Haszonits Iris Theoriefragen und interessante Beispiel

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1 Schätze sie X als lieare Fuktio bzw. aufgrud vo Y Regressio Wie stark hägt X mit Y zusamme? Korrelatio Güte der Schätzug, Welcher Ateil der Variaz vo X wird durch Y erklärt Bestimmtheitsmaß (Quadrat der Produkt-Momet-Korrelatio) Theoretische Frage 1) Wahr oder Falsch? (Mit Begrüdug warum) Es ist komplett falsch eie Ragkorrelatio zu reche we die Vorraussetzuge für eie Produkt-Momet-Korrelatio erfüllt sid? Nei, jedoch werde bei der Ragkorrelatio icht alle Iformatioe verwedet ud daher wird sie weiger geau sei. Die Biomialverteilug ist immer symmetrisch. Das stimmt icht, die Biomialverteilug ist geau da symmetrisch, we p = q = ½ ist. Die Biomialverteilug ist immer ormalverteilt. Das stimmt icht, die Biomialverteilug ist geau da ormalverteilt, we p = q = ½ ist oder gege uedlich geht. Die Summe der Variaze ist gleich der Variaz eier Summe. Dies trifft ur bei (zwei) ukorrelierte Variable zu, bei (zwei) korrelierte Variable gilt Die Variaz eier Summer ist gleich der Summe der Variaze plus der zweifache Kovariaz Die Variaz ist immer größer als die Stadardabweichug. Das stimmt icht, we die Variaz kleier 1 ist, da wird die Stadardabweichug größer als die Variaz. Die Stadardabweichug ist egativ. Die Stadardabweichug ka icht egativ sei, da sie defiiert ist als positive Quadratwurzel aus der Variaz (die ebefalls icht egativ sei ka, da es sich um ei quadratisches Streuugsmaß hadelt). Es liegt eie Datereihe mit witerliche Temperature vor. Die eizele Messuge liege überwieged im Bereich der Miusgrade. Gemesse wurde i C. Die Streuug (Stadardabweichug) für diese Dat e ka daher ebefalls ei Miusvorzeiche trage. Nei, da die Stadardabweichug defiiert ist als Wurzel aus der Variaz ud die Variaz selbst ur positiv sei ka, da die Variaz ei quadratisches Streuugsmaß ist. Die Stadardabweichug eier Variabel X betrage,28, die Stadardabweichug eier Variable Y Betrage 1,79. Für die Kovariaz vo X ud Y wird -9,4 agegebe. Ist dies möglich? 9,4 rxy = = = 1,0094 sx * sy 1,79*,28 Nei, da ud sich die Korrelatio ur zwische plus ud mius Eis bewege ka. Daraus folgt auch, dass die Kovariaz höchstes so groß sei, wie das Produkt der beide Stadardabweichuge. 2) Wa verwedet ma de Quartilabstad als Alterative zur Stadardabweichug ud warum? We kei Itervallskaleiveau der Date ageomme werde ka oder keie Normalverteilug vorliegt (also die Verteilug durch Ausreißer verzerrt ist), da i diesem Fall die Date icht agemesse repräsetiert werde (der Quartilabstad ist ubeeiflusst vo Ausreißer!). Seite 1 vo 6

2 3) Wa verwedet ma de Media als Alterative zum Mittelwert ud warum? We die Itervalleigeschaft der Date icht gesichert ist, keie Normalverteilug vorliegt (die Verteilug also aufgrud vo Ausreißer schief ist) oder we offee Messwertklasse vorliege. Da i diesem Fall die Date icht agemesse repräsetiert werde, da der Mittelwert i Richtug der Schiefe der Verteilug (der Ausreißer) gezoge wird. 4) Ka der Media gleich dem Mittelwert werde? (Mit Begrüdug) Ja, bei eier Normalverteilug da da der mittlere Wert gleich dem durchschittliche Wert ist. Dies wäre ur bei eier schiefe Verteilug icht gegebe. ) Nee Sie je eie typische Awedugsfall für: a. Stadardmesswerte: Zwei Verteiluge habe uterschiedliche Mittelwerte ud Stadardabweichuge ud ma will sie vergleiche. b. Regressio: Ma will eie Variable ahad eier adere Variable vorhersage. 