Grundzüge der Stichprobentheorie. Statistisches Bundesamt

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1 Grudzüge der Stichprobetheorie

2 Grüde für Stichprobeerhebug - deutlich gerigere Koste - größere Awedugsbreite - kürzere Erhebugs- ud Auswertugszeite - i der Regel größere Geauigkeit der Ergebisse

3 Begriffsbestimmug Eie Auswahl vo Utersuchugseiheite der Grudgesamtheit bezeichet ma als Stichprobe (egl.: sample). Der quatitative Ateil, de die Stichprobe am Umfag der Grudgesamtheit hat, wird als Auswahlsatz bezeichet. Eie Stichprobe soll ei möglichst repräsetatives Bild der Grudgesamtheit liefer. Eie Stichprobe heißt repräsetativ, we sie i der Verteilug aller iteressierede statistische Merkmale der Grudgesamtheit etspricht.

4 Auswahltechike bei Zufallsstichprobe Echte Zufallsauswahl - Auslose oder Würfel - Auswahl ach Zufallszahle Ersatzverfahre für eie Zufallsauswahl - Sstematische Auswahl mit Zufallsstart - Schlusszifferauswahl - Auswahl ach amesafag - Auswahl ach dem Geburtstag

5 Klumpestichprobe (Clustersamplig) I eier Klumpestichprobe wird die Grudgesamtheit i viele kleie (oft geografisch abgegrezte) Teilgesamtheite zerlegt, die so geate Klumpe. Dabei geht ma so vor, dass ur ei Teil der Klumpe zufällig ausgewählt wird ud i die Stichprobe gelagt. Ierhalb der Klumpe gelage da alle Merkmalsträger i die Stichprobe. Gleiche Wahrscheilichkeit für jede Klumpe i die Stichprobe zu gelage, bei ugleich große Kote differierede Wahrscheilichkeit für die Merkmalsträger i die Stichprobe zu gelage

6 Auswahl bei ichtzufällige Stichprobe tpische Auswahl Abscheideverfahre Auswahl ach dem Quoteverfahre

7 Schreibweise ud Defiitioe Azahl der Elemete der Grudgesamtheit Azahl der Elemete der Stichprobe Auswahlsatz Hochrechugsfaktor Merkmalswerte der Elemete der Grudgesamtheit,,,...,,..., Merkmalswerte der Elemete der Stichprobe

8 Azahl der mögliche Stichprobe!!( )! Beispiel: Grudgesamtheit vo A, B, C, D, E Auswahlsatz **3*4*5 * *3*(* ) 4*5 * 0 Mögliche Stichprobe: ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE

9 Aufgabe Folgede Eikommesagabe (i Tsd.) sid bekat:,,, 46, 96 Ziehe Sie alle mögliche Stichprobe mit eiem Auswahlsatz vo 3 ud vergleiche Sie die Mittelwerte der Eikomme mit dem Mittelwert des Eikommes für die Grudgesamtheit! Ermittel Sie de Mittelwert der Mittelwerte.

10 Der wahre Wert der Grudgesamtheit

11 Schreibweise ud Defiitioe i i i i Y Y... Grudgesamtheit: Stichprobe (Schätzug des wahre ubekate Wertes i der Grudgesamtheit): i i i i Y Y ˆ )... ( ˆ

12 Variaz Variaz der i i eier edliche Grudgesamtheit: σ i ( i Y ) Variaz des Mittelwertes aus eier eifache Zufallsstichprobe: V ( ) E( Y ) wobei σ σ ( f ) f

13 Variaz der Schätzwerte Uverzerrte Schätzfuktio für die Variaz des Mittelwertes: ) ( ) ( f s s v Uverzerrte Schätzfuktio für die Variaz der Merkmalssumme: ) ( ) ( ˆ f s s Y v Y )

14 Kofidezitervalle Gesamtwert: Mittelwert: + Y s Y z Y s z Y ˆ ˆ ˆ, ˆ α α + s z s z, α α

15 Aufgabe Eie eifache Zufallsstichprobe wird aus eier Stadt mit 4848 Haushalte gezoge. Bei de 30 ausgewählte Haushalte ergabe sich folgede Haushaltsgröße: 5, 6, 3, 3,, 3, 3, 3, 4, 4, 3,, 7, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 3, 4, 3, 3,,, 4, 3, 4,, 4 Schätze Sie die Eiwoherzahl der Stadt! Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass der berechete Wert icht mehr als +/- 0% vom wahre Wert abweicht?

