Statistik. 2. Semester. Begleitendes Skriptum zur Vorlesung. im FH-Masterstudiengang. Technisches Management. von. Günther Karigl

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1 Statistik. Semester Begleitedes Skriptum zur Vorlesug im FH-Masterstudiegag Techisches Maagemet vo Güther Karigl FH Campus Wie 06/7

2 Statistische Schätzverfahre Statistische Schätzverfahre Währed die deskriptive Statistik die Beschreibug statistischer Date aus Erhebuge, Messuge usw. durch Tabelle, Kezahle ud Graphike zum Ihalt hat, geht es i der beurteilede Statistik um de Schluss vo eier Stichprobe auf die zugehörige Grudgesamtheit. Dabei wolle wir zwei uterschiedliche Fragestelluge auseiader halte: Ma spricht vo Pukt- bzw. Itervallschätzug, we es um die Agabe vo Näherugswerte für ubekate Parameter eier Grudgesamtheit (z.b. de Ateil vo Sympathisate für eie politische Partei) geht bzw. um eie Beschreibug der Geauigkeit der gefudee Schätzwerte. Werde dagege Aahme über die Grudgesamtheit (z.b. die Eihaltug bestimmter Qualitätsorme bei der Produktio) a Had eier Stichprobe überprüft, so hadelt es sich um die Prüfug eier Hypothese mittels eies statistische Tests. Solage wir us ierhalb der Wahrscheilichkeitstheorie bewege, stehe wir im gesicherte Rahme eies mathematische Modells. Nu aber trete wir hiaus i die Realität. Die i der Praxis auftretede Grudgesamtheite werde i der Regel durch Wahrscheilichkeitsverteiluge modelliert, welche gewöhlich vo eiem oder mehrere Parameter abhäge (z.b. p für die Biomialverteilug, λ für die Poissoverteilug, µ ud für die Normalverteilug, usw.). Eie Stadardaufgabe der iduktive Statistik, auf die wir u eigehe wolle, ist es, de Wert eies ubekate Parameters auf Grud des erhobee Datematerials abzuschätze. Ma uterscheidet dabei grudsätzlich zwische Puktschätzuge, welche ur aus der Agabe eies Schätzwertes für de gesuchte Parameter bestehe, ud Itervallschätzuge, wobei ei so geates Kofidezitervall (auch Vertrauesitervall) agegebe wird, i dem der gesuchte Parameter mit eier vorgegebe Wahrscheilichkeit liegt.. Puktschätzug Gegebe sei eie Grudgesamtheit durch ihre Verteilug X ud eie kokrete Stichprobe x, x,..., x vom Umfag. Zur Schätzug des Mittelwerts µ = E(X) ist es ahe lieged, das Stichprobemittel gemäß µ ˆ = x = (x x ) ud zur Schätzug der Variaz = E(X µ) die Stichprobevariaz ˆ = s = (x x) (x x) ( ) herazuziehe. (Allgemei wird mit ˆπ ei Schätzwert für eie Parameter π der Grudgesamtheit bezeichet.) Beispiel: Aus eier N(µ, )-verteilte Grudgesamtheit sei die Stichprobe gegebe. Daraus berechet ma x = 50, x = 5, x 3 = 49, x 4 = 55

