7. Stichproben und Punktschätzung

Transkript

1 7. Stichprobe ud Puktschätzug 7. Grudgesamtheit ud Stichprobe Ausgagspukt der iduktive Statistik (beurteilede Statistik) sid Stichprobedate. Speziell stamme die Date aus Zufallsstichprobe. Die Stichprobeergebisse solle auf die Grudgesamtheit übertrage werde. Im Folgede beschräke wir de Begriff der Stichprobe stets auf das Kozept der Zufallsstichprobe. Eie Grudgesamtheit ethält alle iteressierede statistische Eiheite (Persoe, Uterehme etc.), währed eie Stichprobe ur zufällig ausgewählte Eiheite aus der Grudgesamtheit umfasst. Aus eier Vollerhebug lasse sich Kegröße (Parameter) wie z.b. Mittelwerte, Streuugsmaße oder Ateilswerte der Grudgesamtheit prizipiell exakt bestimme. Eie Stichprobe ethält dagege Iformatioe, die mit Zufallsschwakuge behaftet sid. Die Verallgemeierug vo Stichprobeergebisse auf die Grudgesamtheit ist aufgrud uvollstädiger Iformatioe daher stets mit Ugeauigkeite verbude. Dieser Rückschluss vo de Beobachtuge i der Stichprobe auf bestimmte Charakteristika der Grudgesamtheit wird als iduktiver Schluss bezeichet.

2 Grüde für Stichprobeerhebuge: Kosteersparis Zeitgewi (Aktualität) Grüdlichere Durchführug Praktische Umöglichkeit vo Vollerhebuge (zerstörede Tests vo Produkte) Uter eiem iduktive Schluss versteht ma die Verallgemeierug vo Stichprobeergebisse auf die Grudgesamtheit. Zufallsstichprobe Iduktiver Schluss Grudgesamtheit Stichprobefehler: Zufällige Abweichug eies Stichprobeergebisses vo eiem Parameter der Grudgesamtheit

3 7. Zufallsauswahl Bei eier Zufallsauswahl gelagt jede statistische Eiheit der Grudgesamtheit mit eier berechebare Wahrscheilichkeit i die Stichprobe. Über de Zufallsmechaismus wird die Repräsetativität sichergestellt. Uter Awedug des Wahrscheilichkeitskalküls bei der Auswahl der statistische Eiheite köe bei eier Zufallsauswahl Aussage über die Geauigkeit der Ergebisse gemacht werde. Der iduktive Schluss ist daher stets mit eiem bestimmte Grad a (U-)Sicherheit verbude. Stichprobefehler ud Sicherheitsgrad lasse sich bei Zufallsstichprobe mit Hilfe der Wahrscheilichkeitsrechug quatifiziere. Verfahre der Zufallsauswahl: Stichprobe (Zufallsauswahl) Eifache Zufallsauswahl Geschichtete Zufallsauswahl Klumpeauswahl Mehrstufige Zufallsauswahl 3

4 Eifache Zufallsauswahl Bei der eifache Zufallsauswahl gelagt jede statistische Eiheit der Grudgesamtheit mit gleicher Wahrscheilichkeit i die Stichprobe. Die Durchführug der eifache Zufallsauswahl setzt im Allgemeie voraus, dass alle N Elemete der Grudgesamtheit ummeriert i Form eier Liste oder Datei vorliege. Zu uterscheide sid verschiedee Techike zur Auswahl der Stichprobeelemete. Bei eier Auswahl mit (Pseudo-)Zufallszahle werde z.b. die Elemete der Grudgesamtheit durchummeriert. Die zu ziehede Utersuchugseiheite etimmt ma eier Zufallszahletabelle oder eiem Zufallszahlegeerator, der beispielsweise i ei Computerprogramm itegriert ist. Die Zufallszahle werde i beide Fälle über eie Algorithmus mit eier lage Periode erzeugt. Aus diesem Grud spricht ma auch vo Pseudo-Zufallszahle. Obwohl Pseudo-Zufallszahle durch eie Rechevorschrift ermittelt werde, lasse sie sich kaum vo "echte" Zufallszahle (z.b. Ureauswahl) uterscheide. 4

