei Betrag vo 5 636,65 zur Eizahlug gebracht. Ma bereche a) die Höhe des Afagkaitals b) mit welchem Jahreszissatz ab dem Begi des 0. Jahres gerechet wird. Die Aufgabe 286. bis 288. führe auf Gleichuge höhere Grades, die mit Hilfe eies grafikfähige Tascherechers zu löse sid ) : 286. Jemad eröffet zu Jahresbegi ei Sarbuch mit eier Ersteilage vo 300,. Ei Jahr säter werde 250, ud weitere zwei Jahre säter 50, auf dieses Sarbuch eigezahlt. Mit wie viel Prozet. a. wird dieses Sarbuch verzist, we das Guthabe 8 Jahre ach Eröffug dieses Sarbuchs 86,40 beträgt? 267. Jemad eröffet zu Jahresbegi ei Sarbuch mit eier Eilage vo 000,. Mit wie viel Prozet. a. wird dieses Sarbuch verzist, we das Guthabe ach a) 26 Moate 043,90 b) 33 Moate 063,0 beträgt? 288. Für ei Grudstück liege vo 2 Iteressete Kaufagebote vor. Iteresset A bietet a, , sofort ud , ach 3 Jahre zu zahle. Iteresset B bietet a, jeweils , sofort ud ach 5 Jahre zu zahle. Bei welcher Verzisug i Prozet. a. wäre beide Agebote gleichwertig? ) Im Abschitt Der grafikfähige Tascherecher Voyage 200 fide sich Beisiele zur Lösug derartiger Gleichuge.

9 Fiazmathematik Uterjährige Verzisug Bei uterjähriger Verzisug (m Verzisugseriode ro Jahr) ist i de bisher verwedete Formel statt (Azahl der Jahre) jeweils der Wert m (Azahl der Verzisugseriode i Jahre) eizusetze. Beisiel: 500, ware 7 Jahre lag zu eiem Jahreszissatz 6 % agelegt. Wie hoch ist das Guthabe, we die Kaitalisierug a) gazjährig b) halbjährlich c) vierteljährlich erfolgt ist? a) Wir bereche Ziseszise für K 0 = 500, für = 6 ud für = 7: K = 500 ( + 500,06 00) = =75, 82 b) Bei eiem Jahreszissatz vo 6 % ud halbjährlicher Kaitalisierug habe wir ro Jahr 2 Verzisugseriode zu 3 % Zise: K = ( + 500,03 00) = = 756,29 c) Bei eiem Jahreszissatz vo 6 % ud vierteljährlicher Kaitalisierug habe wir ro Jahr 4 Verzisugseriode zu,5 % Zise: = =, K 7 = , , 6 Gazjährige Kaitalisierug: K= K0 ( + 00 ) Uterjährige Kaitalisierug: = m m K= K0 + mit 00 m m... Azahl der Verzisugseriode im Jahr m... uterjähriger Zissatz m Beisiel: 600, ware 4 Jahre ud 9 Moate zu eiem Jahreszissatz vo 4 % agelegt. Wie hoch ist das Guthabe, we die Kaitalisierug a) gazjährig b) halbjährlich c) vierteljährlich erfolgt ist? a) Es werde für 4 Jahre Ziseszise ud für 9 Moate eifache Zise berechet: K = 600 ( ) ( )= 722,97 b) Bei eiem Jahreszissatz vo 4 % ud halbjährlicher Kaitalisierug habe wir ro Jahr 2 Verzisugseriode zu 2 % Zise. Bei eier Alagedauer vo 4 Jahre ud 9 Moate sid das 9 volle Verzisugseriode, für die Ziseszise berechet werde, ud weitere 3 Moate, für die eifache Zise berechet werde: K = 600 ( ) ( )= 724,23 c) Bei eiem Jahreszissatz vo 4 % ud vierteljährlicher Kaitalisierug habe wir ro Jahr 4 Verzisugseriode zu % Zise. Bei eier Alagedauer vo 4 Jahre ud 9 Moate sid das 9 volle Verzisugseriode, für die Ziseszise berechet werde: = K = ,87 Gemischte Verzisug: v K= K0 ( + 00 ) + 00 r v... Azahl der volle Verzisugseriode r... restliche Zeit als Teil der volle Verzisugseriode Bei uterjähriger Kaitalisierug ist die Formel für die gemischte Verzisug zu verwede, we die Alagedauer kei gazzahliges Vielfaches eier Verzisugseriode umfasst.

