14 Regression, lineare Korrelation und Hypothesen-Testverfahren

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1 14 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre 141 Regressiosverfahre I der Meßtechik kommt es häufig vor, daß eie Schar vo aufgeommee Meßpukte durch eie geeigete aalytische Fuktio i Form eier Apaßkurve beschriebe werde soll Im folgede gehe wir davo aus, daß Messuge durchgeführt werde, welche die Wertepaare {,y i }(i =1, 2,,) liefer Aschließed wird a diese Meßwerte eie Kurve ỹ(x) agepaßt Daraus ergebe sich die Abweichuge Δ i zwische de eizele Meßpukte ud der Apaßkurve im jeweilige Meßpukt zu Δ i =ỹ( ) y i (141) Dabei wird x als uabhägige (vorgebbare) Variable ud y als abhägige Variable bezeichet Der Asatz der miimale Fehlerquadrate gemäß dem sog Gaußsche Miimalprizip [69] (Gaußsches Prizip der kleiste Quadrate) ergibt Δ = Δ 2 i = [ỹ( ) y i ] 2 =! mi (142) I Gleichug (142) ist als ubekate Fuktio die Apaßkurve ỹ(x) ethalte Die beschriebee Fehlerquadratsumme Δ hägt u vo der Wahl dieser Apaßkurve ab Die Festlegug der diese Apaßkurve beschreibede aalytische Fuktio ud die aschließede Berechug ihrer Koeffiziete (su) wird als Regressiosverfahre bezeichet Falls Proportioalität zwische der abhägige ud uabhägige Variable herrscht, läßt sich i diesem Fall die Schar vom Meßwerte durch eie Gerade beschreibe Ma spricht da vo eier Ausgleichsgerade, die durch sog lieare Regressio bestimmt wird

2 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre 1411 Ausgleichsgerade (lieare Regressio) Die lieare Regressio ist die für die igeieurmäßige Praxis wichtigste Form der Regressiosaalyse Sie hat das Ziel, durch eie Schar vo (i aller Regel) experimetell bestimmte Wertepaare {,y i } eie Ausgleichsgerade zu lege Dabei wird x als uabhägige ud y als abhägige Variable betrachtet Die Ausgleichsgerade bestimmt letztlich die ach dem Gaußsche Miimalprizip beste lieare Approximatio der Fuktio y(x), die hier vo diskrete Wertetupel repräsetiert wird Im folgede gehe wir davo aus, daß Meßwerte {,y i }(i =1, 2,,) vorliege A diese Meßwerte soll eie Gerade der Form ỹ(x) = mx + b agepaßt werde (Abb 141) Die Abweichug der i-te Eizelmessug lautet Δ i =ỹ( )=[m + b] y i (143) Der Asatz der miimale Fehlerquadrate liefert gemäß Gl (142) Δ = Δ 2 i = [m + b y i ] 2 =! mi (144) Bei dem i Gl (144) geforderte Miimum müsse die partielle Ableituge ach de ubekate Koeffiziete m ud b gleich Null sei Das führt zu der im folgede beschriebee Ermittlug vo Steigug ud Achseabschitt der Ausgleichsgerade y(x) y 4 Δ 4 y 3 Δ 3 y 2 Δ 2 Δ 1 y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x Abb 141: Ausgleichsgerade zur lieare Approximatio aufgeommeer Meßwerte

3 141 Regressiosverfahre 435 Ermittlug vo Steigug m ud Achseabschitt b der Ausgleichsgerade Die partielle Differetiatio vo Gl (144) ach m ergibt 2 [m + b y i ] =0 (145) Aus der Differetiatio ach b folgt 2 [m + b y i ]=0 (146) Die Gleichuge (145) ud (146) köe wie folgt umgeformt werde bzw m x 2 i + b = m + b = y i (147) y i (148) Löst ma dieses Gleichugssystem (Gl (147) ud (148)) ach de gesuchte Werte m bzw b auf, so erhält ma die Geradesteigug m m = = y i y i ( ) 2 x 2 i y i 1 ( ) x 2 i 1 2 y i (149) ud de Achseabschitt b ( b = 1 ) y i m (1410) Die Koeffiziete m ud b lasse sich ach dem i Abb 142 gezeigte Schema bereche Nachdem die Koeffiziete der Ausgleichsgerade bestimmt wurde, stellt sich im allgemeie die Frage ach der Qualität dieser lieare Approximatio, dh ach der Güte bei der lieare Regressio Um letztlich die Vertrauesbereiche für die Parameter der Ausgleichsgerade agebe zu köe, sid och eiige mathematische Defiitioe otwedig, die im folgede Abschitt (Kap 1412) behadelt werde