5 Die Prizipie des iduktive Schlusses lasse sich besoders klar bei eier eifache Zufallsauswahl verdeutliche. Eie eifache Zufallsstichprobe liegt uter folgede Voraussetzuge vor: Alle Elemete der Grudgesamtheit habe die gleiche Chace (Wahrscheilichkeit), i die Stichprobe zu gelage (= ueigeschräkte Zufallsstichprobe) Die Ziehuge erfolge uabhägig voeiader. Die Wahrscheilichkeit, ausgewählt zu werde, ist da bei jeder Ziehug gleich (Ziehug mit Zurücklege oder Ziehug aus eier uedliche Grudgesamtheit). Approximativ liege uabhägige Ziehuge vor, we aus eier edliche Grudgesamtheit ohe Zurücklege gezoge wird, der Auswahlsatz /N jedoch klei ist (Faustregel: /N 0,05). Beispiel: Ei Meiugsforschugsistitut besitzt eie Datei mit alle Telefoummer eier Regio. Der Computer wählt zufällig eie Telefoummer aus, der Haushalt mit dieser Telefoummer wird aschließed befragt. Um zu gewährleiste, dass Haushalte icht mehrmals befragt werde, wird jede Telefoummer höchstes eimal gezoge. Da der Auswahlsatz geriger als 5% ist (aus 0 Millioe Telefoummer werde 000 ausgewählt, so dass 000/ < 0,05) sid die Bediguge eier eifache Zufallsstichprobe approximativ erfüllt. 5

6 7.3 Stichprobevariable ud -fuktioe Stichprobevariable Vor der Erhebug ist icht bekat, welche Merkmalsträger i die Stichprobe gelage. Damit liege keie Iformatioe über die Auspräguge bei eier Zufallsvariable X vor. Somit sid Zufallsvariable vorhade, die mit X i (i =,,, ) symbolisiert werde ud als Stichprobevariable bezeichet werde. Die Stichprobevariable X i bezeichet also die potezielle Beobachtug der Zufallsvariable X, die bei der i-te Durchführug des Zufallsvorgags gemacht wird. Nach der Erhebug liege kokrete Realisatioe der Stichprobevariable X i vor, die mit x i bezeichet werde. Zufallsstichprobe: -dimesioale Zufallsvariable (X, X,, X ) Kokrete Stichprobe: Realisatio der -dimesioale Zufallsvariable (x, x,, x ) Beispiel: Es solle zeh Studierede ach ihrem Eikomme (Merkmal X) befragt werde ( = 0). Damit liege vor der Erhebug 0 Zufallsvariable (= Stichprobevariable) vor, d.h. X, X,, X 0. Nach der Erhebug sid kokrete Realisatioe vorhade. Gibt der erste Studet ei Eikomme vo 449 a, gilt x = 449. Isgesamt habe sich bei der Befragug der 0 Studierede folgede Stichproberealisatioe ergebe 6 habe:

7 x = 449, x = 66, x 3 = 389, x 4 = 80, x 5 = 53, x 6 = 339, x 7 = 540, x 8= 603, x 9 = 744, x 0 = 459 Die bei eier eifache Zufallsstichprobe geltede Uabhägigkeit (bzw. approximative Uabhägigkeit) der Ziehuge bedeutet stets, dass die Stichprobevariable X i uabhägig (bzw. approximativ uabhägig) voeiader sid. Eie idetische Verteilug bedeutet isbesodere, dass die Stichprobevariable X i (i =,, ) de gleiche Erwartugswert ud die gleiche Variaz habe: E X i = μ Var X i = σ Beispiel: Das Durchschittseikomme aller Kasseler Studierede (= Grudgesamtheit) betrage 604 bei eier Variaz vo Wird eie Stichprobe vo = 00 Kasseler Studierede gezoge, da beträgt der Erwartugswert des Eikommes bei jedem der befragte Studierede 604 ud die Variaz Die Göttiger oder Marburger Studierede bilde dagege adere Grudgesamtheite, die durch völlig uterschiedliche Parameter μ ud σ gekezeichet sei köe. 7