10 68 Fiazmathematik Wir erkee: Der Edbetrag ist bei gleichem Jahreszissatz umso höher, je kürzer die Verzisugseriode ist. Es stellt sich daher die Frage, wie hoch ei Halbjahres-, Quartals- oder Moatszissatz sei muss, um gegeüber eiem gegebee Jahreszissatz zu eiem gleich hohe Edbetrag zu führe. Wir wolle diese Zissatz als äquivalete Zissatz bezeiche. Beisiel: Wie hoch ist der zu eiem Zissatz 4 %. a. äquivalete a) Halbjahreszissatz b) Quartalszissatz c) Moatszissatz? Allgemei gilt für eie Jahreszissatz ud eie uterjährige Zissatz m (bei m Verzisugseriode ro Jahr): m m + = m = 00 m + 00 Die Berechug des äquivalete Zissatzes diet icht ur dem Vergleich vo gaz- ud uterjähriger Verzisug. Sie wird us i der Reterechug immer da begege, we die Rete- ud die Verzisugseriode icht übereistimme. a) Gesucht ist ei Zissatz, bei dem i zwei Verzisugseriode der gleich hohe Edwert etsteht wie bei eiem Zissatz vo 4 % i eier Verzisugseriode: = =,98 %. s. ) b) Gesucht ist ei Zissatz, bei dem i 4 Verzisugseriode der gleich hohe Edwert etsteht wie bei eiem Zissatz vo 4 % i eier Verzisugseriode: = = 0,98534 %. q. 2) c) Gesucht ist ei Zissatz, bei dem i 2 Verzisugseriode der gleich hohe Edwert etsteht wie bei eiem Zissatz vo 4 % i eier Verzisugseriode: = = 0,32737 %. m. 3) Beisiel: Welche Betrag muss ma zu 0,75 %. s. alege, um ach 2,5 Jahre über 600, verfüge zu köe? Auch bei uterjähriger Verzisug ist die Formel für die Berechug des Edkaitals umzuforme, we das Edkaital gegebe ud etweder das Afagskaital oder der Zissatz oder die Alagedauer zu bestimme ist. Es ist K 0 mit Hilfe der Ziseszis-Formel zu bereche, we K, m, m ud gegebe sid: 0,75 2 2,5 600 = K = K0,0075 K = = 578, ) ro semestro = für ei Halbjahr. 2 ) ro quartalo = für ei Vierteljahr (Quartal). 3 ) ro mese = für eie Moat.

11 Fiazmathematik 69 Beisiel: Ei Kaital vo ,, das zuerst mit 0,25 %. m. ud da mit,25 %. s. verzist wurde, wuchs i 7 Jahre auf 24 45,9 a. Nach welcher Zeitdauer fad die Zissatzäderug statt? We wir die Zeitdauer (i Jahre) bis zur Zissatzäderug mit x bezeiche, erhalte wir folgede Asatz: ,0025 2x,025 2 (7 x) = 24 45,9 Diese Exoetialgleichug löse wir durch Logarithmiere: l x l, (4 2x) l,025 = l 24 45,9 Nach x aufgelöst ergibt sich x = l 2445,9 l l,025 4, l, l,025 = Daher ka ma die Zeitdauer bis zur Zissatzäderug mit 5 Jahre agebe. AUFGABEN , werde zu eiem Jahreszissatz vo 6 % agelegt. Wie hoch ist das Guthabe ach 8 Jahre, we die Kaitalisierug a) gazjährig b) halbjährlich c) vierteljährlich erfolgt? , werde zu eiem Jahreszissatz vo 4 % agelegt. Wie hoch ist das Guthabe ach 28 Moate, we die Kaitalisierug a) gazjährig b) halbjährlich c) vierteljährlich erfolgt? Aleitug: Ma beachte bei de uterschiedliche Kaitalisieruge, wie viele Moate jeweils volle Verzisugseriode bilde. 29. Wie hoch ist der zu eiem Zissatz 3,5 %. a. äquivalete a) Halbjahreszissatz b) Quartalszissatz c) Moatszissatz? 292. Welche Betrag muss ma zu eiem Jahreszissatz vo 4 % alege, um bei a) gazjähriger b) halbjährlicher c) vierteljährlicher Kaitalisierug ach 5 Jahre über ei Guthabe vo 2 000, verfüge zu köe? 293. Welche Betrag muss ma zu eiem Jahreszissatz vo 3 % alege, um bei a) gazjähriger b) halbjährlicher c) vierteljährlicher Kaitalisierug ach 34 Moate über ei Guthabe vo 2 400, verfüge zu köe? Aleitug: Ma beachte bei de uterschiedliche Kaitalisieruge, wie viele Moate jeweils volle Verzisugseriode bilde Eie Schuld vo , ist durch 4 gleich hohe Zahluge, vo dee die erste sofort, die zweite ach 4 Moate, die dritte ach 3,25 Jahre ud die vierte ach 23 Quartale fällig ist, zu begleiche. Wie groß ist eie Zahlug, we währed der gesamte Laufzeit eie Verzisug vo 0,75 %. m. erfolgt? 295. Ei Kaital vo ,, das zuerst mit 4 %. s. ud da mit,5 %. q. verzist wurde, wuchs i 0 Jahre auf 742,77 a. Nach welcher Zeitdauer fad die Zissatzäderug statt? 296. Ei Kaital, das 6 Jahre zu 2,5 %. s. agelegt war ud da durch eie Eilage vo 2 000, aufgestockt wurde, brachte ach weitere 4,5 Jahre eie Edwert vo ,93, wobei die Verzisug alässlich der Kaitalaufstockug auf 2,75 %. s. erhöht wurde. Wie groß war das Kaital ursrüglich?

