Vorlesung Basismodul Statistik SS 13

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1 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Wirtschaftswisseschaftliche Fakultät Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Prof. Dr. Peter Kischka Vorlesug Basismodul Statistik SS 3 Das achfolgede Skript ethält kurz gefasst die i der Vorlesug Basismodul Statistik behadelte Kozepte, die Defiitioe statistischer Kezahle ud ihre wesetliche Eigeschafte. Zusätzlich werde i der Vorlesug Iterpretatioe, Beispiele ud Aweduge vorgestellt.

2 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Teil I Deskriptive Statistik... 7 Grudlage Grudgesamtheite ud statistische Merkmale Häufigkeite bei diskrete Merkmale Häufigkeite bei -dimesioale Urliste Häufigkeite bei -dimesioale Urliste....3 Häufigkeite bei stetige ud quasistetige Merkmale Häufigkeite vo -dimesioale Urliste Häufigkeite vo -dimesioale Urliste... 5 Weitere Häufigkeitsbegriffe Kumulierte Häufigkeite (Verteilugsfuktioe) 6.. Verteilugsfuktio bei diskrete Merkmal Verteilugsfuktio bei diskrete Merkmale Verteilugsfuktio bei -(quasi-)stetigem Merkmal (Summehäufigkeitsfuktio) Radhäufigkeite..... Radhäufigkeite bei diskrete Merkmale..... Radhäufigkeite bei (quasi-)stetige Merkmale 3..3 Radhäufigkeite bei 3-dimesioale Urliste Bedigte Häufigkeite Bedigte Häufigkeite bei diskrete Merkmale Bedigte Häufigkeite bei stetige Merkmale... 5

3 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 3 3 Lageparameter Lageparameter bei diskrete Merkmale Modus (Modalwert) Media (Zetralwert) Quatile Arithmetisches Mittel (Mittelwert) Geometrisches Mittel Lageparameter bei (quasi)-stetige Merkmale Modus (Modalwert) Media (Zetralwert) Quatile Arithmetisches Mittel Streuugs- ud Schiefeparameter Streuugs- ud Schiefeparameter bei diskrete Merkmale Mittlere absolute Abweichug Variaz ud Stadardabweichug Variatioskoeffiziet Boxplot Schiefe Streuugs- ud Schiefeparameter bei (quasi-)stetige Merkmale Mittlere absolute Abweichug... 40

4 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Variaz ud Stadardabweichug Schiefe Kozetratiosmaße Lorekurve für diskrete Merkmale Lorezkurve für (quasi-)stetige Merkmale Uabhägigkeit ud Zusammehagsmaße Uabhägigkeit Uabhägigkeit vo diskrete Merkmale Uabhägigkeit bei (quasi-)stetige Merkmale Kotigezkoeffiziet Korrelatioskoeffiziet Ragkorrelatioskoeffiziet Verhältis- ud Idexzahle Verhältiszahle Idexzahle Preisidex Megeidices Verbraucherpreisidex (VPI) i Deutschlad Iflatiosrate Verküpfug vo Preisidizes Teil II Wahrscheilichkeitstheorie... 6 Eidimesioale Zufallsvariable Grudsätzliche Struktur... 6

5 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 5. Diskrete Zufallsvariable Defiitio ud grudlegede Eigeschafte Biomialverteilug Hypergeometrische Verteilug Poisso-Verteilug Stetige Zufallsvariable Defiitio ud grudlegede Eigeschafte Rechteckverteilug Expoetialverteilug Normalverteilug Kostruktio vo Zufallsvariable Mehrdimesioale Zufallsvariable Grudsätzliche Struktur Radverteiluge, Uabhägigkeit Bedigte Verteiluge Diskrete Zufallsvariable Stetige Zufallsvariable Satz vo Bayes ud höherdimesioale Zufallsvariable Multiomialverteilug Mehrdimesioale Normalverteilug Momete ud Quatile vo Zufallsvariable Eidimesioale Zufallsvariable... 90

6 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Erwartugswert Variaz Allgemeie Momete Quatile Mehrdimesioale Zufallsvariable Kovariaz ud Korrelatio Momete vo Fuktioe vo Zufallsvariable Ugleichuge ud Grezwertsätze Tschebyscheff sche Ugleichug Gesetz der große Zahle Zetraler Grezwertsatz Hauptsatz der Statistik (Satz vo Gliveko-Catelli) Teil III Verteilugstabelle Normalverteilug Biomialverteilug... 0

7 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 7 Teil I Deskriptive Statistik Ziel: Auswertug ud Darstellug vo Date durch Kezahle, welche die i de Date ethaltee Iformatio weitgehed wiedergebe.