6) Ka ma mittels der Regressio eie icht lieare Fuktio schätze? Ja, jedoch ist diese Vorhersage da icht aussagekräftig für die Fuktio. 7) Zeige Sie, dass die Regressiosgerade durch de Schwerpukt des Pukteschwarms geht: Der Schwerpukt des Pukteschwarms ist S[MW(X)/MW(Y)], we ma MW(X) i die Regressiosgerade eisetzt, müsste MW(Y) rauskomme. 8) Wa ist der Regressioskoeffiziet byx ( vo Y auf X ) gleich bxy ( vo X auf Y )? (Mit Begrüdug) We die Stadardabweichug/Variaz bei beide Variable (X, Y) gleich 1 dies ist zum Beispiel bei stadardisierte Variable der Fall. b yx= = = c 2 xy ud b xy= = = da b 2 yx= bxy= s 1 s 1 x Oder we die Kovariaz de Wert Null hat, da wäre byx = bxy = 0. y 9) Wa ist die Korrelatio zwische zwei Variable gleich der Kovariaz? Im Falle stadardisierter Variable, da Kovariaz, Regressioskoeffiziet ud Korrelatio gleich dem mittlere Messwerteprodukt. 10) Erläuter Sie die Schritte zur Berechug der Residue im Regressiosmodell Y=b yx X+a yx. Welche Iformatioe köe aus de Residue gewoe werde? Vorhersage der Y-Werte ahad der X-Werte (eisetze i Y=b yx X+a yx ) Y-Werte (tatsächliche Werte) Vorhergesagte Y-Werte = Residue Umso größer die Residue sid umso weiter sid die Pukte vo der Regressiosgerade etfert. Umso kleier die Residue sid, desto äher sid sie der Gerade. Die Vorhersage ist da umso geauer umso kleier die Residue sid. 11) Beschreibe Sie die Form der Verteilug der Residue We kei systematischer Fehler auftritt, der die Verteilug verzerrt, besteht eie Normalverteilug um 0. I diesem Fall (ud ur i diesem) ist da auch ei lieares Regressiosmodell agebracht. Seite 2 vo 6

3 12) Wie ka ma die partielle Korrelatio r xy.z aus de Residue der Regressioe vo X ud Y auf Z errechet werde? (mit Erklärug) Berechug der Produkt-Momet-Korrelatio zwische de Residue Die Residue stelle die Differez mit der tatsächliche Werte mit de vorhergesagte Werte dar also de Uterschied vo X ud Y aufgrud vo Z. We ma u diese Uterschiede korreliert, macht ma ichts aderes wie bei der partielle Korrelatio, da ma die Korrelatio mit Z aus der Korrelatio vo X mit Y zieht. 13) Ist es möglich dass das r xy.z größer ist als die r xy? Ja ud zwar da, we z zum Beispiel eie egative Eifluss auf x ud y hat. We ma da diese egative Eifluss ausschaltet wird die partielle Korrelatio da größer. 14) Wie sehe Streudiagramme aus, we zwei Variable stark bzw. schwach positiv korreliere (Mit Begrüdug) Umso äher die Pukte a der Regressiosgerade sid, desto höher ist der Zusammehag ud desto geauer ist die Vorhersage (desto besser ka Y aufgrud vo X vorhergesagt werde). 1) Für drei Variable (A, B, C) eies Datesatzes sei r AB.C vorzeicheidet mit r AB sowie betragsmäßig aäherd gleich. Welche Schlussfolgerug erlaubt dies? Dass ur eie Scheikorrelatio zwische A ud B vorliegt also das lediglich die dritte Variable eie statistische Zusammehag bewirkt. 16) I welche Fälle wird ma die Ragkorrelatio astelle der PMK vorziehe? (Aufzählug ud Begrüdug) We kei Itervallskaleiveau ageomme werde ka, da die Variable icht ormalverteilt also schief ist, da wird die Ragkorrelatio verwedet. Da (im Gegesatz zur Produkt-Momet-Korrelatio) das geometrische Mittel i die Ragkorrelatio icht eigeht ud somit die Verteilug iterpretierbar wird (da die Korrelatio icht verzerrt wird). 