Testverfahren zur Prüfung von Hypothesen über Parameter oder Verteilungen. Einstichprobentest für die Varianz einer Normalverteilung

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1 Testverfahre zur Prüfug vo Hypothese über Parameter oder Verteiluge Eistichprobetest für die Variaz eier Normalverteilug Eistichprobetest für de Ateilswert Zweistichprobetests zum Vergleich zweier arithmetischer Mittel zweier Ateilswerte zweier Variaze Testverfahre II Bibliografie Prof. Dr. Kück Uiversität Rostock tatistik, Vorlesugsskript, Abschitt 7.. Bleymüller / Gehlert / Gülicher Verlag Vahle tatistik für Wirtschaftswisseschaftler MM*tat. Eie iteraktive Eiführug i die Welt der tatistik PC Pool WIO-Fakultät \\zeus\statistik\mmstat\start Dr. Rolad Jeske, Uiversität Kostaz Dr. H.-J. Mittag, Feruiversität Hage Testverfahre II

2 Hypothesetests ud ihre Bestadteile Zusamme mit dem chätze bildet das Teste vo Hypothese de Kerbereich der schließede oder iduktive tatistik. Ei Hypothesetest besteht aus siebe Elemete:. zwei etgegegesetzt formulierte Hypothese (H ud H. eiem vo vorherei festgelegte igifikaziveau. eier bzw. mehrere tichprobe 4. eier tichprobefuktio (Prüfgröße bzw. Testgröße 5. eiem Ablehugsbereich bzw. eiem Aahmebereich für H 6. eier Etscheidugsregel 7. eier Etscheidug Testverfahre II Eistichprobetest für die Variaz ( H : ² ² vs. H : ² ² (Zweiseitiger Test ( H : ² ² vs. H : < ² (Liksseitiger Test ( H : ² ² vs. H : ²> ² (Rechtsseitiger Test Modifizierte tichprobevariaz als tichprobefuktio: i ( i Theoretische Verteilug der modifizierte tichprobevariaz bei Normalverteilug der Grudgesamtheit ud eifacher Zufallsstichprobe: (- ² χ ~ χ Prüfgröße des Tests: (- ² χ Testverfahre II 4

3 Kritische Bereiche bei de Tests für die Variaz ( H : ² ² H : ² ² : igifikaziveau ²( K( {² : < χ ; oder ²( > χ ; ( H : ² ² H : ²< ² χ ; χ ; ²( K( {² : < χ ; ( H : ² ² H : ²> ² χ ; χ ; ²( K( {² : > χ ; Testverfahre II 5 Eistichprobetest für die Variaz - Beispiel Beispiel: I der Vergageheit betrug die Variaz der ormalverteilte Lebesdauer eier bestimmte Batteriesorte, Jahre². Es soll u auf tichprobebasis mit eiem igifikaziveau vo, geprüft werde, ob sich durch Eiführug eies kostegüstigere Produktiosverfahres die Variaz der Lebesdauer erhöht. Eie tichprobe vo 5 ach dem eue Verfahre gefertigte Batterie liefert eie Variaz vo,6 Jahre². H : ², vs. H : ²>,, (-² χ ~ χ Kritischer Bereich: ²( K( {² : > χ 4,98, χ ; χ ; χ 4;,99 4,98 Testverfahre II 6 (-s ² 4,6 4,9, χ 4,9<4,98 H ka icht abgeleht werde, d. h. aus dem tichprobeergebis ka icht auf eie sigifikate Erhöhug der Variaz der Grudgesamtheit geschlosse werde.

4 Eistichprobetest für de Ateilswert ( H : vs. H : (Zweiseitiger Test ( H : vs. H : < (Liksseitiger Test ( H : vs. H : > (Rechtsseitiger Test P: tichprobeateilswert P i i i i i : Beroulliverteilt mit dem Parameter f( W ( i P P: Biomialverteilt mit de Parameter ud f( W ( i Prüfgröße des Tests: Für (- 9 gilt: P P ~ N(, ( ( Testverfahre II 7 Kritische Bereiche bei de Tests für de Ateilswert ( H : H : igifikaziveau P K( {P : > Z ( ( H : H : < -Z - P K( {P : < - Z ( ( H : H : > Z - P K( {P : > Z ( Testverfahre II 8 4