3 Statistische Schätzverfahre ud Also erhält ma die Schätzwerte µ ˆ = 5,5 ud x = ( ) = 5,5 4 = =. 3 s (, 5 0,5,5 3,5 ) 7 ˆ = 7 bzw. ˆ = 7 =, 65. Eg mit dem Schätze vo Erwartugswerte verküpft ist das Problem, eie Näherugswert ˆp für die Wahrscheilichkeit p = P(A) eies Ereigisses A zu fide. Es ist ahe lieged, dabei so vorzugehe: Ma führt das Zufallsexperimet, bei dem A eitrete oder icht eitrete ka, -mal aus ud registriert, wie oft A eitritt. Divisio dieser Zahl k durch ergibt da eie Schätzwert für p, ämlich die relative Häufigkeit h = k/ vo A, also ˆp = h = k /. Zur Bestätigug dieser Vorgagsweise betrachte wir die Zufallsvariable X, welche wie folgt defiiert ist: falls A zutrifft X = 0 falls A icht zutrifft mit P(X = ) = p ud P(X = 0) = q = p ist. Da ist X ach B(, p) biomialverteilt ud besitzt de Erwartugswert E(X) = p ud die Variaz Var(X) = pq. Folglich bietet sich als Schätzwert für p das Stichprobemittel ˆp = x = (x x ) a, das ist gerade die relative Häufigkeit h des Ereigisses A i der Stichprobe x,..., x. Beispiel: Beim Würfel erhalte wir uter 00 Würfe geau 0 mal die Augezahl sechs. Wir schätze daraus die Wahrscheilichkeit p für das Ereigis A, eie Sechser zu würfel. Mit = 00 ud k = 0 folgt ˆp = k / = 0 /00 = 0,. Eie allgemeie Methode zur Kostruktio eies Schätzwerts ˆπ für eie Parameter π stellt die so geate Maximum-Likelihood-Methode dar. Die Idee dabei ist folgede: Zu gegebeer Stichprobe x, x,..., x bestimmt ma jee Wert des Parameters π, für de das Auftrete gerade dieser Stichprobe im vorgegebee Modell am wahrscheilichste ist. Dazu maximiert ma bei diskrete Verteiluge die Wahrscheilichkeit L(π) = P(x, x,..., x ; π) für festes x,..., x i Abhägigkeit vo π. Die Fuktio L(π) heißt Likelihood-Fuktio ud misst die Plausibilität der beobachtete Stichprobe uter der Aahme, dass die Grudgesamtheit mit dem Parameter π verteilt ist. Zur Bestimmug des Maximums wird L(π) - oder aus techische Grüde vielfach auch l L(π) ach π differeziert, die Ableitug gleich 0 gesetzt ud daraus ˆπ ermittelt. Bei stetige Verteiluge maximiert ma die Fuktio L(π) = f(x,π) f(x,π), also das Produkt der Dichte uter dem Parameter π, bzw. de Logarithmus davo.

4 Statistische Schätzverfahre 3 Beispiel: Wir bestimme de Maximum-Likelihood-Schätzer für de Parameter p eier Biomialverteilug B(, p) aus eier Stichprobe mit k Erfolge uter Beobachtuge. Dazu betrachte wir die Maximum-Likelihood-Fuktio bzw. dere Logarithmus k L(p) = P(k Erfolge aus ; p) = ( k) l L(p) = l ( k ) p ( p) k + k l p + ( k) l ( p). Um das Maximum zu fide, setze wir die erste Ableitug gleich 0 ud erhalte d l L(p) / dp = k / p ( k) / ( p) = 0 k( p) = ( k)p k ˆp =. Als Maximum-Likelihood-Schätzer ergibt sich also wieder die relative Häufigkeit eies Erfolgs (siehe obe).. Itervallschätzug Die Begriffe Grudgesamtheit ud Stichprobe wurde bereits mehrmals verwedet. Eie Grudgesamtheit wird i der mathematische Statistik durch ihre Verteilug, also eie Zufallsvariable X beschriebe. Eie kokrete Stichprobe x,..., x ka ma u als eie Folge vo Realisieruge vo uabhägige Zufallsvariable X,..., X auffasse, wobei jede Variable X i die i-te Ausführug des mit X verbudee Zufallsexperimets beschreibt ud folglich die selbe Verteilug wie X besitzt. Der Mittelwert x ka da als eie Realisierug des Stichprobemittels X = (X + X X ) agesehe werde. Dabei ist X selbst eie Zufallsvariable ud ei Beispiel für eie so geate Stichprobefuktio, das ist eie Fuktio, die vo de Variable X,..., X abhägt. Ei aderes Beispiel ist die Stichprobevariaz S = (X X) + (X X) (X X) ( ) aus der ma durch Eisetze der Stichprobewerte x i für X i die Variaz der etsprechede kokrete Stichprobe erhält. Das Stichprobemittel X ud die Stichprobevariaz S diee zur Schätzug des Mittelswerts µ bzw. der Variaz der Grudgesamtheit X ud werde daher Schätzfuktioe (kurz Schätzer) für µ bzw. geat. Wir bereche u de Erwartugswert ud die Variaz der Schätzfuktio X ud erhalte mit E(X i ) = µ ud Var(X i ) = (für i =,...,) sowie E(X) = E (X X ) = ( E(X ) E(X )) = µ,