12 70 Fiazmathematik 3. Regelmäßige Zahluge (Rete) Uter eier Rete versteht ma Zahluge, die i gleicher Höhe ud i gleiche Zeitabstäde erfolge. Der Zeitraum zwische zwei Zahluge heißt Reteeriode. Eiteilug der Rete ach dem Zahlugstermi: Bei vorschüssige Rete erfolge die Zahluge jeweils am Afag der Reteeriode. Bei achschüssige Rete erfolge die Zahluge jeweils am Ede der Reteeriode. Eiteilug der Rete ach dem Zahlugszweck: Bei eier Asarug erfolge Zahluge, um ach eier gewisse Zeit über eie Edwert zu verfüge. Bei eier Abzahlug erfolge Zahluge, um ach eier gewisse Zeit eie Barwert (z. B. Kreditbetrag) auszugleiche bzw. eie vorhadee Betrag zu verbrauche. Eiteilug der Rete ach der Dauer der Reteeriode: Bei gazjährige Rete erfolgt jährlich eie Zahlug. Bei uterjährige Rete erfolge jährlich mehrere Zahluge. Beisiel: Jemad zahlt 5 Jahre lag jeweils am Jahresede 500, auf ei mit 3,5 %. a. verzistes Sarbuch ei. Wie hoch ist der Edwert E am Ede des 5. Jahres? Wir stelle de Sachverhalt ahad eier Zeitliie dar: Für de Aufzisugsfaktor r gilt bei dekursiver gazjähriger Verzisug: r = Jahr aufzise 4 Jahre aufzise 3 Jahre aufzise 2 Jahre aufzise E = 500, , , , Allgemei ka ma für de Edwert E eier achschüssige Rete mit dem Retebetrag R, dem Aufzisugsfaktor r ud der Azahl der Retezahluge folgede Formel agebe: E R r = r E = 500 (, , , ,035 + ) Die i der Klammer stehede Summe ka mit Hilfe der Summeformel für geometrische Reihe berechet werde, wobei das Afagsglied b =, der Quotiet q =,035 ud die Azahl der Glieder = 5 ist. 5 E = 500,035 = 268,23,035

13 Fiazmathematik 7 Beisiel: Jemad zahlt 5 Jahre lag jeweils am Jahresafag 500, auf ei mit 3,5 %. a. verzistes Sarbuch ei. Wie hoch ist der Edwert E am Ede des 5. Jahres? Wir stelle de Sachverhalt ahad eier Zeitliie dar: Jahre aufzise Jahre aufzise 3 Jahre aufzise 2 Jahre aufzise E = 500, , , , ,035 E = 500,035 (, , , ,035 + ) Jahr aufzise Die i der Klammer stehede Summe wurde bereits im vorige Beisiel mit Hilfe der Summeformel für geometrische Reihe berechet. Allgemei ka ma für de Edwert E eier vorschüssige Rete mit dem Retebetrag R, dem Aufzisugsfaktor r ud der Azahl der Retezahluge folgede Formel agebe: r E= R r r E = 500,035,035 = 2775,08,035 5 Beisiel: Über welche Barwert B muss ma verfüge, um bei eier Verzisug vo 3,5 %. a. 5 Jahre lag jeweils am Jahresede 500, behebe zu köe? Wir stelle de Sachverhalt ahad eier Zeitliie dar: Jahr abzise Jahre abzise 3 Jahre abzise 4 Jahre abzise 5 Jahre abzise 500 Für de Abzisugsfaktor v gilt bei dekursiver gazjähriger Verzisug: v = + 00 B = ,035,035,035,035, Durch aaloge Überleguge bezüglich der Summe eier geometrische Reihe kommt ma zu der i der Außesalte ageführte Barwertformel für achschüssige Rete. B = 500,035 = 2257,53,035 (,035 ) 5 Allgemei ka ma für de Barwert B eier achschüssige Rete mit dem Retebetrag R, dem Abzisugsfaktor v ud der Azahl der Retezahluge folgede Formel agebe: B = R v v v

14 72 Fiazmathematik Beisiel: Über welche Barwert B muss ma verfüge, um bei eier Verzisug vo 3,5 %. a. 5 Jahre lag jeweils am Jahresafag 500, behebe zu köe? Wir stelle de Sachverhalt ahad eier Zeitliie dar: Jahr abzise Jahre abzise 3 Jahre abzise 4 Jahre abzise Allgemei ka ma für de Barwert B eier vorschüssige Rete mit dem Retebetrag R, dem Abzisugsfaktor v ud der Azahl der Retezahluge folgede Formel agebe: B = R v v B = ,035,035,035, Durch aaloge Überleguge bezüglich der Summe eier geometrische Reihe kommt ma zu der i der Außesalte ageführte Barwertformel für vorschüssige Rete. B = 500 = 2336,54 (,035) 5 Die Zusammehäge zwische der Retezahlug R, der Azahl der Reteeriode, dem Auf- bzw. Abzisugsfaktor ud dem Edwert E bzw. dem Barwert B sid i der folgede Tabelle zusammegefasst: vorschüssige Rete achschüssige Rete r Edwert E E= R r r E R r = r v Barwert B B= R v v B= R v v Beisiel: Welche gleich bleibede Betrag R muss ma bei eier Verzisug vo 3 %. a. 6 Jahre lag jeweils am Jahresede eizahle, um am Ede des 6. Jahres über ei Guthabe vo , verfüge zu köe? Bei der Reterechug ist die Formel für die Berechug des Edwerts umzuforme, we der Edwert gegebe ud etweder der Retebetrag oder der Zissatz oder die Laufzeit zu bestimme ist. Es ist R mit Hilfe der Formel für de Edwert eier achschüssige Rete zu bereche, we E = 25000, r =,03 ud = 6 gegebe sid. 6, , = R R = = 3864,94,03 6,03

