Übungsaufgaben - Organisatorisches
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- Nicole Fleischer
- vor 6 Jahren
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Transkript
1 Übugsaufgabe - Orgaisatorisches Der Abgabetermi der eue Übugsblätter ist: Motag, 4:00 Uhr Fehlerrechugsbriefkaste Der Abgabetermi der verbesserte Übugsblätter ist: Freitag, 6:00 Uhr T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-
2 Güteklasse elektrischer Messistrumete Aber wie geau messe jetzt meie Istrumete? T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-
3 Güteklasse elektrischer Messistrumete Die zulässige Fehler elektrischer Messistrumete werde durch das Klassezeiche agegebe. Die Klasseagabe etspricht dem zulässige Azeigefehler i %: z.b.,5% Fehler bei eiem Gerät der Klasse,5 Dieser Fehler ist bezoge auf de Edwert oder auf die Summe der Skaleläge, we der Nullpukt ierhalb der Skala liegt. Edwert Skaleläge Dies ist der Fehler, der auftrete darf!! T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-3
4 Ablese bei aaloge Messistrumete Vollausschlag 50,0 V Ablesug 8,8 V Ablesegeauigkeit: Vorlesug 4 (Letzte Stelle ist geschätzt). Schätzwert: Bestmögliche Schätzug (Messug) der Ablesug. Aahme : Feimessgerät der Klasse % vo 50 V etspricht,5v U = (8,8 ±,5) V Aahme : Betriebsmessgerät der Klasse 5 5% vo 50 V etspricht 7,5V U = (8,8 ± 7,5) V T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-4
5 Fehler bei Digitalvoltmeter Auszug aus der Praktikums-Gerätealeitug Beispiel: V Messbereich Azeige,64 V 0,% vo rdg = 0,006 V 0,% vo rg = 0,00 V Isgesamt 0,006 V (,64 0,003) V T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-5
6 Ablese bei digitale Messistrumete Messug eier Spaug vo 0,64 V Messbereich 0 V Azeige: 0,6 V 0, % rage = 0,0 V 0, % readig = 0,0006 V U = (,6 0, )*0 - V Messbereich V Messbereich 0, V Azeige: 0,6 V 0, % rage = 0,00 V 0, % readig = 0,0006 V U = (,6 0,0 ) *0 - V Azeige: 0,64 V 0, % rage = 0,000 V 0, % readig = 0,000 V U = (,64 0,003 ) *0 - V T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-6
7 Übugsaufgabe Amerkug wisseschaftliche Notatio: Zahle zwische 0 3 ud 0 3 ka ma ausschreibe, wie i Aufgabe 3 ud 6 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-7
8 Übugsaufgabe Güteklasse 5 bedeutet 5 % vo,50 V. 5 % vo,50 V sid 0,65V. Gerudet auf zwei sigifikate Stelle ergibt 0,63 V. Somit lautet das Edergebis: U = (9,83 ± 0,63) V T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-8
9 Übugsaufgabe = 34,7 o C 99,9 o C bis 999,9 o C 0, % der Ablesug (rdg = readig) plus 0,7 o C 0, % (34,7 o C) = 0,69 o C a) (0,69 + 0,7) o C = 0,969 o C b) (0,3 + 0,7) o C =,0 o C = 0,97 o C = ( 34,7 ±,0 ) o C T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-9
10 Übugsaufgabe T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-0
11 Übugsaufgabe si( rad) =? si( rad) = 0, FALSCH si( rad) si( Grad) Grad giga rad si( rad) = -8, T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-
12 Mei Tascherecher das ubekate Wese si( rad) si( Grad) Dekaufgabe: = (36 3) Grad si () = 0,695? Fehlerfortpflazug: Wie pflazt sich der Fehler vo i si() fort? Deke Sie über eie Lösug ach! Bedieugsaleitug Ihres Tascherechers ist hilfreich: Wie bereche ich Mittelwerte ud Stadardabweichug?? T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-