5 Statistische Schätzverfahre 4 Var(X) = Var (X X ) ( Var(X )... Var(X )) = + + =. Diese Rechug zeigt, dass der Erwartugswert des Stichprobemittels X mit dem Mittelwert µ der Grudgesamtheit übereistimmt. Ma et X eie erwartugstreue Schätzer für µ. Das bedeutet, dass zwar eizele Schätzwerte durchaus vo µ abweiche köe, jedoch bei häufiger Berechug vo Schätzwerte dere Mittel praktisch mit µ zusammefällt. Darüber hiaus ist X auch ei kosisteter Schätzer für µ, de die Variaz vo X geht mit wachsedem Stichprobeumfag gege 0 ud damit kovergiert X gege µ. Geauso ist die Stichprobevariaz S eie erwartugstreue Schätzfuktio für die Variaz der Grudgesamtheit, de E(S ) = E (Xi X) i= = E (X µ ) (X µ ) i= = ( i ) = E (X i ) (X ) µ µ i=. = E(X i ) E(X ) µ µ i= = Daher wird die Stichprobevariaz, auch we sie de Wert vo im Eizelfall icht geau trifft, ih doch icht systematisch über- oder uterschätze, soder weigstes im Mittel mit ihm übereistimme. Würde ma i der Formel für die Stichprobevariaz jedoch de Faktor / statt /( ) verwede, so hätte dies eie systematische Uterschätzug vo zur Folge. Nach diese eileitede Überleguge über Schätzfuktioe köe wir u dara gehe, ei Kofidezitervall (bzw. Vertrauesitervall) für eie ubekate Parameter der Grudgesamtheit zu bestimme. Daruter versteht ma eie Bereich, der de zu schätzede Parameter mit eier vorgegebee (große) Wahrscheilichkeit γ, z.b. γ = 95% ethält. Die Wahrscheilichkeit γ ist ei Maß für die Zuverlässigkeit der Schätzug ud wird Sicherheitswahrscheilichkeit oder Kofidezzahl geat. (i) Kofidezitervall für de Mittelwert µ eier Normalverteilug mit bekater Variaz Ausgagspukt ist also eie N(µ, )-verteilte Grudgesamtheit, wobei die Variaz etwa aus eier frühere Erhebug bekat ist, der Mittelwert µ higege geschätzt werde soll. Dazu betrachte wir eie geeigete Schätzfuktio für de ubekate Parameter, i userem Fall also das Stichprobemittel X, das ebefalls ormalverteilt ist mit dem

6 Statistische Schätzverfahre 5 Erwartugswert µ ud der Variaz / (siehe obe). Folglich ist die stadardisierte Zufallsvariable X µ Z = N(0,)-verteilt ud es gilt P( c Z c) = γ = α für Φ(c) = ( + γ)/ = α/. Wir habe also ei Itervall [ c, c] gefude, so dass die Werte vo Z mit Wahrscheilichkeit γ ierhalb bzw. mit Wahrscheilichkeit α = γ außerhalb dieses Itervalls liege. Mit derselbe Wahrscheilichkeit γ gilt da weiter d.h., µ liegt im Itervall X µ c c µ c X µ + c X c µ X + c, I γ ( µ ) = x c, x + c mit + γ α Φ (c) = = (wobei die Variable X durch das Mittel x eier kokrete Stichprobe ersetzt wurde). Wir habe damit ei Kofidezitervall für µ kostruiert. Beispiel: Die Größe eies bestimmte Bauteils sei ormalverteilt mit der Stadardabweichug = 4. Aus eier Stichprobe vo = 30 Produktiosstücke wurde der Mittelwert x = 90,5 berechet. Ma schätze de Erwartugswert µ vo X durch ei Kofidezitervall zur Kofidezzahl γ = 0,95. Zur gegebee Sicherheitswahrscheilichkeit γ = 0,95 bestimme wir zuächst c aus der Gleichug Φ(c) = ( + γ)/ = 0,975 ud erhalte c =,96 (laut Tabelle im Ahag). Setzt ma diese Wert gemeisam mit de übrige Agabe i obige Formel für das Kofidezitervall ei, so ergebe sich die Greze x ± c / = 90,5 ± 8,6 = 99, bzw. 8,9. Also habe wir mit [8,9; 99,] ei 95%-Kofidezitervall für de Mittelwert µ der Grudgesamtheit gefude. Eie weitere Stichprobe wird i. Allg. ei uterschiedliches Kofidezitervall liefer. Bei eier lage Stichprobeserie ka ma aber damit reche, dass etwa 95 % aller berechete Itervalle de ubekate Mittelwert µ tatsächlich ethalte. (ii) Kofidezitervall für de Mittelwert µ eier Normalverteilug mit ubekater Variaz Die i (i) agegebee Kostruktio eies Kofidezitervalls für de Mittelwert eier ormalverteilte Grudgesamtheit setzt voraus, dass dere Variaz bekat ist. Im Allgemeie wird dies aber icht der Fall sei. Es ist jedoch ahe lieged, zur Schätzug vo