4 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre Schema zur lieare Regressio: Berechug eier Ausgleichsgerade aus Meßwertepaare {,y i} 1 Berechug der Mittelwerte μ x = x = 1 μ y = y = 1 2 Berechug vo 3 Hilfsgröße 1 Q x = s 2 x( 1) = Q y = s 2 y( 1) = Q xy = s xy( 1) = = X X X X X X ( x) 2 = (y i y) 2 = X y i 1 y i X X ( x)(y i y) 3 Berechug der Koeffiziete m ud b: X y i x 2 i 1 y 2 i 1 ψ X! 2 ψ X y i! 2 Steigug 2 Achseabschitt m = Q xy/q x b = y mx = 1 ψ X y i m X! Abb 142: Schema zur lieare Regressio: Berechug eier Ausgleichsgerade aus Meßwertepaare {,y i} 1 Q x,q y werde auch als Summe der quadratische Abweichuge bezeichet (abgekürzt: SdqA) s x ud s y bezeiche die Variaz vo x bzw y ud s xy die Kovariaz zwische x ud y (siehe folgede Abschitt) 2 Die Steigug m wird auch als Regressioskoeffiziet bezeichet

5 141 Regressiosverfahre Güte der Apassug bei der lieare Regressio (Variaz, Kovariaz, Restvariaz ud Korrelatioskoeffiziet) Nach der eigetliche Ermittlug der Ausgleichsgerade gilt es, die Güte dieses Ergebisses zu beurteile Kokret heißt dies, Vertrauesbereiche für die Koeffiziete m (Geradesteigug) ud b (Achseabschitt) azugebe Um diese bereche zu köe, beötige wir quatitative Agabe für Variaz, Kovariaz, Restvariaz ud Korrelatioskoeffiziet [50] Diese ud weitere, im Zusammehag dazu stehede Begriffe solle zuächst eimal i mathematischer Form defiiert werde Defiitio: Wahrscheilichkeitsdichte (Wahrscheilichkeitsverteilug) Im folgede bezeichet p(x) die Wahrscheilichkeitsdichte (Wahrscheilichkeitsverteilug) für eie Zufallsgröße x mit de Eigeschafte + p(x)dx = 1 (1411) p(x) 0 (1412) Die Wahrscheilichkeit P(a), daß ei Fuktioswert x kleier oder höchstes gleich a ist, ergibt sich aus dem Itegral p(x) P (a) = a p(x)dx (1413) P {a < x < b} etspricht der Wahrscheilichkeit, mit der der Fuktioswert x zwische de Größe a ud b liegt P {a <x<b} = b Defiitio: Gemeisame Wahrscheilichkeitsdichte a p(x)dx (1414) Die gemeisame Wahrscheilichkeitsdichte p xy (x, y) zweier Zufallsvariable p xy (x, y) ist gegebe als p xy (x, y) = 2 P xy (x, y) (1415) x y bzw b a P xy (a, b) = p xy (x, y)dxdy, (1416) wobei die Wahrscheilichkeitsverteilug P xy (a, b) =P {a x b y} (1417) zweier Zufallsvariable x, y die Wahrscheilichkeit P agibt, mit der der Fuktioswert vo x kleier oder höchstes gleich a ist ud der Fuktioswert vo y kleier oder höchstes gleich b ist

