Weitere Lagemaße: Quantile/Perzentile I

Transkript

1 3 Auswertug vo eidimesioale Date Lagemaße 3.3 Weitere Lagemaße: Quatile/Perzetile I Für jede Media x med gilt: Midestes 50% der Merkmalswerte sid kleier gleich x med ud ebeso midestes 50% größer gleich x med. Verallgemeierug dieser Eigeschaft auf beliebige Ateile geläufig, also auf Werte, zu dee midestes ei Ateil p kleier gleich ud ei Ateil 1 p größer gleich ist, sog. p-quatile (auch p-perzetile) x p. Mediae sid da gleichbedeuted mit 50%-Quatile bzw. 0.5-Quatile, es gilt also isbesodere bei eideutige Mediae x med = x 0.5. Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 73 3 Auswertug vo eidimesioale Date Lagemaße 3.3 Weitere Lagemaße: Quatile/Perzetile II Defiitio 3.5 (Quatile/Perzetile, Quartile) Sei X ei (midestes) ordialskaliertes Merkmal auf der Mege der vorstellbare Merkmalsauspräguge M mit de Merkmalswerte x 1,..., x. Für 0 < p < 1 heißt jeder Wert x p M mit der Eigeschaft #{i {1,..., } x i x p } p ud #{i {1,..., } x i x p } 1 p p-quatil (auch p-perzetil) vo X. Ma bezeichet spezieller das 0.25-Quatil x 0.25 als uteres Quartil sowie das 0.75-Quatil x 0.75 als oberes Quartil. Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 74

2 3 Auswertug vo eidimesioale Date Lagemaße 3.3 Weitere Lagemaße: Quatile/Perzetile III p-quatile ka ma auch mit der emp. Verteilugsfuktio F bestimme: Mit der Abkürzug F (x 0) := lim h 0 h>0 F (x h), x R, für liksseitige Grezwerte empirischer Verteilugsfuktioe F ist x p ist geau da ei p-quatil, we gilt: F (x p 0) p F (x p ) Spezieller ist x p geau da ei p-quatil, we bei Vorliege der exakte Häufigkeitsverteilug r ud Verteilugsfuktio F F (x p ) r(x p ) p F (x p ), bei Verwedug der approximative Verteilugsfuktio F bei klassierte Date (wege der Stetigkeit der Approximatio!) gilt. F (x p ) = p Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 75 3 Auswertug vo eidimesioale Date Lagemaße 3.3 Weitere Lagemaße: Quatile/Perzetile IV Geauso wie der Media muss ei p-quatil icht eideutig bestimmt sei. Bei stetige Merkmale ka Eideutigkeit zum Beispiel durch die gägige Festlegug { x ( p +1) für p / N x p = 1 2 (x ) ( p) + x ( p+1) für p N erreicht werde, wobei x (1), x (2),..., x () die gemäß der vorgegebee Ordug sortierte Urliste ist ud mit y für y R die größte gaze Zahl kleier gleich y bezeichet wird. Zum Beispiel ist für die (bereits sortierte) Urliste 6.77, 7.06, 8.84, 9.98, 11.87, 12.18, 12.7, der Läge = 8 das 0.25-Quatil x 0.25 wege p = = 2 N icht eideutig bestimmt, soder alle Werte x 0.25 [7.06, 8.84] sid 0.25-Quatile. Die eideutige Festlegug ach obiger Kovetio würde da die Auswahl x 0.25 = 1 2 ( ) = 7.95 treffe. Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 76

3 3 Auswertug vo eidimesioale Date Streuugsmaße 3.4 Streuugsmaße I Verdichtug der Merkmalswerte auf eie Lageparameter als eizige Kezahl recht uspezifisch. Starke Uterschiede trotz übereistimmeder Lagemaße möglich: Stabdiagramme zu Urliste mit idetischem Mittelwert, Modus, Media Urliste 1 Urliste 2 absolute Häufigkeit absolute Häufigkeit Merkmalsausprägug Merkmalsausprägug Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 77 3 Auswertug vo eidimesioale Date Streuugsmaße 3.4 Streuugsmaße II Bei kardialskalierte Merkmale: zusätzliche Kezahl für Variatio bzw. Streuug der Merkmalswerte vo Iteresse Ählich wie bei Lagemaße: verschiedee Streuugsmaße gägig Alle Streuugsmaße gemeisam: Bezug zu Abstad zwische Merkmalswerte Ei möglicher Abstad: (Betrag der) Differez zwische Merkmalswerte Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 78

4 3 Auswertug vo eidimesioale Date Streuugsmaße 3.4 Streuugsmaße III Defiitio 3.6 (Spaweite, IQA, mittlere abs. Abweichug) Seie x 1,..., x die Urliste zu eiem kardialskalierte Merkmal X, x med der Media ud x 0.25 bzw. x 0.75 das utere bzw. obere Quartil vo X. Da heißt ( ( 1 SP := ) max x i i {1,...,} ) mi x i = x () x (1) die Spaweite vo X, i {1,...,} 2 IQA := x 0.75 x 0.25 der Iterquartilsabstad (IQA) vo X, 3 MAA := 1 x i x med die mittlere absolute Abweichug vo X. i=1 Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 79 3 Auswertug vo eidimesioale Date Streuugsmaße 3.4 Streuugsmaße IV Die Betragsstriche i Teil 1 ud 2 vo Defiitio 3.6 fehle, da sie überflüssig sid. Um Eideutigkeit i Teil 2 ud 3 vo Defiitio 3.6 zu erhalte, sid die für kardialskalierte Merkmale übliche Kovetioe zur Berechug vo Media ud Quatile aus Folie 61 bzw. 76 azuwede. Verwedug vo x statt x med i Teil 3 vo Defiitio 3.6 prizipiell möglich, aber: Beachte Folie 72! Weiterer möglicher Abstad: Quadrate der Differeze zwische Merkmalswerte Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 80

5 3 Auswertug vo eidimesioale Date Streuugsmaße 3.4 Streuugsmaße V Defiitio 3.7 (empirische Variaz, empirische Stadardabweichug) Seie x 1,..., x die Urliste zu eiem kardialskalierte Merkmal X, x = 1 i=1 x i das arithmetische Mittel vo X. Da heißt 1 s 2 := 1 (x i x) 2 die (empirische) Variaz vo X, i=1 2 die (positive) Wurzel s = s 2 1 = i=1 (x i x) 2 die (empirische) Stadardabweichug vo X. Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 81 3 Auswertug vo eidimesioale Date Streuugsmaße 3.4 Streuugsmaße VI Empirische Variaz bzw. Stadardabweichug sid die gebräuchlichste Streuugsmaße. Stadardabweichug s hat dieselbe Dimesio wie die Merkmalswerte, daher i.d.r. besser zu iterpretiere als Variaz. Für Merkmale mit positivem Mittelwert x als relatives Streuugsmaß gebräuchlich: Variatioskoeffiziet VK := s x Recheregel zur alterative Berechug vo s bzw. s2 vorhade. Satz 3.8 (Verschiebugssatz) Seie x 1,..., x die Urliste zu eiem kardialskalierte Merkmal X, x das arithmetische Mittel ud s 2 die empirische Variaz vo X. Da gilt s 2 = 1 i=1 x 2 i x 2 Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 82

6 3 Auswertug vo eidimesioale Date Streuugsmaße 3.4 Streuugsmaße VII Mit der Schreibweise x 2 = 1 i=1 x i 2 erhält ma aus Satz 3.8 die kürzere Darstellug s 2 = x 2 x 2. Liegt zum Merkmal X die absolute Häufigkeitsverteilug h(a) bzw. die relative Häufigkeitsverteilug r(a) auf der Mege der Auspräguge A = {a 1,..., a m } vor, so ka s 2 auch durch s 2 = 1 m h(a j ) (a j x) 2 = m r(a j ) (a j x) 2 berechet werde. (Berechug vo x da mit Häufigkeite als x = 1 m h(a j) a j = m r(a j) a j, siehe Bemerkug 3.4 auf Folie 67) Natürlich ka alterativ auch Satz 3.8 verwedet ud x 2 = 1 i=1 x i 2 mit Hilfe der Häufigkeitsverteilug durch berechet werde. x 2 = 1 m h(a j ) aj 2 = m r(a j ) aj 2 Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 83 3 Auswertug vo eidimesioale Date Streuugsmaße 3.4 Empirische Variaz bei klassierte Date Bei klassierte Date: auch für empirische Variaz ur Approximatio möglich. Aalog zur Berechug vo s 2 aus Häufigkeitsverteiluge: Näherugsweise Berechug vo s 2 aus Klassemitte m j ud absolute bzw. relative Klassehäufigkeite h j bzw. r j der l Klasse als s 2 = 1 l h j (m j x) 2 mit x = 1 l h j m j bzw. s 2 = l r j (m j x) 2 mit x = Alterativ: Verwedug vo Satz 3.8 mit x := 1 l h j m j = ud x 2 := 1 l h j mj 2 = l r j m j. l r j m j l r j mj 2. Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 84

