Versicherungstechnik

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1 Operatios Research ud Wirtschaftsiformati Prof. Dr. P. Recht // Marius Radermacher, M.Sc. DOOR Aufgabe 5 Versicherugstechi Übugsblatt 2 Abgabe bis zum Mittwoch, dem um 10 Uhr im Kaste 19 Eie Zeitrete ist eie Folge vo gleich große Zahluge i gleich große Zeitabstäde (z. B. 1 Jahr), die über eie im Voraus festgelegte Zeitraum bei eier vorgegebee ostate, jährliche Verzisug vo p % gezahlt wird. Hierbei sei die Jahreszahlug jeweils vo der Höhe 1. a) Gebe Sie eie Formel für de Barwert eier ewige Zeitrete ä bzw. a a. Überlege Sie sich dazu zu welche Zeitpute Zahluge afalle ud verdeutliche Sie ihre Ergebisse ahad eies Zeitstrahls. b) Gebe Sie bitte auch die Barwerte a () bzw. ä() für Zeitrete a, bei dee die Zahluge -tel-jährig -mal vor- bzw. achschüssig stattfide. (1 Put) Bemerug: Eie Zeitrete ist ei vertraglich fixiertes System vo zeitdisrete Zahluge, bei dem die Beträge, Zahlugszeitpute ud die Dauer der Zahluge bei Vertragsabschluss festliege. vorschüssige Zahlweise: alle Zahluge erfolge zu Begi des jeweilige Zahlugsitervalles achschüssige Zahlweise: alle Zahluge erfolge am Ede des jeweilige Zahlugsitervalles Im Gegesatz zu Leibrete (vgl. Aufgabe 6) dere Zahluge vom Erlebe bzw. allgemei vom Status der Perso abhägt, spielt bei Zeitrete der Zufall eie Rolle. Lösugsvorschlag: Barwert eier Zeitrete = Summe aller auf de Vertragsbegi abgeziste Zahluge Es gilt: Für die Barwertbetrachtuge ist die Jahresrete im Folgede auf de Betrag 1 ormiert, das Reteitervall ist ormiert auf 1 Jahr ud die Verzisug zusammegesetzt. Bei vorschüssiger Zahlugsweise fällt das Reteede icht mit dem Zeitput der letzte Zahlug zusamme. Der Barwert eier Zahlug vom Betrag 1, mit Fälligeit zu Begi des t-te Vertragsjahres ist v t 1. a) Barwert eier ewige Zeitrete: vorschüssig: achschüssig: ä = lim ä a = lim a 1 v = lim d = 1 d 1 v = lim i ( = 1 + i ) i = 1 i

2 b) Barwerte ä () bzw. a() für -tel jährige, -mal vor- bzw. achschüssig zahlbare Zeitrete des Jahresbetrags 1 ä () 1 = mit v i = i = 1 vt i i = v ä () 1 = = 1 1 v 1 v 1 v t 1 = 1 1 v t bzw. a () = v t 1 = 1 1 = 1 v 1 1 v 1 v 1 v t+1 Bemerug: Es gilt: mit v 1 ä () 1 = 1 vt 1 = 1 1+i 1. Nu gilt weiterhi bei uterjähriger Zahlug: Problem: So a i i = 1 1 it+1 1 allerdigs icht bestimmt werde! Daher verwedet ma stattdesse: 1 + i = (1 + i 1 ) ud somit v 1 = 1 1+i = v Aufgabe 6 Eie Leibrete uterscheidet sich vo der Zeitrete dadurch, dass die Zahluge zum Zeitput t a das Erlebe der Zahlzeitpute gebude sid. Dazu bezeiche t p x die Wahrscheilicheit, dass ei x-jähriger Versicherter de (x + t)-te Zahlzeitput überlebt ud ω das sogeate Schlussalter (Altershöchstgreze). a) Wie groß ist der Barwert ä x eier vorschüssig lebesläglich zahlbare sofort (mit dem Alter x) begiede Leibrete vom Betrag 1?

3 b) Wie groß ist der Barwert a x bei achschüssige Zahluge? c) Wie groß sid die Barwerte a x bzw. ä x für etsprechede lebeslage Leibrete, die erst i Jahre eisetze (sog. aufgeschobee Leibrete)? d) Wie groß sid die Barwerte a x, bzw. ä x, für etsprechede Leibrete, die sofort begied Jahre lag gezahlt werde? e) Wie groß sid die Barwerte aus d), we die Rete jährlich um 1 steigt? Leite Sie die etsprechede Werte bitte ausführlich her. (2,5 Pute) Lösugsvorschlag: Leibrete = Zeitrete, dere Zahluge a das Erlebe der Zahlugszeitpute gebude sid Erlebeswahrscheilicheite werde beötigt p x = Wahrscheilicheit, dass ei x-jähriger das ächste Jahr überlebt = Wahrscheilicheit, dass ei x-jähriger das (x + 1)-te Lebesjahr volledet p x = Wahrscheilicheit, dass ei x-jähriger das (x + )-te Lebesjahr volledet Daraus ergebe sich die etsprechede Leibretebarwerte: a) Barwert ä x eier vorschüssig lebesläglich zahlbare sofort (mit dem Alter x) begiede Rete (Leibrete) vom Betrag 1: ä x := ω x tp x v t, b) Barwert a x eier achschüssige, lebesläglich zahlbare sofort begiede Leibrete vom Betrag 1. a x := = ω x ω x = ä x 1 tp x v t tp x v t 0 p x v 0 c) Barwerte a x, ä x für um Jahre aufgeschobee, lebeslag zahlbare Leibrete vom Betrag 1: ä x = a x = ω x ω x +tp x v +t +tp x v +t

4 d) Sofort begiede, abgeürzte (d.h. -Jahre zahlbare) Leibrete ä x, = 1 tp x v t, ω x + 1 a x, = tp x v t, ω x e) Sofort begiede, abgeürzte Leibrete mit Dyami (ostat der Höhe 1) (Iä) x, = 1 tp x v t (1 + t) (Ia) x, = tp x v t t

5 Aufgabe 7 Die Capitol Versicherug AG hat beschlosse, zur Aufbesserug ihrer Außewirug eie Wisseschaftspreis zu stifte, der aus eiem Stiftugsapital i Höhe vo e fiaziert wird ud jährlich vergebe werde soll. a) Es werde diret zu Begi die Preisvergabe vorgeomme. Wie hoch darf der Preis dotiert sei, we der Zissatz i = 0,03 beträgt ud das Stifugsapital icht abgebaut werde darf? b) Da die Capitol Versicherug AG die Verwaltug des Stiftugsapitals überomme hat, beträgt die Verzisug icht i = 0,03, soder i = 0,06. Wie hoch ist ach 5 Jahre das Stiftugsapital, we die i a) bestimmte Höhe des Preises beibehalte wird? Lösugsvorschlag: a) ( P) 1,03 = = P 1, P = , ,43 oder alterativ: = P ä = P 1,03 0,03 P = , ,43 1,03 b) Gegebe: K 0 = , P ,43, i = 0,06 Gesucht: K 5 Dazu Aufstelle eier Gleichug für die Kapitalwerte zum Zeitput 5: 5 K 5 = K 0 (1,06) 5 P (1,06) t 4 = K 0 (1,06) 5 P (1,06) (1,06) t ( (1,06) = K 0 (1,06) 5 5 ) 1 P (1,06) 1, , (1,03) 5 = ,15 (1 Put)

6 Aufgabe 8 Erläuter Sie bitte de Begriff Sterbetafel ud überlege Sie sich, welche Methode für ihre Erstellug heragezoge werde öe. Sehe Sie Vor- bzw. Nachteile i Ihre Verfahre? Lösugsvorschlag: Eie Sterbetafel ist eie Ausscheideordug mit Ausscheideursache Tod ud beschreibt damit de Schrumpfugsprozess eier Persoegesamtheit durch Absterbe. Wie bestimmt ma eie solche Sterbetafel? Zuächst gibt es zwei Arte vo Sterbetafel. Geeratioesterbetafel ud Periodesterbetafel. a) Periodesterbetafel gebe die Sterblicheite über eie feste Beobachtugszeitraum für gleichzeitig lebede Persoe verschiedeer Altersjahre wieder. teuer ud aufwedig öe besodere Ereigisse (Naturatastrophe, Kraheite, Grippewelle) beihalte uterscheide icht ach Geburtsjahr, ur ach Alter ud weitere spezielle Gruppemermale (Geschlecht, Beruf,...) Verwedug: Todesfallversicheruge b) Für Geeratioetafel werde die Mitglieder vo ihrem Eitritt (Geburt) bis zu ihrem Austritt (Tod) beobachtet. uterscheide auch ach Geburtsjahr Lager Beobachtugszeitraum otwedig (Date sid veraltet, we die Sterbetafel fertig ist) Sterblicheitsverbesseruge sid beobachtbar (durch bessere mediziische Versorgug,...) Verwedug: Erlebesfallversicheruge Daher gilt im Allgemeie, dass Periodetafel höhere Sterbewahrscheilicheite liefer als Geeratioesterbetafel. Zur Erstellug: Vorbereituge: Festlegug der Persoegesamtheit mit geüged große Teilbestäde für jedes Alter ud Mermal Festlegug der Mermale (Raucher/Nichtraucher, Geschlecht, Berufslasse,...) a) Ermittlug der Rohsterblicheite Persoegesamtheit über bestimmte Zeitraum beobachte, Lebede L x zu Begi der Ermittlug ud Tote T x im beobachtete Zeitraum ˆq x = #T x #L x Persoegesamtheit festlege, die für jedes Alter ausreiched große Teilbestäde aufweist.

