Leseprobe. Finanzmathematik. Hartl WIRTSCHAFTSMATHEMATIK. Studienbrief HDL HOCHSCHULVERBUND DISTANCE LEARNING. 3.
|
|
- Bernhard Solberg
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Leseprobe Hartl Fiazmathematik WIRTSCHAFTSMATHEMATIK Studiebrief Auflage 2008 HOCHSCHULVERBUND DISTANCE LEARNING
2 Fiazmathematik Impressum Verfasser: Prof. Dr. sc. Friedrich Hartl Professor für Wirtschaftsmathematik/Statistik im Fachbereich 3, Wirtschaftswisseschafte I a der Fachhochschule für Techik ud Wirtschaft Berli Der Studiebrief wurde auf der Grudlage des Curriculums für de Studieschwerpukt Wirtschaftsmathematik verfasst. Die Bestätigug des Curriculums erfolgte durch de Fachausschuss für das modulare Ferstudieagebot Betriebswirtschaftslehre, dem folgede Professore agehöre: Dr. Arold (FH Gieße-Friedberg), Dr. Götze (FH Stralsud), Dr. Heger (FHTW Berli), Dr. Hofmeister (FH Erfurt), Dr. Nullmeier (FHTW Berli), Dr. Pumpe (TFH Berli), Rosema M. A. (FH Brauschweig/ Wolfebüttel), Dipl.-Ök. Schidler (HS Merseburg), Dr. Schleicher (HS Wismar), Dr. Schwill (FH Bradeburg), Dr. M. Struz (FH Lausitz), Dr. H. Struz (Westsächsische HS Zwickau), Dr. Tippe (TFH Wildau). 3., überarbeitete Auflage 2008 Redaktiosschluss: Oktober by Service-Agetur des Hochschulverbudes Distace Learig. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begrüdete Rechte, isbesodere das Recht der Vervielfältigug ud Verbreitug sowie der Übersetzug ud des Nachdrucks, bleibe, auch bei ur auszugsweiser Verwertug, vorbehalte. Kei Teil des Werkes darf i irgedeier Form ohe schriftliche Geehmigug der Service-Agetur des reproduziert oder uter Verwedug elektroischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werde. Service-Agetur des (Hochschulverbud Distace Learig) Leiter: Dr. Reihard Wulfert c/o Agetur für wisseschaftliche Weiterbildug ud Wissestrasfer e. V. Magdeburger Straße 50, Bradeburg Tel.: kotakt-hdl@aww-bradeburg.de Fax: Iteret:
3 Fiazmathematik Ihaltsverzeichis Eileitug...5 Literaturempfehlug Mathematische Grudlage Potezrechug Logarithmerechug Folge ud Reihe Arithmetische Folge ud Reihe Geometrische Folge ud Reihe Prozetrechug Prozetuale Äderug vo Grudwerte Zeitliche Veräderug vo ökoomische Größe Zis- ud Ziseszisrechug Grudbegriffe, Defiitioe Eifache Zisrechug Ziseszisrechug bei jährlicher Verzisug Edwert eier Eimalzahlug Barwert eier Eimalzahlug Zissatzbestimmug Laufzeitbestimmug Ziseszisrechug bei uterjähriger Verzisug Zeitwertbestimmug eier Zahlugsfolge Reterechug Grudbegriffe, Defiitioe Reterechug bei gleiche Rete- ud Zisperiodeläge Reteedwert Retebarwert Retehöhe Azahl der Rete Zissatz Reterechug bei uterschiedliche Rete- ud Zisperiode Reteperiode kürzer als Zisperiode Reteperiode läger als Zisperiode Ewige Rete... 45
4 Fiazmathematik 5 Tilgugsrechug Grudbegriffe, Defiitioe Grudbeziehuge i eiem allgemeie Tilgugspla Tilgugsarte Jährliche Ratetilgug Jährliche exakte Auitätetilgug Uterjährige Auitätetilgug Abschreibuge Grudbegriffe, Defiitioe Lieare Abschreibug Geometrisch-degressive Abschreibug Lösugshiweise zu de Übugsaufgabe Literaturverzeichis... 65
5 Fiazmathematik Eileitug Was ist Fiazmathematik? Die Fiazmathematik ist das Teilgebiet der Wirtschaftsmathematik, das die quatitative Istrumetarie für die Bewertug vo Kapitalbeträge zu uterschiedliche Zeitpukte bereitstellt. Die klassische Bereiche der Fiazmathematik sid die Zis- ud Ziseszisrechug (Kapitel 3), die Reterechug (Kapitel 4) ud Tilgugsrechug (Kapitel 5) sowie die Abschreibuge (Kapitel 6). Wichtige Awedugsmöglichkeite liege i de Bereiche Fiazierug, Ivestitio ud Wirtschaftlichkeitsrechug. Literaturempfehlug Tietze, J. (2006): Eiführug i die Fiazmathematik. Dieses Buch ist als eigestädige Ergäzug zur Eiführug i die Wirtschaftsmathematik gedacht ud sehr gut durch eie Vielzahl vo Beispiele für das Ferstudium geeiget. Tietze, J. (2005): Übugsbuch zur Fiazmathematik. Locarek, H. (1997): Fiazmathematik. Dieses Buch umfasst die wesetliche fiazmathematische Methode i kapper ud sehr deutlicher Darstellug. Pfeifer, A. (2004): Praktische Fiazmathematik (mit CD-ROM für EXCEL). I diesem Buch wird sehr viel Wert auf Awedugs- ud Praxisbeispiele gelegt. Hervorzuhebe ist die Eibidug des Kalkulatiosprogrammes EXCEL i die fiazmathematische Berechuge.