15 Fiazmathematik 73 Beisiel: Ei mit 7,5 %. a. verzister Kredit vo , ist i 8 gleich hohe, jeweils am Jahresede fällige Rate zu tilge. Wie hoch ist eie Kreditrate? Gesucht ist die Höhe der achschüssige Jahresrete, we B = , v = ud = 8 gegebe sid: 075, (,075) = R,075 (,075 ) R = ,075,075 = 344,54 8 (,075) We der Barwert gegebe ud etweder der Retebetrag oder der Zissatz oder die Laufzeit zu bestimme ist, ist die Barwertformel etsreched umzuforme. Beisiel: Ei mit 8 %. a. verzister Kredit vo 5 000, soll durch achschüssige Jahresrate vo 2 000, getilgt werde. Wie viele derartige Zahluge ud welcher ei Jahr ach der letzte Rate fällige Restbetrag sid dazu erforderlich? () Zuächst wird berechet, we B = 5 000, R = 2000 ud v = gegebe sid:, = =,9059,08 (,08) Zur Tilgug des Kredites sid Vollrate ud ei Restbetrag erforderlich. (2) Wir bereche de Barwert der Vollrate: B = 2000,08 = 4 277,93,08 (,08 ) Die Vollrate reiche zur Abdeckug eies Kreditbetrages vo 4277,93,. (3) Der Restbetrag vo 722,07, (= ,93) wird durch eie Zahlug ei Jahr ach der letzte Vollrate also am Ede des 2. Jahres getilgt. Es ist daher für 2 Jahre aufzuzise: 722, 07 08, 2 =88,30 Euro Zur Tilgug des Kredits sid daher Vollrate zu 2000, ud eie Zahlug vo 88,30 erforderlich. Schuldtilgug mit Restrate: () Berechug der Azahl der Vollrate durch Umformug der Barwertformel ud Auflösug ach (Exoetialgleichug) (2) Berechug des Barwerts der Vollrate = der durch die Vollrate abgedeckte Kreditateil (3) Berechug des durch die Vollrate icht gedeckte Betrages ud Aufzise dieses Betrages bis zur Fälligkeit der Restrate Die bisher gezeigte Formel der Reterechug gelte für gazjährige Rete bei gazjähriger Verzisug. I der Praxis erfolge Zahluge bzw. Behebuge oftmals icht jährlich, soder i kürzere Itervalle, z. B. halbjährig, vierteljährlich oder moatlich. Wir köe die us bekate Formel der Reterechug auch i diesem Fall verwede, sofer die Reteeriode mit de Verzisugseriode übereistimme ud uabhägig vo der Dauer der Rete- bzw. Verzisugseriode immer die Azahl der Retezahluge ist. Stimme Rete- ud Verzisugseriode icht überei, muss ma a Stelle des tatsächliche Zissatzes de äquivalete Zissatz verwede. Hat ma z. B. moatliche Rate ud vierteljährliche Verzisug, muss ma de Quartalszissatz durch de äquivalete Moatszissatz ersetze.

16 74 Fiazmathematik Vorgagsweise bei der Bestimmug des Edwerts vo uterjährige Rete: () Bestimmug des äquivalete uterjährige Zissatzes (z. B. Moatszissatz bei Moatsrete) (2) Eisetze des Retebetrags, des äquivalete Zissatzes ud der Azahl der Retezahluge i die Edwertformel Ist der Edwert eier uterjährige Rete gegebe, ist zuächst aalog vorzugehe ud da die Edwertformel etsreched umzuforme. Beisiel: Jemad zahlt jeweils zu Moatsbegi 00, auf ei mit 3 %. a. verzistes Sarbuch ei. Über welches Guthabe ka es am Ede des 4. Jahres verfüge? () Wir bestimme de zu 3 %. a. äquivalete Moatszissatz. 2 2,03 = ( + 0, ) 2 = %.m. (2) Da setze wir R = 00, 2 = 0, ud = 48 (Azahl der moatliche Zahluge i eiem Zeitraum vo 4 Jahre.) i die Edwertformel für vorschüssige Rete ei: E = 00, , = 50,56, Bemerkug: Je ach Rechergeauigkeit köe hier Differeze im Cetbereich auftrete. 