8 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 8 Grudlage. Grudgesamtheite ud statistische Merkmale statistische Eiheite (Merkmalsträger) i ( i ) : Träger vo Merkmale, die utersucht werde solle Grudgesamtheit räumlich, sachlich, zeitlich, sivoll abgegrezte Mege vo statistische Eiheite Merkmalsausprägug x i Ausprägug eies Merkmals beim Merkmalsträger g ( i ) -dimesioale Urliste x,...,x -dimesioale Urliste i y i Ausprägug eies weitere Merkmals beim Merkmalsträger g ( i ) (x,y ),,(x,y ) m-dimesioale Urliste beim Merkmalsträger werde m Merkmale erhobe i g

9 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 9 diskrete ud stetige Merkmale stetiges Merkmal: für beliebige Auspräguge existiert eie mögliche Ausprägug dazwische diskretes Merkmal: icht stetiges Merkmal (i der Regel edlich) quasistetiges Merkmal: Mischform Skaleiveau vo Merkmale Nomialskala: Ordialskala: Kardialskala: ur Eiteilug möglich ur atürliche Aordug der Merkmalsauspräguge möglich Merkmalsauspräguge sid reelle Zahle Stetige ud quasistetige Merkmale sid kardial skaliert. Nomial ud ordial skalierte Merkmale sid diskret.

10 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 0. Häufigkeite bei diskrete Merkmale Im Folgede wird stets ageomme, dass jeder Merkmalsträger vo jedem utersuchte Merkmal ur eie Ausprägug besitzt (icht häufbare Merkmale)... Häufigkeite bei -dimesioale Urliste x,..., x Urliste a,..., a k uterschiedliche Merkmalsauspräguge des utersuchte Merkmals x Es gilt: x i {a,..., a k} ( i ) Defiitio: Azahl j der Merkmalsträger mit x i heißt absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägug a j ( j k) = a j Es gilt: k j j = = Defiitio: Seie die absolute Häufigkeite j der Merkmalsauspräguge a j gegebe. j h j = heißt relative Häufigkeit der Merkmalsausprägug a j ( j k)

11 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Es gilt: k h j = j = Graphische Darstellug vo Häufigkeite Stabdiagramm, Kreisdiagramm u.a... Häufigkeite bei -dimesioale Urliste (x,y ),,(x,y ) Urliste a,,akuterschiedliche Auspräguge des x- Merkmals b,,bt uterschiedliche Auspräguge des y- Merkmals xi { a,,ak} y { b,,b } i t Defiitio: Azahl rs der Merkmalsträger mit xi yi = bs heißt absolute Häufigkeit der Merkmalskombiatio (a r,b s) ( r k, s t) = a ud r Es gilt: k t rs r= s= =

12 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Defiitio: Seie die absolute Häufigkeite rs der rs Merkmale x ud y gegebe. hrs = heißt relative Häufigkeit der Merkmalskombiatio (a,b ) ( r k, s t). r s Es gilt: k t hrs = r= s=

13 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 3.3 Häufigkeite bei stetige ud quasistetige Merkmale Defiitio vo Häufigkeite wie i. ist silos..3. Häufigkeite vo -dimesioale Urliste x,, x Urliste Das Merkmal x ist otwedig kardial skaliert. Klassebildug r < r < < r 0 k mit r0 < xi r k ( i ) Klasse Kl j : = r j,r j ( j k) Klassebreite : = r r ( j k) j j j Defiitio: Azahl j der Merkmalsträger mit i heißt absolute Häufigkeit der Klasse Kl ( j k). j x Kl j Es gilt: k j j = = Defiitio: Seie die absolute Häufigkeite j der Klasse j des x-merkmals gegebe. h j = heißt relative Häufigkeit der Klasse Kl ( j k). j

14 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 4 Es gilt: k hj = j = Graphische Darstellug: Histogramm Gegebe seie Klassebreite j ud relative Klassehäufigkeite h j ( j k). Das zugehörige Histogramm ist die Darstellug durch Rechtecke mit der h j Breite j ud der Höhe c (c> 0 geeiget gewählte Kostate), z. B. für k = 3: h c j j j r 0 r r r 3 x Die Fläche der Rechtecke sid proportioal zu de relative Klassehäufigkeite. Bei ugefähr gleichmäßiger Verteilug der x-werte sollte gleiche Klassebreite gewählt werde.

