Elektrische Messtechnik

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1 Spriger-Lehrbuch Elektrische Messtechik Aaloge, digitale ud computergestützte Verfahre vo Reihard Lerch 5., eu bearb. Aufl. Elektrische Messtechik Lerch schell ud portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Spriger 2010 Verlag C.H. Beck im Iteret: ISBN

2 14 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre 14.1 Regressiosverfahre I der Meßtechik kommt es häufig vor, daß eie Schar vo aufgeommee Meßpukte durch eie geeigete aalytische Fuktio i Form eier Apaßkurve beschriebe werde soll. Im folgede gehe wir davo aus, daß Messuge durchgeführt werde, welche die Wertepaare {x i,y i }(i = 1,2,...,) liefer. Aschließed wird a diese Meßwerte eie Kurve ỹ(x) agepaßt. Daraus ergebe sich die Abweichuge i zwische de eizele Meßpukte ud der Apaßkurve im jeweilige Meßpukt x i zu i = ỹ(x i ) y i. (14.1) Dabei wird x als uabhägige (vorgebbare) Variable ud y als abhägige Variable bezeichet. Der Asatz der miimale Fehlerquadrate gemäß dem sog. Gaußsche Miimalprizip [78] (Gaußsches Prizip der kleiste Quadrate) ergibt = 2 i = [ỹ(x i ) y i ] 2 =! mi.. (14.2) I Gleichug (14.2) ist als ubekate Fuktio die Apaßkurve ỹ(x) ethalte. Die beschriebee Fehlerquadratsumme hägt u vo der Wahl dieser Apaßkurve ab. Die Festlegug der diese Apaßkurve beschreibede aalytische Fuktio ud die aschließede Berechug ihrer Koeffiziete (s. u.) wird als Regressiosverfahre bezeichet. Falls Proportioalität zwische der abhägige ud uabhägige Variable herrscht, läßt sich i diesem Fall die Schar vom Meßwerte durch eie Gerade beschreibe. Ma spricht da vo eier Ausgleichsgerade, die durch sog. lieare Regressio bestimmt wird. R. Lerch, Elektrische Messtechik, Spriger-Lehrbuch, 5th ed., DOI / _14, Spriger-Verlag Berli Heidelberg 2010

3 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre Ausgleichsgerade (lieare Regressio) Die lieare Regressio ist die für die igeieurmäßige Praxis wichtigste Form der Regressiosaalyse. Sie hat das Ziel, durch eie Schar vo (i aller Regel) experimetell bestimmte Wertepaare {x i,y i } eie Ausgleichsgerade zu lege. Dabei wird x als uabhägige ud y als abhägige Variable betrachtet. Die Ausgleichsgerade bestimmt letztlich die ach dem Gaußsche Miimalprizip beste lieare Approximatio der Fuktio y(x), die hier vo diskrete Wertetupel repräsetiert wird. Im folgede gehe wir davo aus, daß Meßwerte{x i,y i }(i = 1,2,...,) vorliege. A diese Meßwerte soll eie Gerade der Form ỹ(x) = mx+b agepaßt werde (Abb. 14.1). Die Abweichug der i-te Eizelmessug lautet i = ỹ(x i ) = [mx i +b] y i. (14.3) Der Asatz der miimale Fehlerquadrate liefert gemäß Gl. (14.2) = 2 i = [mx i +b y i ] 2 =! mi.. (14.4) Bei dem i Gl. (14.4) geforderte Miimum müsse die partielle Ableituge ach de ubekate Koeffiziete m ud b gleich Null sei. Das führt zu der im folgede beschriebee Ermittlug vo Steigug ud Achseabschitt der Ausgleichsgerade. y(x) y 4 4 y 3 3 y y 1 x 2 x 1 x 3 x 4 x Abb Ausgleichsgerade zur lieare Approximatio aufgeommeer Meßwerte