48 Vorgagsweise bei der Bestimmug des Barwerts vo uterjährige Rete: () Bestimmug des äquivalete uterjährige Zissatzes (z. B. Moatszissatz bei Moatsrete) (2) Eisetze des Retebetrags, des äquivalete Zissatzes ud der Azahl der Retezahluge i die Barwertformel Ist der Barwert eier uterjährige Rete gegebe, ist zuächst aalog vorzugehe ud da die Barwertformel etsreched umzuforme. Beisiel: Ei mit 6 %. a. verzister Kredit vo 2 000, ist i drei Jahre durch achschüssige Moatsrate zu tilge. Wie hoch ist eie solche Moatsrate? () Wir bestimme de zu 6 %. a. äquivalete Moatszissatz. 2 2,06 = ( + 0, ) 2 = %.m. (2) Nu setze wir B = 2 000, 2 = 0, ud = 36 (Azahl der moatliche Zahluge i eiem Zeitraum vo 3 Jahre.) i die Barwertformel für achschüssige Rete ei ud forme diese um: 2 000, = R R = 364,20, (, ) 36 Beisiel: Wie hoch wäre im vorige Beisiel die moatliche Rate, we die Kaitalisierug vierteljährlich (also mit,5 %. q. ) erfolgt? Liegt eie uterjährige Rete mit uterjähriger Verzisug vor ud stimme Rete- ud Verzisugseriode icht überei, muss ebefalls eie Berechug eies äquivalete Zissatzes erfolge. Ma muss i diesem Fall beachte, i welchem Verhältis Rete- ud Verzisugseriode stehe. So umfasst z. B. ei Halbjahr 6 Moate bzw. ei Quartal drei Moate. () Wir bestimme de zu,5 %. q. äquivalete Moatszissatz, wobei wir berücksichtige, dass ei Quartal drei Moate umfasst. 3 2,05 = ( + 0, ) 2 = %.m. (2) Nu setze wir B = 2 000, 2 = 0, ud = 36 (Azahl der moatliche Zahluge i eiem Zeitraum vo 3 Jahre.) i die Barwertformel für achschüssige Rete ei ud forme diese um: = R R = 364,90, (, ) 36

17 Fiazmathematik 75 I letzter Zeit hört ma immer Schlagworte wie Altersvorsorge, Zusatzesio usw. Dabei hadelt es sich meist um Sarforme, bei dee eie gewisse Zeit lag regelmäßig Eizahluge sogeate Asarrate geleistet werde, um ach Ede der Asarzeit etweder auf Lebeszeit ) oder für eie vorab festgelegte Zeitraum regelmäßig Beträge behebe zu köe. Beisiel: Jemad zahlt 25 Jahre lag jeweils zu Jahresbegi 000, auf ei mit 5 %. a. verzistes Koto ei, um ach Ablauf der Asarzeit das Guthabe i 5 gleich hohe Jahresrate zu verbrauche. Wie hoch ist eie dieser Jahresrate? () Zuächst wird der Edwert der Asarrate berechet: E = 000,05,05 25 = 50 3,45,05 (2) Der Edwert der Asarrate etsricht dem Barwert der 5 Jahresrate. Die Höhe eier solche Rate wird mit Hilfe der Barwertformel berechet: R = 503,45 (,05 5 ) = 4598,4 (,05 ) Berechug der Retezahlug bei gegebeer Höhe der Asarrate: () Berechug des Edwerts der Asarrate (= Barwert der Retezahluge) E = R r r r (2) Berechug der Retezahlug durch Umformug der Barwertformel R = B v v Beisiel: Welche Asarrate sid 20 Jahre lag bei 4,5 %. a. jeweils zu Jahresbegi zu etrichte, um ach Ablauf der Asarzeit 5 Jahre lag eie Jahresrete vo 5000, beziehe zu köe? () Zuächst wird der Barwert der Retezahluge berechet: B = (,045 ) = 56 4,3 (,045 ) (2) Der Barwert der Retezahluge etsricht dem Edwert der Asarrate. Die Höhe der Asarrate wird mit Hilfe der Edwertformel berechet: 564,3,045 R = =, ,68,045 Berechug der Asarrate bei gegebeer Höhe der Retezahlug: () Berechug des Barwerts der Retezahluge (= Edwert der Asarrate) B = R v v (2) Berechug der Asarrate durch Umformug der Edwertformel R = E r r r Wir wolle a dieser Stelle auf Folgedes hiweise: I diesem Abschitt wurde Methode etwickelt, die bei eiem vertretbare Recheaufwad möglichst geaue Ergebisse liefer. Tatsächlich ist es umöglich, immer geau am Moats- bzw. Quartalserste eizuzahle, zumal die Bake a Samstage, So- ud Feiertage geschlosse sid. Der. Jäer ist i Österreich ei gesetzlicher Feiertag. We dieser auf eie Freitag fällt, ist der erste Baktag des Jahres erst der 4. Jäer. Allgemeie Berechuge gehe immer davo aus, dass Zeitukte wie Moatsafag, Jahresede usw. ueigeschräkt für Ei- ud Auszahluge geützt werde köe. Daher ist i der Praxis jedes Koto idividuell abzureche. ) Die Berechug vo auf Lebeszeit zahlbare Rete erfordert Ketisse der Versicherugsmathematik, die die Aforderuge der Lehrläe vo berufsbildede Schule übersteige.