8 Stichprobefuktioe Aus eier realisierte Stichprobe (x, x,...,x ) lasse sich u empirische Kezahle bereche, die als Schätzwerte für die ubekate Parameter der Grudgesamtheit oder Teststatistike verwedet werde köe. Sie werde allgemei als Stichprobefuktioe bezeichet, die die i der Stichprobe ethaltee Iformatioe mit Hilfe geeigeter Fuktioe g verdichte. Vor dem Ziehe der Stichprobe sid die Stichprobefuktioe g(x,x,,x ) selbst Zufallsvariable. Nach dem Ziehe der Stichprobe liegt eie Realisatio, d.h. ei kokreter Wert eier Stichprobefuktio vor: g(x,x,,x ). Beispiel: Stichprobefuktioe sid z.b. das arithmetische Mittel ud uterschiedliche Streuugsmaße i i= i= X = X bzw. x = x S = X - X bzw. s = x - x - - i i i= i= S* = X - X bzw. s* = x - x i i i= i= i 8

9 7.4 Schätzfuktioe ud ihre Eigeschafte Eie Stichprobefuktio, die zur Schätzug eies ubekate Parameters i der Grudgesamtheit eigesetzt wird, heißt Schätzfuktio. Sie liefert eie Puktschätzer für de ubekate Parameter der Grudgesamtheit. Ubekater Parameter der Grudgesamtheit: θ ˆθ = g(x, X,..., X ) Schätzfuktio für θ: Puktschätzug: ˆθ = g(x, X,..., X ) Schätzwert: ˆθ = g(x, x,...,x ) Die Stichprobefuktio θ wird als Schätzfuktio bezeichet, weil ihre Realisatioe kokrete Schätzwerte θ für de ubekate Parameter θ der Grudgesamtheit liefer. Zu beachte ist, dass mit θ sowohl eie Zufallsvariable als auch dere Realisatio bezeichet wird. Aus dem jeweilige Kotext geht hervor, welche Iterpretatio gerade vorliegt. I Abhägigkeit davo, welche Utersuchugseiheite der Grudgesamtheit i die Stichprobe gelage, erhält ma uterschiedliche Puktschätzer. Ei Puktschätzer ist also immer mit eier Usicherheit behaftet. I der Regel wird er icht exakt mit dem ubekate Parameter der Grudgesamtheit übereistimme. 9

10 Häufig stehe mehrere Schätzfuktioe zur Puktschätzug eies ubekate Parameters zu Verfügug. Welche Schätzfuktio soll da verwedet werde? Beispiele: Bei symmetrische Verteiluge ka ei ubekater Erwartugswert μ durch de Stichprobemittelwert ud durch de Stichprobemedia geschätzt werde. Soll da X oder X als Schätzfuktio zur Schätzug vo μ verwedet werde? Bei eier Poisso-Verteilug stimme Erwartugswert E(X) ud Variaz Var(X) überei. Sie werde durch de Parameter λ wiedergegebe. Soll da λ durch das Stichprobemittel X oder die Stichprobevariaz S² geschätzt werde? Warum sollte die ubekate Variaz σ eier Verteilug durch die Stichprobevariaz mit dem Faktor /(-) statt mit dem Faktor / geschätzt werde? Um die Frage zu beatworte, welcher Puktschätzer bei Schätzuge eies ubekate Parameters eier Grudgesamtheit vorzuziehe ist, beötigt ma Kriterie, ach dee die Güte vo Schätzfuktioe beurteilt werde ka. Drei wichtige Gütekriterie werde im Folgede betrachtet: Gütekriterie Erwartugstreue Effiziez Kosistez 0

11 Erwartugstreue Aufgrud des Stichprobefehlers wird ei Puktschätzer θ de ubekate Parameter θ der Grudgesamtheit icht geau treffe. Der Puktschätzer sollte aber im Durchschitt mit dem ubekate Parameter übereistimme. Diese Eigeschaft bezeichet ma als Erwartugstreue. Eie Schätzfuktio ˆθ = g X,, X für de ubekate Parameter θ der Grudgesamtheit ist erwartugstreu (uverzerrt), falls gilt: E(θ) ˆ = θ Falls dies icht gilt, ist die Schätzfuktio verzerrt. Das Ausmaß der Verzerrug wird auch als Bias bezeichet. f (ˆ ),f (ˆ ) f (ˆ ) (ˆ ) f Erwartugstreuer ud verzerrter Schätzer E (ˆ ) E(ˆ ) ˆ, ˆ,