15 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 5 Bei ugleichmäßiger Verteilug der x-werte sollte kleiere Klassebreite bei Bereiche hoher Kozetratio gewählt werde..3. Häufigkeite vo -dimesioale Urliste (x,y ),,(x,y ) -dimesioale Urliste Klassebilduge Kl,,Klk für das x-merkmal ud ' ' Kl,,Kl für das y-merkmal (vgl..3.) t Defiitio: Azahl rs der Merkmalsträger mit xi Kl ' ud y Kl heißt absolute Häufigkeit der i s Klassekombiatio (Kl r,kl ) ( r k, s t) ' s r Weiteres Vorgehe wie i.. Aaloge Vorgehesweise für (quasi-)stetiges Merkmal ud diskretes Merkmal Literatur zu Bamberg/Baur/Krapp: Kap., 3. Fahrmeir et al.: Kap..3,.4,. Schulze: Kap.,.

16 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 6 Weitere Häufigkeitsbegriffe. Kumulierte Häufigkeite (Verteilugsfuktioe) Im Abschitt. werde ausschließlich kardial skalierte Merkmale betrachtet... Verteilugsfuktio bei diskrete Merkmal x,, x Urliste { } x a,, a ( i ) (vgl...) i k mit a < a < < ak Defiitio: Seie h j die relative Häufigkeite vo a j (vgl...). Kumulierte relative Häufigkeit q j = j vo a q heißt q h ( q k). j = h ist der relative Ateil aller Merkmalsträger mit eier Merkmalsausprägug j aq Defiitio: Die Fuktio F : IR [0,] mit 0 für x<a q F(x) = h j für aq x < a q+ ( q k ) j = für x ak heißt empirische Verteilugsfuktio

17 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 7 vo x,,x (kumulierte relative Häufigkeitsfuktio). F(x) = Ateil aller Merkmalsträger mit Merkmalsausprägug x Beobachtuge liege geau da vor, we die Fuktio F sprigt. je höher der Sprug, desto mehr Beobachtuge liege auf der Sprugstelle Seie x,x gegebe mit x x F(x ) F(x ) > ( beliebige x-werte) = (Ateil aller Merkmalsträger x) (Ateil aller Merkmalsträger x) = (Ateil aller Merkmalsträger x ud > x).. Verteilugsfuktio bei diskrete Merkmale (x, y ),,(x,y ) -dimesioale Urliste xi a,,a k, yi b,,b t ( i ) mit a < a < < a,b < b < < b (vgl...) { } { } k t

18 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 8 Defiitio: Seie h rs die relative Häufigkeite der Merkmalskombiatioe (a r,b s). Kumulierte relative Häufigkeit vo q p heißt q p j= i= h ji (a,b ) q p h ist der relative Ateil aller Merkmalsträger, j= i= ji dere x-merkmal ud dere y-merkmal bp ist. aq Defiitio: Die Fuktio F : IR [0,] mit F(x, y) 0 für x < a oder y < b q p hji für aq x < a q+, bp y < bp+ j= i= ( q k, p t-) = q t hji für aq x < a q+,y b t ( q k ) j= i= k p hji für x a k, bp y < b p+ ( p t ) j= i= für x a k, y bt heißt empirische Verteilugsfuktio der Urliste. (x,y ),,(x,y )

19 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 9 F(x,y) ist der Ateil aller Merkmalsträger, dere erstgeates Merkmal x ud dere zweitgeates Merkmal y ist...3 Verteilugsfuktio bei -(quasi-)stetigem Merkmal (Summehäufigkeitsfuktio) Kl : = r,r Klasse mit relative Häufigkeite j j j h ( j k) (vgl..3.) j Defiitio: Die Fuktio F mit F(x) 0, x r x r0 h, r 0 < x r r r0 = q x rq j q q q j = rq rq h + h, r < x r ( q k), x > rk 0 heißt Summehäufigkeitsfuktio.

20 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 0 I obiger Defiitio ka überall bzw. geschriebe werde. Eigeschafte der Summehäufigkeitsfuktio F(x) = 0 für x r0 F(x) = für x rk F ist stetig ud mooto wachsed F(r j) = beobachteter (wahrer) Ateil aller Merkmalsträger mit Ausprägug rj ( j k) Für x ]r j,r j[ : F(x) = Ateil aller Merkmalsträger mit Ausprägug uter der Aahme der gleichmäßige Verteilug ierhalb ]r j,r j [ Für x > y: x F(x) F(y) Ausprägug = Ateil der Merkmalsträger mit > x ud y

21 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik. Radhäufigkeite Im Folgede wird zuächst vo -dimesioale Urliste ausgegage. Die ahe liegede Verallgemeierug auf m- dimesioale Urliste wird i..3 agegebe... Radhäufigkeite bei diskrete Merkmale (x, y ),,(x,y ) Urliste mit { } { } xi a,,a k, yi b,,b t ( i ) (vgl...),h absolute bzw. relative gemeisame Häufigkeite ( r k, s t) (vgl...) rs rs Defiitio: Die absolute Radhäufigkeit vo a r ist r t : = ( r k). j = rj Die absolute Radhäufigkeit vo b s ist s k : = ( s t). i= is r s h r =,h s = heiße relative Radhäufigkeite.