18 76 Fiazmathematik AUFGABEN 297. Jemad zahlt 6 Jahre lag jeweils zu Jahresbegi 750, auf ei mit 3,25 %. a. verzistes Sarbuch ei. Wie hoch ist das Guthabe am Ede des 6. Jahres? 298. Jemad zahlt jeweils zu Quartalsbegi 60, auf ei mit 3,5 %. a. verzistes Sarbuch ei. Welcher Betrag ist bis zum Ede des 5. Jahres agesart? 299. Über welches Guthabe muss jemad verfüge, um bei eier Verzisug vo 3 %. a. 3 Jahre lag jeweils am Jahresede 400, behebe zu köe? 300. Welcher Betrag wird agesart, we jemad 5 Jahre lag jeweils am a) Jahresbegi b) Jahresede 400, auf ei mit 4 %. a. verzistes Sarbuch eilegt? 30. Welche Betrag muss jemad 4 Jahre lag jeweils am a) Jahresbegi b) Jahresede auf ei mit 3,5 %. a. verzistes Sarbuch lege, um am Ede des 4. Jahres über ei Guthabe vo 5 000, zu verfüge? 302. Über welches Guthabe muss ma verfüge, um bei eier Verzisug vo 3,25 %. a. 4 Jahre lag jeweils 2 000, behebe zu köe, we diese Behebuge jeweils am a) Jahresbegi b) Jahresede erfolge ud das Guthabe am Ede des 4. Jahres aufgebraucht ist? 303. Welche gleich bleibede Beträge ka jemad, der über ei Guthabe vo 9 000, auf eiem mit 2,5 %. a. verziste Koto verfügt, 4 Jahre lag jeweils am a) Jahresafag b) Jahresede behebe, um dieses Guthabe zu verbrauche? 304. Beim Kauf eies Grudstücks wurde vertraglich festgelegt, dass der Käufer 2 Jahre lag jeweils am Ede des Quartals , zu zahle hat. Nachdem der Käufer seie Verflichtuge 5 Jahre hidurch achgekomme ist, solle die och ausstädige Zahluge durch eie ach weitere zwei Jahre fällige eimalige Betrag begliche werde. Wie hoch ist dieser, we mit eier Verzisug vo 2 %. q. gerechet wird? 305. Eie Schuld vo , ist i 6 Jahre durch gleichbleibede, jeweils am Ede jedes Halbjahrs fällige Zahluge bei 4 %. s. zu tilge. Nachdem diese Zahluge 5 Jahre lag etrichtet wurde, wird drei Jahre lag mit de Zahluge ausgesetzt ud achher wieder regelmäßig weiter gezahlt. Um welche Betrag ist die ursrügliche Rate ach Wiederaufahme der Zahluge zu erhöhe, we die Schuld termigerecht begliche werde soll? 306. Aus eiem Vertrag ergibt sich der Asruch, ab sofort 9 Jahre lag zu Jahresbegi 4000, behebe zu dürfe. Der Begüstigte verzichtet i de erste zwei Jahre, behebt jedoch zu de folgede zwei Termie jeweils 6000,. Welche gleich bleibede Jahresrate köe ab Begi des 5. Jahres behobe werde, we dem Geschäft eie Verzisug vo 6 %. a. zugrude gelegt wird? 307. Ei bei eier Bak zu 6,5 %. a. agelegtes Kaital wäre bei dieser Verzisug i 7 Jahre auf 48000, agewachse. Nach Ablauf vo drei Jahre wurde die Verzisug auf 6 %. a. verrigert. Um i der vorgesehee Zeit das Sarziel zu erreiche etschließt sich der Aleger, ab dem Zeitukt der Zissatzreduktio sei Sarguthabe jeweils am Jahresafag um eie gleich hohe Betrag zu erhöhe. Wie groß ist dieser? 308. Bei eier Bak, die mit 6,5 %. a. verzist, werde 5 Jahre lag jeweils am Jahresede 3 500, eigezahlt, um ab Begi des 8. Jahres 0 Jahre lag eie Rete beziehe zu köe. Welche Höhe hat der Betrag der Rete, we für die Rete eie Verzisug vo 2 %. a. verrechet wird.