7 Statistische Schätzverfahre 6 die Stichprobevariaz S zu verwede. Währed Z = (X µ ) / stadardormalverteilt ist, gilt dies für X µ T = S icht mehr. Vielmehr folgt diese Zufallsvariable eier so geate t-verteilug mit Freiheitsgrade. Die t-verteilug spielt ebeso wie die Normalverteilug eie wichtige Rolle bei statistische Schätz- ud Prüfverfahre. Die Dichtekurve f(x) der t-verteilug ist ählich wie die der Normalverteilug symmetrisch ud glockeförmig. Das Aussehe vo f(x) wird ur vo eiem Parameter FG bestimmt, der Azahl der Freiheitsgrade heißt. Mit wachseder Zahl FG strebt f(x) gege die Dichtefuktio Φ(x) der Stadardormalverteilug ud fällt für FG 30 praktisch mit Φ(x) zusamme. Obestehede Abbildug zeigt die Dichtekurve der t-verteilug für verschiedee Freiheitsgrade. Zur Kostruktio des gesuchte Kofidezitervalls bestimme wir u zu vorgegebeer Kofidezzahl γ mittels der Verteilugsfuktio F(x) der t-verteilug mit FG = jees c, für welches P( c T c) = γ = α, also F(c) = ( + γ)/ = α/ gilt. Das mit diesem c sowie de Stichprobeparameter x ud s gebildete Itervall s s I γ ( µ ) = x c, x + c mit + γ α F(c) = = ist da das gesuchte Kofidezitervall für µ zur Kofidezzahl γ. Beispiel: Ma schätze de Erwartugswert µ im vorhergehede Beispiel, falls die Stadardabweichug der Grudgesamtheit icht bekat ist, soder durch die Stadardabweichug der Stichprobe s = 4,6 ersetzt werde muss.

8 Statistische Schätzverfahre 7 Zur Sicherheitswahrscheilichkeit γ = 0,95 bestimme wir zuächst c aus der Gleichug F(c) = ( + γ)/ = 0,975 für die t-verteilug mit FG = = 9 ud erhalte c =,045. Die Werte der t-verteilug sid im Ahag tabelliert. Mit = 30 ud x = 90,5 ergebe sich da die Greze des Kofidezitervalls wie folgt x ± cs / = 90,5 ± 9, = 99,7 bzw. 8,3. Das 95%-Kofidezitervall für de Mittelwert µ der Grudgesamtheit beträgt i diesem Fall [8,3; 99,7]. Etscheide wir us jedoch für eie höhere Sicherheit ud wähle etwa γ = 0,99, ergibt sich für c aus der Gleichug F(c) = ( + γ)/ = 0,995 der Wert c =,756 ud damit das 99%- Kofidezitervall [78,; 30,9]. Eie Erhöhug der Kofidezzahl γ brigt offesichtlich eie Vergrößerug des Kofidezitervalls mit sich. Eie Verkleierug des Kofidezitervalls ka dagege durch eie Erhöhug des Stichprobeumfags erreicht werde. (iii) Plaug des Stichprobeumfags Die Geauigkeit der Schätzug ist durch die Abweichug d = c /, d.i. die halbe Breite des Kofidezitervalls gegebe. Offesichtlich ist d abhägig vo der Kofidezzahl γ (über de Wert c), vo der Stadardabweichug ud schließlich vom Stichprobeumfag. Wir stelle us u die Frage: Wie groß muss die Stichprobe sei, damit bei der Schätzug vo µ eie vorgegebee Abweichug d mit Sicherheit γ eigehalte wird. Aus obiger Formel für d ergibt sich umittelbar der erforderliche Stichprobeumfag gemäß c d mit + γ α Φ (c) = =. Beispiel: Wir beziehe us ochmals auf obiges Beispiel vo Abschitt (i) ud wolle diesmal eie Schätzug des Mittels µ mit eier Geauigkeit vo ±3 bei eier Sicherheit vo γ = 0,95. Mit c =,96, = 4 ud d = 3 berechet ma für de erforderliche Stichprobeumfag 5,68 = 45,86, also = 46. (iv) Kofidezitervall für die Variaz eier Normalverteilug Grudlage für die Schätzug der Variaz ist erwartugsgemäß die Stichprobevariaz S. Allerdigs folgt die Stichprobevariaz auch bei ormalverteilter Grudgesamtheit icht wie das Stichprobemittel eier Normalverteilug, soder eier so geate Chi- Quadrat-Verteilug (χ -Verteilug). Geauer gesagt gilt: We S die Stichprobevariaz eier Stichprobe vom Umfag aus eier N(µ, )-verteilte Grudgesamtheit ist, da ist die Zufallsvariable χ -verteilt mit Freiheitsgrade. ( )S V = So wie die Normal- oder die t-verteilug ist auch die χ -Verteilug stetig, sie ist jedoch ur für icht-egative Werte defiiert. Ferer ist die χ -Verteilug wie auch die t-verteilug