22 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik r ist die absolute Azahl vo Merkmalsträger, dere x-merkmal die Ausprägug a r aufweist mit eiem beliebige y-merkmal. Aalog sid s,h r,h s zu iterpretiere. Es gilt: k t k t = = = rs r s r= s= r= s= k t k t h = = h = h rs r s r= s= r= s= Darstellug durch Kotigeztafel b b t a t a k k kt k t (absolute Kotigeztafel)

23 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 3 (relative Kotigeztafel).. Radhäufigkeite bei (quasi-)stetige Merkmale rs bzw. h rs werde aus de Klassehäufigkeite gebildet (vgl..3.). Da ka wie i.. vorgegage werde...3 Radhäufigkeite bei 3-dimesioale Urliste (x, y,z ),,(x,y,z ) 3-dimesioale Urliste x a,,a, y b,,b,z c,,c rsq b b a h h h a h h h h h t k k kt k { } { } { } i k i t i sei die absolute Häufigkeit vo Merkmalsträger mit x-merkmal = a r, y-merkmal = b s, z-merkmal = c q Die Radhäufigkeite ergebe sich durch Summatio über alle Merkmalsauspräguge der adere Merkmale z. B. t k.s. = i = j = isj b ( s t). ist die absolute Radhäufigkeit vo s Etspreched geht ma bei m-dimesioale Urliste mit m> 3 vor.

24 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 4.3 Bedigte Häufigkeite.3. Bedigte Häufigkeite bei diskrete Merkmale (x, y ),,(x,y ) -dimesioale Urliste mit absolute bzw. relative gemeisame Häufigkeite rs bzw. h rs ( r k, s t) (vgl...,..) Defiitio: rs s Sei b s eie Ausprägug des y-merkmals. Die bedigte Häufigkeit (Verteilug) des x- Merkmals gegebe b s ist gegebe durch rs ( r k) s Sei a r eie Ausprägug des x-merkmals. Die bedigte Häufigkeit (Verteilug) des y- Merkmals gegebe a r ist gegebe durch rs ( s t) r ist der Ateil der Merkmalsträger, die das Merkmal a r aufweise uter alle Merkmalsträger, die das Merkmal b s aufweise. rs h rs =, r hr rs s = h h rs s ( r k, s t)

25 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 5 t s rs = r k rs r= s I.a. gilt: = =, t rs s= s k rs r= r, Bei m-dimesioale Urliste werde aalog zu obiger Defiitio die Radhäufigkeite bzgl. Aller adere Merkmale verwedet..3. Bedigte Häufigkeite bei stetige Merkmale Die Überleguge vo.3. köe direkt auf die gemeisame Häufigkeite der Klasse übertrage werde (vgl..3.,..). Aalog geht ma bei gemischte stetige ud diskrete Merkmale vor. Literatur zu Bamberg/Baur /Krapp: Kap. 3..3, 4. Fahrmeir et al.: Kap...3, 3. Schulze: Kap...,..3, 3.

26 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 6 3 Lageparameter 3. Lageparameter bei diskrete Merkmale Im Folgede sei stets eie Urliste x,,x zugrude gelegt. 3.. Modus (Modalwert) Defiitio: Die (bzw. eie) am häufigste auftretede Merkmalsausprägug heißt Modus. Der Modus wird isbesodere bei omial skalierte Date verwedet. Ist der Modus eideutig, spricht ma vo eier uimodale Häufigkeitsverteilug. 3.. Media (Zetralwert) Das Merkmal x sei ordial oder kardial skaliert. x x x Die Urliste sei geordet: Defiitio: Media, i. Z. x 0,5, heißt eie Merkmalsausprägug mit der Eigeschaft: Midestes die Hälfte der Beobachtuge x 0,5 ud midestes die Hälfte der Beobachtuge x 0,5

27 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 7 ugeradzahlig: x0,5 = x + geradzahlig: x0,5 = x + x + Für alle y IR gilt i 0,5 i i= i= x x x y (Vereibarug) Der Media ist icht afällig gegeüber Ausreißer 3..3 Quatile Voraussetzuge wie i 3.. Defiitio: α-quatil, i. Z. x α, heißt eie Merkmalsausprägug mit der Eigeschaft midestes α 00 % der Merkmalsauspräguge sid x α, α 00 % der midestes ( ) Merkmalsauspräguge sid. x α Für α= 0,5 ist das α-quatil der Media.