19 Fiazmathematik a) Welcher Betrag ist am Begi jedes Jahres eizuzahle, um bei eier Verzisug vo 6 %. a. ach 6 Jahre über 0 000, zu verfüge? b) Nach 6 Jahre verrigert die Sarkasse de Zissatz auf 2 %. a. Wie hoch sid die Beträge, die uter dieser Bedigug vom Begi des 7. Jahres a zu etrichte sid? 30. Ei Aleger hat bei eier Verzisug vo 4 %. a. Asruch, 2 Jahre lag jeweils zu Jahresede über 2 000, zu verfüge. Auf welche Wert erhöht sich dieser jährlich fällige Betrag, we mit der erste Abhebug 5 Jahre zugewartet wird? 3. 9,25 Jahre lag werde jeweils zu Quartalsbegi 000, zu %. q. agelegt. Wie groß ist das Guthabe ei Quartal ach der letzte Eilage? 32. Bei eier Bak, die mit 4 %. a. verzist, werde zu Jahresbegi eimalig , eigezahlt, um am Ede jede Jahres 4 000, zu behebe. a) Wie viele Jahre lag ka ma dies tu? b) Welcher Restbetrag ist ei Jahr ach der letzte Abhebug vo 4000, übrig? 33. Wie viele Zahluge vo je 500, am Afag eies jede Jahres ud welcher gemeisam mit der letzte Zahlug otwedige Restbetrag sid erforderlich, um bei 6 %. a. ei Kaital vo 5 000, azusammel? 34. Wie groß ist ei zu 4 %. a. agelegtes Kaital, we vo diesem jeweils am Jahresede 7,40 behobe werde ud ach 8 Jahre och 200, übrig bleibe? 35. Jemad zahlt 28 Jahre lag jeweils zu Jahresbegi 800, auf ei mit 4,75 %. a. verzistes Koto ei, um ach Ablauf der Asarzeit das Guthabe i 20 gleich hohe Jahresrate zu verbrauche. Wie hoch ist eie dieser Jahresrate? 36. Jemad zahlt 30 Jahre lag jeweils zu Jahresbegi 750, auf ei mit 5 %. a. verzistes Koto, um ach Ablauf der Asarzeit das Guthabe i gleich hohe Jahresrate vo 5000, zu verbrauche. Wie viele derartige Jahresrate ud welcher ei Jahr ach der letzte Jahresrate fällige Restbetrag köe bezoge werde? 37. Welche Asarrate sid 35 Jahre lag bei 5,5 %. a. jeweils zu Jahresbegi zu etrichte, um ach Ablauf der Asarzeit 5 Jahre lag eie Jahresrete vo 6000, beziehe zu köe? 38. Am wurde ei Kaital vo , zu 5 %. a. agelegt, um, begied mit , jeweils am letzte Tag des Jahres 25000, zu behebe. a) Wa ka dies letztmalig erfolge? b) Wie groß ist der Restbetrag ei Jahr daach? 39. Jemad hat vo 978 bis 200 jeweils zu Jahresbegi 0000, Schillig auf ei mit 4,5 %. a. verzistes Koto eigezahlt, um das agesarte Guthabe ab 2002 i gleich hohe Jahresrate zu verbrauche. a) Welcher Betrag i Schillig wurde bis Ede 200 agesart? b) Wie lage köe ab Afag 2002 Jahresrate zu je 2500, bezoge werde? c) Welcher Restbetrag ka ei Jahr ach der letzte Jahresrate bezoge werde? Bemerkug: = 3,7603 Schillig

20 78 Fiazmathematik 4. Schuldtilgug I diesem Abschitt wolle wir us mit Aufgabestelluge befasse, die im Zusammehag mit der Verzisug ud der i mehrere Teilbeträge (de sogeate Auitäte) erfolgede Rückzahlug (= Tilgug) eier Schuld stehe. Da für de jeweils aushaftede Kreditbetrag Zise zu bezahle sid, diet ur ei Teil der Auitäte der Tilgug der Schuld. Daher setze sich die Auitäte aus zwei Komoete zusamme: dem Ziseateil ud dem Tilgugsateil. Als Service für ihre Kude stelle Bake mituter sogeate Tilgugsläe auf, aus dee eie Aufteilug der Auitäte i Ziseud Tilgugsateil hervor geht. Die wichtigste Forme der Schuldtilgug sid die Rateschuld ud die Auitäteschuld. Bei eier Rateschuld ist der Tilgugsateil währed der gesamte Laufzeit gleich hoch. Bei eier Auitäteschuld sid die Auitäte währed der gesamte Laufzeit gleich hoch. Beisiel: Ei mit 7 %. a. verzister Kredit vo , ist i 4 Jahre durch jeweils am Jahresede fällige, gleich hohe Tilgugsateile zurück zu zahle. Der Tilgugsla ist aufzustelle. Da der Kreditbetrag vo , durch 4 gleich hohe Tilgugsateile zurück zu zahle ist, beträgt ei Tilgugsateil 2 000,. Der Tilgugsla wird ausgehed vo eier Zeile Jahr 0, wo der volle Kreditbetrag als aushafteder Betrag aufscheit schrittweise etwickelt. Die Auität setzt sich aus Ziseud Tilgugsateil zusamme. Die Zise werde jeweils vom aushaftede Kreditbetrag des Vorjahres berechet. Der Tilgugsateil verrigert de aushaftede Kreditbetrag. Jahr Zise- Tilgugs- Auität aushafteder ateil ateil Betrag 0 0,00 0,00 0, ,00 960, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 320, , , , , , , , , , , , , ,00 560, , , , , , , , , , , , , ,00 240,00 0,00 Bemerkug: Bei eier Rateschuld sid für die Erstellug des Tilgugslas keie Formel der Reterechug erforderlich.