16 Optimierug vo Stichprobepläe Ziel: Miimierug der Variaz - Sortiere ach eiem oder mehrere Merkmale - Schichtug der Grudgesamtheit - Aufteilug des Stichprobeumfags

17 Optimierug vo Stichprobepläe Sortierug Auf- oder absteigede Sortierug ach eiem oder mehrere Merkmale

18 Geschichtete Zufallsstichprobe Stichprobeaufteilug Schicht Schicht

19 Geschichtete Zufallsstichprobe Als Schichtug wird eie vollstädige Zerlegug der Auswahlgesamtheit vor der Auswahl i überscheidugsfreie Gruppe bezeichet. Das Auswahlverfahre wird geschichtete Zufallsstichprobe geat, we i jeder Schicht eie uabhägige Zufallsauswahl durchgeführt wird.

20 Geschichtete Zufallsstichprobe Beispiel ubekate Gesamtheit {,,3,,,3} mit dem tatsächliche Mittelwert vo 7 Aufgabe: Schätze de Mittelwert durch eie Stichprobe vom Umfag. Ugüstigste Stichprobe (,) ud (,3) mit Schätzuge für de Mittelwert vo,5 ud,5

21 Geschichtete Zufallsstichprobe Beispiel vorherige Schichtug i: Merkmalswerte < 0 {,,3} Merkmalswerte > 0 {,,3} ud Ziehug vo jeweils eier Eiheit i jeder Schicht ugüstigster Fall z.b. aus Schicht der Wert ud aus Schicht der Wert führt zu eier wesetlich verbesserte Schätzug des Mittelwertes mit 6

22 Geschichtete Zufallsstichprobe Stichprobeaufteilug Schicht Schicht Optimierede Aufteilug des Stichprobeumfags auf Schicht ud

23 Geschichtete Zufallsstichprobe Schichtugsprizipie Schichtugsprizip A Wähle die Auswahl i de Schichte so, dass die Variaz der Erhebugsmerkmale ierhalb der Schichte möglichst klei ist Steigerug der Präzisio für die Erhebugsgesamtheit Schichtugsprizip B Wähle die Auswahl i de Schichte so, dass sie möglichst idetisch ist mit der vorgesehee Ergebisgliederug der Erhebug Reduzierug des Utergruppeeffekts

24 Geschichtete Zufallsstichprobe Stichprobeaufteilug - proportioale Aufteilug - optimale Aufteilug Zielfuktio: s Y Mi! ˆ h h h ( * s h h h * h * s h ) Kleister Stichprobefehler für das Gesamtergebis

25 relativer Stadardfehler Y Y Y Y s Y s s ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ν ν Der relative Stadardfehler vo ud stimme überei: Yˆ Schätzug des relative Stadardfehlers: s mit f s ν ν ν *

26 Geschichtete Zufallsstichprobe Stichprobeaufteilug Prizip der vergleichbare Präzisio für gegliederte Ergebisse - Erhöhug der Präzisio für Teilergebisse durch Abstufug des relative Stadardfehlers v C Y ˆ h α Yˆ Abstufug erfolgt über de Expoet α der Werte zwische 0 ud 0,5 aehme ka h

27 Geschichtete Zufallsstichprobe Prizip der vergleichbare Präzisio für gegliederte Ergebisse h h h * ˆ α v h h C Y + Zur Herleitug z.b. Krug, oure, Schmidt: Wirtschafts- ud Sozialstatistik, 6. Auflage, Oldebourg Verlag 00, S. 3 ff.

28 Die Stichprobe der Eikommesteuerstatistik - jährliche Erfassug der Eikommesteuererkläruge - bei rud 8. Mio Steuerpflichtige - Abbildug des Besteuerugsprozesses - verschiedee geschichtete Stichprobe ach dem Prizip der vergleichbare Präzisio für gegliederte Ergebisse

29 Aufgabe 3 I der Haushaltesstichprobe eier Stadt (5) wurde die Stadtteilqualität als Schichtugsmerkmal, mit drei Auspräguge, geutzt (h,,3). Für die Haushalte wurde die Azahl der Haushaltsmitglieder erfasst. (5,3) (6,3) (3,) (3,) (,) (3,) (3,) (3,) (4,) (4,) (3,3) (,) (7,3) (4,) (3,) Schicht h 500, Schicht h 600, Schicht h Schätze Sie die Eiwoherzahl der Stadt!