6 Fiazmathematik 1 Mathematische Grudlage We Sie dieses Kapitel durchgearbeitet habe, solle Sie i der Lage sei: Studieziele die Recheoperatioe der Potez-, Wurzel- ud Logarithmerechug richtig azuwede, arithmetische ud geometrische Folge sowie ihre Reihe zu defiiere ud ihre Eigeschafte erkee zu köe ud de Zusammehag zwische arithmetischer Folge ud eifacher Verzisug sowie zwische geometrischer Folge ud Ziseszis-Verzisug zu erkee. I der Fiazmathematik isbesodere i der Ziseszis- ud Reterechug werde, ebe de vier Grudrechearte, die Potez-, die Wurzelud die Logarithmegesetze agewedet. Aus diesem Grud stelle wir die grudlegede Defiitioe ud Rechegesetze i diesem eileitede Kapitel och eimal zusamme. Bei der Herleitug der fiazmathematische Beziehuge werde im Wesetliche die Eigeschafte der arithmetische ud geometrische Folge ud Reihe geutzt. Deshalb sei auch hier auf die wichtigste mathematische Aussage über Folge ud Reihe eigegage. 1.1 Potezrechug Defiitio Ei Produkt aus gleiche Faktore b ka verkürzt als Potez b geschriebe werde: b b b b = b. Ma et b die -te Potez vo b. Der Faktor b heißt Potez; ist der Expoet. Für das Reche mit Poteze gelte die folgede Recheregel: a b ± c b = (a ± c) b Poteze mit gleicher Basis ud gleichem Expoete köe addiert/subtrahiert werde, idem ma ihre Koeffiziete addiert/subtrahiert. b m b = b m+ Poteze mit gleicher Basis aber uterschiedliche Expoete köe multipliziert werde, idem ma die Basis mit der Summe der Expoete poteziert. m b b = b m- Uterschiedliche Poteze mit gleicher Basis köe dividiert werde, idem ma die Basis mit der Differez der Expoete poteziert.
7 Fiazmathematik m m (b ) = b Eie Potez wird poteziert, idem ma die Basis mit dem Produkt der Expoete poteziert. Es gilt b 0 = 1 ud b 1 - = für b 0. b B 1.1 a) 3 b b b 4 7 b b 3 = 4 b b b 4 b) 3 b 2 4 b 3 5 b 4 7 b 2 2 b 3 = 840 b 14 c) = 400 d) 4 x 1 1 b 1 = 4 x b e) 2 5 (b ) = b 10 f) a 3 + a 5 = a 3 (1 + a 2 ) Beispiel 1.2 Logarithmerechug I der Fiazmathematik besteht eie der Grudaufgabe dari, aus eier Gleichug der Form K = b de Expoete zu bestimme, wobei K ud die Basis b der Potez b bekat sid. Laut Defiitio eier Potez muss eie atürliche Zahl sei. Um diese Gleichug jedoch stets löse zu köe, ist es otwedig, de Expoete aus dem Bereich der reelle Zahle zu wähle ud somit die Logarithmerechug azuwede. Für alle Werte b ud K > 0 hat die Gleichug K = b eie reelle Lösug für, ud zwar de Logarithmus vo K zur Basis b: K = b = log b K Der Logarithmus eier Zahl K ist der Wert, mit dem ma die Basis b poteziere muss, um die Zahl K zu erhalte. Defiitio Der Expoet heißt Logarithmus vo K zur Basis b (> 0). Für das Reche mit Logarithme gelte die folgede Regel: log b (u v) = log b u + log b v Ei Produkt wird logarithmiert, idem ma die Logarithme der Faktore addiert. æuö log b ç çè vø = log u log v b b Ei Bruch wird logarithmiert, idem ma vom Logarithmus des Zählers de Logarithmus des Neers subtrahiert. log b (a ) = log b a Eie Potez wird logarithmiert, idem ma de Expoete mit dem Logarithmus der Basis a multipliziert.
8 Fiazmathematik Logarithme zur Basis b = 10 werde als dekadische Logarithme bezeichet ud gekezeichet durch lg log 10 K = lg K. Logarithme zur Basis b = e werde als atürliche Logarithme bezeichet ud gekezeichet durch l log e K = l K ( Bemerkug zu der Zahl e am Ede des Kapitels). Speziell gilt: lg 10 u = u, l e u = u, 10 lg x = x, e l x = x Beispiel B 1.2 Gesucht wird jeweils der Expoet aus eier Gleichug: a) 100 = 10 = 2, da ach Def. der Potez 10 2 = = 100. b) 10 = 100 ka keie atürliche Zahl sei. We aber als ratioale Zahl ageomme wird, da ist = ½. Da 100 ½ = (10 2 ) ½ = 10 1 = 10 ( Wurzelrechug). c) 110 = 10 = 2 ud Rest: We der Expoet reell sei darf, so logarithmiere die Zahl 110 zur Basis 10 log =. Mit Tascherecher erhalte wir = 2,041. d) I der Ziseszisrechug ist es bei der Laufzeitbestimmug otwedig, die Gleichug K = K 0 (1 + i) ach dem Expoete aufzulöse. Dazu teile wir zuächst die Gleichug durch K K ( ) 0 = 1+ i K 0 logarithmiere beide Seite der Gleichug (lg gewählt, da auf Tascherecher verfügbar) æk ö lg = lg( 1+ i) ud ç çè K 0 ø wede auf der rechte Seite der Gleichug die Regel für die Potez a lg (1 + i). Somit erhalte wir ach Dividiere der Gleichug durch lg (1+i) de gesuchte Expoete æk ö lg ç K çè 0 ø = lg(1+ i). e) I der Reterechug ist es bei der Bestimmug der Reterateazahl N otwedig, die Gleichug q = 1+ r N RN i ach dem Expoete N aufzulöse: N wird zum Faktor, we wir die like ud rechte Seite der Gleichug logarithmiere æ R N iö N lg q= lg ç 1 +. çè r ø
9 Fiazmathematik Nach Dividiere durch lg q erhalte wir schließlich für N: æ R N ö lg ç 1+ i çè r ø N = lg q B 1.3 Gesucht werde die Logarithmewerte vo a) lg 100 = lg 10 2 = 2 b) lg 1 = lg 1 lg 100 = 0 2 = c) lg (1 + i), wobei i = 0,03 lg (1,03) = 0,0128 (Tascherecher) d) l (1 + i), wobei i = 0,03 l (1,03) = 0,0296 (Tascherecher) e) l(e) = Folge ud Reihe Ordet ma jeder atürliche Zahl durch eie Zuordugsvorschrift f() geau eie reelle Zahl a (auch -tes Glied geat) zu, so bildet die Aeiaderreihug (a 1, a 2,, a N ) dieser a eie Zahlefolge. Defiitio Die Darstellug vo Zahlefolge erfolgt etweder durch eie explizite oder durch eie rekursive Bildugsvorschrift. Die explizite Vorschrift gibt a, wie das Folgeglied a direkt berechet wird, die rekursive gibt a, wie das Folgeglied a aus zuvor bereits bestimmte Folgeglieder berechet wird. Häufig iteressiert dabei, wie a aus seiem umittelbare Vorgäger a 1 berechet werde ka. Arithmetische ud geometrische Folge bzw. Reihe bilde die Grudlage der gesamte Fiazmathematik. Merksatz Arithmetische Folge ud Reihe Eie Zahlefolge (a 1, a 2, a 3, ) et ma arithmetisch, we jedes Glied a + 1 (außer dem Afagsglied a 1 ) aus dem umittelbar vorhergehede a durch Additio eier kostate Zahl d etsteht (rekursive Bildugsvorschrift): a +1 = a + d, Mege der Natürliche Zahle, Defiitio we sich das -te Glied der Folge aus dem Afagsglied a 1 durch die ( 1)-malige Additio der Kostate d ergibt (explizite Bildugsvorschrift): a + ( 1) d, für = 2, 3,