21 Fiazmathematik 79 Beisiel: Ei mit 6 %. a. verzister Kredit vo 5 000, ist i 4 gleich hohe, jeweils am Jahresede fällige Auitäte zu tilge. Der Tilgugsla ist aufzustelle. Bei eier Auitäteschuld verwede wir die Barwertformel der Reterechug, um die Höhe eier Auität (= achschüssige Rete) zu bereche. Der Kreditbetrag etsricht dabei dem Barwert dieser achschüssige Rete. 4, =,06 (,06 ) R = 5 000,06,06 = ,87 (,06 ) Jahr Zise- Tilgugs- Auität aushafteateil ateil der Betrag 0 0,00 0,00 0, ,00 900, , ,87 57, , , , , ,9 3852, , , , , ,87 0,0 Der Tilgugsateil vermehrt sich jährlich geau um de Betrag, um de sich die Zise verriger. Die Auitäte bleibe währed der gesamte Laufzeit gleich hoch. Bedigt durch Ruduge ka sich am Ede der Laufzeit eie Cetdifferez ergebe. Beisiel: Ei mit 6,5 %. a. verzister Kredit vo 2 000, soll durch jährlich fällige achschüssige Auitäte vo 4 000, getilgt werde. Der Tilgugsla ist aufzustelle. Da hier die Auitäte gegebe sid, köe wir gleich mit der schrittweise Etwicklug des Tilgugslas begie. Jahr Zise- Tilgugs- Auität aushafteateil ateil der Betrag 0 0,00 0,00 0, ,00 780, , , , , , , , , , ,00 698,50 4 0,40 698,50 808,90 0,00 Im 4. Jahr etsricht der Tilgugsateil dem am Ede des 3. Jahres och aushaftede Betrag. Die Auität setzt sich i diesem Jahr daher aus diesem Betrag ud de darauf etfallede Zise zusamme. Beim ebestehede Beisiel ist zu beachte, dass die Laufzeit des Kredits (ud somit die Azahl der Zeile des Tilgugslas) icht vorab gegebe sid ud sich diese ebeso wie die Höhe der Restrate erst im Laufe der zeileweise Berechuge ergibt. Durch eie Berechug i Aalogie zum letzte Beisiel vo Seite 73 ka ma die Höhe dieser Restrate überrüfe, wobei sich auch hier rudugsbedigte Cetdiffereze ergebe köe.

22 80 Fiazmathematik Beisiel: Ei mit,5 %. q. verzister Kredit vo 2 000, ist i eiem Jahr durch jeweils am Moatssede fällige, gleich hohe Auitäte zu tilge. Der Tilgugsla ist aufzustelle. Bei uterjährige Auitäte bzw. bei uterjähriger Verzisug müsse wir für die Auitäteberechug eie Vorgagsweise eischlage, die bereits bei der Berechug der uterjährige Rete bei gegebeem Barwert gezeigt wurde. () Bestimmug des äquivalete uterjährige Zissatzes (z. B. Moatszissatz bei moatliche Auitäte) (2) Eisetze des Barwerts (= Kreditbetrag), des äquivalete Zissatzes ud der Azahl der Zahluge i die Barwertformel Daach wird der Tilgugsla aufgestellt, wobei für jede Zahlug eie Zeile verwedet wird. So habe wir z. B. bei moatliche Zahluge eie Zeile ro Moat. () Wir bestimme de zu,5 %. q. äquivalete Moatszissatz, wobei wir berücksichtige, dass ei Quartal drei Moate umfasst. 3 2,05 = ( + 0, ) 2 = %.m. (2) Nu setze wir B = 2 000, 2 = 0, ud = 2 (Azahl der moatliche Zahluge i eiem Zeitraum vo eiem Jahr.) i die Barwertformel für achschüssige Rete ei ud forme diese um: ( = R R = 032,63, (, ) Im Tilgugsla verwede wir eie Zeile ro Moat. Moat Zise- Tilgugs- Auität aushafteder ateil ateil Betrag 0 0,00 0,00 0, ,00 59,70 972,93 032,63 027, ,86 977,77 032, , ,00 982,63 032, , , 987,52 032, ,5 5 40,20 992,43 032, , ,26 997,37 032, , ,30 002,33 032, , ,3 007,32 032, , ,30 02,33 032, ,37 0 5,26 07,37 032, ,00 0,20 022,43 032,63 027,57 2 5, 027,52 032,63 0,05 Bemerkug: Auch hier erhalte wir eie rudugsbedigte Cet-Differez. AUFGABEN 320. Ei mit 7,75 %. a. verzister Kredit vo 5 000, ist durch 0 gleich hohe, jeweils am Jahresede fällige a) Tilgugsateile b) Auitäte zu tilge. Der Tilgugsla ist aufzustelle. 32. Ei mit 8,5 %. a. verzister Kredit vo , ist durch gleich hohe, jeweils am Jahresede fällige Auitäte vo 4 000, zu tilge. a) Wie viele derartige Zahluge ud welcher ei Jahr ach der letzte derartige Zahlug fällige Restbetrag sid dazu erforderlich? b) Der Tilgugsla ist aufzustelle Ei mit 7,5 %. a. verzister Kredit vo , ist i zwei Jahre durch gleich hohe, jeweils am a) Jahresede b) Moatsede fällige Auitäte zu tilge. Der Tilgugsla ist aufzustelle Ei mit 2 %. q. verzister Kredit vo , ist i drei Jahre durch gleich hohe, jeweils am a) Quartalsede b) Moatsede fällige Auitäte zu tilge. Der Tilgugsla ist aufzustelle.