Schätzung der Kovarianzmatrix
|
|
- Sofia Salzmann
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Schätzug der Kovariazmatri Aus eiem Esemble vo Beobachtuge { i } ka die Kovariazmatri (Zetralmomete) geschätzt werde: C E{( )( ) } R ˆ 1 k ˆ k ˆ k 1 Schätzwert (edliche Summe): C ( )( ) ud dem Schätzwert: ˆ 1 k 1 k Cˆ wird also aus der Summe vo Matrize vom Rag 1 berechet: ( ˆ )( ˆ ) k k da i dem dyadische Produkt ur Vielfache des Zeilevektors ( ˆ ) bzw. Spaltevektors ( ˆ ) vorkomme, wege: y k 1 2 N y y y y y y 1 2 k N H. Burkhardt, Istitut für Iformatik, Uiversität Freiburg ME-I, Kap. 7c 1
2 Problem der hohe Merkmalsdimesioalität Ĉ ist somit sigulär, we weiger als =N, mit N=dim(), uabhägige Beobachtuge des Esembles verfügbar sid!! Dies ist ei Problem, we die Azahl der Merkmale sehr groß ist ud ur weige Stichprobe des Esembles zur Verfügug stehe. Die Güte der Schätzug wird allerdigs erst mit >>N verbessert. Außerdem wird icht Ĉ, soder Ĉ -1 beötigt! Was ka ma tu, we eie zu gerige Stichprobe zur Verfügug steht? Ma ka die Azahl der Merkmale durch eie KL reduziere, oder Ma vereifacht das Modell ud damit die Azahl der Parameter: ma immt z.b. Ukorreliertheit der Merkmale a ud setzt alle Nebediagoalelemete zu Null, wodurch die Ivertierbarkeit erzwuge wird. Obwohl diese Vorgehesweise eigetlich ikorrekt ist, ergebe sich durch diese Heuristik häufig brauchbare Ergebisse. H. Burkhardt, Istitut für Iformatik, Uiversität Freiburg ME-I, Kap. 7c 2
3 Zum Problem der gerige Stichprobe Der resultierede Klasssifikator uter der Zwagsaahme der statistische Uabhägigkeit ist sicherlich suboptimal. Dies hägt zusamme mit dem Problem der uzureichede Stichprobe. Ma ka es vergleiche mit dem Problem des Kurve-Fittig. Das Bild zeigt 6 Datepukte ud verschiedee Polyome zum Fitte. Die Datepukte wurde erzeugt durch Hizufüge vo mittelwertfreie, uabhägigem Rausche zu eier Parabel. Deshalb sollte eie Parabel de beste Fit ergebe, we wir aehme, dass weitere Stichprobe hizukomme ud die 6 Pukte ergäze (Geeralisierug). Kurveapproimatio a eie Mege vo Pukte Die Gerade ergibt eie brauchbare Näherug. Die Parabel ergibt eie bessere Approimatio, aber ma ka sich frage, ob die Stichprobe gut geeiget war, die Parabel festzulege. Die Parabel für eie größere Stichprobe köte gaz woaders liege ud im betrachtete Itervall köte die Gerade die bessere Näherug sei. Overfittig: Das Polyom 10. Grades ergibt eie perfekte Fit. Aber ma ka icht erwarte, dass solch eie uterbestimmte Näherug eue Stichprobe gut approimiert. Es müßte sehr viel mehr Stichprobe zur Verfügug stehe, um eie ählich gute Approimatio vo eiem Polyom 10. Grades im Vergleich zu eiem Parabelfit zu bekomme, trotz der atsache, dass das Letztere ei Soderfall (=2) des Erste ist. H. Burkhardt, Istitut für Iformatik, Uiversität Freiburg ME-I, Kap. 7c 3
4 Regel: je kleier die Stichprobe, desto eifacher sollte auch das Modell gewählt werde Esemble Im allg. gilt: Zuverlässige Iter- ud Etrapolatio ka ur bei stark überbestimmte Lösuge erwartet werde (hireiched großer Stichprobeumfag). Also: We eie eakte statistische Modellierug gegebe wäre, da ist mit dem MAP-Asatz user Problem gelöst. I der Prais stellt sich jedoch i der Regel das Problem, aus eier edliche Stichprobe eie gute Klassifikator herzuleite. Stichprobe 1 (repräsetativ) Stichprobe 2 (icht repräsetativ) H. Burkhardt, Istitut für Iformatik, Uiversität Freiburg ME-I, Kap. 7c 4
5 Problem der Geeralisierugsfähigkeit eies Klassifikators Wie reagiert ei Klassifikator, welcher auf eie edliche Stichprobe aufbaut, auf eu hizukommede Eperimete (Problem der Iter- ud Etrapolatio)? Ma uterscheidet deshalb zwische eier raiigs- (Ler-) ud eier estmege. Die Überprüfug der Leistugsfähigkeit ur ahad des Lersatzes bezeichet ma als Reklassifikatio (dabei ka ma eie ideale Fit erreiche) ud die Überprüfug ahad eies uabhägige estdatesatzes bezeichet ma als Geeralisierug (Iter- ud Etrapolatiosfähigkeit). Je größer die Azahl der Parameter der i der Klassifikatio verwedete Schätzfuktio, desto größer muss der Stichprobeumfag der raiigsmege sei. H. Burkhardt, Istitut für Iformatik, Uiversität Freiburg ME-I, Kap. 7c 5
6 Rekursive Schätzug der statistische Kegröße Komme währed eier Erkeugsaufgabe fortwähred eue Stichprobe hizu, so ist es vorteilhaft, die statistische Kegröße rekursiv zu schätze. Dies ist mit wesetlich weiger Aufwad verbude, als vo dem erweiterte Stichprobeumfag die Grudgleichuge immer wieder ereut zu löse (lerede bzw. adaptive Vorgehesweise, batch estimate versus recursive estimate). H. Burkhardt, Istitut für Iformatik, Uiversität Freiburg ME-I, Kap. 7c 6
7 Für die Schätzug des Erwartugswerts gilt: 1 ˆ 1 1 k ( k ) k 1 k 1 (1 ) ˆ ˆ ( ˆ ) Die Schätzug wird i jedem Schritt proportioal zur Abweichug zwische der der derzeitige Schätzug ud der derzeitige Beobachtug verädert. Eie Verallgemeierug der obige Rekursio ergibt: ˆ ˆ ( ˆ ) (1 ) ˆ mit: 1/ statioär cost. quasi-statioär H. Burkhardt, Istitut für Iformatik, Uiversität Freiburg ME-I, Kap. 7c 7
8 Mit =1/ werde statioäre Verhältisse ageomme, d.h. alle Beobachtuge habe uabhägig vo der Zeit ihres Auftretes das gleiche Gewicht, d.h. die letzte Beobachtuge sid geauso wichtig wie die erste. Bei =cost. wird eie Fluktuatio akzeptiert, d.h. die euere Beobachtuge habe ei größeres Gewicht als die alte (epoetial smoothig). Das Beobachtugsfester ist äherugsweise gegebe durch 1/ mit =cost. Beitrag zum Mittelwert Lagzeitmittelug 1/ Beitrag zum Mittelwert H. Burkhardt, Istitut für Iformatik, Uiversität Freiburg ME-I, Kap. 7c 8 1/ Kurzzeitmittelug cost.
9 Rekursive Schätzug der Kovariazmatri Für die Korrelatiosmatri (2. Momete) erhält ma die Rekursio: Rˆ (1 ) Rˆ 1 Für die rekursive Berechug der Kovariazmatri wird ˆ beötigt, was durch eie zweite Rekursio zu ermittel ist: ˆ ˆ C R ˆ ˆ ˆ [(1 ) R 1 ] [(1 ) ˆ 1 ][(1 ) ˆ 1 ] (1 ) Rˆ (1 ) ˆ ˆ (1 )[ ˆ ˆ ] (1 )[ ˆ R 1 ˆ 1ˆ 1 ( ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1ˆ 1] ˆ (1 )[ C ( ˆ )( ˆ ) ] H. Burkhardt, Istitut für Iformatik, Uiversität Freiburg ME-I, Kap. 7c 9
10 Rekursive Schätzug der Kovariazmatri Also beide Rekursioe zusamme: ˆ ˆ C (1 )[ C 1 ( ˆ 1)( ˆ 1) ] ˆ (1 ) ˆ 1 H. Burkhardt, Istitut für Iformatik, Uiversität Freiburg ME-I, Kap. 7c 10
11 Rekursive Schätzug der iverse Korrelatiosmatri Für die Berechug des Mahalaobis-Abstades wird higege eie Rekursio für die iverse Kovariazmatri beötigt, ohe dass dabei jeweils zusätzlich eie Matriiversio (O(N 3 )) durchzuführe ist! Mit dem folgede Satz zur Matriiversio: ( I AB ) I A( I B A) B 1 1 Erhält ma eie Rekursio für die iverse Korrelatiosmatri: Rˆ [(1 ) Rˆ ] ˆ 1 ˆ 1 1 R R ( Rˆ (1 ) (1 ) (1 ) ) Rˆ 1 ˆ ˆ ˆ R R R (1 ) 1 ( 1) ˆ 1 R 1 H. Burkhardt, Istitut für Iformatik, Uiversität Freiburg ME-I, Kap. 7c 11
12 Rekursive Schätzug der iverse Kovariazmatri Ud für die iverse Kovariazmatri: Cˆ [(1 ) Rˆ ˆ ˆ ] ˆ 1 [ C 1 ( ˆ 1)( ˆ 1) ] (1 ) 1 ˆ ( ˆ )( ˆ ) ˆ ˆ C C C (1 ) 1 ( ˆ ) ( ˆ ) ˆ 1 1 C 1 1 Rekursives Lere ka atürlich auch mit der Musterklassifikatio kombiiert werde. Das System verbessert sich bei eu hizukommede Stichprobe. Dies setzt allerdigs voraus, dass ei Labellig für die Klasse stattfidet (überwachtes Lere), d.h. der meschliche Beobachter trifft eie übergeordete Etscheidug für die Klassezugehörigkeit. H. Burkhardt, Istitut für Iformatik, Uiversität Freiburg ME-I, Kap. 7c 12
Schätzung der Kovarianzmatrix
Schätzug der Kovariazmatrix Aus eiem Esemble vo Beobachtuge {x i } ka die Kovariazmatrix (Zetralmomete) geschätzt werde: C = E{( x µ )( x µ ) } = R µ µ xx x x xx x x ˆ 1 C ˆ ˆ xx = xk µ x xk µ x k = 1
MehrKapitel 5: Schließende Statistik
Kapitel 5: Schließede Statistik Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 5. Schließede Statistik: Typische Fragestellug ahad vo Beispiele Beispiel Aus 5 Messwerte ergebe sich für die Reißfestigkeit eier Garsorte
MehrÜbungen mit dem Applet erwartungstreu
Übuge mit dem Applet erwartugstreu Visualisierug vo erwartugstreu Begriffe ud statischer Hitergrud. Visualisieruge mit dem Applet..3. Zufallsstreuug der Eizelwerte...3. Mittelwerte 3.3 Variaz. 4.4 Variaz
MehrSchätzen von Populationswerten
Schätze vo Populatioswerte SS00 7.Sitzug vom.06.00 Schätze vo Populatioswerte Ziel: Ermöglichug vo Aussage über die Grudgesamtheit ahad vo Stichprobedate Logische Methode: Iduktiosschluß Grudlage des Iduktiosschlusses:
MehrDie notwendigen Verteilungstabellen finden Sie z.b. hier:
Fakultät für Mathematik Istitute IAG ud IMO Prof. Dr. G. Kyureghya/Dr. M. Hödig Schätz- ud Prüfverfahre Die otwedige Verteilugstabelle fide Sie z.b. hier: http://www.ivwl.ui-kassel.de/kosfeld/lehre/zeitreihe/verteilugstabelle.pdf
MehrSchätzen von Populationswerten
Schätze vo Populatioswerte 7.Sitzug 35 Seite, SoSe 003 Schätze vo Populatioswerte Ziel: Ermöglichug vo Aussage über die Grudgesamtheit ahad vo Stichprobedate Logische Methode: Iduktiosschluss Grudlage
Mehr10. Testen von Hypothesen Seite 1 von 6
10. Teste vo Hypothese Seite 1 vo 6 10.1 Eiführug i das Teste vo Hypothese Eie Hypothese ist eie Vermutug bzw. Behauptug über die Wahrscheilichkeit eies Ereigisses. Mit Hilfe eies geeigete Tests (=Testverfahre)
Mehr4 Schwankungsintervalle Schwankungsintervalle 4.2
4 Schwakugsitervalle Schwakugsitervalle 4. Bemerkuge Die bekate Symmetrieeigeschaft Φ(x) = 1 Φ( x) bzw. Φ( x) = 1 Φ(x) für alle x R überträgt sich auf die Quatile N p der Stadardormalverteilug i der Form
MehrUmrechnung einer tatsächlichen Häufigkeitsverteilung in eine prozentuale Häufigkeitsverteilung
.3. Prozetuale Häufigkeitsverteilug (HV) Die prozetuale Häufigkeitsverteilug erlaubt de Vergleich vo Auswertuge, dee uterschiedliche Stichprobegröße zugrude liege. Es köe auch uterschiedliche Stichprobegröße
Mehrund wird als n-dimensionaler (reeller) Vektorraum bezeichnet. heißt der von v 1,..., v k aufgespannte Unterraum des R n.
Reeller Vektorraum Kapitel Vektorräume Die Mege aller Vektore x mit Kompoete bezeiche wir mit x R =. : x i R, i x ud wird als -dimesioaler (reeller) Vektorraum bezeichet. Defiitio Ei Vektorraum V ist eie
MehrKapitel VI. Einige spezielle diskrete Verteilungen
Kapitel VI Eiige spezielle diskrete Verteiluge D 6 (Hypergeometrische Verteilug) Eie Zufallsvariable X heißt hypergeometrisch verteilt, we sie folgede Wahrscheilichkeitsfuktio besitzt: M N M P ( X ) p
Mehr2. Repetition relevanter Teilbereiche der Statistik
. Repetitio Statistik Ökoometrie I - Peter Stalder. Repetitio relevater Teilbereiche der Statistik (Maddala Kapitel ) Zufallsvariable ud Wahrscheilichkeitsverteiluge Zufallsvariable X (stochastische Variable)
MehrII. Grundzüge der Stichprobentheorie
II. Grudzüge der Stichprobetheorie Grüde für Stichprobeerhebug - deutlich gerigere Koste - größere Awedugsbreite - kürzere Erhebugs- ud Auswertugszeite - i der Regel größere Geauigkeit der Ergebisse Begriffsbestimmug
Mehr1.2. Taylor-Reihen und endliche Taylorpolynome
1.. aylor-reihe ud edliche aylorpolyome 1..1 aylor-reihe Wir köe eie Fuktio f() i eier Umgebug eies Puktes o gut durch ihre agete i o: t o () = f(o) + f (o) (-o) aäher: Wir sehe: Je weiter wir vo o weg
MehrSo lösen Sie die Gleichung für den Korrelationskoeffizienten
8. Lieare Regressio 8.1. Die Methode der kleiste Quadrate Regressiosgerade bzw. Ausgleichsgerade sid eie Auswertug vo statistische Messdate. Dabei sid Datepukte ( x 1, y 1 ),( x 2, y 2 ), ( x, y ) gegebe.
MehrWirksamkeit, Effizienz. Beispiel: Effizienz. Mittlerer quadratischer Fehler (MSE) Konsistenz im quadratischen Mittel
3 arameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez 3 arameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Beispiel: Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische
MehrStatistik. 5. Schließende Statistik: Typische Fragestellung anhand von Beispielen. Kapitel 5: Schließende Statistik
Statistik Kapitel 5: Schließede Statistik 5. Schließede Statistik: Typische Fragestellug ahad vo Beispiele Beispiel 1» Aus 5 Messwerte ergebe sich für die Reißfestigkeit eier Garsorte der arithmetische
MehrMethode der kleinsten Quadrate
Methode der kleiste Quadrate KAPITEL 5: REGRESSIONSRECHNUNG Die Methode der kleiste Quadrate (MklQ) ist ei Verfahre zur Apassug eier Fuktio a eie Puktwolke. Agewadt wird sie beispielsweise, um eie Gesetzmäßigkeit
Mehr6. Übung - Differenzengleichungen
6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf
MehrWirksamkeit, Effizienz
3 Parameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische Verteilugsaahme mit Parameterraum Θ. 1 Seie θ ud θ erwartugstreue
MehrVl Statistische Prozess- und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 5
Vl Statistische Prozess- ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 5 Aufgabe ) Sei p = P(A) die Wahrscheilichkeit für ei Ereigis A, dh., es gilt 0 p. Bereche Sie das Maximum der Fuktio f(p) = p(-p). Aufgabe
MehrBeispiel: p-wert bei Chi-Quadrat-Anpassungstest (Grafik) Auftragseingangsbeispiel, realisierte Teststatistik χ 2 = , p-wert: 0.
8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 8.1 Beispiel: p-wert bei Chi-Quadrat-Apassugstest (Grafik) Auftragseigagsbeispiel, realisierte Teststatistik χ 2 = 12.075, p-wert: 0.0168 f χ
MehrÜbungen mit dem Applet Fourier-Reihen
Fourier-Reihe 1 Übuge mit dem Applet Fourier-Reihe 1 Mathematischer Hitergrud... Übuge mit dem Applet... 3.1 Eifluss der Azahl ud der Sprugstelle...3. Eifluss vo y-verschiebug ud Amplitude...4.3 Eifluss
Mehr( ), der genau auf der Geraden ( ) 2 ( ) #( ) 8. Lineare Regression. = f i. Nach der Summe der kleinsten. mx i
8. Lieare Regressio 8.1. Die Methode der kleiste Quadrate Regressiosgerade bzw. Ausgleichsgerade sid eie Auswertug vo statistische Messdate. Ziel dieses Verfahres ist es, Beziehuge zwische zwei Merkmale
Mehr14 Statistische Beziehungen zwischen nomi nalen Merkmalen
14 Statistische Beziehuge zwische omi ale Merkmale 14.1 Der Chi Quadrat Test auf Uabhägigkeit für Vier Feldertafel 14.2 Der Chi Quadrat Test auf Uabhägigkeit für r s Kotigeztafel 14.3 Zusammmehagsmaße
MehrTeil II Zählstatistik
Teil II Zählstatistik. Aufgabestellug. Vergleiche Sie experimetelle Zählverteiluge mit statistische Modelle (POISSON-Verteilug ud Normalverteilug) 2. Theoretische Grudlage Stichworte zur Vorbereitug: Impulszahl,
MehrVl Statistische Prozess und Qualitätskontrolle und Versuchsplanung Übung 3
Vl Statistische Prozess ud Qualitätskotrolle ud Versuchsplaug Übug 3 Aufgabe ) Die Schichtdicke X bei eier galvaische Beschichtug vo Autoteile sei ormalverteilt N(μ,σ ). 4 Teile werde galvaisch beschichtet.
MehrEs werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy.
Vo der relative Häufigkeit zur Wahrscheilichkeit Es werde 20 Schüler befragt, ob sie ei Hady besitze. Das Ergebis der Umfrage lautet: Vo 20 Schüler besitze 99 ei Hady. Ereigis E: Schüler besitzt ei Hady
MehrTests statistischer Hypothesen
KAPITEL 0 Tests statistischer Hypothese I der Statistik muss ma oft Hypothese teste, z.b. muss ma ahad eier Stichprobe etscheide, ob ei ubekater Parameter eie vorgegebee Wert aimmt. Zuerst betrachte wir
MehrSchwerpunkt 1 E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
http://www.ewagilmour.com/wp-cotet/uploads/2010/05/forkkifespooegg.jpg Schwerpukt 1 E Der starre c Körper http://www.flickr.com/photos/iesca/3139536876/i/pool-streetlamps Abb. 1 1: Zur Defiitio eies starre
Mehra) Histogramm der Verteilung: Zunächst werden die gegebenen Messwerte in aufsteigender Reihenfolge sortiert:
D Lösug zu Aufgabe 2: Histogra a) Histogra der Verteilug: Zuächst werde die gegebee Messwerte i aufsteigeder Reihefolge sortiert: i 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 4,574 4,589 4,593 4,599 4,6 4,67 4,68 4,69 4,6
MehrStatistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39
Statistik Eiführug Kofidezitervalle für eie Parameter Kapitel 7 Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Kofidezitervalle
MehrLehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007
Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschug ud Ökoometrie Dr. Rolad Füss Statistik II: Schließede Statistik SS 2007 6. Grezwertsätze Der wichtigste Grud für die Häufigkeit des Auftretes der Normalverteilug
MehrKapitel 6 : Punkt und Intervallschätzer
7 Kapitel 6 : Pukt ud Itervallschätzer Puktschätzuge. I der Statistik wolle wir Rückschlüsse auf das Wahrscheilichkeitsgesetz ziehe, ach dem ei vo us beobachtetes Zufallsexperimet abläuft. Hierzu beobachte
MehrWirksamkeit, Effizienz
3 Parameterpuktschätzer Eigeschafte vo Schätzfuktioe 3.3 Wirksamkeit, Effiziez Defiitio 3.5 (Wirksamkeit, Effiziez Sei W eie parametrische Verteilugsaahme mit Parameterraum Θ. 1 Seie θ ud θ erwartugstreue
MehrKapitel 2: Stochastische Prozesse. Copyright M. Gross, ETH Zürich 2006, 2007
Kaitel 2: Coyright M. Gross, ETH Zürich 2006, 2007 Bedigte Verteiluge Ebeso a die Verbudwahrscheilicheit vo Zufallsvariable über bedigte Wahrscheilicheite ausgedrüct werde i i,, i,, Wiederum ommt eie Produtregel
MehrFür eine n n-matrix A müssen wir die Gleichung. lösen. Falls (A λi) invertierbar ist, dann ist. Dann ist aber λ kein Eigenwert.
Geschlossees Leotief-Modell Ei Leotief-Modell für eie Volkswirtschaft heißt geschlosse, we der Kosum gleich der Produktio ist, d.h. we Kapitel 5 Eigewerte V x = x Es hadelt sich dabei um eie Spezialfall
Mehr= 3. = 14,38... = x neu x = 0, = 97,87...%. Wie verändert sich der arithmetische Mittelwert von 20 Zahlen, wenn...
Mathemati macht Freu()de AB Statistische Kegröße ud Boxplot Arithmetischer Mittelwert x 1, x,..., x ist eie Liste vo reelle Zahle. Das arithmetische Mittel x der Zahle ist x = x 1 + x + + x. Arithmetischer
Mehr2. Schätzverfahren 2.1 Punktschätzung wirtschaftlicher Kennzahlen. Allgemein: Punktschätzung eines Parameters:
. Schätzverfahre. Puktschätzug wirtschaftlicher Kezahle Allgemei: Puktschätzug eies Parameters: Ermittlug eies Schätzwertes für eie ubekate Parameter eier Zufallsvariable i der Grudgesamtheit mit Hilfe
Mehr1 Randomisierte Bestimmung des Medians
Praktikum Diskrete Optimierug (Teil 0) 0.07.006 Radomisierte Bestimmug des Medias. Problemstellug ud Ziel I diesem Abschitt stelle wir eie radomisierte Algorithmus zur Bestimmug des Medias vor, der besser
MehrÜbungen zu QM III Mindeststichprobenumfang
Techische Hochschule Köl Fakultät für Wirtschafts- ud Rechtswisseschafte Prof. Dr. Arreberg Raum 221, Tel. 39 14 jutta.arreberg@th-koel.de Übuge zu QM III Mideststichprobeumfag Aufgabe 12.1 Sie arbeite
MehrWahrscheinlichkeit & Statistik Musterlösung Serie 13
ETH Zürich FS 2013 D-MATH Has Rudolf Küsch Koordiator Blaka Horvath Wahrscheilichkeit & Statistik Musterlösug Serie 13 1. a) Die Nullhypothese lautet dass das echte Medikamet höchstes gleich gut ist wie
Mehrn 2(a + bx i y i ) = 0 und i=1 n 2(a + bx i y i )x i = 0 i=1 gilt. Aus diesen beiden Gleichungen erhalten wir nach wenigen einfachen Umformungen
Regressio Dieser Text rekapituliert die i der Aalsis ud Statistik wohlbekate Methode der kleiste Quadrate, auch Regressio geat, zur Bestimmug vo Ausgleichsgerade Regressiosgerade ud allgemei Ausgleichpolome.
MehrBeispiel: p-wert bei Chi-Quadrat-Anpassungstest (Grafik) Auftragseingangsbeispiel, realisierte Teststatistik χ 2 = , p-wert: 0.
8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 Beispiel: p-wert bei Chi-Quadrat-Apassugstest (Grafik) Auftragseigagsbeispiel, realisierte Teststatistik χ 2 = 12075, p-wert: 00168 f χ 2 (4)
Mehr3 Kritischer Bereich zum Niveau α = 0.10: K = (χ 2 k 1;1 α, + ) = (χ2 5;0.90, + ) = (9.236, + ) 4 Berechnung der realisierten Teststatistik:
8 Apassugs- ud Uabhägigkeitstests Chi-Quadrat-Apassugstest 81 Beispiel: p-wert bei Chi-Quadrat-Apassugstest (Grafik) Auftragseigagsbeispiel, realisierte Teststatistik χ 2 1275, p-wert: 168 8 Apassugs-
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug 9. Vorlesug Joche Köhler 1 Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Testatprüfug am Doerstag 5.Mai Wa? Doerstag, 5. Mai, 8:00 Uhr
Mehrx 1, x 2,..., x n ist eine Liste von n reellen Zahlen. Das arithmetische Mittel x der Zahlen ist x = x 1 + x x n n
Mathemati macht Freu()de AB Statistische Kegröße ud Boxplot x 1, x,..., x ist eie Liste vo reelle Zahle. Das arithmetische Mittel x der Zahle ist x = x 1 + x + + x. Arithmetischer Mittelwert Arithmetischer
MehrPositiv denken! Lösungen
Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Uiversität Regesburg Positiv deke! Lösuge Aufgabe 1 (GMAMQM (ur für die Klasse 7/8) [ Pukte]). Seie a, b reelle Zahle. 1. Sei a 0 ud b 0. Zeige, dass a
MehrMathematische und statistische Methoden I
Prof. Dr. G. Meihardt 6. Stoc, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstude jederzeit ach Vereibarug ud ach der Vorlesug. Mathematische ud statistische Methode I Dr. Malte Persie persie@ui-maiz.de http://psymet03.sowi.ui-maiz.de/
MehrLösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 1. Übung
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. Patrizio Neff Christia Thiel 4.04.04 Lösugsvorschlag zu de Hausaufgabe der. Übug Aufgabe : (6 Pukte Bereche Sie für die Fuktio f : R R, f( : ep( a der Stelle 0 0 das Taylorpolyom
MehrMathematische und statistische Methoden I
Mathematische ud statistische Methode I Sprechstude jederzeit ach Vereibarug ud ach der Vorlesug Wallstr. 3, 6. Stoc, Raum 06-06 Dr. Malte Persie persie@ui-maiz.de lordsofthebortz.de twitter.com/methodelehre
MehrKapitel 9: Schätzungen
- 73 (Kapitel 9: chätzuge) Kapitel 9: chätzuge Betrachte wir folgedes 9. Beispiel : I eiem Krakehaus wurde Date über Zwilligsgeburte gesammelt. Bei vo 48 Paare hatte die beide Zwillige verschiedees Geschlecht.