13 Erstabgabe Übug icht abgegebe T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-3
14 Übugsaufgabe - Orgaisatorisches Falls es zur Erstkorrektur Frage/Uklarheite gibt: Frage Sie Ihre Betreuer! Studetebüro: Mo - Fr besetzt vo 0:45 Uhr bis :5 Uhr T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-4
15 Messreihe Wie bestimme ich die Messusicherheit i Messreihe? T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-5
16 Begriffe Modalwert Media Mittelwert Spaweite der Verteilug: Differez zwische größtem ud kleistem Wert. T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-6
17 Der Media Der Media teilt die Grudgesamtheit i zwei Hälfte gleicher Größe Messug der Läge eies Stabes Nummer der Messug L/cm Sortiert ach Größe: 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6 T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-7
18 Der Media Der Media teilt die Grudgesamtheit i zwei Hälfte gleicher Größe Messug der Läge eies Stabes Nummer der Messug L/cm Sortiert ach Größe: 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6,8 Media Ei Wert m ist Media eier Stichprobe, we höchstes die Hälfte der Beobachtuge eie Wert < m ud höchstes die Hälfte eie Wert > m hat. Der Media m eier geordete Stichprobe vo Werte ist da: ugerade m gerade T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-8
19 Begriffe Modalwert Media Mittelwert Spaweite der Verteilug: Differez zwische größtem ud kleistem Wert. T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-9
20 Mittelwert Arithmetischer Mittelwert Messug der Läge eies Stabes Nummer der Messug L/cm Summatio über alle Messwerte: i i 5,0 Arithmetischer Mittelwert Seie (eifach liear zusammehägede) Werte i (i ϵ {;...; }) eier gemessee Größe gegebe. Die Größe a, die aus a i i berechet wird, wird arithmetisches Mittel oder arithmetischer Mittelwert geat. T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-0
21 Beispiel: Studiedauer Diplom 40 Semester Azahl Azahl der Absolvete Studiedauer / Semester Die meiste der Studete mache die Diplomprüfug ach Semester (Modus). Die mittlere Studiedauer ist,5 Semester (Media). Liegt der Media zwische zwei gaze Zahle, wird gemittelt, z.b.,5 Semester (Es gibt detailliertere Regel). Der Mittelwert der Studiedauer ist 3, Semester (Mittelwert Mea) Spaweite der Verteilug: Differez zwische größtem ud kleistem Wert. T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-
22 Mittelwert Geometrischer Mittelwert. Jahr Wir kaufe Aktie für 000. Jahr Aktiekurs steigt auf Jahr Aktiekurs steigt auf Jahr Aktiekurs fällt auf 000 Wir verkaufe Aahme, es gab weder Zise och Dividede Trivialrechug:.. Jahr +0 %. 3.Jahr +5 % ,89 % Jahr 33 % 3,89 % pro Jahr bedeute ca. ach 3 Jahre T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-
23 Mittelwert Geometrischer Mittelwert Wachstumsfaktore:.. Jahr 00/000 =,00. 3.Jahr 500/00 =, Jahr 000/500 = 0,667 geo 3 3,00,50 0,667,0005,00 Geometrischer Mittelwert Seie epoetiell zusammehägede Werte Wichtigste Awedug des geometrische Mittelwertes i (i ϵ {; ;...; }) bei eier gemessee Größe gegebe. Die Größe durchschittliche Wachstumsfaktore. g, die aus g Wachstumsfaktor: Neuer Wert dividiert i i durch alte Wert berechet wird, wird geometrisches Mittel oder geometrischer Mittelwert geat. T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-3