6 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre Defiitio: Erwartugswert Der Erwartugswert eies Zufallssigales x (auch als Zufallsvariable, Zufallsgröße bzw Zufallsprozeß bezeichet) etspricht dem Itegral über dem Produkt aus der Zufallsgröße x ud seier Wahrscheilichkeitsdichte p(x) E{x} = + Der Erwartugswert ist ei liearer Operator xp(x)dx (1418) Defiitio: Erwartugswert 2 Ordug Der Erwartugswert-Operator läßt sich auch auf das Produkt mehrerer Zufallssigale bzw dere Poteze awede [67] Das sog Gemeisame Momet zweier Zufallssigale ist defiiert als μ xy,k = E{x k y } = + + Für de Spezialfall k = =1folgt Defiitio: Variaz μ xy = E{xy} = + + x k y p xy (x, y)dxdy (1419) xyp xy (x, y)dxdy (1420) Die Variaz etspricht dem Quadrat der (empirische) Stadardabweichug (s auch Kap 52) Var(x) =s 2 x = E{(x μ x ) 2 } (1421) Dabei ist μ x der Mittelwert der Zufallsvariable x (siehe Abb 142) ud E bezeichet de Erwartugswert Die Variaz läßt sich auch mit Hilfe der Wahrscheilichtsdichte p x ausdrücke Var(x) = + (x μ x ) p x (x) dx (1422) Die Variaz s 2 x eier diskrete Zufallsvariable-Stichprobe 3 x 1,x 2,,x ist demach folgedermaße defiiert s 2 x = 1 1 ( x) 2 = 1 1 ( μ x ) 2 (1423) 3 Um kompatibel zu der übrige Meßtechik-Literatur zu bleibe, wird im folgede icht mehr zwische Variaz (Gesamtheit des Loses (N )) ud Schwakug (=empirische Stadardabweichug (N < )) uterschiede

7 141 Regressiosverfahre 439 Dies läßt sich auch ausdrücke als ( s 2 x = 1 ) 2 x 2 1 i (1424) 1 ( 1) bzw s 2 x = 1 1 ( x 2 i 1 μ x = 1 ) x 2 i μ x (1425) 1 Aus der Variaz läßt sich leicht die ebefalls oft verwedete Summe der quadratische Abweichug Q x (SdqA) (s auch Abb 142) erreche Defiitio: Kovariaz Q x =( 1) s 2 x (1426) Im Zuge der Regressiosaalyse ist die Frage zu kläre, iwieweit zwei Zufallsvariable x ud y voeiader abhägig sid Dies wird durch die sog Kovariaz festgelegt Cov(x, y) = s xy = E{(x μ x )(y μ y )} = E{x, y} μ x μ y (1427) Dabei sid μ x ud μ y die Mittelwerte der Zufallsvariable x ud y (siehe Abb 142) ud E etspricht dem Erwartugswert Die Kovariaz, die auch als erstes gemeisames Momet bezeichet wird, läßt sich auch mit Hilfe der gemeisame Wahrscheilichtsdichte p xy ausdrücke Cov(x, y) = + + (x μ x )(μ μ y )p xy (x, y)dxdy (1428) Sie beschreibt die statistische Abhägigkeit zweier Zufallssigale Die beide Zufallsvariable sid statistisch uabhägig, we ihre Kovariaz Null ist Cov(x, y) = 0 I diesem Fall berechet sich die Wahrscheilichkeitsdichte p(x, y) für das gleichzeitige Eitrete der Ereigisse x ud y aus dem Produkt der Eizelwahrscheilichkeite p(x, y) = p(x) p(y) Außerdem gilt E{x, y} = E{x} E{y} Die Kovariaz zweier diskreter Zufallsvariablefolge x ud y ergibt sich aus s xy = 1 1 ( μ x )(y i μ y ) ( = 1 ) y i μ x μ y 1 (1429) s xy = Q xy 1 (1430)

8 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre Defiitio: Restvariaz Die Restvariaz s r der Ausgleichsgerade (Kap 1411) berechet sich wie folgt ( ) s 2 r = Q y mq xy 2 = Q y 2 1 Q2 xy Q x Q y, (1431) wobei m der Steigug der Ausgleichsgerade ud der Azahl der behadelte Meßpukte espricht Sie wird beötigt, um die Vertrauesbereiche vo Geradesteigug m ud Achseabschitt b quatifiziere zu köe Defiitio: Korrelatioskoeffiziet Der Korrelatioskoeffiziet r ist ei die Güte der Apassug charakterisiereder Parameter (0 < r < 1) Je äher der Korrelatioskoeffiziet r bei 1 liegt, desto besser ist die Apassug Der Korrelatioskoeffiziet r läßt sich aus de beide Eizelvariaze s x ud s y sowie der Kovariaz s xy (siehe Abb 142 bzw Gl(1425) ud (1429)) bestimme r = s xy s x s y (1432) Mit de Wurzel der Eizelvariaze s x ud s y ud der Kovariaz s xy ergibt sich schließlich der Korrelatioskoeffiziet, der die Güte der Apassug der Ausgleichsgerade beschreibt ( r xy = s xy = Q x 2 i 1 xy = m s x s ( y Qx Q y yi 2 1 ) 2 Agabe der Vertrauesbereiche für die Parameter der Ausgleichsgerade ) 2 (1433) y i Mit obige Defiitiosgleichuge ka schließlich die Agabe der Vertrauesbereiche (Kofidezitervalle) für die Parameter m ud b der Ausgleichsgerade bzw dere Ordiatewerte erfolge m ± t( 2,P) s2 r Q x x 2 i (1434) b ± t( 2,P) s 2 r Q x (1435)