28 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 8 Für α= 0, 5 bzw. α= 0,75 heißt das α-quatil uteres bzw. oberes Quartil. α IN, k sei die auf α folgede gaze Zahl. Da gilt: x x α = α IN, α = k xα = ( xk+ xk+ ) (Vereibarug) k 3..4 Arithmetisches Mittel (Mittelwert) Gegebe sei ei kardial skaliertes Merkmal Defiitio: Arithmetisches Mittel, i. Z. x, heißt die Zahl x = i i

29 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 9 Seie h j die relative Häufigkeite der uterschiedliche Merkmalsauspräguge a j des x-merkmals ( j k). Es gilt: x k = j = ah j j Das arithmetische Mittel ist stark vo Ausreißer abhägig. (xi x) (xi y) für alle y IR i= i= y = a + bx ( i ) gilt: Für i i y = a + bx (a, b IR) 3..5 Geometrisches Mittel Gegebe sei ei kardial skaliertes Merkmal mit x > 0 ( i ) i Defiitio: x = x x x G heißt geometrisches Mittel l x G = i= l x i

30 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 30 ( ) x = x x x G Das geometrische Mittel gibt de durchschittliche Wachstumsfaktor eier Zeitreihe z 0,z,,z a: Wachstumsfaktor der Periode i: zi x = ( i ) i zi durchschittlicher Wachstumsfaktor: G Es gilt: z = (x ) z. G 0 x

31 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 3 3. Lageparameter bei (quasi)-stetige Merkmale Sei F die Summehäufigkeitsfuktio für das Merkmal x bzgl. Der Klasse Kl mit relative Häufigkeite (vgl...3). j h ( j k) j 3.. Modus (Modalwert) Bei Klasse gleicher Breite ist die (eie) Klasse mit der höchste relative Häufigkeit der Modus. Ist der Modus eideutig, spricht ma vo eier uimodale Häufigkeitsverteilug. 3.. Media (Zetralwert) Defiitio: Media, i. Z. x 0,5, der Klasse Kl,,Klk heißt die Merkmalsausprägug mit F(x ) = 0, Quatile 0,5 Kl,,Kl heißt die Merkmalsausprägug m mit F(x α ) = α. Defiitio: α-quatil, i. Z. x α, der Klasse k

32 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Arithmetisches Mittel Für die Klasse Kl j= r j,rj ist Klassemitte ( j k) m j rj rj = + die Defiitio: Arithmetisches Mittel, i. Z. x, der Klasse Kl,,Kl heißt k k x = m h j = j j Die obige Defiitio etspricht der Darstellug des Mittelwerts diskreter Date, idem die Merkmalsauspräguge a j durch die Klassemitte ersetzt werde ( j k) (vgl. 3..4). m j Die obige Defiitio ist ur da sivoll, we die Merkmale aäherd gleichmäßig i de Klasse verteilt sid. Literatur zu 3 Bamberg/Baur/Krapp: Kap. 3. Fahrmeir et al.: Kap...,.. Schulze: Kap...

33 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 33 4 Streuugs- ud Schiefeparameter I Abschitt 4 sid die Merkmale stets kardial skaliert. 4. Streuugs- ud Schiefeparameter bei diskrete Merkmale x,,x Urliste mit { } x a,, a ( i ) i k 4.. Mittlere absolute Abweichug 0,5 x sei der Media vo x,,x (vgl. 3..) Defiitio: Mittlere absolute Abweichug der Urliste x,,x heißt i = x x i 0,5 Es gilt: x x = a x h i 0,5 j 0,5 j i = j = k

34 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Variaz ud Stadardabweichug x sei das arithmetische Mittel vo x,,x (vgl. 3..4) Defiitio: Variaz, i. Z. s bzw. x,,x heißt s x, der Urliste s = x x i = ( ) i Stadardabweichug heißt s: = s = x x k Es gilt: ( j ) j = i = s = a x h ( ) j i Es gilt: s x x = i i = Die Variaz ist die durchschittliche quadratische Abweichug der Merkmalsauspräguge x i vom Mittelwert x. Die Variaz besitzt eie quadratische Dimesio, die Stadardabweichug die Dimesio des erhobee Merkmals.