9 Statistische Schätzverfahre 8 vo eiem Parameter FG, der Azahl der Freiheitsgrade, abhägig. Der Verlauf der Dichtefuktio wird, wie die folgede Abbildug zeigt, sehr vom Parameter FG beeiflusst. Isbesodere weise die Dichtefuktioe für kleie Azahle vo Freiheitsgrade eie ausgeprägte Usymmetrie auf. Zur Kostruktio eies Kofidezitervalls für bestimme wir zuächst zwei Werte c ud c derart, dass P(c V c ) = γ = α gilt, wobei γ wieder die Sicherheitswahrscheilichkeit (bzw. α die etsprechede Gegewahrscheilichkeit) bezeichet. Wie ma sich leicht überlegt, erhält ma c ud c aus de beide Gleichuge F(c ) = ( γ)/ = α/ ud F(c ) = ( + γ)/ = α/. Dabei steht F(x) für die Verteilugsfuktio der χ -Verteilug mit FG =, welche ebefalls im Ahag tabelliert ist. Also gilt mit Wahrscheilichkeit γ, dass ( )S c c c ( )S c ( )S ( )S. c c Damit lautet das gesuchte Kofidezitervall für ( )s ( )s γ α + γ α = mit F(c ) = =, F(c ) = =. I γ ( ), c c Beispiel: Wir verwede ochmals obige Stichprobe über die Größe eies bestimmte Bauteils mit de Parameter = 30 ud s = 4,6. Gesucht ist ei 95%-Kofidezitervall für die Variaz der zugehörede Grudgesamtheit. Mit γ = 0,95 löse wir vorerst die beide Gleichuge F(c ) = ( γ)/ = 0,05 ud F(c ) = ( + γ)/ = 0,975 für die χ -Verteilug mit FG = = 9 ud erhalte (mit Hilfe der

10 Statistische Schätzverfahre 9 Tabelle im Ahag) die Werte c = 6, 05 ud c = 45,7. Folglich betrage die Itervallgreze ( )s /c = 383,9 ud ( )s /c = 093,4. Also ist [383,9; 093,4] ei 95%-Kofidezitervall für die Variaz bzw. [9,6; 33,] ei 95%-Kofidezitervall für die Stadardabweichug. (v) Kofidezitervall für die Wahrscheilichkeit p = P(A) eies Ereigisses A Als Puktschätzug für die ubekate Wahrscheilichkeit p eies Ereigisses habe wir bereits desse relative Häufigkeit h bei -maliger Ausführug des zu A gehörede Zufallsexperimets verwedet. Dabei ist h eie Realisierug der Stichprobefuktio H = ( X X ), welche die relative Häufigkeit des Ereigisses A i der Stichprobe als Zufallsvariable beschreibt. Die Variable X i gebe jeweils a, ob A beim i-te Versuch zutrifft oder icht zutrifft ud sid ach B(, p) verteilt, die Variable H ist da aäherd ormalverteilt ach N(p, p( p)/). Daraus erhält ma für p das Kofidezitervall h( h) h( h) I γ (p) = h c, h + c mit + γ α Φ (c) = =. Beispiel: Würfelt ma uter = 00 Würfe geau 0 mal eie Sechser, so beträgt die relative Häufigkeit für eie Sechser i der beobachtete Stichprobe h = 0/00 = 0,. Wir bestimme das 95%-Kofidezitervall für die Wahrscheilichkeit p, eie Sechser zu würfel. Aus der Normalverteilug ermittel wir zuerst zur Kofidezzahl γ = 0,95 die Lösug der Gleichug Φ(c) = ( + γ)/ = 0,975 ud erhalte c =,96. Setze wir diese Wert gemeisam mit de Werte für h ud i obige Formel ei, so ergebe sich die Greze h( h) h ± c = 0, ± 0,078 = 0,78 bzw. 0,. Das 95%-Kofidezitervall für die Wahrscheilichkeit p ist also durch [, %; 7,8 %] gegebe. (Wege /6 = 6,7% spricht ichts dagege, dass der Würfel fair ist.) Wie oft müsste ma würfel, um p bei eier Sicherheit vo 95 % auf d = ± % geau zu schätze? Die Atwort auf diese Frage ergibt sich aus der Ugleichug c p( p) / d ud führt auf c p( p)/d oder (wege p( p) /4) c. 4d Das ergibt im kokrete Beispiel eie Mideststichprobeumfag vo etwa = 9600.