MehrVorkurs Mathematik für Informatiker Folgen
Vorkurs Mathematik für Iformatiker -- 9 Folge -- 6.1.215 1 Folge: Defiitio Eie (uedliche) Folge im herkömmliche Sie etsteht durch Hitereiaderschreibe vo Zahle 1,2,3,4,5, Dabei ist die Reihefolge wichtig,
Mehr(a) Richtig, die Varianz ist eine Summe quadratischer Größen.
Aufgabe 1 (10 Pukte) Welche der folgede Aussage sid richtig? (a) Richtig, die Variaz ist eie Summe quadratischer Größe. (b) Falsch, die Abweichug ordialer Merkmale vom Media ist icht defiiert - also auch
MehrLineare Transformationen
STAT 4 FK Herleituge Lieare Trasformatioe Sei eie lieare Trasformatio vo, so gilt Allgemei: a b, () Lieare Trasformatio des arithmetische Mittels y a+b x i () Da a eie additiv verküpfte Kostate ist, ka
Mehr3 Vergleich zweier unverbundener Stichproben
3 Vergleich zweier uverbudeer Stichprobe 3. Der Zweistichprobe t-test Es wird vorausgesetzt, dass die beide Teilstichprobe x, x,..., x ud y, y,..., y jeweils aus (voeiader uabhägige) ormalverteilte Grudgesamtheite
MehrTeilaufgabe 1.0 Bei der Firma Kohl kommen morgens alle im Büro Beschäftigten nacheinander ins Großraumbüro.
mathphys-olie Abiturprüfug Berufliche Oberschule 014 Mathematik 13 Techik - B I - Lösug Teilaufgabe 1.0 Bei der Firma Kohl komme morges alle im Büro Beschäftigte acheiader is Großraumbüro. Teilaufgabe
Mehr2.2.1 Lagemaße. Exkurs: Quantile. und n. p n
Ekurs: Quatile Ausgagspukt : Geordete Urliste Jeder Wert p, mit 0 < p
Mehr3. Anwendungen der Differentialrechnung
Talorsche Formel ud Mittelwertsatz 4 Aweduge der Differetialrechug Talorsche Formel ud Mittelwertsatz Die Gleichug der Tagete = f ( ( a die Kurve = f( im Pukt (, liefert eie grobe Näherug für die Fuktio
MehrKapitel 10 VERTEILUNGEN
Kapitel 0 VERTEILUNGEN Fassug vo 3. Februar 2006 Prof. Dr. C. Porteier Prof. Dr. W. Groes Matheati für Huabiologe ud Biologe 39 0. Zufallsvariable 0. Zufallsvariable Häu g wird statt des Ergebisses! 2
MehrÜbungen mit dem Applet Taylor-Entwickung von Funktionen
Taylor-Etwickug vo Fuktioe Übuge mit dem Applet Taylor-Etwickug vo Fuktioe Ziele des Applets... Mathematischer Hitergrud... 3 Vorschläge für Übuge... 3 3. Siusfuktio si(...3 3. Cosiusfuktio cos(...4 3.3
MehrPraktikum Vorbereitung Fertigungsmesstechnik Statistische Qualitätskontrolle
Praktikum Vorbereitug Fertigugsmesstechik Statistische Qualitätskotrolle Bei viele Erzeugisse ist es icht möglich jedes Werkstück zu prüfe, z.b.: bei Massefertigug. Hier ist es aus ökoomische Grüde icht
Mehr3 Grenzwerte. 3.1 Grenzwerte von Folgen
03-grezwerte.cdf 3 Grezwerte 3. Grezwerte vo Folge Kovergez Mache Folge zeige ei spezielles Verhalte, we der Idex sehr groß wird. Sie äher sich eier bestimmte Zahl. Betrachte wir zum Beispiel die Folge
MehrAnwendungen der Wahrscheinlichkeit II. Markovketten
Aweduge der Wahrscheilichkeit II 1. Fragestelluge Markovkette Markovkette sid ei häufig verwedetes Modell zur Beschreibug vo Systeme, dere Verhalte durch eie zufällige Übergag vo eiem Systemzustad zu eiem
Mehr6 Vergleich mehrerer unverbundener Stichproben
6 Vergleich mehrerer uverbudeer Stichprobe 6.1 Die eifaktorielle Variazaalyse Die eifaktorielle Variazaalyse diet der Utersuchug des Eiflusses eier kategorieller (bzw. ichtmetrischer) Variable, die die
MehrWissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft
Wisseschaftliches Arbeite Studiegag Eergiewirtschaft - Auswerte vo Date - Prof. Dr. Ulrich Hah WS 01/013 icht umerische Date Tet-Date: Datebak: Name, Eigeschafte, Matri-Tabelleform Spalte: übliche Aordug:
MehrSBP Mathe Aufbaukurs 1. Absolute und relative Häufigkeit. Das arithmetische Mittel und seine Eigenschaften. Das arithmetische Mittel und Häufigkeit
SBP Mathe Aufbaukurs 1 # 0 by Clifford Wolf # 0 Atwort Diese Lerkarte sid sorgfältig erstellt worde, erhebe aber weder Aspruch auf Richtigkeit och auf Vollstädigkeit. Das Lere mit Lerkarte fuktioiert ur
MehrProbeklausur. (b) Was geschieht, wenn man ein Quantenbit in einem solchen Zustand misst?