5 Eistichprobetest für de Ateilswert - Beispiel Beispiele: Der Fabrikat eies bestimmte Masseartikels behauptet gegeüber eiem Abehmer, dass der Ausschussateil i eier vo ihm agebotee Lieferug geau, bzw. % beträgt. I eier zur Qualitätsüberprüfug gezogee tichprobe ohe Zurücklege im Umfag vo werde Ausschussartikel gefude. Ist damit die Behauptug des Fabrikate, der Ausschlussateil betrage %, bei eiem igifikaziveau vo,5 widerlegt? H :, vs. H :,,5 Es gilt ( 9. Kritischer Bereich: K( {P : P > Z ( Z Z,975,96 P (,,,, z,,9,9, <,96 K(a H ka icht abgeleht werde, d. h. aus dem P-Ergebis ka die Behauptug des Fabrikate icht widerlegt werde. Testverfahre II 9 Zweistichprobetests -Awedugsbeispiele Eikommesvergleich vo Arbeitsehmerhaushalte i zwei Budesläder Vergleich des Erfolgs zweier Arbeitstechike Gewichtsvergleich ach uterschiedliche Diäte Vergleich des Qualitätsparameters eies Produktes vo uterschiedliche Hersteller Vergleich des Geburtsgewichtes vo Zwillige Uterscheidet sich das Geburtsgewicht des zuerst geboree Kides vo dem des Zweitgeboree? Vergleich der timmeateile politischer Parteie ach der Wahl i uterschiedliche Budesläder Vergleich der Messgeauigkeit (Variabilität zweier Messistrumete Testverfahre II 5

6 Zweistichprobetests Der tatistiker steht i der Praxis oft vor der Aufgabe, die ubekate Parameter vo zwei Grudgesamtheite auf Grud vo zwei tichprobe jeweils vom Umfag bzw. zu vergleiche. Diese Hypothesetests werde Zweistichprobetests geat. Grudgesamtheit Grudgesamtheit Parameter: tichprobe vom Umfag tichprobe vom Umfag,,...,,,..., tichprobefuktioe:, P,, P, Testverfahre II Zweistichprobetests zum Vergleich zweier arithmetischer Mittel Der Vergleich vo Mittelwerte zweier Grudgesamtheite lässt sich mit Hilfe der Hypothesetests folgederweise darstelle: Grudgesamtheit Grudgesamtheit Mittelwert ( H : vs. H : ( H : - vs. H : - ( H : vs. H : < ( H : - o vs. H : - < ( H : vs. H : > ( H : - vs. H : - > Testverfahre II 6

7 tichprobefuktioe bei de Tests für die Differez zweier arithmetischer Mittel Es ist zweckmäßig bei de Zweistichprobetests für die Differez zweier arithmetischer Mittel die Differez der tichprobemittelwerte oder eier Trasformatio vo ihr als Prüfgröße des Tests zu utze. Es gilt: i E( E( i E(i Var( Var( i Var(i i i i i i i E( E( i E( i Var( Var( i Var( i i i i i i E( E( E( Var( Var( Var( für uabhägige tichprobe Die Verteilug der azuwedede Prüfgröße hägt vor allem vo der Verteilug des utersuchte Merkmals i beide Grudgesamtheite bzw. vo de tichprobeumfäge ud ud vo der verfügbare Iformatio über die Variaze i beide Grudgesamtheite ab. Wir werde drei Fälle utersuche. Testverfahre II Verteilug der tichprobefuktioe Fall A: Bei bekate Variaze der Grudgesamtheite. ~ N( ; ~ N( ; oder > ud > ( ( ~ N(; ~ N( ; Fall B: Bei ubekate uterschiedliche Variaze der Grudgesamtheite. > ud > ( ( ~ N(; Fall C: Bei ubekate gleiche Variaze der Grudgesamtheite. ~ N( ; ~ N( ; ud ( ( ( ( T Testverfahre II 4 ~ t 7

8 Prüfgröße ud kritische Bereiche für die Differez zweier Mittelwerte - Fall A Bediguge: ~ N( ; ~ N( ; oder > ud > ud ( bekat ( ( ( H : - vs. H : - ( K( {( : > Z igifikaziveau Verteilug der tichprobefuktio: ~ N(; ( H : - o vs. H : - < ( K( {( : < - Z ( H : - vs. H : - > ( K( {( : > Z Testverfahre II 5 Prüfgröße ud kritische Bereiche für die Differez zweier Mittelwerte - Fall B Bediguge: > ud > ud ubekat ( H : - vs. H : - K( {( : Z > Z igifikaziveau Verteilug der tichprobefuktio: ( ( ( ~ N(; ( H : - o vs. H : - < ( H : - vs. H : - > K( {( : Z < - Z K( {( : Z > Z Testverfahre II 6 8

