Der Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen

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1 KAPITEL 8 Der Zusaehag zwische lieare Abbilduge ud Matrize 1. Faktorräue DEFINITION 8.1. Sei V ei Vektorrau über de Körper K, ud sei U ei Uterrau vo V, ud sei w V. Da defiiere wir w U wuu U ud V /U v U v V, geat de Faktorrau vo V ach U. DEFINITION 8.2. Sei V ei Vektorrau über de Körper K, ud sei U ei Uterrau vo V. Da defiiere wir ud durch ud für alle v, w V udα K. v U w U vw U Α v U Αv U Wir überlege us, dass ud wohldefiiert sid, das heißt, dass die Relatiov U, w U,vw Uv, w V, die ja eie Teilege vov /U V /U V /U ist, eie Fuktio vo V /U V /U ach V /U ist. SATZ 8.3. Sei V ei Vektorrau über de Körper K, ud sei U ei Uterrau vo V. Da istv /U,,, 0 U, ei Vektorrau über K. SATZ 8.4. Sei V ei Vektorrau über de Körper K it Diesio, ud sei U ei Uterrau vo V it Basisu 1,, u. Da gibt es v 1,, v V, sodass u 1,, u, v 1,, v eie Basis vo V ist udv 1 U,, v U eie Basis vo V /U ist. Beweisskizze. Wie i Beweis vo Satz 3.45 lässt sichu 1,, u zu eier Folge vo liear uabhägige Vektore i V erweiter, die gaz V aufspae. Soit gibt es Vektore v 1,, v V, sodass B u 1,, u, v 1,, v eie Basis vo V ist. 0 Uterlage zur Vorlesug Algebra vo Erhard Aichiger, Peter Mayr. Alle Rechte vorbehalte

2 DER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN LINEAREN ABBILDUNGEN UND MATRIZEN Als ächstes zeige wir, dass Lv 1 U,, v U V /U ist. Sei v U V /U. Wege LB V, gibt esλ 1,,Λ,Μ 1,,Μ K, sodass ist. Also gilt v U v Λ i u i j 1 v i U ud daher v U Lv 1 U,, v U. j 1 v i j 1 v i U U zu zeige, dassv 1 U,, v U liear uabhägig ist, wähle wirμ 1,,Μ K so, dass v i U 0 U. Da gilt j 1 j 1 v i U. Weilu 1,, u eie Basis vo U ist, existiere daλ 1,,Λ so, dass Soit folgt j 1 Λ i u i v i Λ i u i. j 1 v i 0 udλ 1 Λ Μ 1 Μ 0, weil B liear uabhägig ist. Also ist v 1 U,, v U liear uabhägig KOROLLAR 8.5. Sei V ei edlichdiesioaler Vektorrau über K, ud sei U ei Uterrau vo V. Da gilt div div /UdiU. 2. Der Hooorphiesatz DEFINITION 8.6. Seie U ud V Vektorräue über K. Eie lieare Abbildug h V U heißt Isoorphisus, we h bijektiv ist. Der Vektorrau U heißt isoorph zu V, we es eie Isoorphisus vo U ach V gibt. SATZ 8.7. Seie U,V Vektorräue über K, ud sei U edlichdiesioal. We U isoorph zu V ist, da ist V edlichdiesioal, ud es gilt diu div.

3 3. DER RANG EINER MATRIX UND IHRE INVERTIERBARKEIT 121 Beweisskizze. Sei h U V ei Isoorphisus ud seib 1,, b eie Basis vo U. Da lässt sich zeige, dasshb 1,, hb eie Basis vo V ist. SATZ 8.8. Seie V ud W Vektorräue, ud sei h eie lieare Abbildug vo V ach W. Da ist hv hvv V ei Uterrau vo W, ud ei Uterrau vo V. kerh v V hv 0 Diese beide Uterräue heiße auch Iage ud Ker vo h. SATZ 8.9 (Hooorphiesatz). Seie V ud W Vektorräue, ud sei h eie lieare Abbildug vo V ach W. Sei U kerh. Da ist die Abbildug H V /U hv v U hv wohldefiiert. Die Abbildug H ist außerde ei Isoorphisus vo V /U ach hv. Astelle Da ist die Abbildug [...] wohldefiiert ka a sage: Da ist die Relatio H v U, hvv V eie Fuktio vo V /U vo hv. Beweis. Wir zeige ur die Bijektivität vo H. Für die Ijektivität seie v 1, v 2 V, sodass Hv 1 U Hv 2 U. Das heißt hv 1 hv 2. Aus der Liearität vo h folgt da hv 1 v 2 0. Soit ist v 1 v 2 U ud v 1 U v 2 U. Also ist H ijektiv. Die Surjektivität folgt uittelbar aus der Defiitio vo H. 3. Der Rag eier Matrix ud ihre Ivertierbarkeit SATZ Sei A eie -Matrix, ud sei h A K K, h A v Av für alle v K. Da gilt: (1) Das Iage vo h, also h A K, ist geau der Spalterau SA vo A. (2) Der Nullrau NA ist geau der Ker kerh A vo h A. SATZ Sei A eie -Matrix. Da habe Zeilerau ud Spalterau die gleiche Diesio. Beweis. Wir betrachte die Abbildug h A. Wege des Hooorphiesatzes sid K / kerh A ud h A K isoorph. Also sid K /NA ud SA isoorph. Es gilt also disa dik /NA. Da SA edlichdiesioal ist, ist auch K /NA edlichdiesioal. Nach Korollar 8.5 gilt also dik dik /NAdiNA,

4 DER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN LINEAREN ABBILDUNGEN UND MATRIZEN ud daher disadina. Nach Satz 3.56 gilt dina diza, also ud folglich disa diza. disadiza, SATZ Sei, sei K ei Körper, ud seie A, B K so, dass AB E. Da gilt BA E. Beweis. Sei h A K K, xax ud h B K K, xbx. Da gilt für alle x K x ABx h A h B x. Soit gilt K h A K. Daher hat h A K Diesio. Der Ker vo h A hat ach de Hooorphiesatz daher Diesio 0. Also ist h A ijektiv. Für alle x K gilt h A h B x x. Daher gilt für alle y K h A h B h A y h A y. Da h A ijektiv ist, gilt daher für alle y K auch h B h A y y. Also gilt für alle y K auch BAy y. Nach Satz 7.15 gilt also BA E. SATZ Sei A eie -Matrix über K. Äquivalet sid: (1) A ist ivertierbar. (2) Die Spaltevektore vo A sid liear uabhägig. (3) Die Zeilevektore vo A sid liear uabhägig. (4) Der Rag vo A ist. Beweis. (1)(2): Sei B die iverse Matrix vo A, ud sei x so, dass Ax 0. Da gilt BAx 0, also x 0. Also sid die Spaltevektore vo A liear uabhägig. (2)(3): Da SA Diesio hat, hat ach Satz 8.11 auch ZA die Diesio. Wir ehe a, dass die Zeilevektore vo A liear abhägig sid. Da gibt es eie Zeile, die i der lieare Hülle der adere Zeile liegt. Soit gilt wege Korollar 3.53 diza 1, ei Widerspruch. (3)(4): Da die Zeilevektore liear uabhägig sid, sid sie eie -eleetige Basis für ZA. Also hat ZA Diesio, ud folglich ist der Rag vo A gleich. (4)(1): Da diza, gilt auch disa, ud folglich dih A K. Also ist h A surjektiv. Nach de Hooorphiesatz gilt dikerh A 0, also ist h A ijektiv. Soit ist h A bijektiv. Sei f die iverse Abbildug, also f h A x, xx K. Diese Abbildug ist liear: seie u, v U, udα K. Da gibt es x, y it h A x u ud h A y v. Da gilt h A xy uv, ud folglich fuv xy fu fv. Ebeso gilt h A Α x Α u, ud daher fα u Α x Α fu. Sei B S f E, E die Darstellugsatrix dieser Abbildug. Da gilt BAx fh A x x für alle x K. Also gilt BA E. Daher gilt AB BA E.

5 4. DIE DETERMINANTE EINER QUADRATISCHEN MATRIX Die Deteriate eier quadratische Matrix 4.1. Defiitio der Deteriate. Sei A z 1 z 2 z vo de Zeile vo A aufgespate Parallelepiped ist die Teilege Λ i z i Λ 1,,Λ 0, 1. eie reelle -Matrix. Das Wir versuche jetzt das Volue dieses Parallelepipeds zu esse, ud schreibe Dz 1, z 2,, z für dieses Volue. Ohe de Begriff Volue i defiiert zu habe, köte a verute, dass eie Fuktio D, die dieses Volue isst, folgede Eigeschafte hat. Da wir die Eigeschafte auch für Matrize über adere Körper alsbeötige, foruliere wir diese Eigeschafte für eie Körper K. (D1) Für alle z 1,, z, y K,Α,Β Kud i 1,, gilt Dz 1,, z i1,α z i Β y, z i1,, z ΑDz 1,, z i1, z i, z i1,, z ΒDz 1,, z i1, y, z i1,, z. (D2) Für alle i, j 1,, it i j gilt Dz 1,, z i1, z i, z i1,, z j1, z j, z j1,, z (D3) Für die kaoische Basise 1,, e des K gilt Dz 1,, z i1, z i, z i1,, z j1, z i z j, z j1,, z. De 1,, e 1. ÜBUNGSAUFGABEN I de folgede Übugsbeispiele ehe wir a, dass D eie Fuktio ist, die die EigeschafteD1,D2 udd3 erfüllt. (1) Zeige Sie, dass für alle z 1,, z K gilt: Dz 1, z 1, z 3,, z 0. (2) Zeige Sie, dass für alle z 1,, z K gilt: Dz 1,Αz 1 z 2, z 3,, z Dz 1, z 2,, z. (3) Zeige Sie, dass für alle z 1,, z K gilt: Dz 1, z 2,, z Dz 2, z 1,, z. Eie Fuktio it diese Eigeschafte erhält a ithilfe der Deteriate. Sei f 1, 2,, 1, 2,, eie bijektive Abbildug. Wir defiiere die Sigatur vo f durch fi fj sg f. i j i, j 1,,1,,i< j Die Mege aller bijektive Abbilduge vo1,, ach1,, hat! Eleete; wir kürze sie it S ab. Für alle f, g S gilt sg f 1, 1 ud sg f g sg fsgg, ud folglich sg f 1 sg f.

6 DER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN LINEAREN ABBILDUNGEN UND MATRIZEN DEFINITION Sei K ei Körper,, ud sei A K. Da defiiere wir die Deteriate vo A durch det A sg f Ai, fi. f S SATZ Sei K ei Körper, sei, sei A eie -Matrix über K, ud sei D K K K K gegebe durch D K K z 1, z 2,, z det Da erfüllt D die Eigeschafte (D1), (D2), ud (D3). z 1 z 2 z Beweisskizze. (D1) ka a achreche. Für (D2) ist da ausreiched zu zeige, dass eie Matrix, i der zwei al die gleiche Zeile z j vorkot, Deteriate 0 hat. Auch (D3) ka a achreche. SATZ Sei K ei Körper, sei, ud seie A ud B -Matrize über K. Da gilt deta deta T ud detab detadetb. Beweis. Zuerst zeige wir deta deta T. Es gilt deta T sg f A T i, fi f S sg f A fi, i f S sg f A j, f 1 j f S j 1. sg f 1 A j, f 1 j f S j 1 sgg A j, g j. g S Nu beweise wir die zweite Eigeschaft: Seie b 1,, b die Zeile der Matrix B. Da steht i der erste Zeile des Produkts AB der Vektor j 1 A1, 1b 1 A1, 2b 2 A1, b.

7 4. DIE DETERMINANTE EINER QUADRATISCHEN MATRIX 125 We wir alle Zeile des Produkts ausreche, da sehe wir (8.1) detab DA1, 1b 1 A1, 2b 2 A1, b, A2, 1b 1 A2, 2b 2 A2, b, Wir utze u die Liearität der Fuktio D ud erhalte detab f 1,,1,, A, 1b 1 A, 2b 2 A, b. Ai, fidb f1, b f2,, b f. Die Deteriate ist 0, we zwei Zeile gleich sid. Daher brauche wir ur über die bijektive Fuktioe zu suiere ud erhalte: detab f S Ai, fidb f1, b f2,, b f. Ma ka zeige, dass für eie Bijektio f gilt: Db f1, b f2,, b f sg f Db 1, b 2,, b. Also erhalte wir detab f S Ai, fisg f detb detbdeta. SATZ Sei K ei Körper, sei, ud sei A eie -Matrix über K. Da sid äquivalet: (1) Die Zeile vo A sid liear uabhägig. (2) deta 0. Beweis. (1)(2): We die Zeilevektore vo A liear uabhägig sid, da ist A ivertierbar. Daher gilt deta deta 1 detaa 1 dete 1. (2)(1): Wir gehe so vor: We z i i der lieare Hülle vo z 1,, z i1 liegt, so ka a die Eigeschafte (D1) ud (D2) verwede, u eie Matrix it gleicher Deteriate ud i-ter Zeile 0 zu erzeuge. Wege der Eigeschaft (D1) ist diese Deteriate Bereche der Deteriate. Es ist besoders leicht, die Deteriate eier Matrix i Zeilestaffelfor zu bereche: SATZ Sei K ei Körper, sei, ud sei A eie -Matrix über K, sodass für alle i, j it i > j gilt: Ai, j 0. Da gilt deta Ai, i.

8 DER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN LINEAREN ABBILDUNGEN UND MATRIZEN Wir wisse, dass sich jede Matrix durch Zeileuforuge i Zeilestaffeloralfor brige lässt. Dabei ädert sich die Deteriate folgederaße: (1) We wir ei Vielfaches eier Zeile zu eier adere dazu addiere, bleibt die Deteriate uverädert. (2) We wir eie Zeile it eie Körpereleet vervielfache, da vervielfacht sich die Deteriate u ebe dieses Körpereleet. (3) Bei Vertausche vo zwei Zeile ädert sich das Vorzeiche der Deteriate. Aus diese Überleguge erhält a eie Algorithus zu Bereche der Deteriate. Wir reche eiige Beispiele. I[126]:= << RowRed9. I[127]:= DeteriateDeoB Det Wiraddieredas2fache der1.zeilezu1facheder2.zeile. 1 1 det Wiraddieredas3fache der1.zeilezu1facheder3.zeile. 1 1 det Wiraddieredas2fache der2.zeilezu5facheder3.zeile det Out[127]= 225 I[128]:= DeteriateDeoA Det Wiraddieredas3fache der1.zeilezu5facheder2.zeile.

9 1 1 5 det DIE DETERMINANTE EINER QUADRATISCHEN MATRIX 127 Wiraddieredas4fache der1.zeilezu5facheder3.zeile det det Out[128]= 10 I[129]:= DeteriateDeoB2 Det Wiraddieredas3fache der1.zeilezu1facheder2.zeile. 1 1 det Wiraddieredas4fache der1.zeilezu1facheder3.zeile. 1 1 det Wiraddieredas8fache der1.zeilezu1facheder4.zeile. 1 1 det Wiraddieredas1fache der2.zeilezu1facheder3.zeile.

10 DER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN LINEAREN ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 1 1 det Wiraddieredas16fache der2.zeilezu5facheder4.zeile det det Out[129]= 0 Schließlich bereche wir och die Deteriate vo I[130]:= << RowRed9. I[131]:= M 0,2,1,0,0,1,1,2, Out[131]= 0,2,1,0,0,1,1,2,3 I[132]:= DeteriateDeoM Det det 1det 2 Out[132]= I[133]:= DetM Out[133]= 2