4 14.1 Regressiosverfahre 453 Ermittlug vo Steigug m ud Achseabschitt b der Ausgleichsgerade Die partielle Differetiatio vo Gl. (14.4) ach m ergibt 2 [mx i +b y i ]x i = 0. (14.5) Aus der Differetiatio ach b folgt 2 [mx i +b y i ] = 0. (14.6) Die Gleichuge (14.5) ud (14.6) köe wie folgt umgeformt werde bzw. m x 2 i +b x i = m x i +b = y i x i (14.7) y i. (14.8) Löst ma dieses Gleichugssystem (Gl. (14.7) ud (14.8)) ach de gesuchte Werte m bzw. b auf, so erhält ma die Geradesteigug m m = = x i y i x i y i ( ) 2 x i x 2 i x i y i 1 x i ( ) 2 x 2 i 1 x i y i (14.9) ud de Achseabschitt b ( b = 1 ) y i m x i. (14.10) Die Koeffiziete m ud b lasse sich ach dem i Abb gezeigte Schema bereche. Nachdem die Koeffiziete der Ausgleichsgerade bestimmt wurde, stellt sich im allgemeie die Frage ach der Qualität dieser lieare Approximatio, d. h. ach der Güte bei der lieare Regressio. Um letztlich die Vertrauesbereiche für die Parameter der Ausgleichsgerade agebe zu köe, sid och eiige mathematische Defiitioe otwedig, die im folgede Abschitt (Kap ) behadelt werde.

5 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre Schema zur lieare Regressio: Berechug eier Ausgleichsgerade aus Meßwertepaare {x i,y i} 1. Berechug der Mittelwerte µ x = x = 1 µ y = y = 1 2. Berechug vo 3 Hilfsgröße 1 Q x = s 2 x( 1) = Q y = s 2 y( 1) = Q xy = s xy( 1) = = x iy i 1 (x i x) 2 = (y i y) 2 = x i y i ( x 2 i 1 ) 2 x i ( yi 2 1 ) 2 y i (x i x)(y i y) x i 3. Berechug der Koeffiziete m ud b: Steigug 2 y i m = Q xy/q x ( Achseabschitt b = y mx = 1 ) y i m x i Abb Schema zur lieare Regressio: Berechug eier Ausgleichsgerade aus Meßwertepaare {x i,y i} 1 Q x,q y werde auch als Summe der quadratische Abweichuge bezeichet (abgekürzt: S.d.q.A.). s x ud s y bezeiche die Variaz vo x bzw. y ud s xy die Kovariaz zwische x ud y (siehe folgede Abschitt). 2 Die Steigug m wird auch als Regressioskoeffiziet bezeichet.

6 14.1 Regressiosverfahre Güte der Apassug bei der lieare Regressio (Variaz, Kovariaz, Restvariaz ud Korrelatioskoeffiziet) Nach der eigetliche Ermittlug der Ausgleichsgerade gilt es, die Güte dieses Ergebisses zu beurteile. Kokret heißt dies, Vertrauesbereiche für die Koeffiziete m (Geradesteigug) ud b (Achseabschitt) azugebe. Um diese bereche zu köe, beötige wir quatitative Agabe für Variaz, Kovariaz, Restvariaz ud Korrelatioskoeffiziet [54]. Diese ud weitere, im Zusammehag dazu stehede Begriffe solle zuächst eimal i mathematischer Form defiiert werde. Defiitio: Wahrscheilichkeitsdichte (Wahrscheilichkeitsverteilug) Im folgede bezeichet p(x) die Wahrscheilichkeitsdichte (Wahrscheilichkeitsverteilug) für eie Zufallsgröße x mit de Eigeschafte + p(x)dx = 1 (14.11) p(x) 0. (14.12) Die Wahrscheilichkeit P(a), daß ei Fuktioswert x kleier oder höchstes gleich a ist, ergibt sich aus dem Itegral p(x) P(a) = a p(x) dx. (14.13) P{a < x < b} etspricht der Wahrscheilichkeit, mit der der Fuktioswert x zwische de Größe a ud b liegt P{a < x < b} = b Defiitio: Gemeisame Wahrscheilichkeitsdichte a p(x) dx. (14.14) Die gemeisame Wahrscheilichkeitsdichte p xy (x,y) zweier Zufallsvariable (x,y) ist gegebe als p xy (x,y) = 2 P xy (x,y) (14.15) x y bzw. P xy (a,b) = b a wobei die Wahrscheilichkeitsverteilug p xy (x,y)dxdy, (14.16) P xy (a,b) = P{a x b y} (14.17) zweier Zufallsvariable x, y die Wahrscheilichkeit P agibt, mit der der Fuktioswert vo x kleier oder höchstes gleich a ist ud der Fuktioswert vo y kleier oder höchstes gleich b ist.