9 141 Regressiosverfahre 441 (x x) y ± t( 2,P) 2 (s 2 x m 2 s 2 x)+s 2 x ( 2) s 2 (1436) x Der Vertrauesfaktor t ergibt sich ach Vorgabe der gewüschte statistische Sicherheit P [%] aus der Studet-Verteilug (s Tab 52) für die Ereigisazahl ( 2) Die Azahl der betrachtete Meßpukte beträgt Tip: Diese Berechuge köe mit dem Programm bereche_regressiosgeradevi auf der CDROM achvollzoge werde Es köe simulierte Messwerte eigelese, die statistische Date berechet ud Regressiosgerade ermittelt werde 1413 Ausgleichspolyome Die Erweiterug der lieare Regressio (Kap 1411) führt zur polyomiale Regressio, bei der die Apaßkure ỹ durch ei Polyom p-te Grades beschriebe wird ỹ = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a p x p (1437) Die Vorgehesweise soll zuächst ahad des folgede Beispiels verdeutlicht werde Die Apaßkurve wird hier i Form eies Polyoms dritte Grades beschriebe ỹ(x) =a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 (1438) Das bereits obe agewadte Gaußsche Prizip der kleiste Quadrate (Gaußsches Miimalprizip) soll auch hier Awedug fide Δ = Δ 2 i = [ỹ( ) y i ] 2 =! mi (1439) Dabei werde wiederum Meßwertepaare {,y i } vorausgesetzt Das Nullsetze der partielle Ableituge ach de Koeffiziete a i (i =1, 2, 3) führt zu folgedem Gleichugssystem x 2 i x 3 i x 2 i x 3 i x 4 i x 2 i x 3 i x 4 i x 5 i Δ a 0 = Δ a 1 = Δ a 2 = Δ a 3 = 0 (1440) x 3 i x 4 i x 5 i x 6 i a 0 a 1 a 2 a 3 y i y i = x 2 i y (1441) i x 3 i y i

10 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre Die Lösug dieses Gleichugssystems ergibt schließlich die gesuchte Koeffiziete a i (i =0, 1, 2, 3) des Polyoms 1414 Mehrfache lieare Regressio Die mehrfache lieare Regressio (auch als multiple lieare Regressio bezeichet) ist eie Erweiterug der eifache lieare Regressio Dabei hägt ei Meßergebis y liear vo umehr mehrere Variable x 1,x 2,x p (ma spricht i diesem Zusammehag auch vo Covariable) ab y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a p x p + E, (1442) wobei E eie Störgröße repräsetiert, also eie stochastische Variable (Zufallsvariable) Damit ist das Ergebis ebefalls eie Zufallsvariable Die Aufgabe der mehrfache lieare Regressio ist es u, die abhägige Variable y als Fuktio mehrerer (i Bezug auf die Laufvariable i) uabhägiger Variable, die i Form eies Variablevektors [p ]=(1,2,,p ) zusammegefaßt werde, mit Hilfe eies Schätzwertes ŷ vorherzusage ŷ = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x b p x p (1443) Dabei bilde die b j (j =1, 2,,p) die Elemete des Vektors der geschätzte Regressioskoeffiziete Wir wolle davo ausgehe, daß für jede Vektor [p ](i = 1, 2,,) jeweils Meßwerte y i (i =1, 2,,) vorliege Somit ergibt sich für jede Beobachtug (Messug) i(i = 1, 2,,) eie Gleichug der Form y i = a 0 + a a a p p + E i (1444) Das daraus resultierede Gleichugssystem läßt sich mit Hilfe der folgede [ (p +1)]-Matrix[X] 1 x 11 x 12 x 1j x 1p 1 x 21 x 22 x 2j x 2p [X] = j p 1 x 1 x 2 x j x p (1445)