Quaterecher Witersemester 5/6 Theoretische Iformatik Uiversität Haover Dr. Matthias Homeister Dipl.-Math. Heig Schoor Probeklausur Hiweis: Diese Probeklausur ist kürzer als die tatsächliche Klausur.. a
MehrBei 95%iger Konfidenz wäre der Mittelwert der GG zwischen 1421,17DM und 1778,83DM zu erwarten.
Aufgabe 36 (S. 346: Schätzverfahre für Mittelwert ud Stadardabweichug a Puktschätzuge für µ aufgrud der Werte der kleie Stichprobe aus Aufgabe 3 Bei eier Puktschätzug wird für de zu schätzede Parameter
Mehr,,, xn. 3. Intervallschätzungen Zufallsstichproben und Stichprobenfunktionen Zufallsstichproben. Zufallsvariablen mit
3. Itervallschätzuge 3.1. Zufallsstichprobe ud Stichprobefuktioe 3.1.1 Zufallsstichprobe 1 Sei eie Zufallsvariable ud seie gemeisamer Verteilug,,,, Zufallsvariable mit - da heiße 1,,, Zufallsstichprobe
MehrTests für beliebige Zufallsvariable
Kapitel 10 Tests für beliebige Zufallsvariable 10.1 Der Chi-Quadrat-Apassugstest Sei x eie gaz beliebige Zufallsvariable, dere Dichtefuktio icht oder icht geau bekat ist. Beispiel: Es seie z.b. mittels
MehrEinführung in die Grenzwerte
Eiführug i die Grezwerte Dieser Text folgt hauptsächlich der Notwedigkeit i sehr kurzer Zeit eie Idee ud Teile ihrer Awedug zu präsetiere, so dass relativ schell mit dieser Idee gerechet werde ka. Der
Mehr6. Grenzwertsätze. 6.1 Tschebyscheffsche Ungleichung
6. Grezwertsätze 6.1 Tschebyscheffsche Ugleichug Sofer für eie Zufallsvariable X die Verteilug bekat ist, lässt sich die Wahrscheilichkeit dafür bestimme, dass X i eiem bestimmte Itervall liegt. Wie ist
MehrEinführung in die Stochastik 10. Übungsblatt
Eiführug i die Stochastik. Übugsblatt Fachbereich Mathematik SS M. Kohler.7. A. Fromkorth D. Furer Gruppe ud Hausübug Aufgabe 37 (4 Pukte) Ei Eremit am Südpol hat sich für die eibrechede polare Nacht mit
MehrKonfidenzbereiche die auf Runden Normaldaten Basiert Sind
Kofidezbereiche die auf Rude Normaldate Basiert Sid Steve Vardema C-S (Johso) Lee (JQT 001, Comm Stat 00, (003)) Iliaa Vaca (M.S. laufed) 1 Gerudete/Digitale Date Kei eues Problem z. B. gibt es: Sheppard,
MehrUlrich Stein Fehlerrechnung
Fehlerrechug Verteilug vo Messwerte Mittelwert Stadardabweichug Stadardfehler Rude vo Messwerte Darstellug vo Messwerte (Stellezahl) Fehlerfortpflazug Messergebisse Messug physikalische Realität Messgerät,
MehrX in einer Grundgesamtheit vollständig beschreiben.
Prof. Dr. Rolad Füss Statistik II SS 008. Puktschätzug vo Parameter eier Grudgesamtheit Nur durch eie Totalerhebug ka ma die Verteilug eier Zufallsvariable X i eier Grudgesamtheit vollstädig beschreibe.
MehrAuszüge der nichtparametrischen Statisik
Empirische Wirtschaftsforschug - 1 - Auszüge der ichtparametrische Statisik Kapitel 1: Räge ud lieare Ragstatistike Aahme, Defiitioe ud Eigeschafte (1.1) Aahme: (a) (b) Die Date x 1,, x sid midestes ordial.
MehrNormalverteilung. Voraussetzung und verwandte Themen. Einführung. Ziel und Nutzen. Grundlagen
h Normalverteilug Voraussetzug ud verwadte Theme Für diese Beschreibuge sid Grudlage der Statistik ud isbesodere der statistische Verteiluge vorteilhaft. Weiterführede Theme sid: www.versuchsmethode.de/verteilugstests.pdf
MehrKunde. Kontobewegung
Techische Uiversität Müche WS 2003/04, Fakultät für Iformatik Datebaksysteme I Prof. R. Bayer, Ph.D. Lösugsblatt 4 Dipl.-Iform. Michael Bauer Dr. Gabi Höflig 17.11. 2003 Abbildug E/R ach relatioal - Beispiel:
MehrProf. Dr. Roland Füss Statistik II SS 2008
1. Grezwertsätze Der wichtigste Grud für die Häufigkeit des Auftretes der Normalverteilug ergibt sich aus de Grezwertsätze. Grezwertsätze sid Aussage über eie Zufallsvariable für de Fall, dass die Azahl
MehrDas kollektive Risikomodell. 12. Mai 2009
Kirill Rudik Das kollektive Risikomodell 12. Mai 2009 4.1 Eileitug Wir betrachte i diesem Kapitel die Gesamtforderuge im Laufe eies Jahres. Beim Abschluss eies Versicherugsvertrages weiß der Versicherer
MehrÜbungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 8
Mathematisches Istitut der Uiversität Müche Prof Dr Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 8 032203 Übuge zur Aalysis für Iformatiker ud Statistiker Lösug zu Blatt 8 Aufgabe 8 [8 Pukte] (a) Für alle N sei = (+) Wir
MehrFunktionenreihen. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Fuktioereihe Erst durch Newto wurde die Theorie uedlicher Reihe zu eiem eigestädige Forschugsgebiet i der Mathematik, das da i Britaie besodere Beachtug ud weitere Etwicklug durch Brook Taylor ud Coli
MehrKurvenanpassung durch Regression (3) Ac nichtlineare Regression/Linearisierung -
Kurveapassug durch Regressio (3) Ac 207 - ichtlieare Regressio/Liearisierug - Für Probleme, die eie icht lieare ( ud icht polyomiale) Apassugsfuktio ahelege, ist eie direkte Berechug ach der Methode der
MehrFolgen und Reihen. 23. Mai 2002
Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge 2 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge.................. 2 1.1.1 Rekursive Defiitio eier Folge......................... 3 1.2
MehrALP I Induktion und Rekursion
ALP I Iduktio ud Rekursio Teil II WS 2009/200 Prof. Dr. Margarita Espoda Prof. Dr. Margarita Espoda Iduktio über Bäue Defiitio: a) Ei eizeler Blatt-Kote ist ei Bau o b) Falls t, t 2,,t Bäue sid, da ist
MehrStrukturelle Modelle in der Bildverarbeitung Markovsche Ketten II
Strukturelle Modelle i der Bildverarbeitug Markovsche Kette II D. Schlesiger TUD/INF/KI/IS Statioäre Verteilug Verborgee Markovsche Kette (HMM) Erkeug stochastisches Automate D. Schlesiger SMBV: Markovsche
MehrÜbungen Abgabetermin: Freitag, , 10 Uhr THEMEN: Testtheorie
Uiversität Müster Istitut für Mathematische Statistik Stochastik WS 203/204, Blatt Löwe/Heusel Aufgabe (4 Pukte) Übuge Abgabetermi: Freitag, 24.0.204, 0 Uhr THEMEN: Testtheorie Die Sollstärke der Rohrwäde
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Dr. Joche Köhler Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Testatprüfug am Doerstag 5.Mai Wa? Doerstag, 5. Mai, 8:00 Uhr Dauer der
Mehr6 Folgen. 6.4 Folgen reeller Zahlen. Mathematik für Informatiker B, SS 2012 Dienstag 5.6. $Id: folgen.tex,v /06/05 11:12:18 hk Exp $
Mathematik für Iformatiker B, SS 0 Diestag 5.6 $Id: folge.tex,v. 0/06/05 ::8 hk Exp $ 6 Folge 6.4 Folge reeller Zahle I der letzte Sitzug habe wir de Begriff des Grezwerts eier Folge i eiem metrische Raum
MehrEvaluierung einer Schulungsmaßnahme: Punktezahl vor der Schulung Punktezahl nach der Schulung. Autoritarismusscore vor/nach Projekt
2.4.5 Gauss-Test ud t-test für verbudee Stichprobe 2.4.5.8 Zum Begriff der verbudee Stichprobe Verbudee Stichprobe: Vergleich zweier Merkmale X ud Y, die jetzt a deselbe Persoe erhobe werde. Vorsicht:
MehrELEMENTE DER ZAHLENTHEORIE UND AUFBAU DES ZAHLENSYSTEMS
ELEMENTE DER ZAHLENTHEORIE UND AUFBAU DES ZAHLENSYSTEMS vo Rolf Waldi 1 Kapitel I. Elemetare Zahletheorie 1 Grudlegede Regel ud Prizipie Es wird vorausgesetzt, daß der Leser mit gaze Zahle reche ka ud
MehrStatistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Übug 9 1 Ihalt der heutige Übug Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug Iformatioe zur Testatprüfug Besprechug der der Hausübug
MehrParameter von Häufigkeitsverteilungen
Kapitel 3 Parameter vo Häufigkeitsverteiluge 3. Mittelwerte Mo Der Modus (:= häufigster Wert, Abk.: Mo) ist der Merkmalswert mit der größte Häufigkeit, falls es eie solche gibt. Er sollte ur bei eigipflige
Mehr