9 Prüfgröße ud kritische Bereiche für die Differez zweier Mittelwerte - Fall C Bediguge: ~ N( ; ~ N( ; Ubekate Variaze < oder < ( ( ( H : - vs. H : - ( K( {( : > t ; igifikaziveau T ( Verteilug der tichprobefuktio: ( ( T ( H : - o vs. H : - < ( K( {( : < - t ; ( H : - vs. H : - > ( K( {( : Testverfahre II 7 > t ; ~ t Regioalvergleich vo Bezipreise - Beispiel Beispiel: Eie Utersuchug vo Bezipreise im Dezember ergab, dass ortsabhägige Differezieruge für eie Takstellekette auftrete. Folgede Ergebisse eier Erhebug i der 5. Kalederwoche liege vor: Ort HRO tichprobeumfag 47 Durchschittspreis (i, tadardabweichug (i,97 N 47,,76 NBG 5,,8 Ka aus de vorliegede Ergebisse geschlosse werde, dass: a Bezi i HRO sigifikat (,5 billiger als i N ud als i NBG ist? b Bezipreise i N ud NBG sigifikat uterschiedlich sid? Testverfahre II 8 9

10 Beispiellösug Teil a Rostock chweri Neubradeburg a H : vs. H : < (,5 47 x, s,97 Prüfgröße x 47, s,76 s ( 5 x,,8 Kritischer Bereich: ( K( {( : < - Z Z Z,95,645,5 -,645 Berechug der Prüfgröße HRO-N z (x x s s (,,,97 47,76 47,5597 -,5597>-,645 >H ka icht abgeleht werde, d. h. der Bezipreis ist i HRO icht sigifikat iedriger als i N. Die Wahrscheilichkeit des Fehlers. Art bleibt ubekat. Berechug der Prüfgröße HRO-NBG (x x (,, z,796 s s,97, ,796<-,645 >H ka abgeleht werde, d. h. ma ka aehme, dass Bezi i HRO sigifikat billiger als i NBG ist. Die Wahrscheilichkeit des Fehlers. Art ist höchstes,5. Testverfahre II 9 x s chweri 47,,76 b H : vs. H : K( {( Z Z,975 Neubradeburg Prüfgröße Berechug der Prüfgröße N-NBG ( (x x (,, 5 z,9 s s,76,8 x, 47 5 s,8 -,9 <,96 > H ka icht abgeleht (,5 werde, d. h. der beobachtete Bezipreisuterschied i N ud i NBG ka als zufällig ( : > Z agesehe werde. Die Wahrscheilichkeit des Fehlers. Art bleibt ubekat.,96,5,5 Der Test ist icht trasitiv! Beispiellösug Teil b N HRO > > W(β-Fehler? W(β-Fehler? W(-Fehler,5 NBG Testverfahre II

11 Vergleich der durchschittliche Füllgewichte vo Teepackuge - Beispiel Beispiel: Auf zwei Maschie wird Tee abgepackt. Auf tichprobebasis soll mit, geprüft werde, ob die Maschie Nr. mit eiem größere durchschittliche Füllgewicht arbeitet als die Maschie Nr.. Aus der Vergageheit sei bekat, dass die Füllgewichte der beide Maschie aäherd ormalverteilt sid ud die Variaze der Füllgewichte als gleich ageomme werde köe. Die tichprobe aus der laufede Produktio liefer folgede Ergebisse: Maschie Nr. Nr. tichprobeumfag Durchschittliches Füllgewicht (i g 7 tadardabweichug (i g,,8 Testverfahre II Vergleich der durchschittliche Füllgewichte vo Teepackuge - Beispiellösug Maschie Nr. x s, x Maschie Nr. 7 s,8 H : - vs. H : - > ( K( {( : > t t ; t ;,99 ;,58 (,,58 ( T ( (,² 9,8² s 4,, t (x x s ( 7,,459,459>,58 > H ka abgeleht werde, d. h. die Maschie Nr. arbeitet mit eiem größere durchschittliche Füllgewicht als die Maschie Nr.. Der Fehler bei dieser Etscheidug liegt uter %. Testverfahre II

12 Zweistichprobetests zum Vergleich zweier Ateilswerte Der Vergleich vo Ateilswerte zweier Grudgesamtheite lässt sich mit Hilfe der Hypothesetests folgederweise darstelle: Grudgesamtheit Grudgesamtheit Ateilswert tichprobe tichprobe Ateilswert,,..., ( H : vs. H :,,..., P P ( H : - vs. H : - ( H : vs. H : < ( H : vs. H : > ( H : - o vs. H : - < ( H : - vs. H : - > Testverfahre II Prüfgröße ud kritische Bereiche bei de Tests für die Differez zweier Ateilswerte Bediguge: p (-p 9 ud p (-p 9 P P P (P P P( P igifikaziveau Verteilug der tichprobefuktio: (P P ( ~ N(; P( P ( H : - o vs. H : - < (P P K( {(P P : < - Z P( P ( H : - vs. H : - K( {(P P : (P P P( P > Z ( H : - vs. H : - > (P P K( {(P P : > Z P( P Testverfahre II 4