17) Werde Zahle, die mehr als eimal vorkomme, bei der Berechug des Medias (bei der Reihug der Zahle ach Größe) mehrfach oder ur eimal ageschriebe? Sie werde mehrfach ageschriebe, z.b Md= 18) I welche Fälle ist die Produkt-Momet-Korrelatio zwische zwei Variable größer als Spearma s Ragkorrelatio (über dieselbe Variable gerechet), ud i welche Fälle ist sie kleier? rxy > r`: We ma eie Puktschwarm hat, eie Regressiosgerade durch legt ud da zwei Ausreißer eizeichet, die weit weg vom Puktschwarm, aber gaz i der Nähe der Gerade liege. rxy < r`: We ma eie Puktschwarm hat, eie Regressiosgerade durch legt ud zwei Ausreißer eizeichet, die weit weg vom Puktschwarm ud der Regressiosgerade liege. 19) Was bedeutet es i Bezug auf das Erfülltsei der Verfahresvoraussetzuge, we die Produkt-Momet-Korrelatio zwische zwei Variable aäherd gleich der Ragkorrelatio zwische deselbe Variable ist? Das es keie Ausreißer gibt. Seite 3 vo 6

4 20) Warum köe extreme Werte bei eier Ragkorrelatio das Ergebis icht verfälsche Sie quatifiziert de Zusammehag zwische zwei ragskalierte Variable. Es werde Ragplätze korreliert ud icht die erhobee Date selber! 21) Wozu diet die Sheppard sche Korrektur? Gebe Sie eie ituitive Begrüdug für die Korrektur a. Der Effekt der Klassezusammefassug (Verfälschug) auf die Variaz geht immer i eie Richtug. Dieser systematischer Fehler (Bias) wird durch die Sheppard sche Korrektur korrigiert. Die gewüschte Wirkug ist am Beste, we die Date ormalverteilt sid. Abweichuge zur Normalverteilug gehe zu Laste der Korrekturwirkug. 22) Ka ma aufgrud des Zutreffes der Multiplikatiosregel der Wahrscheilichkeitsrechug A^B) = A)B) für zwei Ereigisse A ud B schließe, dass die beide Ereigisse uabhägig sid? (Mit Begrüdug) Nei, dies gilt ur we A) 0 ud B) 0 ist. 23) Bedeutet die Uabhägigkeit zweier Ereigisse auch, dass sie eiader ausschließe? Gilt dies auch umgekehrt? (Begrüde Sie ud brige Sie ei Beispiel) Nei, da die uabhägige Ereigisse auch gemeisam auftrete köe (was bei eiader ausschließede icht der Fall ist) z.b. Soe ud Mod köe gemeisam auftrete (uabhägige Ereigisse), aber die Soe ka icht gleichzeitig scheie ud icht scheie. Weiters sid eiader ausschließede Ereigisse icht uabhägig, da gilt We A icht auftritt, da tritt geau A ei. Z.B. die Soe scheit geau da icht, we sie icht scheit. (Ereigis A (Soe scheit icht) ist abhägig vo Eitrete des Ereigis B (Soe scheit)). 24) Beschreibe Sie die Parameter ud die Form der Biomialverteilug [Formel der Biomialverteilug] Variabletyp: dichotom, diskret p = ½: ormalverteilt p < ½: p geht gege Null; likssteil / rechtsschief p > ½: p geht gege Eis: rechtsschief / likssteil Je größer desto mehr geht die Biomialverteilug i die Normalverteilug über (Bei gege uedlich ist die Biomialverteilug icht vo der Normalverteilug zu uterscheide) Umso größer ist, desto mehr ist die Verteilug verschobe a der x-achse, da auch der Erwartugswert verschobe ist. 2) Eie Kollegi führt voeiader uabhägige statistische Tests mit jeweils alpha=0.20 durch. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass geau drei Tests sigifikat ausfalle, uter der Aahme, dass bei alle füf Tests H 0 wahr ist? 3 2 P = 0,2 0,8 3 26) Eie Elektrotherapie wird a 13 Rhemapatiete mit Geleksbeschwerde erprobt. Die Patiete stufe de Grad ihrer Bewegugseischräkug vor ud ach der Behadlug ei. Ka ma sage, dass die Behadlug hilfreich ist? Hypothesetest! Nur die Fälle aschaue, wo eie Veräderug stattfad ( verkleier!) Nullhypothese defiiere: Keie Therapiewirkug Erwartugswert = * ½ Alterativhypothese defiiere: Die Therapie verbessert das Befide p > ½, da wir mehr Verbesseruge als Verschlechteruge erwarte. Seite 4 vo 6

5 Da Berechug der Biomialverteilug mit p = ½ - we das Ergebis größer als das Sigifikaziveau alpha, da war die Therapie wirksam ud die Nullhypothese wird verworfe! Iteressate Beispiele 1) Über ei eues mediziisches Behadlugsverfahre ist bekat, dass seie Erfolgswahrscheilichkeit p ist. Wird dieses Verfahre zweimal hitereiader durchgeführt, führt es mit eier Wahrscheilichkeit vo 0,3 midestes eimal icht zum Erfolg. Bereche Sie p. 0,3 = P ( k = 1) + k = 2) +... k = ) = k 1) = 1 k = 0) k k k = 0) = 0,6 = p q = p q = 1*1* q k 0 q = 0,8062 Amerkug: k=0) ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass das Verfahre kei mal icht zum Erfolg geführt hat bzw. eimal zum Erfolg geführt hat. 27) Zur Zuverlässigkeit vo Gerüchte, Tratsch, u. dgl.: Eie Nachricht wird mit eier Wahrscheilichkeit vo p=0,8 uverädert vo eier Perso zur ächste wiedergegebe. Wie wahrscheilich ist es, dass die Nachricht die zwölfte (bzw. die vierudzwazigste) Perso uverädert erreicht? Die Weitergabe ist immer um eis weiger als die Azahl der Persoe (die letzte Perso gibt es die Iformatio a iemade weiter!) Aufgrud desse ist 12.Perso)=0,8 11 ud 24.Perso)=0, ) Bei eier Ifektioskrakheit verlaufe 30% der Fälle stumm (symptomlos). Zwei Persoe seie ifiziert. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit für: zwei stumme Verläufe, zwei icht stumme Verläufe, geau eie stumme Verlauf, sowie für midestes eie stumme Verlauf? P ( k = 2) = 0,3 0,7 = 1*0,3 *1 = 0,09 P ( k = 0) = 0,3 0,7 = 1*1* 0,7 = 0, P ( k = 1) = 0,3 0,7 = 2*0,3*0,7 = 0,42 P ( k 1) = k= 1) + k= 2) = 0, ) Überprüfe Sie, ob die Ereigisse A ud B im folgede Vierfelderschema uabhägig vo eiader sid. Vierfelderkorrelatio! 30) [ ] Uter aderem soll utersucht werde, ob ei Zusammehag zwische der Wirksamkeit des Programms ud der Azahl der Förderstude pro Moat besteht. Agabe: Förderstude pro Moat, Fehler vor Programm, Fehler ach Programm Differezbildug vo Fehler vor Programm Fehler ach Programm! Iteressate Beispiel aus meie Mathematik-Buch 1) Bei der Tombola eies Schulfestes werde isgesamt 1000 Lose ausgegebe, 300 davo sid Gewilose. a. Wie viele Lose muss ma kaufe, um mit 90%iger Wahrscheilichkeit mit midestes eiem Gewi reche zu köe? Seite vo 6

6 300 k 1) = 1 k = 0) = 1 1 = 1 0, ,7 0,9 0,7 0,1 0,7 0,1 log 0,7 log 0,1 log 0,1 6,4 Ma muss mi. 7 Lose kaufe. log 0,7 b. Wie groß müsste der Ateil p der Gewilose sei, damit ma beim Kauf vo füf Lose mit 99%iger Wahrscheilichkeit mit eiem Gewi reche ka? k 1) = 1 k = 0) = 1 (1 p) 1 (1 p ) 0,99 (1 p) 0,01 p 1 0,01 0,60 Der Ateil der Gewilose müsste mi. 60% betrage. 2) I eier Großstadt sid erfahrugsgemäß 6% der U-Bah-Fahrgäste Schwarzfahrer. Ei Kotrolleur überprüft täglich etwa 300 Fahrgäste. Wie viele Schwarzfahrer wird er im Mittel täglich treffe? µ = * p= 300*0,06= 18 3) Die Glühbireproduktio eies bestimmte Uterehmes erhält erfahrugsgemäß 8% Motagsbire, d.h. Glühbire mit deutlich kürzerer Lebesdauer. Ei Elektrogeschäft bezieht 60% seier Glühbire vom Hersteller A (8% Motagsbire) ud 40% vom Hersteller B (10% Motagsbire). a. Wie groß ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass der Käufer eier zufällig herausgegriffee Bire eie Motagsbire erwischt? P ( M ) = A M ) + B M ) = A) * M A) + B) * M B) 0,6* 0,08+ 0,4*0,1= 0,088 8,8% b. Mit welcher Wahrscheilichkeit stammt eie Motagsbire vom Hersteller B? B M ) B) * M B) 0,4*0,1 P ( B M ) = = = 0,44 4% M ) M ) 0,088 Seite 6 vo 6