Abschätzung des Betrages einer Determinante. Von. A. BLOCH und G. PôLYA. AIs Manuskript eingegangen am 18. Januar 1933.

Transkript

1 Abschätzug des Betrages eier Determiate. Vo A. BLOCH ud G. PôLYA. AIs Mauskript eigegage am 18. Jauar I. Bezeichet D die zeilige Determiate mit de reelle Elemete aik, so ist (1) 1 D 1< 11 2 i=1 Der allgemeie Faktor uter dem Produktzeiche ist die Hälfte der totale Schwakug der ( + 2) - gliedrige Folge (2) 0, aii, ai2, a 1,..., aiv,..., ai 0. Um die Bedeutug dieses Faktors besser zu verstehe, setze ma ai,+, =0, ud ma teile die Idices N (r = 0, 1, 2,..., ) i zwei Klasse ei: Es gehöre y zur Klasse s)j, we ai,, a. > 0, higege zur Klasse 91, we ai v ai e v+1 < 0. Ma erstrecke die Smme über die v, die zur Klasse 2 über die 1, die zur Klasse gehöre. Es ist 2 (ai, ai, v+1) (aiv ai, v+i) _ (aiv ai, v-i-1) sj) 5J2 v=0 = 0.

2 28 Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft i Züric Setzt ma so ist (3) si) (air ail e+l) =Vi, Vi = (a, ai, v+l) = E (aiv ai, v-1-1) air a 1, v+i = aiv ai, v+, s)) 1 it = c>aiv ai, v+1 v=0 Vi ist also der allgemeie Faktor uter dem Produktzeiche i (1), die Hälfte der totale Schwakug der Folge (2). Net ma V i kurz die Variatio der i-te Zeile, so lautet die Ugleichug (l) so: Der Betrag eier Determiate ka das Produkt der Variatioe der Zeile icht übersteige. Es sei folgeder Spezialfall hervorgehobe : Zu jedem i (i = 1, 2,..., ) gehört ei h = hi (h ka mit i variiere) so, dass die Ugleichuge (4) 0 < a1 < ai2 <... < ai i,-1 < a. i1, > ai, 15+1 >... > ai,i bestehe. (Es sid für hi alle Werte 1, 2,..., zugelasse; hi = 1 heisst, dass die Elemete der i-te Zeile mooto falle, sw.). Uter der Bedigug (4) ist die totale Schwakug der Folge (2) geau 2 a.ih, also Vi = a.175. Net ma ai7, das Hauptelemet der i-te Zeile, so lässt sich die Ugleichug (1) im vorliegede Spezialfall so ausspreche: Der Betrag eier durch (4) charakterisierte spezielle Determiate ka das Produkt der Hauptelemete icht übersteige. Der Bctrag der Determiate wird dem Produkt der Hauptelemete gleich, we diese i ver-. schiedee Koloe ud liks vo ihe lauter Nulle stehe. Wir wede us jetzt zum Beweis der allgemeie Ugleichug (1). II. Wir betrachte eie bestimmte Zeile ud lasse dere Idex i fort, sodass wir kurz a,,, V für ai,,, Vi schreibe. Die algebraische Komplemete der Elemete seie bzw. so dass a,, b,, a2,..., a,,,..., a,z b 2,..., b,,,..., b, D= a,b 1 -{._a2 b2±...+ b T a b.

3 Jahrg. 78. A. BLOGH u. G. POLYA. Abschätzug des Betrages eier Determiate. 29 Wir wähle (willkürlich aber fest) eie Grösse Bo ud setze B = B,v_, -f- b,, (y = 1, 2, 3,..., ). Es ist D = a,(b, B o) +a2(b, B1)+...+ a (B,, B -^) _ (0 a,) B o + (a, a 2) B, -f ( a_, a) B92- I (a 0) B,, _ (ay a,.+,) B,, v = 0 = (a a +,) B,. --{- ' (a a +,) B ; 'J) wir wede die uter I eigeführte Bezeichuge a. Es soll B., sei Maximum für r M d sei Miimum für y = 7 erreiche. Ma fidet, uter Beützg vo (3), (5) D B,V BM V < D < BM V B,,,V < V (BM B01) = V i b1,+1 + b2, f b2,+ es wurde der kleiere der beide Idices a ud M mit p, der grössere mit p -+- q bezeichet. Zur bessere AUffassug der Ugleichug (5) sei die aaloge Formel der Itegralrechug hieher gesetzt: We f (a) = f (b) = 0, ud die totale Schwakug der Fktio.f(x) im Itervalle [a, b] edlich d gleich T ist, da gibt es zu eier vorgegebee itegrable Fuktio g (x) zwei Zahle a, ß, so dass a < a < b, a < /3 <b ud (ß f f (x) g (x) cl x= 2 1 T J g (x) d x. a III. Wir schreibe die Ugleichug (5) i der Form (5') D < O.b, -{ b2, -}- Vz b2,+, VZb2,+,-f-- 0. bp+s+, -F-... O. bp+,+ ; wir schreibe wieder ausführlicher VV für V ud setze p q =r. Wir lese (5') so: Der Betrag vo D immt icht ab, we die i-. te Zeile vo D ersetzt wird drch 0, 0,..., 0, Vi V.,... Vi, 0, 0,..., 0 p Mal q Mal r Mal mit geeigete p, q, r; p -1- g+ r =. Ma beachte, dass die aus D auf diese Weise etstehede Determiate i ihrer i-te Zeile dieselbe Variatio T Z aufweist wie D. Ma wicderhole diese Operatio a

4 30 Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft i Züric für alle Zeile, d dividiere jede Zeile der schliesslich etstadee Determiate durch ihre Variatio, die Determiate selbst also drch V1 V Wir erreiche so eie wesetliche Reduktio des z beweisede Satzes: Es geügt die Ugleichug (1) bloss für solche spezielle Determiate zu beweise, dere alle Zeile aus Nulle ud Eiser i folgeder Art afgebaut sid: (6) 0, 0,..., 0, 1, 1,..., 1, 0, 0,..., 0,» Mal q Mal r Mal p > 0, q> 0, r> O. Natürlich köe p, q, r mit dem Idex i der Zeile variiere, ur p -}- q -7- r = muss fest bleibe. IV. Wir betrachte eie Determiate, dere jede Zeile die Gestalt (6) hat. We i eier Zeile q = 0 ist, so verschwidet die Determiate, ud der Fall ist erledigt. Somit habe wir ur solche Determiate zu betrachte, i welche für jede Zeile q > 0 gilt; jede Zeile hat da die Variatio 1, ud wir habe zu zeige, dass der Betrag der Determiate höchstes 1 ist, also, dass der Wert der Determiate (eie gaze Zahl) 1 oder 0 oder 1 ist. Ma subtrahiere aus der 1- ste Koloe die 2 - te, da aus der 2 - te die 3 - te, usw., zum Schluss aus der ( 1)-te die -te. Es etsteht eie ee Determiate, dere jede Zeile höchstes zwei vo 0 verschiedee Elemete ethält; sid zwei ichtverschwidede Elemete vorhade, so ist das eie 1 ud das adere 1; ist ur ei ichtverschwidedes Elemet vorhade, so ist es 1 oder 1. Es ist u vo eier solche Determiate zu beweise, dass ihr Wert r 1 oder 0 oder 1 sei ka. Sid i jeder Zeile geau zwei Elemete vo 0 verschiede, so ist die Summe der Elemete i jeder Zeile gleich 0, also die Determiate auch gleich O. Gibt es eie Zeile mit lauter Nulle, so ist der Fall auch erledigt. Es bleibt somit ur der Fall übrig, i welchem es eie Zeile mit geau eiem ichtverschwidede Elemet (_ ± 1) gibt. Durch Etwicklug ach de Elemete dieser Zeile gelagt ma, vo eier -zeilige Determiate ausgehed, zu eier (-1)-zeilige vo dem gleiche absolute Betrag ud vo der gleiche Bauart. Da für eizeilige Determiate der Satz offebar gilt, ist er somit durch vollstädige Iduktio als allgemei gültig erwiese.

5 Jahrg. 78, A. BLOCH u. G. P6LYA. Abschätzug des Betrages eier Determiate. 31 V. Um die Awedugsmöglichkeite der Ugleichug (1) durch ei Beispiel zu erläuter, wolle wir jetzt ei iteressates Resultat vo HAAR auf euem Wege herleite, allerdigs i eier etwas abgeschwächte Form; wir meie de Satz '): We die Fuktioe cp i (x), 992 (x),...,,,(x) im Itervalle [0, 1] zueiader orthogoal d ormiert sid, da befidet sich ter ihe midestes eie Fktio, dere totale Schwakg übersteigt. Es ist vorausgesetzt, dass >2 ist. Die Voraussetzug besagt, dass 0 für, (x) 9p (x) d x = (7) `p^ 1 für µ v 0 ist (µ, v = 1, 2,..., ). Wir wolle die totale Schwakug vo cp (x) im Itervalle [0, 1] mit Tit bezeiche. Wir behaupte, dass es uter dc Fktioe rpi (x), ^p2 (x),..., 9p (x) höchstes eie gibt, dere utere ud obere Schrake dasselbe Vorzeiche besitze: De gäbe es zwei verschiedee mit positiver uterer Schrake (z. B.), so köte ja das Itegral über ihr Produkt icht verschwide. Es sei die As ahmefuktio, we es eie gibt, 9p (x), also sei auf alle Fälle rp ^ (x) für µ = 1, 2,..., 1 so beschaffe, dass etweder ihre obere Schrake > 0 ud ihre utere < 0 ist, oder die utere Schrake < 0 ud die obere > O. I beide Fälle ist, wie leicht ersichtlich, (8) Pi,(0) + P,^( 1) Ç T (=1,2,..., - 1). N erhält ma aus (7) durch sukzessive Awedug eier bekate Itegralformel für die GRAM'sche Determiate 2), der Ugleichug (1), ud schliesslich vo (8) 1 = 1 1 j pi x x d x... x x d f1 1 p -1 (x) p, (x) d x... 5 rp -, (x) ^- 1 (x) cl x o o ') A. HAAR, Mathematische Zeitschrift XXXI (1929), S , beweist mehr: V für gerades, ud j/ -1 für ugerades, statt V e. 2) Vgl. z. B. G. P6LYA ud G. Szsaö, Aufgabe ud Lehrsätze aus der Aalysis (Berli 1925) Bd. I, S. 48, Nr. H 68. e

6 32 Vierteljahrsschrift der Naturf. Gesellschaft i Züric Pl (x 1) P1 (x2)... P1 (x-1) dx, dx2...dx,i_1 ( 1)!S...f 00 0 P-1 (x1) P l (x2) (x-1) 1 j' (1Pu(0 )1 + T^ 1Pµ(1)1)2 (- 1)! l T) 2. ( 1)! (Z1 T bei Awedg der Ugleichug (1) brige wir die Koloe der Determiate uter dem ( 1)-fache Itegralzeiche i eie solche Reihefolge, dass x x2,..., x_, mooto ageordet werde. Es folgt (9) (T1 T2... T _ ( 1)! > e Die letzte Ugleichug wird aus der Expoetialreihe so hergeleitet: Für > 2 ist Nu ergibt (9) -2)0+1 " e > (- 2)! -1 ( 1)! + ±! ( -I ( 1)! { 1 { l) "" ( 1)! (2 ; )> (-1)! e. (T1 T2... T -1P=1 > l, woraus die asgesprochee Behauptug offebar folgt. Ählich erhält ma das folgede verwadte Resultat: Bilde die beide ormierte Fktioereihe (x), 1P 2 (x),..., O(x) ^Pl (x), 192 (x),..., P (x) ei biorthogoales System im Itervalle [0, 1], ist IPu(0)= p (I ) = (0)= pu(1)= 0 (u= 1,2,...,), ud wird die totale Schwakug vo 7Pu (x) mit Su, die vo.7) (x) mit bezeichet, so ist S, T,. S2 T2... S T > 4".!, ud midestes eies der Produkte Su Tu ist grösser als 4 e

7 Jahrg. 78. A. BLOGH u. G. POLYA. Abschätzug des Betrages eier Determiate. 33 Eie adere, umittelbare Folgerug der Ugleichug (1) ist 3) : We der Ker K(x,y) der Itegralgleichug (x) X K ( x, 'y) (y) d y =.f (x) o beschräkt, dem Betrage ach <M ist, we ferer dieser Ker i bezug af eie der beide Variable x, y eie edliche Totalschwakg besitzt, die, uabhägig vo der adere Variable, <2V ist, so wird die Potezreihe der FREDHoLM'sche Determiate durch die der Fuktio e(m+ v ) 1 majoriert. 3 ) Vgl. S. A. GHzoaGIIIU, Comptes Redus CLXXXVI (1929), S , isbesodere S Vierteljahrsschrift d. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg