h i :=h a i f i = h a i n Absolute Häufigkeit: Relative Häufigkeit: h 2 h 4 h 6 :=h der Elemente mit der Ausprägung i=6 zu der Anzahl n aller Werte

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1 . Wer Rechtschreibfehler fidet, darf sie behalte. Rechefehler werde zurückgeomme. Absolute Häufigkeit: h Wie viele Elemete weise diese bestimmte Wert (= diese bestimmte Ausprägug) auf? > Azahl h der Elemete a mit der Ausprägug i h i :=ha i h :=hder Elemete mit der Ausprägug i = = h 4 :=hder Elemete mit der Ausprägug i=4 = h 6 :=h der Elemete mit der Ausprägug i=6 =. Relative Häufigkeit: f Wieviel Prozet aller Elemete weise diese bestimmte Wert auf? > Azahl h der Elemete a mit der Ausprägug i im Verhältis geteilt durch zu der Azahl aller Werte f i = ha i f = helemete mit der Ausprägug i= = Azahl aller Werte 0 =0,=0% f 4 = hder El. mit der Ausprägug i =4 = Azahl aller Werte 0 =0,=0% f 6 = hder El. mit der Ausprägug i=6 = Azahl aller Werte 0 =0,=0 %

2 . Absolute kumulierte Häufigkeit: H Wie viele aller Elemete weise höchstes diese Wert auf? > aufaddierte Summe der absolute Häufigkeit h der Elemete a mit der Ausprägug i im geordete Datesatz vo Positio bis j, bis zu a i eiem bestimmte Wert x H x=ha...ha j = i : a i x h i H des Wertes =hder Elemete mit demwert = H des Wertes 4 =hder El.mit der Ausprägug i= h der El. mit der Ausprägug i =4 ==8 H des Wertes = h der El.mit der Ausprägug i= h der El. mit der Ausprägug i= 4 h der El.mit der Ausprägug i= = 0=8 H des Wertes6 = h der El.mit der Ausprägug i= h der El. mit der Ausprägug i= 4 hder El.mit der Ausprägug i=6 = =0

3 4. Relative kumulierte Häufigkeit: F Wieviel Prozet aller Elemete weise höchstes diese Wert auf? > aufaddierte Summe der relative Häufigkeit f der Elemete a mit der Ausprägug i im geordete Datesatz vo Positio bis j, bis zu a i eiem bestimmte Wert x > absolute kumulierte Häufigkeit H des Wertes x im Verhältis zu geteilt durch der Azahl aller Werte F x= f a... f a j = i :a i x F x= H x f i F(x) Empirische Verteilugsfuktio eier, diskrete Variable 0,8 0,6 0, o o o o ach: F deswertes = f der Elemete mit demwert =0,=0% ach: F x= f a... f a j = i :a i x F deswertes 4= f der El.m.d.Auspr. i= f der El.m.d.Auspr. i=4 =0,0,=0,8=80% F deswertes 6= f der El.m.d.Auspr. i= f der El. m.d.auspr. i=4 f der El. m.d.auspr. i =6 = 0,0,0,==00% F x= H x H deswertes F deswertes = Azahl aller Werte = 0 =0,=0 % H deswertes 4 F deswertes 4 = Azahl aller Werte = 8 0 =0,8=80 % F deswertes 6= H deswertes6 Azahl aller Werte = 0 0 ==00% f i F deswertes = f der El. m.d.auspr. i= f der El.m.d.Auspr. i =4 f der El.m.d.Auspr. i= = 0,0,0=0,8=80% Wert

4 . Modus /Modalwert: x mod Welcher Wert tritt am häufigste auf? x mod =4 6. Media: x oder x med Welcher Wert steht i der Mitte des geordete Datesatzes? > we ugerade: Wert x a der mittlere Positio i des geordete Datesatzes (mit dem Umfag ), für die gilt: i= x=x falls ugerade > we gerade: Mitte der Werte x a de beide mittlere Positioe i des geordete Datesatzes (mit dem Umfag ), für die gilt: i= bzw. i= x= x x = 0 -> gerade: falls gerade ud metrisch skaliert! x= Wert ader Positio 0 Wert ader Positio 0 = Wert a der Positio Wert ader Positio 6 = 44= 8 =4

5 7. Mittelwert: x arithmetisches Mittel (bei metrisch skalierte Date) Werte: Summer aller Werte Azahl der Werte x := x x...x = i= x i Absolute Häufigkeite: Wert wie oftwert wie oft... Azahl der Werte Relative Häufigkeite: Wert wie oft relativ + Wert wie oft relativ +... x := a h...a k h k = i= x := a f...a k f k k = j= a j f j a j h j x := =,8 0 => 0 [ 4 6 ] => 0,6 0,

6 8. Empirische Variaz / Stichprobevariaz: s oder s Wie stark streue die Date um de Mittelwert? -> Mittel der quadrierte Abweichuge x i x Werte: Wert Mittelwert Wert Mittelwert... Azahl der Werte s = [ x x... x x ] = x i x i= quadrierte Werte / Zerlegugsformel: Wert - Mittelwert Wert -Mittelwert... Azahl der Werte s = x i x = x x i= Häufigkeite: Wert Mittelwert wieoft relativ + Wert Mittelwert wieoft relativ x=,8 s =a x f...a k x f k k = j= a j x f j s = 0 [,8 4,8 4,8,8...] =,96 => => s = 0 [,8 4,8 4,8...] s =,8,8 0,6,8 0, Korrigierte Variaz: (beim Schätze ud Teste bevorzugt) s * := x i x = i= s * = 0 0,96,8 s Stadardabweichug Wie weit weiche die eizele Werte im Durchschitt vom Mittelwert ab? s= s s=,96=,4