10 10 Fiazmathematik Die Kostate d bestimmt das Wachstumsverhalte der Folge: Ist d > 0 so ist die Folge steiged, d < 0 falled, d = 0 kostat. Vo besoderem Iteresse ist die Zahlefolge (s 1, s 2, s 3, ), dere Glieder s ( = 1, 2, ) die jeweilige Summe der erste Glieder der arithmetische Folge (a 1, a 2, a 3,..) sid. Also s 1, s 2 + a 2, s 3 + a 2 + a 3 usw. Diese Folge bezeichet ma als Folge der Partialsumme. Das allgemeie Glied s heißt -te Partialsumme der arithmetische Folge. Ket ma das Afagselemet a 1 ud das Edelemet a ud damit auch de Idex der arithmetische Folge, so gilt für die Summe der erste Glieder s = a1 + a2 + + a =åai i= 1 die Summeformel s = ( a1 + a ). 2 Beispiel B 1.4 Gaußsche Summeformel geg.: Zahlefolge der erste 100 atürliche Zahle (1, 2, 3,, 100). ges.: s 100 Lösug: Zuächst erfolgt der Nachweis, dass die Folge arithmetisch ist: Es ist a 1 = 1, a = 2, a 3 = a = 3, a = 100 edliche arithmetische Folge mit dem explizite Bildugsgesetz a + ( 1) d, mit = 1, 2,, 100, a 1 = 1, d = 1. Amerkug: Gesucht ist s 100 also der Summewert Üblicherweise addiert ma vo liks ach rechts. Warum?, so dachte Gauß ud addierte die erste Zahl a 1 = 1 mit der letzte, a = = 101, die zweite mit der vorletzte = 101 usw. Da 50 Additioe durchzuführe ware, ergab sich s 100 = = So habe wir Gauß die Summeformel der arithmetische Reihe zu verdake: Gliederazahl å ai = s = (Afagsglied+ Edglied). 2 i= Geometrische Folge ud Reihe Defiitio Eie Zahlefolge et ma geometrisch, we jedes Glied a +1 (außer dem Afagsglied a 1 ) aus dem umittelbar vorhergehede a durch Multiplikatio mit eier Zahl q etsteht (rekursive Bildugsvorschrift): a + 1 = a q, Mege der Natürliche Zahle,
11 Fiazmathematik 11 we sich das -te Glied der Folge aus dem Afagsglied a 1 durch die ( 1)-malige Multiplikatio mit der Kostate d ergibt (explizite Bildugsvorschrift): a q 1 für = 2, 3, I der Reterechug (mit kostate Reterate) ist die Zahlefolge (s 1, s 2, s 3, ) vo besoderem Iteresse, dere Glieder s ( = 1, 2, ) die jeweilige Summe der erste Glieder der geometrische Folge (a 1, a 2, a 3,...) sid, also s 1, s 2 + a 2, s 3 + a 2 + a 3 usw. Das allgemeie Glied s ist die -te Partialsumme der geometrische Folge, die sogeate geometrische Reihe. De Summewert s erhalte wir aus der Beziehug q -1 s = a1 für q¹ 1. q-1 B 1.5 Es werde drei edliche Zahlefolge betrachtet: Die Folge (1) ethält die Restwerte eier Alage ach Jahre ( Abschitt 5.2 Lieare Abschreibug). Folge (2) ist eie Kapitalfolge, wobei am Ede des Jahres 4 % Zise gezahlt werde (ohe Zisesziseffekt) (s. Abschitt 3.2 zu eifacher Zisrechug). Ud i Folge (3) habe wir es mit eiem Beispiel aus der Ziseszisrechug (s. Absch. 2.3/2.4) zu tu. 100 werde am Afag des Jahres eigezahlt ud am Ede des Jahres mit 4 % verzist. Der eue Wert wird am Ede des Jahres wieder mit 4 % verzist usw. I der vierte Spalte steht jeweils das aus der Zahlefolge erkate explizite Bildugsgesetz (s. Tab. 1.1): Beispiel Art Bildugsgesetz Summewert s (1) a arithmet. Folge a = 100 ( 1) 20 (2) a arithmet. Folge a = ( 1) 3 4 s = 4 ( 212) = (3) a ,16 112,49 geometr. Folge a = 100 1,04 4 1, 04-1 s = 100 = 424, , 04 Tabelle 1.1 Edliche Zahlefolge (zu Beispiel B 1.5) Die Reihe i der letzte Spalte sid wie folgt zu iterpretiere: (2): We acheiader jeweils am Afag eies Jahres 100 auf ei Koto eigezahlt werde, so ist die Gesamtsumme am Ede des 4. Jahres bei eifacher Verzisug mit 4 % pro Jahr gleich s 4 = 424.
12 12 Fiazmathematik (3): We acheiader jeweils am Afag eies Jahres 100 auf ei Koto eigezahlt werde, so ist die Gesamtsumme am Ede des 4. Jahres bei Zisverzisug mit 4 % pro Jahr gleich s 4 = 424,65. Exkurs: Eulersche Zahl e Bei der stetige Verzisug spielt die Zahl e eie wichtige Rolle. Defiitio Was ist die Eulersche Zahl e? Grezwert der spezielle Fuktio f(x): x æ 1ö f(x) = ç 1 +, für x, also : çè x ø x æ 1ö e = lim ç 1+ = 2, x çè x ø Für eiige ausgewählte x-werte sid die Fuktioswerte f(x) agegebe: x f(x) 2 2,25 2,705 2,7169 2,7181 2, ,71828 Beispiel B 1.6 Es soll gezeigt werde, dass im Fall eies stetige Ziszuschlages ( Absch. 3.4) Folgedes für die Edwertformel (3.22) bei uterjähriger Verzisug gilt: æ ö i om m N 1 KN = K 0(1 + ) = K 0 1 m + m ç i om çè om ø m i om N iom æ 1ö Die Substitutio = x liefert : KN = K 0 ç 1+ i çè x ø Für x gilt ach Ersetze vo æ 1ö lim ç 1+ çè x ø x. x x iom N. durch die Zahl e die i Edwertformel bei stetiger Verzisug om N K = K e. N 0 2 Prozetrechug Studieziele We Sie dieses Kapitel durchgearbeitet habe, solle Sie i der Lage sei: die wichtigste Begriffe der Prozetrechug ud ihre grudlegede Beziehuge richtig azuwede, die relative ud absolute Ateile eies Grudwertes zu bereche, die Äderug eies Grudwertes um p % (Veräderug durch Mehrwertsteuer, Skoto, Rabatt, Aufschlag) bestimme zu köe sowie die durchschittliche jährliche Äderugsrate (% pro Jahr), bezoge auf das jeweilige Vorjahr ermittel zu köe.