24 Zusammefassug Mittelwerte Der arithmetische Mittelwert i i Der geometrische Mittelwert Der quadratische Mittelwert i i Der Media Derjeige Wert, der i der Mitte steht, we ma die i der Größe ach sortiert Weitere Möglichkeite der Agabe vo mittlere Werte Der häufigste Wert (Modus oder Modalwert)!!!Bimodale Verteilug!!! Das arithmetische Mittel aus dem kleiste ud größte vorkommede Wert T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-4
25 Messreihe Messug der Läge eies Stabes Wie bestimmt ma de Fehler eier Messug aus eier Messreihe? Nummer der Messug L/cm Sortiere der Werte ach Klasse Werte k Azahl der Messwerte T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-5
26 Mittelwertbildug Messug der Läge eies Stabes Werte k Azahl der Messwerte Summatio über alle Messwerte: i i i i ,0 Summatio über alle Klasse: k k k k k k 3 (43) (5) k k Fk k, wobei Fk F k k T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-6
27 Histogramm / Stabdiagramm Beispielhaftes Histogramm zu eier Messreihe: Messug der Läge eies Stabes 3 Werte k Azahl der Messwerte Azahl der Messwerte Läge/cm T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-7
28 Eischub: Wie fasse ich Werte sivoll zu Klasse zusamme? Weitere Messreihe: Messug der Läge eies Stabes L/cm 6,4 3,9 5, 4,6,7 3,8 5, 3,8 5,3 5,4 I diesem Beispiel ist das Zeiche eies Stabdiagramms weig sivoll Faustregel für die Azahl der Klasse k 5 * lg (). Häufig reicht auch Zusammefassug der Messwerte zu Klasse Klasse Azahl der Messuge bis 3 3 bis 4 4 bis 5 5 bis 6 6 bis 7 7 bis T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-8
29 Eischub: Wie fasse ich Werte sivoll zu Klasse zusamme? Klasse bis 3 3 bis 4 4 bis 5 5 bis 6 6 bis 7 7 bis 8 Azahl der Messuge Das Zusammefasse vo Messwerte zu Klasse ist ei wichtiger Vorgag i der Statistik ud wird i de Vorlesuge zu Verteilugsfuktioe ud Sigifikaztest ausführlich diskutiert. Azahl der Messwerte Läge /cm T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-9
30 Eischub: Betrug mit graphische Darstelluge Typisches Wahlvolk: 8 bis 8 Jahre Aufteile i: 8 bis 49: 5 % 50 bis 8: 49 % Realistisches Wahlvolk: 8 bis 0 Jahre Aufteile i: 8 bis 59: 68 % 60 bis 0: 3 % Ist das jetzt die Domiaz der Juge? T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-30
31 Wir erier us: Für zufällige Fehler gilt: Bedeutug des Mittelwertes Positive ud egative Abweichuge sid gleich häufig Die Häufigkeit des Vorkommes immt mit dem Absolutbetrag des Fehlers ab Die Wahrscheilichkeit für das Auftrete des Fehlers Null besitzt ei Maimum Erwartugswert E(X) Seie die Ergebisse bei eiem (Wahrscheilichkeits )Eperimet aus der Gesamtheit aller Ergebisse, dem Ergebisraum. Sei X() eie reelle Zahl, die dem Ergebis zugeordet ist, ud P({}) eie gegebee Wahrscheilichkeit zu dem eizele Ereigis. So bezeichet ma die Zahl E(X), die aus Iterpretatio vo Nikolaus Beroulli (709): Das mit ihre Wahrscheilichkeite gewichtete arithmetische Mittel der Werte eier Zufallsgröße ist der Erwartugswert der Zufallsgröße. E( X ) : X ( ) P({ }) berechet wird, als Erwartugswert der Zufallsgröße X(). T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-3
32 Messreihe Wie bestimmt ma de Fehler eier Messug aus eier Messreihe? 3 Azahl der Messwerte Wie verlässlich kee wir de Erwartugswert? Wie sehr streue die Date? Wie breit ist die Verteilug der Date? Läge/cm T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-3