35 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 35 y = a + bx mit Variaz i i Es gilt: s = b s (a, b IR) y x s y 4..3 Variatioskoeffiziet Urliste x,,x mit Stadardabweichug s, Mittelwert x Defiitio: s heißt Variatioskoeffiziet der Urliste x x,,x Der Variatioskoeffiziet ist dimesioslos. Der Variatioskoeffiziet eiget sich zum Vergleich der Streuug verschiedeer Urliste Boxplot x,,x Urliste mit x mi kleiste Merkmalsausprägug x max größte Merkmalsausprägug x 0,5 Media x,x uteres bzw. oberes Quartil 0,5 0,75

36 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 36 Der Boxplot ist die graphische Darstellug x x 0,5 mi x max x 0,5 x 0,75 I der Box liege die mittlere 50 % der Merkmalsauspräguge. x 0,75 0,5 x heißt Quartilsabstad 4..5 Schiefe x,,x Urliste mit uimodaler Häufigkeitsverteilug (vgl. 3..), Mittelwert x, Media x 0,5 ud Modalwert x mod Die Häufigkeitsverteilug der Urliste heißt symmetrisch, falls die Häufigkeite h j symmetrisch um x liege, z. B. h j x x

37 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 37 Für symmetrische Häufigkeitsverteiluge gilt x = x0,5 = xmod Die Häufigkeitsverteilug j (rechtsschief), we folgede Form vorliegt: h j h ( j k) heißt likssteil x Für likssteile Häufigkeitsverteiluge gilt x > x0,5 > xmod

38 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 38 Die Häufigkeitsverteilug j (liksschief), we folgede Form vorliegt: h j h ( j k) heißt rechtssteil x Für rechtssteile Häufigkeitsverteiluge gilt x < x0,5 < xmod Defiitio: Die Schiefe der Häufigkeitsverteilug der Urliste x,,x ist 3 (xi x) i= 3 s (Stadardabweichug s, vgl. 4..)

39 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 39 Es gilt: symmetrische Häufigkeitsverteilug Schiefe = 0 likssteile Häufigkeitsverteilug Schiefe > 0 rechtssteile Häufigkeitsverteilug Schiefe < 0

40 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Streuugs- ud Schiefeparameter bei (quasi-)stetige Merkmale Klasse Kl,,Klk (vgl..3.) Klassemitte rj rj m j = + ( j k) Idee: Ersetze die uterschiedliche Merkmalsausprägug a ( j k) durch die Klassemitte. j 4.. Mittlere absolute Abweichug k j = m x h j 0,5 j 4.. Variaz ud Stadardabweichug ( j ) k s = m x h j = mit x aus 3..3 j ( j ) k s= m x h j = j

41 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Schiefe ( j ) k 3 j = m x h s 3 j Literatur zu 4 Bamberg/Baur/Krapp: Kap. 3.3 Fahrmeir et al.: Kap Schulze: Kap...,..3.

42 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 4 5 Kozetratiosmaße 5. Lorekurve für diskrete Merkmale Urliste x,,x mit (vgl...) 0 x x x ud x > 0 xi a,...,a k ( i ) a < a <... < a,h absolute bzw. relative Häufigkeit vo a j ( j k) - - { } - k - j j u q q = h ist der Ateil der Merkmalsträger mit eier j = j Merkmalsausprägug a q ( q k), u 0: = 0 v: = q q a j = k j = j a j j j ist der Ateil a der Gesamtmerkmalssumme, der auf die kleiste q Merkmalsauspräguge etfällt 0 ( q k), v : = 0

43 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 43 Defiitio: Die Verbidugsliie der Pukte q q (0 q k) heißt Lorezkurve L(u) v L(u) (u,v ) L ist kovex mit L(0) = 0, L() = u Je bauchiger die Kurve L ist desto stärker ist die Kozetratio der Merkmalsauspräguge Es gilt: Extremfälle: q ah j j j = v q: = ( q k) k ah j = j j a = a = ak L ist die Diagoale x = x = x = 0, x > 0 L hat folgede Form:

44 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 44 u Defiitio: Der Gii-Koeffiziet G ist defiiert als k Fläche zwische Diagoale ud L Fläche zwische Diagoale ud u-achse ( + ) uj uj ha j j j = G = k ha j = j j Der Gii-Koeffiziet immt Werte zwische 0 ud a. Je größer G, desto höher ist die Kozetratio.

45 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Lorezkurve für (quasi-)stetige Merkmale Kl,,Kl Klasse k Klassehäufigkeite h j, Klassemitte rj rj m j = + ( j k) (vgl..3.) Defiitio vo u q ud v q aalog 5. mit m j statt a j Defiitio vo Lorezkurve ud Gii-Koeffiziet aalog zu 5. Die Güte der Iformatio über die vorliegede Kozetratio hägt wesetlich vo der Aahme ab, dass die Merkmalsauspräguge i de Klasse gleichmäßig verteilt sid (vgl..3.) Literatur zu 5 Bamberg/Baur/Krapp: Kap. 3.4 Fahrmeir et al.: Kap..3. Schulze: Kap...4.

46 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 46 6 Uabhägigkeit ud Zusammehagsmaße 6. Uabhägigkeit 6.. Uabhägigkeit vo diskrete Merkmale Gegebe sei eie -dimesioale Urliste (x,y ),,(x,y ) (x a,,a,y b,,b ) { } { } i k i t mit gemeisame absolute bzw. relative Häufigkeite rs bzw. h rs ( r k, s t) (vgl...) ud absolute bzw. relative Radhäufigkeite r.,.s bzw. h r., h.s ( r k, s t) (vgl...) Defiitio: Die Merkmale x ud y heiße uabhägig, we gilt: rs = r..s r k, s t ( ) Uabhägigkeit ist eie Eigeschaft der gemeisame Häufigkeite (verschiedee gemeisame Häufigkeite köe gleiche Radhäufigkeite besitze)

47 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 47 x ud y sid uabhägig geau da, we rs r..s ( ) h = h h r k, s t Sid x ud y uabhägig, so gilt für r k, s t rs r. rs.s hägt icht vo r ab hägt icht vo s ab Sid x ud y uabhägige Merkmale, so häge die bedigte Häufigkeite (vgl..3.) icht vo der Bedigug ab ud stimme mit de Radhäufigkeite überei. Strikte Uabhägigkeit im Sie obiger Defiitio ist empirisch i. a. icht achweisbar. 6.. Uabhägigkeit bei (quasi-)stetige Merkmale Die Überleguge aus 6.. köe direkt auf die gemeisame Häufigkeite vo Klasse übertrage werde (vgl..3.,..,.3.)

48 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Kotigezkoeffiziet (x,y ),,(x,y ) Gegebe sei eie Urliste m rs : = r..s ( r k, s t) Sid x ud y uabhägig (vgl. 6..), so gilt: m rs = ( r k, s t) rs Daher sid die Abweichuge vo m rs ud rs ei Maß für die Abweichug vo der Uabhägigkeit der Merkmale. k t (m ) mrs rs rs χ = heißt r= s= χ -Koeffiziet χ = 0 x ud y sid uabhägig. Defiitio: Gegebe seie die gemeisame Häufigkeite rs. Der Kotigezkoeffiziet vo x ud y heißt K = χ +χ K = 0 x ud y sid uabhägig 0 K α

49 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 49 mit α= mi(k, t) mi(k, t) Korrigierter Kotigezkoeffiziet K* = K α 0 K* Je größer K bzw. K*, desto stärker ist die Uabhägigkeit verletzt. Der Kotigezkoeffiziet wird isbesodere bei omial skalierte Merkmale verwedet.

50 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Korrelatioskoeffiziet (x,y ),,(x,y ) -dimesioale Urliste x ud y kardial skaliert Defiitio: (Empirische) Kovariaz, i. Z. cov( x, y ), der Merkmale x ud y heißt i= ( x x) ( y y) i cov ( x, y) > 0 : x ud y sid tedeziell gleichläufig cov ( x, y) < 0 : x ud y sid tedeziell gegeläufig cov ( x, x) = s x cov(a+bx, c+dy)= bd cov ( x, y ) für alle a,b,c,d IR Defiitio: (Empirischer) Korrelatioskoeffiziet, i. Z. corr ( x, y ), der Merkmale x ud y heißt cov (x, y) s x sy i corr (x, y) Häufige Bezeichugsweise xy (Korrelatioskoeffiziet ach Bravais-Pearso) = r

51 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 5 corr (a + b x, c + d y) = corr (x, y) für alle a,b,c,d IR, b ud d gleiches Vorzeiche rxy + für alle Merkmale x, y rxy = + geau da, we yi = a+ b xi für ei b > 0 rxy = geau da, we yi = a+ b xi für ei b < 0 xy r ist Maß für die Stärke des lieare Zusammehags zwische x ud y

52 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 5 y x x x x x x x r xy ahe bei + x Defiitio: x ud y heiße ukorreliert, we gilt r xy = 0 Zwische ukorrelierte Merkmale besteht kei liearer Zusammehag. Sid x ud y uabhägig im Sie vo 6., so gilt: =, icht umgekehrt. r 0 xy