7 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre Defiitio: Erwartugswert Der Erwartugswert eies Zufallssigales x (auch als Zufallsvariable, Zufallsgröße bzw. Zufallsprozeß bezeichet) etspricht dem Itegral über dem Produkt aus der Zufallsgröße x ud seier Wahrscheilichkeitsdichte p(x) E{x} = + Der Erwartugswert ist ei liearer Operator. xp(x)dx. (14.18) Defiitio: Erwartugswert 2. Ordug Der Erwartugswert-Operator läßt sich auch auf das Produkt mehrerer Zufallssigale bzw. dere Poteze awede [76]. Das sog. Gemeisame Momet zweier Zufallssigale ist defiiert als µ xy,k = E{x k y } = + + Für de Spezialfall k = = 1 folgt Defiitio: Variaz µ xy = E{xy} = + + x k y p xy (x,y)dxdy. (14.19) xyp xy (x,y)dxdy. (14.20) Die Variaz etspricht dem Quadrat der (empirische) Stadardabweichug (s. auch Kap. 5.2) Var(x) = s 2 x = E{(x µ x) 2 }. (14.21) Dabei ist µ x der Mittelwert der Zufallsvariable x (siehe Abb. 14.2) ud E bezeichet de Erwartugswert. Die Variaz läßt sich auch mit Hilfe der Wahrscheilichtsdichte p x ausdrücke Var(x) = + (x µ x )p x (x)dx. (14.22) Die Variaz s 2 x eier diskrete Zufallsvariable-Stichprobe3 x 1,x 2,...,x ist demach folgedermaße defiiert s 2 x = 1 1 (x i x) 2 = 1 1 (x i µ x ) 2. (14.23) 3 Um kompatibel zu der übrige Meßtechik-Literatur zu bleibe, wird im folgede icht mehr zwische Variaz (Gesamtheit des Loses (N )) ud Schwakug (=empirische Stadardabweichug (N < )) uterschiede.

8 14.1 Regressiosverfahre 457 Dies läßt sich auch ausdrücke als ( s 2 x = 1 ) 2 x 2 1 i x i (14.24) 1 ( 1) bzw. s 2 x = 1 1 ( x 2 i 1 µ2 x = 1 ) x 2 i 1 µ2 x. (14.25) Aus der Variaz läßt sich leicht die ebefalls oft verwedete Summe der quadratische Abweichug Q x (S.d.q.A.) (s. auch Abb. 14.2) erreche Defiitio: Kovariaz Q x = ( 1)s 2 x. (14.26) Im Zuge der Regressiosaalyse ist die Frage zu kläre, iwieweit zwei Zufallsvariable x ud y voeiader abhägig sid. Dies wird durch die sog. Kovariaz festgelegt Cov(x,y) = s xy = E{(x µ x )(y µ y )} = E{x,y} µ x µ y. (14.27) Dabei sid µ x ud µ y die Mittelwerte der Zufallsvariable x ud y (siehe Abb. 14.2) ud E etspricht dem Erwartugswert. Die Kovariaz, die auch als erstes gemeisames Momet bezeichet wird, läßt sich auch mit Hilfe der gemeisame Wahrscheilichtsdichte p xy ausdrücke Cov(x,y) = + + (x µ x )(y µ y )p xy (x,y)dxdy. (14.28) Sie beschreibt die statistische Abhägigkeit zweier Zufallssigale. Die beide Zufallsvariable sid statistisch uabhägig, we ihre Kovariaz Null ist Cov(x, y) = 0. I diesem Fall berechet sich die Wahrscheilichkeitsdichte p(x,y) für das gleichzeitige Eitrete der Ereigisse x ud y aus dem Produkt der Eizelwahrscheilichkeite p(x, y) = p(x) p(y). Außerdem gilt E{x, y} = E{x}E{y}. Die Kovariaz zweier diskreter Zufallsvariablefolge x ud y ergibt sich aus s xy = 1 1 (x i µ x )(y i µ y ) ( = 1 ) x i y i µ x µ y 1 (14.29) s xy = Q xy 1. (14.30)

9 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre Defiitio: Restvariaz Die Restvariaz s r der Ausgleichsgerade (Kap ) berechet sich wie folgt ( ) s 2 r = Q y mq xy 2 = Q y 2 1 Q2 xy Q x Q y, (14.31) wobei m der Steigug der Ausgleichsgerade ud der Azahl der behadelte Meßpukte espricht. Sie wird beötigt, um die Vertrauesbereiche vo Geradesteigug m ud Achseabschitt b quatifiziere zu köe. Defiitio: Korrelatioskoeffiziet Der Korrelatioskoeffiziet r ist ei die Güte der Apassug charakterisiereder Parameter (0 < r < 1). Je äher der Korrelatioskoeffiziet r bei 1 liegt, desto besser ist die Apassug. Der Korrelatioskoeffiziet r läßt sich aus de beide Eizelvariaze s x ud s y sowie der Kovariaz s xy (siehe Abb bzw. Gl.(14.25) ud (14.29)) bestimme r = s xy s x s y. (14.32) Mit de Wurzel der Eizelvariaze s x ud s y ud der Kovariaz s xy ergibt sich schließlich der Korrelatioskoeffiziet, der die Güte der Apassug der Ausgleichsgerade beschreibt ( r xy = s xy = Q x 2 i 1 xy = m s x s ( y Qx Q y yi 2 1 ) 2 x i Agabe der Vertrauesbereiche für die Parameter der Ausgleichsgerade ) 2. (14.33) y i Mit obige Defiitiosgleichuge ka schließlich die Agabe der Vertrauesbereiche (Kofidezitervalle) für die Parameter m ud b der Ausgleichsgerade bzw. dere Ordiatewerte erfolge m ± t( 2,P) s2 r Q x x 2 i (14.34) b ± t( 2,P) s 2 r Q x (14.35)

10 14.1 Regressiosverfahre 459 (x x) y ± t( 2,P) 2 (s 2 x m2 s 2 x )+s2 x ( 2)s 2. (14.36) x Der Vertrauesfaktor t ergibt sich ach Vorgabe der gewüschte statistische Sicherheit P[%] aus der Studet-Verteilug(s. Tab. 5.2) für die Ereigisazahl ( 2). Die Azahl der betrachtete Meßpukte beträgt. Tip: Diese Berechuge köe mit dem Programm bereche_regressiosgerade.vi auf der CDROM achvollzoge werde. Es köe simulierte Messwerte eigelese, die statistische Größe berechet ud Regressiosgerade ermittelt werde Ausgleichspolyome Die Erweiterug der lieare Regressio (Kap ) führt zur polyomiale Regressio, bei der die Apaßkure ỹ durch ei Polyom p-te Grades beschriebe wird ỹ = a 0 +a 1 x+a 2 x a p x p. (14.37) Die Vorgehesweise soll zuächst ahad des folgede Beispiels verdeutlicht werde. Die Apaßkurve wird hier i Form eies Polyoms dritte Grades beschriebe ỹ(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3. (14.38) Das bereits obe agewadte Gaußsche Prizip der kleiste Quadrate(Gaußsches Miimalprizip) soll auch hier Awedug fide = 2 i = [ỹ(x i ) y i ] 2 =! mi.. (14.39) Dabei werde wiederum Meßwertepaare {x i,y i } vorausgesetzt. Das Nullsetze der partielle Ableituge ach de Koeffiziete a i (i = 1,2,3) führt zu folgedem Gleichugssystem x i x 2 i x 3 i x i x 2 i x 3 i x 4 i x 2 i x 3 i x 4 i x 5 i a 0 = a 1 = a 2 = a 3 = 0 (14.40) x 3 i x 4 i x 5 i x 6 i a 0 a 1 a 2 a 3 y i x i y i = x 2 i y. (14.41) i x 3 i y i

11 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre Die Lösug dieses Gleichugssystems ergibt schließlich die gesuchte Koeffiziete a i (i = 0,1,2,3) des Polyoms Mehrfache lieare Regressio Die mehrfache lieare Regressio(auch als multiple lieare Regressio bezeichet) ist eie Erweiterug der eifache lieare Regressio. Dabei hägt ei Meßergebis y liear vo umehr mehrere Variable x 1,x 2,...x p (ma spricht i diesem Zusammehag auch vo Covariable) ab y = a 0 +a 1 x 1 +a 2 x a p x p +E, (14.42) wobei E eie Störgröße repräsetiert, also eie stochastische Variable (Zufallsvariable). Damit ist das Ergebis ebefalls eie Zufallsvariable. Die Aufgabe der mehrfache lieare Regressio ist es u, die abhägige Variable y als Fuktio mehrerer (i Bezug auf die Laufvariable i) uabhägiger Variable, die i Form eies Variablevektors [x ip ] = (x i1,x i2,...,x ip ) zusammegefaßt werde, mit Hilfe eies Schätzwertes ŷ vorherzusage ŷ = b 0 +b 1 x 1 +b 2 x b p x p. (14.43) Dabei bilde die b j (j = 1,2,...,p) die Elemete des Vektors der geschätzte Regressioskoeffiziete. Wir wolle davo ausgehe, daß für jede Vektor [x ip ](i = 1,2,...,) jeweils Meßwerte y i (i = 1,2,...,) vorliege. Somit ergibt sich für jede Beobachtug (Messug) i(i = 1,2,...,) eie Gleichug der Form y i = a 0 +a 1 x i1 +a 2 x i a p x ip +E i. (14.44) Das daraus resultierede Gleichugssystem läßt sich mit Hilfe der folgede [ (p+1)]-matrix [X] 1 x 11 x x 1j... x 1p 1 x 21 x x 2j... x 2p... [X] = 1 x i1 x i2... x ij... x ip... 1 x 1 x 2... x j... x p (14.45)

12 14.1 Regressiosverfahre 461 sowie der -dimesioale Vektore [y] = y 1 y 2. y i y ud dem [p + 1]-dimesioale Vektor, E = [a] = a 0 a 1 a 2.. a j E 1 E 2. E i E (14.46) (14.47) wie folgt darstelle a p [y] = [X][a]+[E]. (14.48) Die eifache lieare Regressio ergibt sich aus obige Gleichuge für p = 1. Der Fall p 2 repräsetiert die mehrfache lieare Regressio. Wie bei der lieare Regressio wird wiederum die Summe der quadratische Abweichuge miimiert. Nach dem sog. Gauß-Markov-Theorem erhält ma schließlich de Vektor der geschätzte Regressioskoeffiziete [b] als [107] 4 b 0 b. 1. [b] = b j. b p = ( [X] T [X] ) 1 [X] T [y]. (14.49) 4 Um die hier verwedete Schreibweise mit der Darstellug i [107] vergleichbar zu mache, ist für die Matrix [X] dere Traspoierte [X] T zu verwede (siehe S. 62 i [107]).

13 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre Dabei bezeichet [X] T die Traspoierte der Matrix [X]. Dieser Schätzer ist der sog. beste lieare uverzerrte Schätzer (Best Liear Ubiased Estimator = BLUE). Mit Hilfe dieses Schätzers(Miimum-Quadrat-Schätzer) ergibt sich folgedes Gleichugssystem [y] = [X][b]+[e] = [ŷ]+[e], (14.50) wobei [ŷ] die Schätzwerte vo [y] ethält ud [e] de Vektor der Residue repräsetiert. Der Vektor der Schätzwerte berechet sich also aus [ŷ] = [X][b] = [X]([X] T [X]) 1 [X] T [y] = [H][y], (14.51) wobei die[ ]-Matrix[H] als sog. Hat-Matrix(Hut-Matrix) bezeichet wird. Die Residue ergebe sich demach wie folgt [e] = [y] [ŷ] = [y] [H][y]. (14.52) Im allgemeie iteressiert ma sich für die sog. Progose ŷ 0 vo [y] für ei gegebees Wertetupel [x 0 ] (= Meßstelle [x 01,x 02,...,x 0p ]). Sie berechet sich zu ŷ 0 = b 0 +b 1 x 01 +b 2 x b p x 0p = [x 0 ] T [b]. (14.53) 14.2 Lieare Korrelatio Die lieare Korrelatio beschäftigt sich mit der Frage, iwieweit Wertepaare {x i,y i } liear abhägig sid. Im Gegesatz zur lieare Regressio wird hier y icht als abhägige ud x icht als uabhägige Variable bezeichet. Da umehr keie Uterscheidug ach abhägiger ud uabhägiger Variable erfolgt, ist die Defiitio vo zwei Ausgleichsgerade sivoll, achdem die Wertepaare {x i,y i } i ei x-y-diagramm eigetrage wurde. Zur Festlegug der Gerade wird wiederum das bereits bei der lieare Regressio eigesetzte Verfahre der Fehlerquadratmiimierug (Gaußsches Miimalprizip) eigesetzt (s. Kap ). Die beide Ausgleichsgerade (Abb. 14.3) lasse sich wie folgt defiiere bzw. ỹ = m 1 x+b 1 (14.54) x = m 2 y +b 2. (14.55) Daraus resultiere zwei Möglichkeite, die Fehlerquadratmiimierug durchzuführe (ỹ y i ) 2 =! mi. (14.56) bzw. ( x x i ) 2 =! mi.. (14.57)

14 14.2 Lieare Korrelatio 463 y Abb Meßwertepaare {x i,y i}, die durch zwei Ausgleichsgerade gemäß Gl. (14.54) bzw. Gl. (14.55) approximiert werde. x Im allgemeie führt dieser Prozeß zu uterschiedliche Gerade. Für de Fall, daß vollkommee lieare Uabhägigkeit zwische de Werte der Variable x ud y besteht, strebe die beide Steiguge m 1 ud m 2 gege Null (Abb. 14.4). Für de Fall, daß die beide Gerade zusammefalle (Abb. 14.5), besteht ei direkter fuktioaler Zusammehag. Je ach Grad der lieare Abhägigkeit variiere die Geradesteiguge also zwische de Werte m 1 = m 2 = 0 (lieare Uabhägigkeit) ud eiem obere Wert m 1 = 1/m 2 (vollstädige lieare Abhägigkeit). Da dieser obere Wert aber icht vo voreherei feststeht, läßt sich der Grad der lieare y m 2= 0 m = 0 1 Abb Fall der vollstädige lieare Uabhägigkeit (m 1 = m 2 = 0) x

15 Regressio, lieare Korrelatio ud Hypothese-Testverfahre y 1 m 1= m 2 Abb Fall des fuktioale Zusammehags: Die beide Ausgleichsgerade falle zusamme. x Abhägigkeit erst ach eier Normierug beurteile. Dies führt zu eier ormierte Steigug r, die dem Korrelatioskoeffziet etspricht (siehe auch Gl. (14.32) ud Gl. (14.33)). Im Gegesatz zur Kovariaz ist der Korrelatioskoeffiziet eie reie Maßzahl ohe Eiheit. Der Korrelatioskoeffiziet immt Werte zwische 1 ud +1 a ( 1 r +1). Ei Korrelatioskoeffiziet r = 0 bedeutet, daß keie lieare Abhägigkeit besteht. Bei vollkommeer liearer Abhägigkeit immt r de Wert +1 bzw. 1 a. Das Vorzeiche beschreibt dabei die Steigugsrichtug der gemeisame Gerade (Abb. 14.5). Der Korrelatioskoeffiziet läßt sich wie folgt agebe r = Q xy = Qx Q y x i y i 1 x i y i [ ( ) ][ yi ( y i x 2 i 1 ) ]. (14.58) 2 x i Bei der Beurteilug der lieare Abhägigkeit ahad des Korrelatioskoeffiziete muß die Stichprobeazahl mit is Kalkül gezoge werde. So liefer beispielsweise zwei Wertepaare immer de Wert r = 1. Aus diesem Grud ist zu dieser Beurteilug och der im folgede behadelte Vertrauesbereich vo r hizuziehe.

16 14.3 Testverfahre (Hypothese-Testverfahre) 465 Vetrauesbereich des Korrelatioskoeffiziete Da der ach Gl. (14.58) ermittelte Korrelatioskoeffiziet ur ei Schätzwert des Korrelatioskoeffiziete ρ der Grudgesamtheit (setzt uedlich viele Messuge voraus) darstellt, sollte ma de Vertrauesbereich für r ermittel, um eie Aussage der mögliche Abweichuge vo ρ als Fuktio eier gewählte statistische Sicherheit zu erhalte. Um de Vertrauesbereich eies ahad eier Stichprobe mit Eizelmessuge ermittelte Korrelatioskoeffiziete azugebe, bediet ma sich des achfolgede Schemas i Abb Die Grudlage hierzu fidet der iteressierte Leser beispielsweise i [78]. Korrelatio ud Kausalität Ei hoher Korrelatioskoeffiziet ist auf eie starke lieare Abhägigkeit zurückzuführe. Daraus darf aber icht umittelbar auf eie Kausalität im Sie eies Ursache-Wirkugs-Prizips geschlosse werde. Es gibt uzählige Beispiele für Scheikorrelatioe oder sogar Usirelatioe, die durchaus icht auf eie gemeisame Ursache zurückzuführe sid. Ei kausaler Zusammehag muß zuächst eimal vo der Sache her begrüdet sei. Ahad eier dazu durchgeführte Korrelatio läßt sich lediglich prüfe, ob eie Hypothese zu eiem bestimmte Ursache-Wirkugs-Prizip hält oder icht. Es darf aber keiesfalls aus eiem hohe Korrelatiosgrad umittelbar auf eie etsprechede Ursache-Wirkugs-Zusammehag geschlosse werde. Als Beispiel köte ageführt werde, daß die steigede Lebeserwartug ud die steigede Preisetwicklug sicherlich keie umittelbare kausale Zusammehag aufweise, aber deoch zwische beide ei vo Null verschiedeer Korrelatioskoeffiziet besteht Testverfahre (Hypothese-Testverfahre) Teste vo Hypothese, Etscheiduge Die Wahrscheilichkeitsverteilug, welche die Grudgesamtheit beschreibt, wird als wahre Wahrscheilichkeitsverteilug bezeichet. Diese wahre Verteiluge sid aber i der praktische Meßtechik icht bekat. Mit Hilfe vo sog. Tests muß daher des öftere etschiede werde, ob bestimmte Vermutuge über die Wahrscheilichkeitsverteiluge bzw. dere Parameter zutreffe oder icht. Zur Durchführug eies Tests stellt ma eie Arbeitshypothese auf. Diese wird als Nullhypothese H 0 bezeichet. Die dieser Nullhypothese widersprechede Vermutug wird Alterativhypothese H 1 geat.