33 Die Stichprobe Um de mathematisch eakte Erwartugswert zu bestimme, müsse wir die Grudgesamtheit kee. Es gibt aber uedlich viele mögliche Messwerte! Wir müsse de Erwartugswert schätze T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-33
34 Übergag zur Grezverteilug 3 0 Messuge 00 Messuge 50 Messuge 000 Messuge g Häufigkeit 0 Häufigkeit 0 Häufigkeit Läge / mm Läge /mm Läge / mm Mit zuehmeder Azahl der Messuge wird ei Histogramm glatter ud regelmäßiger. Die Breite der Kurve ädert sich icht. Mit zuehmeder Zahl der Messuge ka die Breite ud der Mittelwert verlässlicher agegebe werde. We die Azahl der Messuge gege uedlich geht, ähert sich die Verteilug eier stetige Kurve. Eie solche Verteilug heißt Grezverteilug oder Grudgesamtheit. Mehr zur Normalverteilug folgt i de spätere Vorlesuge T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-34
35 Usere Messug ist eie Stichprobe We wir wirklich ur zufällige Fehler habe köe wir de Erwartugswert über das arithmetische Mittel schätze. Diese Schätzug wird besser sei, je mehr Messwerte wir habe. Aber wie gut ist sie wirklich? Wir beötige ei Streuugsmaß! T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-35
36 Die Variaz Die Variaz ist ei Maß für die "Breite" der Verteilug der Messwerte i i Bei obiger Defiitio ist der wahre Mittelwert der Verteilug. Dieser ist aber icht bekat. Daher wird durch de gemessee Mittelwert ersetzt. Der Mittelwert muss aus der Datemege berechet werde. Dieser ist jedoch ur mit eier Usicherheit bekat. Dies zwigt zur Eiführug der Stichprobevariaz. T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-36
37 Die Stadardabweichug Variaz: i i Die Messgröße besitze eie Eiheit. I userem Beispiel ware das mm. Somit hat die Variaz die Eiheit mm. Sivoll ist eie Größe mit der gleiche Dimesio wie der Messwert. Stadardabweichug: i i T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-37
38 Die Stichprobevariaz Köe wir eifach durch de Mittelwert ersetze? i Z Schaue wir us de Erwartugswert vo Z a: i EZ ( ) E i E i i i a b E i i i )( Erierug: i i E i i i i )( E i i )( T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-38
39 Die Stichprobevariaz EZ E ( ) i )( i E i i Erierug: Var( ) i E i i E E i Var( ) E i Var( ) Var( ) Var( ) Var( ) T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-39
40 Wie groß ist Var( X )? i Kurze Zwischerechug X X, mit idetisch verteilte Zufallsgröße X, X,..., X. i Die Zufallsgröße X i seie uabhägig. Da gilt: Weiter: Var X i Var X ( ) i Var X i i i i Var( X i ). i Erierug: Var( ) i i T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-40
41 Die Stichprobevariaz EZ E ( ) i )( i E i i Erierug: Var( ) i E i i E E i Var( ) E i Var( ) Var( ) Var( ) Var( ) T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-4
42 Die Stichprobevariaz E( Z ) Var( ) Var( ) Die Variaz ist icht erwartugstreu! ABER: Diese Vorfaktor köe wir eifach berücksichtige! Wir wähle statt Z eifach: s i i Es ergibt sich da sofort: Es ( ) Kleie Hausaufgabe falls icht offesichtlich: Prüfe Sie das! T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-4
43 Die Stichprobestadardabweichug (mittlerer quadratischer Fehler der Eizelmessug). Die Stadardabweichug ist die Quadratwurzel aus der Variaz s i i s wird auch als Stichprobe-Stadardabweichug bezeichet. Die (Stichprobe)Stadardabweichug ist ei Maß für die Geauigkeit der Messmethode Usere eigetliche Frage war aber eie adere: Wie verlässlich kee wir de Erwartugswert? T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-43