7 3 Auswertug vo eidimesioale Date Box-Plot 3.5 Box-ad-whisker-Plot I Häufig vo Iteresse: Visueller Vergleich eies Merkmals für verschiedee statistische Masse Dazu ötig: Grafische Darstellug mit Ausdehug (im Wesetliche) ur i eier Dimesio (2. Dimesio für Nebeeiaderstellug der Datesätze) Box-ad-whisker-Plot oder kürzer Box-Plot: Zur Urliste x 1,..., x eies kardialskalierte Merkmals werde im Prizip die 5 Kezahle x (1), x 0.25, x 0.5, x 0.75, x () i Form eies durch x 0.5 geteilte Kästches (Box) vo x 0.25 bis x 0.75 ud dara aschließede Schurrhaare (Whisker) bis zum kleiste Merkmalswert x (1) ud zum größte Merkmalswert x () dargestellt: x (1) x 0.25 x 0.5 x 0.75 x () Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 85 3 Auswertug vo eidimesioale Date Box-Plot 3.5 Box-ad-whisker-Plot II (Häufig auftretede!) Ausahme: x (1) ud/oder x () liege weiter als der 1.5-fache Iterquartilsabstad (IQA) x 0.75 x 0.25 vo der Box etfert (also weiter als die 1.5-fache Breite der Box) Da: Whiskers ur bis zu äußerste Merkmalswerte ierhalb dieser Distaz ud separates Eitrage der Ausreißer, d.h. aller Urlisteeiträge, die icht vo der Box ud de Whiskers abgedeckt werde. Beispiel mit Ausreißer : x (1) x (2) x 0.25 x 0.5 x 0.75 x ( 5) x () Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 86

8 3 Auswertug vo eidimesioale Date Box-Plot 3.5 Box-ad-whisker-Plot III Beispiel für Gegeüberstellug mehrerer Datesätze (Diskrete Tagesredite verschiedeer DAX-Papiere) ADS.DE ALV.DE BAS.DE BAYN.DE BEI.DE BMW.DE CBK.DE DAI.DE Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 87 3 Auswertug vo eidimesioale Date Symmetrie- ud Wölbugsmaße 3.6 Symmetrie(-maß), Schiefe I Nebe Lage ud Streuug bei kardialskalierte Merkmale auch iteressat: Symmetrie (bzw. Asymmetrie oder Schiefe) ud Wölbug Ei Merkmal X ist symmetrisch (um x), we die Häufigkeitsverteilug vo X x mit der vo x X übereistimmt. (Dabei ist mit X x das Merkmal mit de Urlisteelemete x i x für i {1,..., } bezeichet, dies gilt aalog für x X.) Symmetrie eies Merkmals etspricht also der Achsesymmetrie des zugehörige Stabdiagramms um x. Ist ei Merkmal icht symmetrisch, ist die empirische Schiefe bzw. empirische Skewess ei geeigetes Maß für die Stärke der Asymmetrie. Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 88

9 3 Auswertug vo eidimesioale Date Symmetrie- ud Wölbugsmaße 3.6 Symmetrie(-maß), Schiefe II Defiitio 3.9 (empirische Schiefe, Skewess) Sei X ei Merkmal mit der Urliste x 1,..., x. Da heißt skewess(x ) := 1 ( ) 3 xi x s i=1 mit x = 1 i=1 x 1 i ud s = i=1 (x i x) 2 die empirische Schiefe (Skewess) vo X. Ma ka zeige: X symmetrisch skewess(x ) = 0 X heißt likssteil oder rechtsschief, falls skewess(x ) > 0. X heißt rechtssteil oder liksschief, falls skewess(x ) < 0. Für symmetrische Merkmale ist x gleichzeitig Media vo X, bei likssteile Merkmale gilt tedeziell x > x med, bei rechtssteile tedeziell x < x med. Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 89 3 Auswertug vo eidimesioale Date Symmetrie- ud Wölbugsmaße 3.6 Beispiele für empirische Schiefe vo Merkmale h(aj) symmetrisches Merkmal x med x a j h(aj) skewess(x)=1.128 likssteiles Merkmal x med x a j h(aj) rechtssteiles Merkmal x med x skewess(x)= a j Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 90

10 3 Auswertug vo eidimesioale Date Symmetrie- ud Wölbugsmaße 3.6 Wölbugsmaß (Kurtosis) I Defiitio 3.10 (empirische Wölbug, Kurtosis) Sei X ei Merkmal mit der Urliste x 1,..., x. Da heißt kurtosis(x ) := 1 ( ) 4 xi x s i=1 mit x = 1 i=1 x 1 i ud s = i=1 (x i x) 2 die empirische Wölbug (Kurtosis) vo X. Kurtosis misst bei Merkmale mit eiem Modalwert, wie flach (kleier Wert) bzw. spitz (großer Wert) der Gipfel um diese Modalwert ist. Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 91 3 Auswertug vo eidimesioale Date Symmetrie- ud Wölbugsmaße 3.6 Wölbugsmaß (Kurtosis) II Bei gleicher mittlerer quadratischer Abweichug vom Mittelwert ( Variaz) müsse Merkmale mit größerer emp. Kurtosis (mehr Werte i der Nähe des Gipfels) auch mehr weit vom Gipfel etferte Merkmalswerte besitze. Der Wert 3 wird als ormaler Wert für die empirische Kurtosis ageomme, Merkmale mit 1 kurtosis(x ) < 3 heiße platykurtisch, Merkmale mit kurtosis(x ) > 3 leptokurtisch. Vorsicht: Statt der Kurtosis vo X wird oft die Exzess-Kurtosis vo X agegebe, die der um de Wert 3 vermiderte Kurtosis etspricht. Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 92

11 3 Auswertug vo eidimesioale Date Symmetrie- ud Wölbugsmaße 3.6 Beispiele für Merkmale mit uterschiedlicher empirischer Kurtosis Merkmal mit kleier empirischer Kurtosis (2.088) f j Merkmal mit großer empirischer Kurtosis (12.188) f j Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 93 3 Auswertug vo eidimesioale Date Symmetrie- ud Wölbugsmaße 3.6 Schiefe ud Wölbug i grafische Darstelluge I Box-Plots lasse auch auf empirische Schiefe ud Kurtosis schließe. Bei symmetrische Merkmale sid auch die Box-Plots symmetrisch. Beispiel: Box-Plot zur Urliste 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 94

12 3 Auswertug vo eidimesioale Date Symmetrie- ud Wölbugsmaße 3.6 Schiefe ud Wölbug i grafische Darstelluge II Bei likssteile Merkmale hat tedeziell der rechte/obere Teil (rechter/oberer Teil der Box ud rechter/oberer Whisker) eie größere Ausdehug als der like/utere Teil. Bei rechtssteile Merkmale hat tedeziell der rechte/obere Teil (rechter/oberer Teil der Box ud rechter/oberer Whisker) eie kleiere Ausdehug als der like/utere Teil. Bei Merkmale mit großer empirischer Kurtosis gibt es tedeziell viele Ausreißer, also separat eigetragee Merkmalswerte außerhalb der Whiskers (weigstes auf eier Seite). Bei Merkmale mit kleier empirischer Kurtosis gibt es häufig weige oder gar keie Ausreißer. Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 95 3 Auswertug vo eidimesioale Date Symmetrie- ud Wölbugsmaße 3.6 Beispiele für Merkmale mit uterschiedlicher empirischer Schiefe/Kurtosis Likssteil mit großer emp. Kurtosis Rechtssteil mit kleier emp. Kurtosis f j skewess(x)=2.13 kurtosis(x)=10.65 f j skewess(x)= 0.58 kurtosis(x)= Zugehörige Box-Plots: Deskriptive Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug (SS 2019) Folie 96