13 Wie bekomme ich eie Job? - Beispiel Beispiel: Uter der Überschrift Wie bekomme ich eie Job? berichtet das Focus-Magazi die Ergebisse über eie Umfrage uter tudete ud Uterehme. Vo de 4 zufällig ausgewählte tudete eies Abschlusssemesters erachte 8 % die Qualifikatio, dokumetiert mit dem Zeugis, als etscheided für de Erfolg eies Bewerbugsgespräches. Demgegeüber sehe vo befragte Persoalchefs der Uterehme ur 7 % die Qualifikatio als etscheided für de Erfolg eier Bewerbug a. Teste ie bei eiem igifikaziveau vo,5, ob die Bedeutug der Qualifikatio vo beide Persoegruppe wesetlich verschiede bewertet wird. ( H : - vs. H : - (,5 (P P K( {(P P : > Z Z Z,975,96 P( P -,96,96,4>,96 > H ka abgeleht (P P (,8,7 z,4 werde, d. h. beide Persoegruppe 6 P( P,78,7 bewerte die Bedeutug der Qualifikatio 4 wesetlich uterschiedlich. Die Wahrscheilichkeit des Etscheidugsfehlers P P 4,8,7 P p,78 ist höchstes,5. 6 Testverfahre II 5 Zweistichprobetests zum Vergleich zweier Variaze Der Vergleich vo Variaze zweier Grudgesamtheite lässt sich mit Hilfe der Hypothesetests folgederweise darstelle: Grudgesamtheit Grudgesamtheit Variaz Modifizierte tichprobevariaz ( H : vs. H : ( H : vs. H : < ( H : vs. H : ( H : vs. H : < ( H : vs. H : > ( H : vs. H : > Testverfahre II 6

14 Prüfgröße ud kritische Bereiche bei de Tests für das Verhältis zweier Variaze Bediguge: ~ N( ; ~ N( ; igifikaziveau F K( { : F mit Verteilug der tichprobefuktio: ν > F ~ F ud ( H : vs. H : ν;ν ν oder < F ;ν;ν ;ν; ν ( H : vs. H : < K( { : < F ;ν ; ν ( H : vs. H : > K( { : > F ;ν ; ν Testverfahre II 7 Vergleich der Variaze der Füllgewichte vo Teepackuge - Beispiel Beispiel: Auf zwei Maschie wird Tee abgepackt. Auf tichprobebasis soll mit eiem igifikaziveau vo, geprüft werde, ob die Variaze des Füllgewichts bei der Verpackug der Teepackuge i de Maschie als homoge betrachtet werde köe. Die tichprobeergebisse aus der laufede Produktio sid: Maschie Nr. Nr. H : vs. H : K( { : F F,95;;9 F ;ν;ν ;ν;ν F,5;;9 > F tichprobeumfag oder < F ;ν;ν ;ν; ν, F,95;9;,9 (,,448,45 Durchschittliche Füllgewicht (i g 7, tadardabweichug (i g,,8,² F F, 498,8²,49 gehört icht zum kritische Bereich > H ka icht abgeleht werde, d. h. ma ka vo eier Variazhomogeität ausgehe. Der β-fehler ist ubekat, aber vermutlich klei, weil sehr groß festgelegt wurde. Testverfahre II 8 4

15 Eipersoehaushalte i B ud BD- Beispiel Beispiel: Besteht ei statistisch sigifikater Uterschied bei de Ateile der Eipersoehaushalte a de Privathaushalte i Berli ud Bradeburg? Bei eier tichprobe vo jeweils Haushalte liegt der Ateil der Eipersoehaushalte i Berli bei,5 ud i Bradeburg bei,4. Das igifikaziveau soll icht,5 überschreite. ( H : - vs. H : - (P P K( {(P P : > Z P( P Quelle: ( Haushalte ud Familie (März 4 (,5 (P P P( P P P P *,5 *,4 p,48,5,4 z 7,6,48(,48 * Z Z,975 -,96,96,96 7,6>,96 > H ka abgeleht werde, d. h. der Ateil der Eipersoehaushalte uterscheidet sich i Berli ud Bradeburg sigifikat. Testverfahre II 9 Alleilebede im Oste ud im Weste - Beispiel Beispiel: Bei der Ziehug eier tichprobe lebe im Oste vo 5 Persoe, alleie ud im Weste komme auf 5 Persoe 4 Alleilebede. Gibt es eie sigifikate Uterschied zwische dem Ateil Alleilebeder im Oste ud im Weste? (,5 Quelle: Mikrozesus 4, Tabelle 8: Bevölkerug ud Allei Lebede ach Altersgruppe ud Geschlecht ( H : - vs. H : - (,5 K( {(P P : (P P P( P > Z -,96,96 (P P P( P P P P,6, 5 5,67 (,67 5*5 5 *,6 5 *, p, z,69 Z Z,975,96 -,69 <,96 > H ka icht abgeleht werde, d. h. der Ateil der Alleilebede uterscheidet sich i West ud Ost icht sigifikat. Testverfahre II 5