7 9. Quatile, p-quatil x p Wert a der Stelle des geordete Datesatzes, a der eie bestimmte %zahl aller Elemete < oder = dem Wert a dieser Stelle sid falls Stelle i= p= gaze Zahl Wert ader StelleiWert a der Stelle i x p = x p x [ p] im geordete Datesatz falls p gazzahlig falls Stelle i= p=kommazahl Wert ader Stellei im geordete Datesatz falls p icht gazzahlig: x p =x [ p] p=0, uteres Quartil x 0, =x [0 0,] =x, = p=0,7 oberes Quartil x 0,7 =x [0 0,7] =x 8, =4 p=0, Media x p = x 0 0,x [0 0,] = x x 6 = 44 =4 p=0, Dezil D x p = x 0 0,x [0 0,] = x x = = p=0,9 Dezil D9 x p = x 0 0,9 x [0 0,9] = x 9 x 0 = 66 =6 Quartilsabstad / Iterquartilsabstad Abstad zwische oberem ud uterem Quartil Q :=x 0,7 x 0, Q := x 8, x, =4 =

8 0. Spaweite / Rage R Abstad zwische kleistem ud größtem Wert größter letzter Wert - kleister ersterwert im geordete Datesatz R :=x x R :=6 =4. BOXPLOTS % der Werte sid < oder =... 0% der Werte liege i der Box % der Werte sid > oder =... icht zwagsläufig i der Mitte der Box! Quelle:

9 . LORENZKURVE u i v i Wieviel Prozet der Summe aller Werte verteile sich auf wieviel Prozet der Merkmalsträger? -> Relative Kozetratio im geordete Datesatz xachse: Azahl i der Merkmalsträger Gesamtazahl der Merkmalsträger u i := i yachse: Merkmalssumme bis zum Wert i ( p i ) Gesamtsumme der Merkmale p v i := p i p p i :=x x...x i Kurve: mooto steiged, kovex =hägt immer ach ute durch (je mehr, desto größer die Kozetratio) Wert x i Summe Merkmal bis p v i i s-träger /00= 0,0 += = = = 00 0/00= 0, 0/00= 0, 40/00= 00/00= i u i /= 0, /= 0,6 4 0,8, 0,9 0,8 0,7 0,6 0, 0, 0, 0, 0 0 0, 0, 0, 0, 0,6 0,7 0,8 0,9, "kozetratiosfreie" Diagoale

10 . Gii-Koeffiziet G Kozetratiosmaß zur Lorezkurve -> Relative Kozetratio Fläche zwische Diagoale ud Lorezkurve Fläche zwische Diagoale ud xachse (u i ) gewichtete Merkmalssumme q Azahl der Werte Gesamtsumme der Werte p, 0,9 0,8 0,7 0,6 0, 0, 0, 0, 0 0 0, 0, 0, 0, 0,6 0,7 0,8 0,9, Azahl Azahl mit G := q p q := i x i i= G := = x x...i x i i x i i= = x i i= im geordete Datesatz i = = 00 = 4 p Wert x i x= x= 0 0 x0= x0=80 60 x60=00 q i x i q :=... 60=4 G := 4 00 =,7, = 0, ormierter Gii-Koeffiziet G * = G G max = G mit G max = uabhägig vo Läge der Urliste G * = 0, = 4 0,=0,6

11 4. Herfidahl-Idex H Wieviel Merkmalsträger habe wieviel Prozet der Gesamtmerkmalssumme? -> Absolute Kozetratio eizeler Wert Gesamtsumme aller Werte eizeler Wert Gesamtsumme aller Werte... => Gesamtsumme aller Werte eizeler Wert eizeler Wert... H := i= => x i p H := p i= x i p Wert x i = 00 x i H = = = = p = zu iterpretiere im Vergleich zu H mi := Je mehr Merkmalsträger mit gleichem Ateil a der Merkmalssumme beteiligt sid, desto äher liegt H a H mi. H mi = =0, H =

12 BEISPIEL Urliste: geordeter Datesatz Wert h f H F , 0, 0, 6 0, 4 0, 0 0, 0, 0,6 0, 8 0,9 6 0, 0 6 F(x), 0,8 0,6 0, x mi = 0 p 0, =x = R := x max =6 Q := p 0,7 =x = p 0, = x 0x =,

13 Lorezkurve ud Gii-Koeffiziet Wert x i Summe bis p i v i Merkmalsträger i /70=0,0 /0=0,0 x= += /70=0,0 0, x= += /70=0,04 0, x= += /70=0,07 4 0, 4x= 8 +=7 7/70=0, 0, x= 0 7+=9 9/70=0, 6 0, 6x= 0,7 7 0, 0, , , 0 0, 0 4 0,6 0, , , , ,6 0, ,69 6 0,8 80 0,76 7 0, ,8 8 0, ,9 9 0,9 4 6 p = 70 = 0 0 u i i x i G := G * = 0, 0 0 0, = 0 9 0, 0, q = 880, 0,9 0,8 0,7 0,6 0, 0, 0, 0, 0 0 0, 0, 0, 0, 0,6 0,7 0,8 0,9, Herfidahl H = = ,06 H mi = 70 0,0