Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik

Transkript

1 Taschebuch der Wirtschaftsmathematik vo Wolfgag Eichholz, Eberhard Vilker 4., überarbeitete ud erweiterte Auflage Haser Müche 7 Verlag C.H. eck im Iteret: ISN Zu Ihaltsverzeichis schell ud portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHUCHHANDLUNG

2 Wolfgag Eichholz, Eberhard Vilker Taschebuch der Wirtschaftsmathematik ISN-: ISN-13: Leseprobe Weitere Iformatioe oder estelluge uter sowie im uchhadel

3 132 4 Grudlage der Fiazmathematik eispiel 4.7 Ei apital vo 1 wird 5 Jahre ud 9 Moate zu eiem omielle Zissatz vo 4 % p.a. agelegt. Wie hoch wäre das Edkapital (1) bei gemischter Verzisug (jährliche Zisgutschrift), (2) bei vierteljährlicher Zisgutschrift, (3) bei moatlicher Zisgutschrift, (4) bei kotiuierlicher Verzisug? ei dem Problem (1) ist zu berücksichtige, dass 5 Jahre die Ziseszisrechug ud 9 Moate die eifache Zisrechug agewadt werde muss. 5 9 (1) 5,75 1 (1+,4) (1+,4) 1 253, ,75 4,4 (2) 5, , ,75 12,4 (3) 5, , 12 12,4 5,75 5,75 (4) 1 e 1 258, eterechug eteedwert Eie ete ist eie feste Zahlug E, die zu bestimmte Zeitpukte (i der egel am Afag oder Ede eier Zisperiode oder Uterperiode) geleistet wird. Der eteedwert stellt de Gesamtbetrag aller Zahluge E eischließlich Zise ach Periode mit dar. Es gilt mit q 1 + i (Aufzisfaktor): (1) Zisperiode Zahlugsperiode, kostate Eizahlug E vorschüssig: achschüssig: q E (V1) E (N1)

4 4.3 eterechug 133 eispiel 4.8 Ei etebeitrag vo 4 wird jährlich Jahre lag a) zu egi eies jede Jahres, b) am Ede eies jede Jahres geleistet. Wie hoch ist der eteedwert ach Jahre, we ei Zissatz vo 6 % p.a. vorausgesetzt wird? p p 6, E 4, q 1 + i, i,6, 1,6 1 a) 1, , 91 1,6 1 ei vorschüssiger Zahlugsweise beträgt der eteedwert ach Jahre ,91. 1,6 1 b) , 36 1,6 1 ei achschüssiger Zahlugsweise beträgt der eteedwert dagege ,36. F (2) Zisperiode > Zahlugsperiode, kostate Eizahlug C vorschüssig: (V2) achschüssig: (N2) m + 1 ( m + i ) C 2 m 1 ( m + i ) C 2 Die Eizahlug E wird hier durch die etsprechede Formel für die eifache Zisrechug ersetzt (vgl. apitel 4.2). Zu beachte ist, dass dieser etrag erst am Ede des Jahres etsteht ud somit vo der Formel (N1) auszugehe ist. eispiel 4.9 Wird eie ete vo 6 ab Jauar am Afag (Ede) eies jede Moats Jahre lag bezahlt ud wird das apital jährlich zu 6 % verzist (Ziseszis), so ergebe sich wege C 6,, i,6 folgede eteedwerte 1,6 1 a) vorschüssig: (12 +,6 6,5) , 3,6 1,6 1 b) achschüssig: (12 +,6 5,5) , 52,6

5 134 4 Grudlage der Fiazmathematik arwert eier ete Als arwert eier ete wird der etrag bezeichet, der zu egi aufgebracht werde müsste, um Periode lag eie ete E zu erhalte. Der arwert ka aus de Formel (V1) ud (N1) bzw. (V2) ud (N2) berechet werde, idem durch q dividiert wird. (1) Zisperiode Zahlugsperiode, kostate Eizahlug E vorschüssig: achschüssig: 1 1 q q E i E q i (2) Zisperiode > Zahlugsperiode, kostate Eizahlug C vorschüssig: achschüssig: m + 1 m + i C q i m 1 m + i C q i eispiel 4. Welcher eimalige etrag müsste eigezahlt werde, um Jahre lag eie moatliche etebetrag vo 6 zu erhalte, we ei Zissatz vo 6 % p.a. zugrude gelegt wird ud im Jauar mit der Zahlug begoe werde soll? Gesucht ist der arwert. ei vorschüssiger Zahlugsweise (am egi jede Moats) ist die folgede eimalige Eizahlug erforderlich: 1,6 1 (12 +,6 6,5) ,89. 1,6,6 Erfolgt dagege die Zahlug jeweils erst am Ede eies jede Moats, ist der folgede etrag eimalig eizuzahle: ( N) 1,6 1 (12 +,6 5,5) ,92 (achschüssig) 1,6,6

6 4.3 eterechug 135 ate-ete-formel (Sparkasseformel) Es sei ei Afagskapital gegebe, das i jeder Zisperiode (Moat, Quartal, Jahr usw.) um eie gleich bleibede etrag E erhöht oder verrigert wird. Da beträgt das apital ach Zisperiode: vorschüssig: (V3) achschüssig: (N3) q + q E q + E eispiel 4.11 Ei etrag vo 5 wird zu eiem Zissatz vo 6,5 % p.a. agelegt. Eie Eizahlug vo wird jeweils am Ede (1) bzw. am Afag jede Jahres (2) geleistet. Welcher Edbetrag steht ach Jahre zur Verfügug (Ziseszis)? 5, i,65,, E, q 1 + i 1,65 (1) achschüssige Zahlugsweise: 1,65 1 q + E 1, ,57.,65 Das apital beträgt ach Jahre 12 84,57 (2) vorschüssige Zahlugsweise: 1,65 1 q + q E 1, , ,,65 Das apital ist ach Jahre auf agewachse. F Liegt der Fall eier gemischte Verzisug vor, d. h., wird eie Periode och i m weitere Uterperiode uterteilt (z..: ei Jahr i Moate oder Quartale), i dee ur eifache Verzisug erfolgt, so gilt: q m m + i C (vorschüssig) q m 1 + m + i C (achschüssig) Da das i de Uterperiode etstadee apital S m erst am Ede eier Zisperiode vorliegt, trifft die Formel (N3) zu.

7 136 4 Grudlage der Fiazmathematik eispiel 4.12 Auf ei Sparkoto, auf dem sich scho befide, werde Jahre lag zum Ede eies jede Moats (6 % p.a.) eigezahlt. Wie hoch ist das Guthabe am Ede des. Jahres? : Gemischte Verzisug, achschüssig. Es gilt: 1, C, m 12 (Moate),, i,6, q 1,6 q m 1 + m + i C ( N) 1, 6 1 1,6 1 + (12 +,6 5,5) 18 42,77.,6 4.4 Tilgugsrechug atetilgug Zur Tilgug eier Schuld, die zu eiem Zissatz p ausgeliehe ist, werde für eie fest vereibarte Laufzeit vo Jahre kostate Tilgugsrate Q gezahlt, die die fällige Zise Z k für das k-te Jahr icht beihalte. Dabei gilt: Q ( ( ) ) Zk k 1 Q i Die Summe aus der Tilgugsrate Q ud de afallede Zise Z k A k Q + Z k wird als Auität bezeichet. emerkug ei der atetilgug bleibt die Tilgugsrate Q für die gesamte Laufzeit kostat, währed die Auität mooto fällt. Auitätetilgug Zur Tilgug eier Schuld, die zu eiem Zissatz p ausgeliehe ist, wird über eie fest vereibarte Laufzeit am Afag oder am Ede jeder Zisperiode ei gleichbleibeder etrag E bezahlt. Dieser wird als Auität bezeichet ud setzt sich aus der Tilgugsrate T ud de Zise Z zusamme: A T + Z. Da die Schuld ach Periode vollstädig begliche werde soll, wird gesetzt (siehe vorherige Seite).