7 zu eiem Zeitput t 0 zähle vo L ach geüged lager Zeit (1 Jahr) i t 1 wieder zähle Azahl der Verstorbee D = L(t 0 ) L(t 1 ). Uterscheidug ach Alter #L x Azahl der x-jährige vo L, #T x Azahl der x- jährig Gestorbee rohe Sterbewahrscheilicheite ˆq x := #T x #L x, #L x 0 Ausgleich der rohe Sterbewahrscheilicheite, d.h. Glättug der Kurve zur Bereiigug vo Meßfehler ud Besoderheite durch spezielle statistische Verfahre (beispielsweise Verfahre vo Whittaer-Hederso) führt zu tatsächliche Sterbewahrscheilicheite. Ziel: möglichst glatte Kurve, weig Abweichug vo rohe Wahrscheilicheite. Schließlich Sterblicheitsprojetio durch Tredfutio um Alterug der Sterblicheit zu begege. aus Mometaufahme wird über lägere Zeitraum gültige Sterbetafel abschließed Modifizierug, d.h. Ergäzug vo Sicherheitszuschläge. (2,5 Pute)

8 Versicherugsmathematische Bezeichugsweise: Dauer/Aufschub Grudsymbol Zahlugsweise Alter, Dauer (bzw. Laufzeit des Vertrags) mögliche Grudsymbole (Sterbetafel): l = erwartete Zahl der i eiem Kolletiv Befidliche d = erwartete Zahl der Ausgeschiedee p = Verbleibeswahrscheilicheit q = Ausscheidewahrscheiliheit Ähliche Bezeichugsweise gelte für die folgede gägige Symbole: ä, a = Retebarwert bei vorschüssiger/achschüssiger Zahlugsweise A = Leistugsbarwert C, D, M = Kommutatioszahle P, B = Prämie (Beiträge) weitere Bezeichuge:. x = mäliche Perso des Alters x y = weibliche Perso des Alters y ω = Schlussalter / Tafelede derzeit 121 für atuelle Tafel (Sterbetafel DAV2004R, DAV2008T) = festes Edalter, icht geauer agegebe m = Aufschubzeit / Zeitput des Begis der Zahluge weitere Besoderheite: Buchstabe, Zahl = feste, icht zufällige Laufzeit (rechts ute) Buchstabe, Zahl = Aufschubzeit (lis ute) (Buchstabe), (Zahl) = Azahl der gleiche Teile i welche das Jahr uterteilt wird (rechts obe) bei otiuierliche Größe, überquert ma häufig das Grudsymbol

9 Beispiel: Es folge orete Bezeichuge für spezielle Barwerte ud Spezialfälle: a Barwert eier achschüssig zahlbare Zeitrete über Jahre. ä () x, Barwert eier vorschüssig zahlbare Leibrete über Jahre mit -tel jährliche Zahluge. A y, Barwert eier Kapitallebesversicherug eier y-jährige Frau mit Jahre Laufzeit A y m A y, Barwert eier Risiolebesversicherug eier y-jährige Frau mit Jahre Laufzeit Barwert eier um m Jahre aufgeschobee Kapitallebesversicherug eier y-jährige Frau mit Jahre Laufzeit m A y Barwert eier um m Jahre aufgeschobee Risiolebesversicherug eier y-jährige Frau mit Jahre Laufzeit......