12 Beispiel: Gegebe ist eie beliebige Zufallsvariable X. Der Erwartugswert µ vo X ist ubekat. Betrachtet wird das arithmetische Mittel vo X,, X mit E(X i ) = μ (i =,, ): X = Xi i= Das arithmetische Mittel soll als Schätzer für de ubekate Parameter µ verwedet werde. Die Frage ist, ob diese Schätzfuktio erwartugstreu ist. EX = E X i = E X i = E X i = μ = μ i= i= i= Damit ist gezeigt, dass X ei erwartugstreuer Schätzer für μ ist. Die Erwartugstreue für eie ubekate Ateilswert p gilt auch für de Stichprobeateilswert bei Beroulli-verteilte Zufallsvariable X i (die de Wert aehme, falls ei Ereigis A vorliegt): P = i= E(P) = p X i

13 Aufwädiger ist der Nachweis der Erwartugstreue für folgede Schätzfuktio: S = - E(S ) = σ i= X - X i Die Stichprobevariaz ist also da ei erwartugstreuer Schätzer für die ubekate Variaz σ, we die Summe der Abweichugsquadrate mit dem Faktor /(-) multipliziert wird. Nicht erwartugstreu ist dagege die Stichprobevariaz mit dem Faktor /: * S = i= Der Bias beträgt: X - X i * E S - σ = σ - σ = - - σ 3

14 Effiziez Die Erwartugstreue bezieht sich auf de Durchschitt aller Stichprobe eies bestimmte Umfags. Werde mehrere Stichprobe gezoge, da werde sich die eizele Schätzwerte mehr oder weiger voeiader uterscheide. Die Effiziez eier Schätzfuktio bezieht sich auf die Streuug eies Schätzers. Je geriger die Variaz der Schätzfuktio ist, desto präziser ist die Schätzug. Die erwartugstreue Schätzfuktio mit der gerigste Variaz heißt effiziet. Aufschluss über die relative Effiziez zweier Schätzfuktioe erhält ma durch de Vergleich ihrer Variaze. Es seie θ = g (X,X,..., X ) ud θ = g (X,X,..., X ) zwei erwartugstreue Schätzfuktioe für de ubekate Parameter der Grudgesamtheit. Die Schätzfuktio θ ist relativ effiziet zu θ, we für jede Stichprobeumfag gilt: Var θ ˆ Var θˆ Das Gütekriterium der Effiziez besagt also, dass vo zwei alterative erwartugstreue Schätzfuktioe diejeige zu wähle ist, die bei festem Stichprobeumfag die kleiere Variaz aufweist. 4

15 Relative Effiziez eies Schätzers f (ˆ ),f (ˆ ) f (ˆ ) f (ˆ ) E (ˆ ) E(ˆ ) ˆ, ˆ, E(θ ˆ ) = E(θ ˆ ) = θ Var(θ ˆ ) < Var(θ ˆ ) Damit ist θ relativ effiziet zu θ. 5

16 Beispiel: Zur Schätzug des ubekate Erwartugswertes µ werde folgede Schätzfuktioe betrachtet: ˆμ = X + X + + X ˆμ = ax + a X + + a X mit a + a a = Beide Schätzfuktioe sid erwartugstreu. Die Erwartugstreue vo μ ist bereits gezeigt worde, da es sich hierbei um das arithmetische Mittel X hadelt. Die Erwartugstreue vo μ ergibt sich folgedermaße: Eμ ˆ = aex + + a EX = aμ + + a μ = μ a + + a = μ = μ Welche der beide Schätzfuktioe hat aber die kleiere Variaz? Die Schätzfuktio mit der kleiere Variaz ist die relativ effizietere Schätzfuktio. 6