44 Stadardfehler des arithmetische Mittelwertes Wir habe eie Grudgesamtheit, dere geaue Verteilug ubekat ist, mit Mittelwert ud Stadardabweichug Wir mache eie Stichprobe vo Messuge ud erhalte eie Mittelwert ud eie Stichprobestadardabweichug s. User Mittelwert ist gegebe durch: i i Wir betrachte u die Schätzfuktio: X X, mit idetisch verteilte Zufallsgröße X, X,..., X. i i Wie sieht die Verteilug der X aus? T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-44
45 Stadardfehler des arithmetische Mittelwertes Wie groß ist Var( X )? X X, mit idetisch verteilte Zufallsgröße X, X,..., X. i i Die Zufallsgröße X i seie uabhägig. Da gilt: Weiter: Damit: Var X i Var X ( ) i Var X i i i i Var( X i ). i ( X ). Der Stadardfehler ist ei Maß für die Geauigkeit der Agabe des Mittelwertes. T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-45
46 Der Stadardfehler Nebe der Stadardabweichug, die ei Maß für die Geauigkeit der Messmethode ist, gibt es de Stadardfehler, der ei Maß für die Verlässlichkeit der Agabe des Mittelwertes ist. s s Dies ist also der etscheidede Wert für die Agabe vo Messgeauigkeite! T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Messreihe (Stadardfehler, Stadardabweichug) Vorlesug 0-46
Übungsaufgaben - Organisatorisches
Übugsaufgabe - Orgaisatorisches Der Abgabetermi der eue Übugsblätter ist: Motag, 4:00 Uhr Fehlerrechugsbriefkaste Der Abgabetermi der verbesserte Übugsblätter ist: Freitag, 6:00 Uhr T. Kießlig: Auswertug
Wissenschaftliches Arbeiten Studiengang Energiewirtschaft
Wisseschaftliches Arbeite Studiegag Eergiewirtschaft - Auswerte vo Date - Prof. Dr. Ulrich Hah WS 01/013 icht umerische Date Tet-Date: Datebak: Name, Eigeschafte, Matri-Tabelleform Spalte: übliche Aordug:
n 1,n 2,n 3,...,n k in der Stichprobe auftreten. Für die absolute Häufigkeit können wir auch die relative Häufigkeit einsetzen:
61 6.2 Grudlage der mathematische Statistik 6.2.1 Eiführug i die mathematische Statistik I der mathematische Statistik behadel wir Masseerscheiuge. Wir habe es deshalb im Regelfall mit eier große Zahl
Fehlerrechnung. 3. Genauigkeit von Meßergebnissen am Beispiel der Längenmessung
1 Gie 11/000 Fehlerrechug 1. Physikalische Größe: Zahlewert ud Eiheit. Ursache vo Meßfehler 3. Geauigkeit vo Meßergebisse am Beispiel der Lägemessug 4. Messug eier kostate Größe ud Mittelwert 5. Messug
Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39
Statistik Eiführug Kofidezitervalle für eie Parameter Kapitel 7 Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Kofidezitervalle
3. Einführung in die Statistik
3. Eiführug i die Statistik Grudlegedes Modell zu Date: uabhägige Zufallsgröße ; : : : ; mit Verteilugsfuktio F bzw. Eizelwahrscheilichkeite p ; : : : ; p r i de Aweduge: kokrete reale Auspräguge ; : :
Prof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 2008
1. Grezwertsätze Der wichtigste Grud für die Häufigkeit des Auftretes der Normalverteilug ergibt sich aus de Grezwertsätze. Grezwertsätze sid Aussage über eie Zufallsvariable für de Fall, dass die Azahl
Der χ 2 Test. Bei Verteilungen Beantwortung der Frage, ob eine gemessene Verteilung Gauß- oder Poisson-verteilt ist oder nicht?
Der χ Test Es gibt verschiedee Arte vo Sigifikaztests Nebe Sigifikaztests, die sich mit dem Mittelwert beschäftige, gibt es auch Testverfahre für Verteiluge Bei Verteiluge Beatwortug der Frage, ob eie
Streuungsmaße. Prof. Dr. Paul Reuber. Institut für Geographie. Seminar Methoden der empirischen Humangeographie
Streuugsmaße Istitut für Geographie Streuugswerte (Streuugsmaße) Die Diskussio um die Mittelwerte hat die Vorteile dieser statistische Kewerte gezeigt, aber bereits, isbesodere beim arithmetische Mittel,
Parameter von Häufigkeitsverteilungen
Kapitel 3 Parameter vo Häufigkeitsverteiluge 3. Mittelwerte Mo Der Modus (:= häufigster Wert, Abk.: Mo) ist der Merkmalswert mit der größte Häufigkeit, falls es eie solche gibt. Er sollte ur bei eigipflige
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Praktikum Vorbereitug Fertigugsmesstechik Statistische Qualitätskotrolle Bei viele Erzeugisse ist es icht möglich jedes Werkstück zu prüfe, z.b.: bei Massefertigug. Hier ist es aus ökoomische Grüde icht
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Kapitel 5: Schließede Statistik Statistik, Prof. Dr. Kari Melzer 5. Schließede Statistik: Typische Fragestellug ahad vo Beispiele Beispiel Aus 5 Messwerte ergebe sich für die Reißfestigkeit eier Garsorte
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Ekurs: Quatile Ausgagspukt : Geordete Urliste Jeder Wert p, mit 0 < p
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Statistik I Februar 2005 Aufgabe 0 Pukte Ei Merkmal X mit de mögliche Auspräguge 0 ud, das im Folgede wie ei kardialskaliertes Merkmal behadelt werde ka, wird a Merkmalsträger beobachtet. Dabei bezeichet
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.4 Diskrete Zufallsvariable Vo besoderem Iteresse sid Zufallsexperimete, bei dee die Ergebismege aus reelle Zahle besteht bzw. jedem Elemetarereigis eie reelle Zahl zugeordet werde ka. Solche Zufallsexperimet
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Übugsaufgabe Häufige Fehler: Baale Rechefehler Sigifikate Stelle falsch Eiheite vergesse Usaubere Arbeitsweise Rudugsfehler Eiheite falsch ugerechet T. Kießlig: Auswertug vo Messuge ud Fehlerrechug - Verteilugsfuktioe
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Linsengesetze und optische Instrumente
Lisegesetze ud optische Istrumete Gruppe X Xxxx Xxxxxxxxx Xxxxxxx Xxxxxx Mat.-Nr.: XXXXX Mat.-Nr.: XXXXX XX.XX.XX Theorie Im olgede werde wir eie kurze Überblick über die Fuktio, de Aubau ud die Arte vo
"Ich glaube nur die Statistik, die ich selbst gefälscht habe."
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Mengenbegriff und Mengendarstellung
R. Brikma http://brikma-du.de Seite 1 05.10.008 Megebegriff ud Megedarstellug Eie Mege, ist die Zusammefassug bestimmter, wohluterschiedeer Objekte userer Aschauug ud useres Dekes welche Elemete der Mege
Tao De / Pan JiaWei. Ihrig/Pflaumer Finanzmathematik Oldenburg Verlag 1999 =7.173,55 DM. ges: A m, A v
Tao De / Pa JiaWei Ihrig/Pflaumer Fiazmathematik Oldeburg Verlag 1999 1..Ei Darlehe vo. DM soll moatlich mit 1% verzist ud i Jahre durch kostate Auitäte getilgt werde. Wie hoch sid a) die Moatsrate? b)
Einige wichtige Ungleichungen
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Statistik. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.html
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LV "Grundlagen der Informatik" Programmierung in C (Teil 2)
Aufgabekomplex: Programmiere i C (Teil vo ) (Strukturierte Datetype: Felder, Strukture, Zeiger; Fuktioe mit Parameterübergabe; Dateiarbeit) Hiweis: Alle mit * gekezeichete Aufgabe sid zum zusätzliche Übe
Pflichtlektüre: Kapitel 10 Grundlagen der Inferenzstatistik
Pflichtlektüre: Kapitel 10 Grudlage der Iferezstatistik Überblick der Begriffe Populatio Iferezstatistik Populatiosparameter Stichprobeverteiluge Auch Stichprobekewerteverteiluge Wahrscheilichkeitstheorie
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Ungleichungen werden mit Äquivalenzumformungen gelöst. Hierzu werden die sogenannten Monotoniegesetze angegeben.