11 141 Regressiosverfahre 443 sowie der -dimesioale Vektore y 1 y 2 [y] =, E = y i y ud dem [p + 1]-dimesioale Vektor [a] = a 0 a 1 a 2 a j E 1 E 2 E i E (1446) (1447) wie folgt darstelle a p [y] =[X][a]+[E] (1448) Die eifache lieare Regressio ergibt sich aus obige Gleichuge für p = 1 Der Fall p 2repräsetiert die mehrfache lieare Regressio Wie bei der lieare Regressio wird wiederum die Summe der quadratische Abweichuge miimiert Nach dem sog Gauß-Markov-Theorem erhält ma schließlich de Vektor der geschätzte Regressioskoeffiziete [b] als [96] 4 [b] = b 0 b 1 b j b p = ( [X] T [X] ) 1 [X] T [y] (1449) 4 Um die hier verwedete Schreibweise mit der Darstellug i [96] vergleichbar zu mache, ist für die Matrix [X] dere Traspoierte [X] T zu verwede (siehe S 62 i [96])

12 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre Dabei bezeichet [X] T die Traspoierte der Matrix [X] Dieser Schätzer ist der sog beste lieare uverzerrte Schätzer (Best Liear Ubiased Estimator = BLUE) Mit Hilfe dieses Schätzers (Miimum-Quadrat-Schätzer) ergibt sich folgedes Gleichugssystem [y] =[X][b] +[e] =[ŷ] +[e], (1450) wobei [ŷ] die Schätzwerte vo [y] ethält ud [e] de Vektor der Residue repräsetiert Der Vektor der Schätzwerte berechet sich also aus [ŷ] =[X][b] =[X]([X] T [X]) 1 [X] T [y] =[H][y], (1451) wobei die [ ]-Matrix [H] als sog Hat-Matrix (Hut-Matrix) bezeichet wird Die Residue ergebe sich demach wie folgt [e] =[y] [ŷ] =[y] [H][y] (1452) Im allgemeie iteressiert ma sich für die sog Progose ŷ 0 vo [y] für ei gegebees Wertetupel [x 0 ] (= Meßstelle [x 01,x 02,,x 0p ]) Sie berechet sich zu ŷ 0 = b 0 + b 1 x 01 + b 2 x b p x 0p =[x 0 ] T [b] (1453) 142 Lieare Korrelatio Die lieare Korrelatio beschäftigt sich mit der Frage, iwieweit Wertepaare {,y i } liear abhägig sid Im Gegesatz zur lieare Regressio wird hier y icht als abhägige ud cht als uabhägige Variable bezeichet Da umehr keie Uterscheidug ach abhägiger ud uabhägiger Variable erfolgt, ist die Defiitio vo zwei Ausgleichsgerade sivoll, achdem die Wertepaare {,y i } i ei x-y-diagramm eigetrage wurde Zur Festlegug der Gerade wird wiederum das bereits bei der lieare Regressio eigesetzte Verfahre der Fehlerquadratmiimierug (Gaußsches Miimalprizip) eigesetzt (s Kap 1411) Die beide Ausgleichsgerade (Abb 143) lasse sich wie folgt defiiere bzw ỹ = m 1 x + b 1 (1454) x = m 2 y + b 2 (1455) Daraus resultiere zwei Möglichkeite, die Fehlerquadratmiimierug durchzuführe (ỹ y i ) 2 =! mi (1456) bzw ( x ) 2 =! mi (1457)

13 142 Lieare Korrelatio 445 y Abb 143: Meßwertepaare {,y i}, die durch zwei Ausgleichsgerade gemäß Gl (1454) bzw Gl (1455) approximiert werde x Im allgemeie führt dieser Prozeß zu uterschiedliche Gerade Für de Fall, daß vollkommee lieare Uabhägigkeit zwische de Werte der Variable x ud y besteht, strebe die beide Steiguge m 1 ud m 2 gege Null (Abb 144) Für de Fall, daß die beide Gerade zusammefalle (Abb 145), besteht ei direkter fuktioaler Zusammehag Je ach Grad der lieare Abhägigkeit variiere die Geradesteiguge also zwische de Werte m 1 = m 2 =0(lieare Uabhägigkeit) ud eiem obere Wert m 1 =1/m 2 (vollstädige lieare Abhägigkeit) Da dieser obere y m 2= 0 m = 0 1 Abb 144: Fall der vollstädige lieare Uabhägigkeit (m 1 = m 2 =0) x

14 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre y 1 m 1= m 2 Abb 145: Fall des fuktioale Zusammehags: Die beide Ausgleichsgerade falle zusamme x Wert aber icht vo voreherei feststeht, läßt sich der Grad der lieare Abhägigkeit erst ach eier Normierug beurteile Dies führt zu eier ormierte Steigug r, die dem Korrelatioskoeffziet etspricht (siehe auch Gl (1432) ud Gl (1433)) Im Gegesatz zur Kovariaz ist der Korrelatioskoeffiziet eie reie Maßzahl ohe Eiheit Der Korrelatioskoeffiziet immt Werte zwische 1 ud +1 a ( 1 r +1) Ei Korrelatioskoeffiziet r = 0 bedeutet, daß keie lieare Abhägigkeit besteht Bei vollkommeer liearer Abhägigkeit immt r de Wert +1 bzw 1 a Das Vorzeiche beschreibt dabei die Steigugsrichtug der gemeisame Gerade (Abb 145) Der Korrelatioskoeffiziet läßt sich wie folgt agebe r = Q xy Qx Q y = y i 1 y i [ ( ) ][ yi ( y i x 2 i 1 ) ] (1458) 2 Bei der Beurteilug der lieare Abhägigkeit ahad des Korrelatioskoeffiziete muß die Stichprobeazahl mit is Kalkül gezoge werde So liefer beispielsweise zwei Wertepaare immer de Wert r = 1 Aus diesem Grud ist zu dieser Beurteilug och der im folgede behadelte Vertrauesbereich vo r hizuziehe

15 143 Testverfahre (Hypothese-Testverfahre) 447 Vetrauesbereich des Korrelatioskoeffiziete Da der ach Gl (1458) ermittelte Korrelatioskoeffiziet ur ei Schätzwert des Korrelatioskoeffiziete ρ der Grudgesamtheit (setzt uedlich viele Messuge voraus) darstellt, sollte ma de Vertrauesbereich für r ermittel, um eie Aussage der mögliche Abweichuge vo ρ als Fuktio eier gewählte statistische Sicherheit zu erhalte Um de Vertrauesbereich eies ahad eier Stichprobe mit Eizelmessuge ermittelte Korrelatioskoeffiziete azugebe, bediet ma sich des achfolgede Schemas i Abb 146 Die Grudlage hierzu fidet der iteressierte Leser beispielsweise i [69] Korrelatio ud Kausalität Ei hoher Korrelatioskoeffiziet ist auf eie starke lieare Abhägigkeit zurückzuführe Daraus darf aber icht umittelbar auf eie Kausalität im Sie eies Ursache-Wirkugs-Prizips geschlosse werde Es gibt uzählige Beispiele für Scheikorrelatioe oder sogar Usirelatioe, die durchaus icht auf eie gemeisame Ursache zurückzuführe sid Ei kausaler Zusammehag muß zuächst eimal vo der Sache her begrüdet sei Ahad eier dazu durchgeführte Korrelatio läßt sich lediglich prüfe, ob eie Hypothese zu eiem bestimmte Ursache-Wirkugs-Prizip hält oder icht Es darf aber keiesfalls aus eiem hohe Korrelatiosgrad umittelbar auf eie etsprechede Ursache-Wirkugs-Zusammehag geschlosse werde Als Beispiel köte ageführt werde, daß die steigede Lebeserwartug ud die steigede Preisetwicklug sicherlich keie umittelbare kausale Zusammehag aufweise, aber deoch zwische beide ei vo Null verschiedeer Korrelatioskoeffiziet besteht 143 Testverfahre (Hypothese-Testverfahre) 1431 Teste vo Hypothese, Etscheiduge Die Wahrscheilichkeitsverteilug, welche die Grudgesamtheit beschreibt, wird als wahre Wahrscheilichkeitsverteilug bezeichet Diese wahre Verteiluge sid aber i der praktische Meßtechik icht bekat Mit Hilfe vo sog Tests muß daher des öftere etschiede werde, ob bestimmte Vermutuge über die Wahrscheilichkeitsverteiluge bzw dere Parameter zutreffe oder icht Zur Durchführug eies Tests stellt ma eie Arbeitshypothese auf Diese wird als Nullhypothese H 0 bezeichet Die dieser Nullhypothese widersprechede Vermutug wird Alterativhypothese H 1 geat

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