53 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Ragkorrelatioskoeffiziet x,y,,(x,y ) -dimesioale Urliste ( ) x ud y ordial oder kardial skaliert ( ' ) ( ' R ),R,, R,R zugehörige -dimesoale Urliste der Ragzahle: x i wird als Rag die Platzummer zugeordet, die x i i der (aufsteiged) geordete Urliste der x-werte aimmt; aalog für y i. Tritt eie Merkmalsausprägug mehrfach auf, so wird ihr das arithmetische Mittel der zugehörige Räge zugewiese. Es gilt: R + Ri i= ' + Ri i= = = R' = = x i,y i vo midestes ordial skalierte Merkmale. Sei ' R,R die zugehörige Liste der Defiitio: Gegebe sei eie Urliste ( ) ( ) i i Ragzahle. Ragkorrelatioskoeffiziet x,y heißt der (ach Spearma) vo ( ) Korrelatioskoeffiziet vo ( ' ) i i i i R,R.

54 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 54 r sp = ' ' ( Ri R) ( Ri R ) i= ' ' ( Ri R) ( Ri R ) i= i= rsp = + falls R < R < < R ' ' ' < < < R R R rsp = falls R < R < < R r + sp ' ' ' > > > R R R Werde keie gemittelte Räge vergebe, so gilt: r = sp Literatur zu 6 i= ( ' ) i i 6 R R ( ) ( + ) Bamberg/Baur/Krapp: Kap. 4., 4. Fahrmeir et al.: Kap Schulze: Kap. 3., 3.

55 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 55 7 Verhältis- ud Idexzahle 7. Verhältiszahle Gliederugszahl: Teilmasse wird auf die Gesamtmasse bezoge Beziehugszahl: verschiedeartige, sachlich sivoll zusammehägede Größe werde aufeiader bezoge Messzahl: Quotiet aus Zeitreihewerte eies kardial skalierte Merkmals Idexzahl: Zusammefassug vo Messzahle verschiedeer Merkmale zu eier Zahl

56 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Idexzahle Eie Idexzahl etsteht aus der Zusammefassug vo Messzahle verschiedeer zusammegehöriger Merkmale. 7.. Preisidex t p j t q j Preis des Gutes j i der Periode t ( j,0 t) verbrauchte Mege des Gutes j i der Periode t ( j,0 t) Defiitio: Der Laspeyres Preisidex der Güter,, mit Basisperiode 0 ud Berichtsperiode t ist gegebe durch I t L = j = j = pq t 0 j j pq 0 0 j j Es gilt: I t L t j 0 j p = gj mit j = p g j = i= 0 0 j j pq 0 0 i i pq Die Iflatiosrate ist die Wachstumsrate der Laspeyres- Preisidices.

57 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 57 Defiitio: Paasche-Preisidex der Güte Güter,, mit Basisperiode 0 ud Berichtsperiode t ist gegebe durch I t P = j = j = t j pq t j 0 t j j pq 7.. Megeidices Defiitio: Laspeyres-Megeidex der Güter,, mit Basisperiode 0 ud Berichtsperiode t ist gegebe durch M t L = j = j = 0 t j j pq 0 0 j j pq

58 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Verbraucherpreisidex (VPI) i Deutschlad Laspeyres-Idex mit 750 Güter aktuelle Basisperiode: 005 (t = 0) Berichtsperiode t = Februar 0 mit t p j Preis des Gutes j im Februar 0 t q j verbrauchte Mege des Gutes j im Februar 0 Gütergruppe A, B, C Wägugschema 005 Gütergruppe etc. Gewichtug i Promille Nahrugsmittel ud alkoholfreie Geträke 03,55 Alkoholische Geträke, Tabakware 38,99 Bekleidug ud Schuhe 48,88 Wohug, Wasser, Strom, Gas u. a. Brestoffe 308 Eirichtugsgegestäde 55,87 Gesudheitspflege 40,7 Verkehr 3,9 Nachrichteübermittlug 3,00 Freizeit, Uterhaltug, Kultur 5,68 Bildugswese 7,40 Beherbergugs- ud Gaststättediestleistuge 43,99 adere Ware ud Diestleistuge 74,47

59 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 59 Laspeyres-Idex der Gütergruppe A: z. B. A= Nahrugsmittel ud alkoholfreie Geträke, Februar 0: mit etc. Gewicht der Gütergruppe A Laspeyres-Idex der Gütergruppe A 7.4 Iflatiosrate Laspeyres-Idex der Berichtsperiode t Wachstumsrate des Preisidex zwische ud ) = