Seminararbeit. Der Logarithmus von Matrizen

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1 Semiararbeit Der Logarithmus vo Matrize SoSe 2 Prof. Dr. L. Schwachhöfer Techische Uiversität Dortmud Name: Gülsüm Sirik Studiegag: BfP Datum: 8.6.2

2 Ihaltsverzeichis Eileitug 3 2 Der Logarithmus vo Matrize 3 2. Defiitio: Der Logarithmus Idetitätssatz Kleier Umordugssatz Parameter - Utergruppe vo Matrize 3. Defiitio: - Parameter - Utergruppe Beispiele Reelle Poteze vo Matrize 4 4. Defiitio: reelle Poteze vo Matrize Folgerug Literatur 6 2

3 Eileitug Bei dieser Ausarbeitug geht es um de Logarithmus vo Matrize. Sie ist die Fortsetzug des erste Vortrages zu dem Thema Expoetialreihe vo Matrixe. Daher werde eiige Sätze ohe Beweise überomme. Im erste Kapitel wird die Gültigkeit eiiger Recheregel des Logarithmus für Matrize überprüft, wie z.b. exp(log(a)) A ud log(exp(x)) X. Aschließed zeige wir, dass exp im Komplexe surjektiv ist, was im Reelle icht der Fall ist. Im ächste Kapitel wird die - Parameter - Utergruppe defiiert ud gezeigt, dass jede - Parameter - Utergruppe vo der Form t exp(tx) für eie feste Matrix X ist. Daach werde eiige Beipiele zu - Parameter - Utergruppe geat. Im letzte Abschitt geht es um das Wurzelziehe vo Matrize. Dabei defiiere wir A : exp( log(a)) ud folger aschließed wie im Skalare, dass lim k k exp(x) E ist. 2 Der Logarithmus vo Matrize I eier offee Nullumgebug ist die Expoetialabbildug diffeomorph, d.h. es existiert eie differezierbare Umkehrabbildug (siehe Ausarbeitug vo Fr. Greifeberg). Aus der Aalysis wisse wir, dass die Umkehrabbildug der Expoetialfuktio für reelle Werte die Logarithmusfuktio log( + x) + x ( ) mit dem Kovergezradius r ist. Dabei gelte folgede Gesetze: log(e x ) x ud e log(+x) + x. 2. Defiitio: Der Logarithmus Der Logarithmus eier ivertierbare Matrix E + A ist defiiert durch log(e + A) : + A ( ) A A 2 + A3 3 A , (2.) falls diese Reihe kovergiert. Sie ist koverget, we A <, wobei die Operator Norm wie folgt defiiert ist A : sup x Ax x. Der Kovergezradius eier Potezreihe a der Stelle x ist die größte Zahl r, für welche die Potezreihe für alle x mit x x < r kovergiert, 3

4 Lemma: Cauchy - Kriterium Eie Folge (s N ) R k ist geau da eie Cauchy Folge, we sie kovergiert. Dabei heißt eie Folge (s N ) R k Cauchy Folge, falls gilt: ɛ > N N N, N 2 N : s N2 s N < ɛ. Für jedes feste A mit A < ist diese Reihe koverget, de wege dem Cauchy Kriterium gilt für N 2 > N ( C.F kov.): N 2 N + A s N2 s N ( ) ( ) N 2 + A ( ) N + N Ugl. 2 A ( )+ Submultip. N + N 2 N + A, + A wobei die Submultiplikativität AB A B ist. Diese Reihe kovergiert, de wir wisse, dass die folgede Reihe s N N + A ( ) i R gege kovergiert (kov. C.F.), we A <. Nach dem Cauchy Kriterium bedeutet das wiederum, dass s N eie Cauchy Folge ist. Deshalb gilt s N2 s N N, d.h. N 2 A N +. Also ist diese Reihe eie Cauchy Folge ud somit ach dem Cauchy - Kriterium koverget. 4

5 2.2 Idetitätssatz Es ist a k x k b k x k a k b k k k für alle x K, für die die Reihe kovergiert. k 2.3 Kleier Umordugssatz Die Reihe a k a + a k sei absolut koverget ud habe de Grezwert a. Da kovergiert auch jede Umordug der Summade gege deselbe Grezwert a. Dabei heißt die Reihe k a φ(k) (mit φ : N N bijektiv) Umordug der Reihe k a k. Satz Es gilt: exp(log(a)) A ud log(exp(x)) X, (2.2) sofer jeweils log defiiert ist. Beweis Für x R gilt: ud Aus der Aalysis wisse wir: log( + x) e x + x ( ) x! log(e x ) x 5

6 Das bedeutet wiederum: x log( + (e x )) ( ) + (ex ) ( ( ) + ) k! xk k (...) x m m a m Nach Koeffizietevergleich (vgl. Idetitätssatz) gilt a ud alle adere a i i. Wir köe x durch die Matrix X ersetze, d.h. es folgt log(exp(x)) X. Diese Reihe ist für alle X < koverget ud somit etstehe keie Probleme bei der Umordug der Summade im letzte Schritt (vgl. Umordugssatz). Aalog köe wir für exp(log(x)) X wie folgt asetze x e log(x+) e k! (...) a m m ( ) + x ( ) ( ) + x x m Wie obe vergleiche wir wieder die Koeefiziete ud erhalte somit, dass a ud alle adere a i i gilt. We wir x durch die Matrix A ( A GL(, C) mit A < ) ersetze, so erhalte wir exp(log(a)) A 6

7 Folgerug Es gilt log(a B) log A + log B, (2.3) sofer alle auftretede Größe defiiert sid ud falls die Matrize A, B kommutiere, d.h. A B B A. Beweis Zuerst zeige wir: Das ergibt sich aus log(a) log(b) log(b) log(a) (2.4) log(a) log(b) log(e + (A E)) log(e + (B E)) ( ) ( ( ) + ) (A E) ( ) + (B E) ( ) ( ( ) + ) (B E) ( ) + (A E) log(b) log(a) (*) gilt, da AB BA, AE EA A, BE EB B ud A B m B m A sid. Aus dem Satz 2.4 folgt: A B (2.2) exp(log A) exp(log B) (2.4) exp(log A + log B) (2.5) Da die Logarithmusfuktio log i der Eisumgebug die Umkehrabbildug vo exp ist, gilt: log(a B) (2.5) log(exp(log A + log B)) (2.2) log A + log B. 7

8 Lemma Die Expoetialabbildug ist verträglich mit der Kojugatio vo Matrize, d.h. es gilt exp(p XP ) P (exp X)P (2.6) für jede ivertierbare Matrix P. Lemma Es gilt das Expoetialgesetz exp(x + Y ) exp(x) exp(y ) (2.7) für je zwei Matrize X, Y mit XY Y X. Satz Die Expoetialabbildug ist surjektiv, d.h. für jedes A GL(, C) gibt es eie Matrix X gl(, C) mit A exp(x). ( I R ist sie icht surjektiv) Beweis Sei A GL(, C). Da existiert eie ivertierbare Matrix P, sodass B P AP die Jordamatrix vo A ist. B besteht aus Jordablöcke J,..., J, d.h. B J... J J }... {{ } }... {{ J } B B Da alle B i kommutativ sid, d.h. B i B j B j B i, gilt wege (2.7) Im ächste Schritt zeige wir, dass gilt: exp(b i + B j ) exp(b i ) exp(b j ) J i exp(y i ) für ei geeig. Y i GL(, C) 8

9 Wir köe J i darstelle als... J i λe + N λe + λ... λ λ GL(k, C), mit λ. J i lässt sich wie folgt faktorisiere: J i (λe)(e + λ N) Diese beide Faktore kommutiere miteiader. Da die Matrix N eie Diagoalmatrix ist, gilt N k ud N k, d.h. N ist ilpotet vom Grad k. Das bedeutet wiederum, dass die Reihe des Logarithmus als edliche Reihe kovergiert, es gilt ämlich: log(e + λ N) ( ) j+ (λ N) j j j k j ( ) j+ (λ N) j j Außerdem existiert ei µ C mit λ e µ, de exp : C C\{} ist surjektiv. Somit erhalte wir exp(µe + log(e + λ N)) e µ E wobei Y i : µe + log(e + λ N) ist. ( ) (**) gilt wege exp(µe) k k! (µe)k Da gilt: exp(log(e + λ N)) (2.2) λe (E + λ N) J i k k! µk } {{ } e µ E k E ( ) J i exp e µ E. Y i 9

10 B (2.7) i J i exp i exp Y i i Y Y i Y i sid kommutativ ( ) gilt, de: exp k Y i k! Y i k + Y exp(y i ) J i k! Y i k B P AP exp(y ) A P exp(y )P A (2.6) exp(p Y P ) A exp(x)

11 3 - Parameter - Utergruppe vo Matrize 3. Defiitio: - Parameter - Utergruppe Eie Utergruppe H G heißt eie - Parameter - Utergruppe eier lieare Gruppe G GL(, C), we sie als Bild eies stetig differezierbare Homomorphismus h : (R, +) (H, ) auftritt, also als die Mege aller h(t) mit t R, wobei h(t + s) h(t) h(s) für alle Parameter t, s gilt. Spezielle - Parameter - Utergruppe sid diejeige, bei dee h(t) exp(tx) mit eier feste (, ) Matrix X gilt. Für h(t + s) h(t) h(s) gilt da exp((t + s)x) exp(tx) exp(sx). Satz Jede - Parameter - Utergruppe vo GL(, C) ist vo der Form t exp(tx) für eie feste Matrix X. Beweis Sei t c(t) GL(, C) eie - Parameter - Utergruppe, d.h. es gilt c() c( + ) c() c() c() c() (c()) E

12 ud c(t + s) c(t) c(s). Für t < ɛ wird durch γ(t) : log(c(t)) eie stetig differezierbare Kurve γ gl(, C) defiiert. Für ihre Tagetialvektor γ (t ) gilt: γ (t ) d dt γ(t ) lim x x (γ(t + x) γ(t )) lim x x (log(c(t + x) ) log(c(t ))) P.-U. lim x x (log(c(t ) c(x)) log(c(t ))) (2.3) lim x x (log(c(t ) + log(c(x)) log(c(t ))) lim x x log(c(x)) γ() lim (γ(x) γ()) x x γ () Das bedeutet, dass γ für alle t gleich γ () ist. Also folgt daraus, dass γ eie kostate Matrix ist. Wir defiiere X : γ ud bekomme somit heraus, dass γ(t) tx + Y log(c(t)) + Y. Wege γ() log(c() ) erhalte wir Y. Da exp die Umkehrabbildug vo log ist, folgt also E c(t) exp(tx) für t < ɛ. Für t R beliebig wähle wir N so, dass t < ɛ ist. Da erhalte wir: c(t) c t t }{{ } P. U. Schritt mal ( ( )) t c ( t exp exp exp(tx) X ) ( t X ) Somit ist c(t) exp(tx) t R. 2

13 3.2 Beispiele a) Für X ( ) beschreibt ( ) cos(t) si(t) exp(tx) R si(t) cos(t) gerade eie Drehmatrix i der Ebee um de Wikel t. Dabei gilt die Gleichug R t R s R t+s, d.h. R t R s exp(tx) exp(sx) ( ) ( ) cos(t) si(t) cos(s) si(s) si(t) cos(t) si(s) cos(s) ( ) cos(t) cos(s) si(t) si(s) cos(t) si(s) + si(t) cos(s) si(t) cos(s) + cos(t) si(s) cos(t) cos(s) si(t) si(s) ( ) cos(t + s) si(t + s) Add.theo. exp((t + s)x) R t+s si(t + s) cos(t + s) b) Eie typische - Parameter Utergruppe der Heiseberg - Gruppe ist gegebe durch: x z xy Für X y, X2 ud X3 gilt: exp(tx) 3 k k! (tx)k E + tx + t2 X 2 2 tx tz + t2 2 xy ty H(3, R) Hier für köe wir folgede Gleichug zeige: exp(tx) exp(sx) exp((t + s)x), 3

14 de es gilt: tx tz + t2 2 xy sx sz + s2 exp(tx) exp(sx) ty 2 xy sy (t + s)x (sz + s2 2 xy) + tsxy + (tz + t2 2 xy) (t + s)y (t + s)x ((t + s)z + (t+s)2 2 xy) (t + s)y exp((t + s)x) c) Zur Drehgruppe SO(3): Für die Matrix X mit X2, X 3 X, X 4 X 2 ud X E gilt da aalog zu (a): cos(t) si(t) exp(tx) si(t) cos(t) Bis auf Kojugatio ud Parametertrasformatio t αt sehe alle - Parameter Utergruppe i SO(3) so aus. 4 Reelle Poteze vo Matrize Die Wurzel aus eier reelle Zahl a e log(a) köe wir folgedermaße ziehe: a a e log(a) 4

15 Für ivertierbare (, ) Matrize, für die log(a) existiert, gilt demetspreched: A exp( log(a)). 4. Defiitio: reelle Poteze vo Matrize Falls log(a) defiiert ist, d.h. ( )+ (A E) kovergiert, defiiere wir A x : exp(x log(a)). (4.) Bemerkug: Für Z stimme A alt A... A ud A eu exp( log(a)) überei. A eu exp( log(a)) exp(log(a)) A alt Isbesodere gilt A exp( log(a)) exp() E ud die Potezgesetze bleibe erhalte (x R, Z): A x A y exp(x log(a)) exp(y log(a)) exp(x log(a) + y log(a)) exp((x + y) log(a))) A x+y (A x ) (exp(x log(a))) exp( x log(a)) A x Aalog köe wir A x (A ) x setze, d.h. es gilt A eu exp( log(a)) exp(log(a)) A alt Aus der Aalysis ist us bekat, dass lim a für beliebige reelle Zahle a > gilt. Daraus köe wir für Matrize aalog folger: 5

16 4.2 Folgerug Sei X so, dass exp(x) im Defiitiosbereich der Abbildug log liegt. Da gilt: lim k k exp(x) lim exp(x) k k ( ) Def. lim exp k k log(exp(x)) ( ) lim exp k k X exp lim stet. k exp() E k X Literatur [] Kühel, W. (2). Matrize ud Lie-Gruppe. Wiesbade: Vieweg+Teuber Verlag. 6