Folgen und Reihen. 23. Mai 2002
Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2
MehrArithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr
ZAHLENFOLGEN Teil 2 Arithmetische ud geometrische Folge Die wichtigste Theorieteile ud gaz ausführliches Traiig Datei Nr. 4002 Neu Überarbeitet Stad: 7. Juli 206 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
MehrReihen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen. Datei Nr (Neu bearbeitet und erweitert) Juni Friedrich W. Buckel
Zahlefolge Teil 3 Reihe Reihe Arithmetische Reihe Geometrische Reihe Datei Nr. 4003 (Neu bearbeitet ud erweitert) Jui 005 Friedrich W. Buckel Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt Defiitio eier Reihe
MehrKapitel 4. Folgen und Reihen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folgen und Reihen 1 / 38. a : N R, n a n
Kapitel 4 Folge ud Reihe Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 2017/18 4 Folge ud Reihe 1 / 38 Folge Eie Folge ist eie Aordug vo reelle Zahle. Die eizele Zahle heiße Glieder der Folge. Formal: Eie
MehrAufgabe 4.2. (a) lim 7 + = (b) lim. ( 2n 3 6n 2 + 3n 1. (c) lim n n 2 ( 1) n n 3) = lim. (d) n n + 1. lim. (e) n n. Aufgabe 4.3.
Folge Eie Folge ist eie Aordug vo reelle Zahle. Die eizele Zahle heiße Glieder der Folge. Kapitel 4 Folge ud Reihe Formal: Eie Folge ist eie Abbildug a : N R, a Folge werde mit a i i oder kurz a i bezeichet.
Mehr= a n: Wurzelexponent x: Radikand oder Wurzelbasis a: Wurzelwert Bei der ersten Wurzel wird einfach das Wurzelzeichen weggelassen.
Wurzelgesetze Gesetzmäßigkeite Grudlage Das Wurzelziehe (oder Radiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Daher sid die Wurzelgesetze de Potezgesetze sehr ählich. Die Wurzel aus eier positive Zahl ergibt
MehrLösungen zum Thema Folgen und Reihen
Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Uiversität Regesburg Lösuge zum Thema Folge ud Reihe Lösug zu Aufgabe 1. a) (a ) N ist eie arithmetische Folge mit d = 11 ud damit ist a 75 = 7 + (75 1)
Mehr(Grob-) Gliederung. B Finanzmathematische Grundlagen C Zinsrechnungen D Rentenrechnungen E Tilgungsrechnungen F Kurs und Rendite
(Grob-) Gliederug A Eiführug Reterechuge B Fiazmathematische Grudlage C Zisrechuge D Reterechuge E Tilgugsrechuge F Kurs ud Redite Dr. Alfred Brik Dr. A. Brik Istitut für Wirtschafts- ud Sozialwisseschafte
MehrKAPITEL 2. Zahlenfolgen
KAPITEL Zahlefolge. Kovergete Zahlefolge...................... 35. Grezwertbestimmug....................... 38.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug............. 4.4 Mootoe Folge..........................
MehrKAPITEL 7. Zahlenfolgen. 7.1 Konvergente Zahlenfolgen Grenzwertbestimmung Grenzwertbestimmung durch Abschätzung...
KAPITEL 7 Zahlefolge 7. Kovergete Zahlefolge.............................. 30 7.2 Grezwertbestimmug............................... 32 7.3 Grezwertbestimmug durch Abschätzug..................... 35 7.4
MehrEinführende Beispiele Arithmetische Folgen. Datei Nr SW. Das komplette Manuskript befindet sich auf der Mathematik - CD.
ZAHLENFOLGEN Eiführede Beispiele Arithmetische Folge Datei Nr. 400 SW Das komplette Mauskript befidet sich auf der Mathematik - CD Friedrich Buckel Februar 00 Iteratsgymasium Schloß Torgelow Ihalt Eiführede
MehrÜbungsblatt Folgen, Reihen, Finanzmathematik
Tutorium zu Mathematik für WFB Übugsblatt Folge, Reihe, Fiazmathematik Aufgabe (Grezwerte vo Folge) Bestimme Sie die Grezwerte der Folge ( ), N 4 b) c) d) e) si( ) f) a () g) a cos( ) Aufgabe (4 ) 4 b)
MehrFinanzmathematische Modelle
Fiazmathematische Modelle Zum Zeitpukt der Erstellug dieses apitels Afag 7 war das absolute Zistief. Bei Guthabezissätze i der Größeordug vo, % macht die Betrachtug vieler asoste wichtiger fiazmathematischer
MehrArithmetische und geometrische Folgen. Die wichtigsten Theorieteile. und ganz ausführliches Training. Datei Nr
DEMO für ZAHLENFOLGEN Teil 2 Arithmetische ud geometrische Folge Die wichtigste Theorieteile ud gz ausführliches Traiig Datei Nr. 40012 Neu geschriebe ud sehr erweitert Std: 4. Februar 2010 INTERNETBIBLIOTHEK
MehrLeseprobe. Wolfgang Eichholz, Eberhard Vilkner. Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik ISBN:
Leseprobe Wolfgag Eichholz, Eberhard Vilker Taschebuch der Wirtschaftsmathematik ISN: 978-3-446-41775-5 Weitere Iformatioe oder estelluge uter http://www.haser.de/978-3-446-41775-5 sowie im uchhadel. Carl
Mehr6. Übung - Differenzengleichungen
6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf
Mehr6 Grenzwerte von Zahlenfolgen
6 Grezwerte vo Zahlefolge Ei zetraler Begriff der Aalysis ist der des Grezwertes. Wir begie mit der Betrachtug vo Grezwerte vo Zahlefolge. 6. Zahlefolge 6.. Grudbegriffe Defiitio 6... Eie Fuktio f : Z
MehrGeometrische Folgen. Auch Wachstumsfolgen Viele Aufgaben. Lösungen nur auf der Mathe-CD Hier nur Ausschnitte. Datei Nr
ZAHLENFOLGEN Teil Geometrische Folge Auch Wachstumsfolge Viele Aufgabe Lösuge ur auf der Mathe-CD Hier ur Ausschitte Datei Nr. 00 Friedrich Buckel März 00 Iteretbibliothek für Schulmathematik 00 Geometrische
MehrTaschenbuch der Wirtschaftsmathematik
Taschebuch der Wirtschaftsmathematik vo Wolfgag Eichholz, Eberhard Vilker 4., überarbeitete ud erweiterte Auflage Haser Müche 7 Verlag C.H. eck im Iteret: www.beck.de ISN 978 3 446 41117 3 Zu Ihaltsverzeichis
MehrFunktionenreihen. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Fuktioereihe Erst durch Newto wurde die Theorie uedlicher Reihe zu eiem eigestädige Forschugsgebiet i der Mathematik, das da i Britaie besodere Beachtug ud weitere Etwicklug durch Brook Taylor ud Coli
Mehrb) Alle ganzen Zahlen die auf 0 enden sind durch 5 teilbar Spezialisierung: 120 endet auf ist durch 5 teilbar
d) Die Beweismethode der vollstädige Iduktio Der Übergag vo allgemeie zu spezielle Aussage heisst Deduktio Beispiele: a) Allgemeie Aussage: Spezialisierug: Schluss: Alle Mesche sid sterblich Sokrates ist
MehrVorkurs Mathematik für Informatiker Folgen
Vorkurs Mathematik für Iformatiker -- 9 Folge -- 6.1.215 1 Folge: Defiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reihefolge wichtig,
MehrFinanzmathematik. = K 0 (1+i) n = K 0 q n
Fiazmathematik 1. Kapitalverzisug: Beispiel 1: Ei Kapital vo 3000 wird mit 5% verzist. Wie viel bekommt ma am Ede eies Jahres samt Zise? Die Zise Z werde so berechet: Z = K 0 p/100 = 3000 5/100 = 0. Das
MehrEs gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden
Folge ud Reihe Folge Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle N = {0, 1,,...} i die Mege der (zumidest i de meiste Fälle) reelle Zahle R. I diesem Fall ka ma sich eie Folge als Pukte i eiem Koordiatesystem
MehrChristoph Hindermann. Vorkurs Mathematik Wichtige Rechenoperationen
Kapitel 2 Christoph Hiderma 1 2.1 Wiederholug: Die gebräuchlichste Zahlebegriffe Natürliche Zahle: N bzw. N 0 N ={1,2,3,...} N 0 ={0,1,2,3,...} Gaze Zahle: Z, Erweiterug der atürliche Zahle um die egative
MehrDie Wurzel einer Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen wieder a ergibt.
Wurzel Wurzelexpoet Radikad oder auch Basis Die Wurzel eier Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgeomme wieder a ergibt. Die -te Wurzel et ma auch Quadratwurzel, dabei lässt ma die (als Wurzelexpoet)
MehrLösungen der Aufgaben zur Selbstüberprüfung
Lösuge der Aufgabe zur Selbstüberprüfug 1. a) (a) = {(I, - 3), (2, - 3/2), (3, -1),..., (50, - 3/50),... ) (a) = ( -3, - 3/2, - 1,..., -3/50,... ) (a) ist streg mooto wachsed, de - 3/ < - 3/( + 1), das
MehrDie Größe G nennt man Grundwert, p Prozentsatz und P Prozentwert, so dass sich die Beziehung
Fiazmathematik Prozetrechug Beispiel 1: (Siehe Aufgabesammlug) Eier Zeitugsmeldug ist zu etehme, dass Uterehme A seie Umsatz im Jahr 2004 um 4% gegeüber dem Umsatz vo 2003, der 4,3 Mio. Euro betrug, steiger
MehrFinanzmathematik. = K 0 (1+i) n = K 0 q n
Fiazmathematik 1. Kapitalverzisug: Beispiel 1: Ei Kapital vo 3000 wird mit 5% verzist. Wie viel bekommt ma am Ede eies Jahres samt Zise? Die Zise Z werde so berechet: Z = K 0 p/100 = 3000 5/100 = 0. Das
Mehr4.1 Dezimalzahlen und Intervallschachtelungen. a) Reelle Zahlen werden meist als Dezimalzahlen dargestellt, etwa
20 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit 4 Kovergete Folge 4. Dezimalzahle ud Itervallschachteluge. a) Reelle Zahle werde meist als Dezimalzahle dargestellt, etwa 7,304 = 0+7 +3 0 +0 00 +4 000. Edliche Dezimalzahle
Mehr3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.
3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.000, 1 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Defiitio: Eie
MehrKapitel 2. Terme. oder (x + 1)(x 1) = x 2 1
Kapitel 2 Terme Josef Leydold Auffrischugskurs Mathematik WS 207/8 2 Terme / 74 Terme Ei mathematischer Ausdruck wie B R q q (q ) oder (x + )(x ) x 2 heißt eie Gleichug. Die Ausdrücke auf beide Seite des
MehrFolgen explizit und rekursiv Ac
Folge explizit ud rekursiv Ac 03-08 Folge sid Fuktioe, bei dee atürliche Zahle ( 0; ; ; ) reelle Zahle a() zugeordet werde. Ma schreibt dafür : a() bzw. a. Für die Folge schreibt ma auch < a >. Folge köe
Mehr4. Reihen Definitionen
4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a
MehrIndex. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17
Folge, Reihe Idex Kovergezkriterie Hauptkriterium, Leibiz-Kriterium, Majoratekriterium, 4 Mioratekriterium, otwediges Kriterium, 0 Quotietekriterium, teleskopierede Summe, Wurzelkriterium, Majorate, 4
MehrHTBLA VÖCKLABRUCK STET
HTBLA VÖCKLABRUCK STET Folge ud Reihe INHALTSVERZEICHNIS 1. EINFÜHRUNG... 3. DARSTELLUNG EINER FOLGE... 3 3. BEISPIELE... 4 4. ENDLICHE REIHE... 4 5. ARITHMETISCHE FOLGEN UND REIHEN... 4 6. GEOMETRISCHE
MehrAufgaben zur Übung und Vertiefung
Aufgabe zur Übug ud Vertiefug ARITHMETISCHE ZAHLENFOLGEN Berufliches Gymasium / Uterstufe () Stelle Sie fest, welche der gegebee Folge arithmetisch sid: Bestimme Sie zuächst die erste füf Folgeglieder,
MehrZahlenfolgen und Konvergenzkriterien
www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit
MehrMethoden: Heron-Verfahren, Erweiterung von Differenzen von Quadratwurzeln
6 Kovergete Folge Lerziele: Kozepte: Grezwertbegriff bei Folge, Wachstumsgeschwidigkeit vo Folge Resultat: Mootoe beschräkte Folge sid koverget. Methode: Hero-Verfahre, Erweiterug vo Differeze vo Quadratwurzel
Mehr3 Grenzwerte. 3.1 Grenzwerte von Folgen
03-grezwerte.cdf 3 Grezwerte 3. Grezwerte vo Folge Kovergez Mache Folge zeige ei spezielles Verhalte, we der Idex sehr groß wird. Sie äher sich eier bestimmte Zahl. Betrachte wir zum Beispiel die Folge
MehrDenition 27: Die Fakultät ist eine Folge f : N N mit f(1) := 1 und f(n + 1) := (n + 1) f(n) für alle n N. Wir schreiben n! := f(n) für diese Folge.
Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok, WWU Müster Fachbereich Mathematik ud Iformatik 22.9.20 Ÿ3.2 Folge ud Summe (Fortsetzug) Eie wichtige Möglichkeit, wie ma Zahlefolge deiere ka, ist die über eie
MehrDemo-Text für INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. ANALYSIS Vollständige Induktion FRIEDRICH W.
ANALYSIS Vollstädige Iduktio Datei Nr. 40080 Stad 14. März 018 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 40080 Beweismethode: Vollstädige Iduktio Vorwort Die Methode der vollstädige Iduktio
MehrKAPITEL 3. Zahlenreihen. 3.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen... 80
KAPITEL 3 Zahlereihe 3. Geometrische Reihe......................... 7 3.2 Kovergezkriterie......................... 72 3.3 Absolut kovergete Reihe.................... 80 Lerziele 3 Eigeschafte der geometrische
MehrTutorial zum Grenzwert reeller Zahlenfolgen
MAE Mathematik: Aalysis für Igeieure Herbstsemester 206 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Witerthur Tutorial zum Grezwert reeller Zahlefolge I diesem Tutorial lere Sie, die logische Aussage i der Defiitio des
MehrAusgangspunkt: Über einen endlichen Zeitraum wird aus einem Kapital (Rentenbarwert RBW v n,i
1.1. Jährliche Retezahluge 111 1.1.1. Vorschüssige Retezahluge Ausgagspukt: Über eie edliche Zeitraum wird aus eiem Kapital (Retebarwert RBW v,i ), das ziseszislich agelegt ist, jeweils zu Begi eies Jahres
MehrAufgaben zur Übung und Vertiefung
Aufgabe zur Übug ud Vertiefug BESCHRÄNKTE ND NBESCHRÄNKTE ZAHLENFLGEN Berufliches Gymasium / terstufe Wozu sid eigetlich Schrake da? Geau! Damit der Zug icht auf die Straße fährt Bei der Eisebah markiere
MehrKapitel 2 Differentialrechnung in einer Variablen. 2.1 Folgen und Grenzwerte
Kapitel 2 Differetialrechug i eier Variable 2. Folge ud Grezwerte 2.. Defiitio Eie Folge ist eie Zuordug N R, a, geschriebe als Liste (a,a 2,...) oder i der Form (a ) N. Hier sid ei paar Beispiele: 2,4,6,8,...
MehrGrenzwert. 1. Der Grenzwert von monotonen, beschränkten Folgen
. Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge Der Grezwert vo mootoe, beschräkte Folge ist eifacher verstädlich als der allgemeie Fall. Deshalb utersuche wir zuerst diese Spezialfall ud verallgemeier aschliessed.
MehrAnalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Monotonie
Aalysis ZAHLENFOLGEN Teil 4 : Mootoie Datei Nr. 40051 Friedrich Buckel Juli 005 Iteretbibliothek für Schulmathematik Ihalt 1 Eiführugsbeispiele 1 Mootoie bei arithmetische Folge Defiitioe 3 3 Welche Beweistechik
MehrLösungen zur Präsenzübung 6
Lösuge zur Präsezübug 6 Mirko Getzi Uiversität Bielefeld Fakultät für Mathematik. Dezember 203 Ich gebe keie Gewähr auf eie vollstädige Richtigkeit der Lösuge zu de Übugsaufgabe. Das Dokumet hat jedoch
MehrZusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele
Mehr1. Zahlenfolgen und Reihen
. Zahlefolge ud Reihe We ma eie edliche Mege vo Zahle hat, ka ma diese i eier bestimmte Reihefolge durchummeriere: {a,a 2,...,a }. Ma spricht vo eier edliche Zahlefolge. Fügt ma immer mehr Zahle hizu,
Mehrn=0 f(x) = log(1 + x) = n=1
Potez - Reihe Machmal ist es praktisch eie Fuktio f() mir Hilfe ihrer Potezreihe auszudrücke. Eie Potezreihe um de Etwicklugspukt 0 sieht im Allgemeie so aus a ( 0 ) Fuktioe, für die eie Potezreihe eistiert,
MehrAngewandte Mathematik und Programmierung
Agewadte Mathematik ud Programmierug Eiführug i das Kozept der objektorietierte Aweduge zu wisseschaftliche Reches mit C++ ud Matlab SS03 Orgaisatorisches Dozete Gruppe: Ago (.50), Ludger Buchma(.50) Webseite:
MehrFit in Mathe. April Klassenstufe 10 Wurzelfunktionen
Thema Fit i Mathe Musterlösuge 1 April Klassestufe 10 Wurzelfuktioe Uter der -te Wurzel eier icht-egative Zahl (i Zeiche: ) versteht ma die icht-egative Zahl, die mal mit sich selber multipliziert, die
MehrD-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2
D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler Musterlösug 2 1. a) Per Defiitio ist A = {x : x berührt A}. I der Vorlesug wurde die Formel (X A) = ( A ) c gezeigt, also A = ( X A ) c. Daher ist A = A A = A (A ) c
MehrZusammenfassung: Folgen und Konvergenz
Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 8 Defiitioe ud Beispiele für Folge Defiitio Eie
MehrFormelnfürdieAnzahlmöglicherQuadrateaufn*nSpielfeldern
Modrago Formel Herleitug, Azahl Quadrate ud Differeze 01.doc 1 FormelfürdieAzahlmöglicherQuadrateauf*Spielfelder Mit Erläuteruge zur Ableitug der Formel vo Dr. Volker Bagert Berli, 11.03.010 Ihaltsverzeichis
Mehr2 Vollständige Induktion
8 I. Zahle, Kovergez ud Stetigkeit Vollstädige Iduktio Aufgabe: 1. Bereche Sie 1+3, 1+3+5 ud 1+3+5+7, leite Sie eie allgemeie Formel für 1+3+ +( 3)+( 1) her ud versuche Sie, diese zu beweise.. Eizu5% ZiseproJahragelegtes
MehrUmrechnung einer tatsächlichen Häufigkeitsverteilung in eine prozentuale Häufigkeitsverteilung
.3. Prozetuale Häufigkeitsverteilug (HV) Die prozetuale Häufigkeitsverteilug erlaubt de Vergleich vo Auswertuge, dee uterschiedliche Stichprobegröße zugrude liege. Es köe auch uterschiedliche Stichprobegröße
MehrSo lösen Sie die Gleichung für den Korrelationskoeffizienten
8. Lieare Regressio 8.1. Die Methode der kleiste Quadrate Regressiosgerade bzw. Ausgleichsgerade sid eie Auswertug vo statistische Messdate. Dabei sid Datepukte ( x 1, y 1 ),( x 2, y 2 ), ( x, y ) gegebe.
MehrZusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud -ugleichuge 6 Für Eperte 9 Polyomgleichuge ud -ugleichuge Defiitio: Ei Term
Mehr4. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
4. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 6: Bestimme Sie alle Häufugspukte der Folge mit de Folgeglieder a) a 2 + cosπ), b) b i) i j, ud gebe Sie jeweils eie Teilfolge a, die gege diese Häufugspukte kovergiert.
MehrZusammenfassung: Gleichungen und Ungleichungen
LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Eperte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
MehrGanzrationale Funktionen
Gazratioale Fuktioe 9. Defiitio gazratioaler Fuktioe Im Folgede werde ebe lieare ud quadratische Fuktioe auch solche betrachtet, bei dee die Variable i der dritte, vierte oder auch i eier och höhere Potez
Mehrα : { n Z n l } n a n IR
1 KAPITEL VI. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN 1) REELLE ZAHLENFOLGEN: i) Jede Abbildug α : IN a IR heiÿt 'reelle Zahlefolge' bzw. 'Folge i IR'. Ma otiert diese i der Form α = a ) IN = a ) =0 = a 0, a 1, a 2,...)
MehrLGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2017/2018
LGÖ Ks VMa Schuljahr 7/8 Zusammefassug: Gleichuge ud Ugleichuge Ihaltsverzeichis Polyomgleichuge ud -ugleichuge Bruch-, Wurzel- ud Betragsgleichuge ud ugleichuge 6 Für Experte 8 Polyomgleichuge ud -ugleichuge
MehrEinführung in die Grenzwerte
Eiführug i die Grezwerte Dieser Text folgt hauptsächlich der Notwedigkeit i sehr kurzer Zeit eie Idee ud Teile ihrer Awedug zu präsetiere, so dass relativ schell mit dieser Idee gerechet werde ka. Der
MehrVorkurs Grundlagen für das Mathematikstudium Lösungen 2: Binomialreihen, Exponential- und Logarithmusfunktion
Uiversität Zürich, 3. September 0 Vorurs Grudlage für das Mathematistudium Lösuge : Biomialreihe, Expoetial- ud Logarithmusfutio Lösug zu Aufgabe Seie x, y > 0 ud a > 0. Da gilt: a log a z z für alle z
MehrDer Wald als Vermögen. und seine finanzmathematische Darstellung
Der Wald als Vermöge ud seie fiazmathematische Darstellug 1. Wald als Vermöge 2. Ziseszisrechug 3. Reterechug 4. Zusammefassug Wald als Vermöge? 1. Wälder sid Quelle vo Eikomme => Vermöge 2. Dadurch sid
Mehr( ), der genau auf der Geraden ( ) 2 ( ) #( ) 8. Lineare Regression. = f i. Nach der Summe der kleinsten. mx i
8. Lieare Regressio 8.1. Die Methode der kleiste Quadrate Regressiosgerade bzw. Ausgleichsgerade sid eie Auswertug vo statistische Messdate. Ziel dieses Verfahres ist es, Beziehuge zwische zwei Merkmale
Mehr$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,
MehrD-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Übungsblatt 8. b n := 1 n. a k. k=1
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Aalysis I HS 2017 Prof. Mafred Eisiedler Übugsblatt 8 1. Bereche Sie de Grezwert lim a für die Folge (a ) gegebe durch a) a = (2 1/ ) 10 (1 + 1/ 2 ) 10 1 1/ 2 1/, b) a = + 1, c)
MehrGoldener Schnitt und Fünfecke. Ein Streifzug durch einige Wunder der Mathematik. Geeignet für Klasse 9 (teilweise) und 11 sowie Facharbeiten
Aalysis Fiboacci-Folge Goldeer Schitt ud Füfecke Ei Streifzug durch eiige Wuder der Mathematik Geeiget für Klasse 9 (teilweise) ud sowie Facharbeite Datei Nr. 40070 Stad 8. Jauar 009 INTERNETBIBLIOTHEK
MehrZahlenfolgen. Zahlenfolgen
Zahlefolge Eie Zahlefolge a besteht aus Zahle a,a,a 3,a 4,a 5,... Die eizele Zahle eier Folge heiße Glieder oder Terme. Beispiele für Zahlefolge sid die atürliche Zahle: 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5..., die gerade
MehrKennzeichen: Die Berechnungsbasis bleibt während der gesamten Verzinsungsdauer unverändert (lineares Wachstum)
5. Fiazmathematik 5.1. Zis- ud Ziseszisrechug 5.1.1. Eifache Verzisug Kezeiche: Die Berechugsbasis bleibt währed der gesamte Verzisugsdauer uverädert (lieares Wachstum) Die Verzisug wird ach dem Zeitpukt
Mehr1 Vollständige Induktion
1 Vollstädige Idutio 1.1 Idutiosbeweise Das Beweisprizip der vollstädige Idutio ist eies der wichtigste Hilfsmittel der Mathemati icht ur der Aalysis. Es fidet Verwedug bei pratische alle Aussage, die
Mehr3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten
schreier@math.tu-freiberg.de 03731) 39 2261 3. Tilgugsrechug Die Tilgugsrechug beschäftigt sich mit der Rückzahlug vo Kredite, Darlehe ud Hypotheke. Dabei erwartet der Gläubiger, daß der Schulder seie
MehrGrundkurs Mathematik II
Prof. Dr. H. Breer Osabrück SS 2017 Grudkurs Mathematik II Vorlesug 48 Itervallschachteluge Eie weitere Möglichkeit, reelle Zahle zu beschreibe, eizuführe, zu approximiere ud recherisch zu hadhabe, wird
MehrReihen. Konvergenz. Folgen besonderer Art sind unendliche Summen. a k = a 1 + a 2 +..
6 Reihe Folge besoderer Art sid uedliche Summe a k = a + a 2 +... reeller oder komplexer Zahle, dee wir bereits i eiige Beispiele des Abschitts 5.4 begeget sid. Da ma icht sämtliche Glieder eier Folge
MehrMathematische Vorgehensweise
Kapitel 2 Mathematische Vorgehesweise Um eue Ergebisse zu erziele, ist es häufig otwedig, Aussage präzise zu formuliere ud zu beweise. Daher werde i diesem Kapitel die mathematische Begriffsbilduge ud
MehrKapitel 6. Aufgaben. Verständnisfragen. Rechenaufgaben
Kapitel 6 Aufgabe Verstädisfrage Aufgabe 6. Gegebe sei die Folge (x ) 2 mit x ( 2)/( + ) für 2. Bestimme Sie eie Zahl N N so, dass x ε für alle N gilt, we (a) ε 0, (b) ε 00 ist. Aufgabe 6.2 Stelle Sie
Mehr10 Aussagen mit Quantoren und
0 Aussage mit Quatore ud 0.6. Eisatz vo (bereits bekater) Eistezaussage Bisher hatte wir Eistezbeweise geführt, idem wir ei passedes Objekt agegebe habe ( Setze... ). Stattdesse ka ma auch auf bereits
Mehr5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
5. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 2: Bestimme Sie alle Häufugspukte der komplexe) Folge mit de Glieder a) a = ) 5 + 7 + 2 ) b) b = i Lösug 2: a) Die Folge a ) zerfällt vollstädig i die beide Teilfolge
MehrÜbungen zur Analysis I WS 2008/2009
Mathematisches Istitut der Uiversität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorste Heidersdorf Übuge zur Aalysis I WS 008/009 Blatt 3, Lösugshiweise Die folgede Hiweise sollte auf keie Fall als Musterlösuge
MehrGrundbegriffe der Differentialrechnung
Wirtschaftswisseschaftliches Zetrum Uiversität Basel Mathematik für Ökoome 1 Dr. Thomas Zehrt Grudbegriffe der Differetialrechug Referez: Gauglhofer, M. ud Müller, H.: Mathematik für Ökoome, Bad 1, 17.
MehrProf. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen
Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematik WS0 0.0.0. Zahlefolge.. Wozu IformatikerIe Folge brauche Kovergez vo Folge ist die Grudlage der Aalysis (Differetial- ud Itegralrechug) Traszedete Gleichuge wie l x 50
Mehr4 Konvergenz von Folgen
4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder
MehrArithmetische Reihen Geometrische Reihen. Theorie und Musterbeispiele. Es wird auch das Arbeiten mit dem Summenzeichen geübt! Datei Nr.
Zahlefolge Teil 3: Reihe Arithmetiche Reihe Geometriche Reihe Theorie ud Muterbeipiele E wird auch da Arbeite mit dem Summezeiche geübt! Datei Nr. 40050 Stad 7. September 06 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK
MehrKAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen
KAPITEL 8 Zahlereihe 8. Geometrische Reihe................................. 53 8.2 Kovergezkriterie................................. 54 8.3 Absolut kovergete Reihe............................ 64 Lerziele
MehrFolgen und Reihen Glege 03/01
Folge ud Reihe Glege 03/0 I diesem Script werde folgede Theme behadelt: Folge (Eiführug)... Arithmetische Folge... Geometrische Folge...3 Mootoie...4 Kovergez...5 Grezwert...6 Schrake...7 Arithmetische
MehrStudiengang Betriebswirtschaft Modul. Wirtschaftsmathematik Art der Leistung Studienleistung Klausur-Knz. BB-WMT-S Datum
Studiegag Betriebswirtschaft Modul Wirtschaftsmathematik Art der Leistug Studieleistug Klausur-Kz. BB-WMT-S-07060 Datum 0.06.007 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede
MehrFakultät und Binomialkoeffizient Ac
Faultät ud Biomialoeffiziet Ac 2013-2016 Die Faultät (atürliche Zahl): Die Faultät Faultät ist so defiiert:! = 1 2 3... ( - 1), wobei 0! = 1 Die reursive Defiitio ist: Falls = 0, da! = 1; sost! = ( - 1)!
MehrVorkurs Mathematik für Informatiker Folgen
Vorkurs Mathematik ür Iormatiker -- 8 Folge -- 11.10.2015 1 Folge: Deiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reiheolge wichtig,
MehrDritter Zirkelbrief: Ungleichungen
Matheschülerzirkel Uiversität Augsburg Schuljahr 014/015 Dritter Zirkelbrief: Ugleichuge Ihaltsverzeichis 1 Grudlage vo Ugleichuge 1 Löse vo Ugleichuge 3 3 Mittel 4 4 Mittelugleichuge 5 5 Umordugsugleichug
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof Dr R Köig Dr M Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Mathematik für Physiker (Aalysis ) MA90 Witersem 07/8 Lösugsblatt 4 http://www-m5matumde/allgemeies/ma90 07W (007)
MehrDas Erstellen von Folgen mit der Last Answer Funktion
Schülerarbeitsblatt Wisseschaftlicher Recher EL-W5 WriteView Das Erstelle vo Folge mit der Last Aswer Fuktio 5 9 Die obige Folge wird ach eier eifache Regel gebildet: Zu jedem Glied wird addiert. Über
MehrFORMELSAMMLUNG ARITHMETIK. by Marcel Laube
FORMELSAMMLUNG ARITHMETIK y Mrcel Lue EINFÜHRUNG... DIE OPERATIONS-STUFEN... OPERATIONE 1. STUFE: ADDITION UND SUBTRAKTION... BEZEICHNUNGEN... VORZEICHENREGEL... RECHENOPERATION. STUFE... MULTIPLIKATION:...
MehrHerzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2014
Herzlich Willkomme zur Vorlesug Aalysis I SoSe 2014 Prof. Dr. Berd Dreseler Lebediges Lere: Aufgabe Ich Wir 2 Reelle Zahle 2.1 Körperstruktur vo (K1) Additio ud Multiplikatio kommutativ: a b b a, ab ba.
Mehr