17 Für die Variaze ergibt sich: ˆ Var μ = Var (X + X X ) = [Var(X ) + Var(X ) Var(X )] σ = (σ + σ σ ) = σ = -mal Var μ ˆ = avar X + a Var(X ) + + a Var X = a σ + a σ + + a σ = σ a + a + + a Falls alle a i gleich sid, gilt: a + + a = I diesem Fall sid die beide Variaze idetisch. Sofer ur ei a i ugleich ist, ist die Variaz vo μ größer als die Variaz vo μ. Allgemei gilt damit: ˆ ˆ Var μ Var μ Damit ist der erste Schätzer μ relativ effiziet zum zweite Schätzer μ. 7

18 Kosistez Eie Reihe vo Schätzfuktioe, die i der statistische Praxis auftrete, habe die Eigeschaft, dass ihr Erwartugswert bei steigedem Stichprobeumfag gege de ubekate Parameter θ strebt (asymptotische Erwartugstreue) ud gleichzeitig auch ihre Variaz gege 0 geht: ˆ ˆ lim E θ = θ lim Var θ = 0 Ma bezeichet diese asymptotische Güteeigeschaft eier Schätzfuktio als Kosistez. Ei kosisteter Schätzer fällt bei eiem über alle Greze steigede Stichprobeumfag mit dem ubekate Parameter θ zusamme. Die Kosistez eier Schätzfuktio ist also die Garatie, dass sich ei steigeder Aufwad loht, um im Durchschitt bessere Schätzergebisse zu erhalte. Kosistez wird i der Praxis häufig als miimale Güteaforderug agesehe, die a eie Schätzfuktio gestellt wird. 8

19 Beispiel: Betrachtet wird ereut folgede Schätzfuktio: X = Xi i= Es soll überprüft werde, ob diese Schätzfuktio eie kosistete Schätzug für de ubekate Erwartugswert µ ist. Asymptotische Erwartugstreue Zuvor wurde bereits gezeigt, dass X erwartugstreu ist. Da diese Eigeschaft für jede beliebige Stichprobeumfag gilt, ist sie auch für erfüllt: lim E X = μ Verschwidede Variaz lim Var X = lim σ = 0 Das Stichprobemittel X ist somit ei kosisteter Schätzer für de ubekate Erwartugswert μ. Bei steigedem Stichprobeumfag kozetriere sich also die Realisatioe vo X immer eger um μ, da die Variaz geriger wird. 9

20 Beispiel: Zeh Kasseler Studierede sid ach ihrem Eikomme (Zufallsvariable X) befragt worde. Aufgrud eier eifache Zufallsstichprobe habe sich folgede Stichproberealisatioe ergebe: x = 449, x = 66, x 3 = 389, x 4 = 80, x 5 = 53, x 6 = 339, x 7 = 540, x 8= 603, x 9 = 744, x 0 = 459 Aus de Stichprobedate erhält ma folgedes arithmetische Mittel: 0 i i= x = x = = 550 = 55 [ ] 0 Der Schätzwert für das Durchschittseikomme aller Kasseler Studierede beträgt also 55. Das wahre arithmetische Mittel μ für alle Studierede wird allerdigs vo diesem Puktschätzer abweiche. Das Stichprobemittel X ist jedoch eie erwartugstreue (uverzerrte) ud kosistete Schätzug des Durchschittseikommes aller Kasseler Studierede. 0

21 Bekat ist, dass es bei eier eifache Zufallsstichprobe keie erwartugstreue Schätzfuktio gibt, die eie gerigere Variaz aufweist als das Stichprobemittel. Aus diesem Grud ist X ei effizieter Schätzer für μ. Die Variaz des Stichprobemittels lautet: σ x = σ / Sie ka folgedermaße erwartugstreu geschätzt werde: ˆσ = S / x Im Beispiel erhält ma als Schätzug für die ubekate Variaz bzw. die ubekate Stadardabweichug des durchschittliche Eikommes X aller Kasseler Studierede: s = = 0636 = 95, [ ] 9 s 95, ˆσ x = = = 9,5[ ] 0 s ˆσ x = = 9,5 = 47,87[ ]