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Formelsammlung Mathematik
Formelsammlug Mathematik 1 Fiazmathematik 1.1 Reterechug Sei der Zissatz p%, der Zisfaktor q = 1 + p 100. Seie R die regelmäßig zu zahlede Rate, die Laufzeit. Edwert: Barwert: achschüssig R = R q 1 q 1
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14 Statistische Beziehuge zwische omi ale Merkmale 14.1 Der Chi Quadrat Test auf Uabhägigkeit für Vier Feldertafel 14.2 Der Chi Quadrat Test auf Uabhägigkeit für r s Kotigeztafel 14.3 Zusammmehagsmaße
Löslichkeitsdiagramm. Grundlagen
Grudlage Löslichkeitsdiagramm Grudlage Zur etrachtug des Mischugsverhaltes icht vollstädig mischbarer Flüssigkeite, das heißt Flüssigkeite, die sich icht bei jeder Temperatur i alle Megeverhältisse miteiader
Mathematische und statistische Methoden I
Methodelehre e e Prof. Dr. G. Meihardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstude jederzeit ach Vereibarug ud ach der Vorlesug. Mathematische ud statistische Methode I Dr. Malte Persike persike@ui-maiz.de
Variiert man zusätzlich noch die Saatstärke (z.b. 3 Stärkearten), würde man von einer zweifaktoriellen Varianzanalyse sprechen.
3. Variazaalyse Die Variazaalyse mit eier quatitative abhägige Variable ud eier oder mehrerer qualitativer uabhägiger Variable wird auch als ANOVA (Aalysis of Variace) bezeichet. Mit eier Variazaalyse
Lektion II Grundlagen der Kryptologie
Lektio II Grudlage der Kryptologie Klassische Algorithme Ihalt Lektio II Grudbegriffe Kryptologie Kryptographische Systeme Traspositioschiffre Substitutioschiffre Kryptoaalyse Übuge Vorlesug Datesicherheit
Korrelationsanalyse zwischen kategorischen Merkmalen. Kontingenztabellen. Chi-Quadrat-Test
Kotigeztabelle. Chi-Quadrat-Test Korrelatiosaalyse zwische kategorische Merkmale Beispiel 1 ohe Frau 8 75 1 Ma 48 49 97 76 14? Häufigkeitstabelle (Kotigeztabelle): eie tabellarische Darstellug der gemeisame
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Kotigeztabelle. Chi-Quadrat-Test KAD 1.11. 1. Uabhägigkeitstest. Apassugstest. Homogeitätstest Beispiel 1 ohe Frau 8 75 1 Ma 48 49 97 76 14? Korrelatiosaalyse zwische kategorische Merkmale Häufigkeitstabelle
Die zu den Zufallswerten x gehörigen Wahrscheinlichkeiten fasst man in einer Tabelle zusammen:
0 Statistik 0. Wahrscheilichkeitsfuktio ud optische Darstellug Bei der Auswertug vo Zufallsexperimete ist oft gar icht das eizele Ergebis vo Iteresse, soder vielmehr eie Zahlegröße (Zufallsgröße X), die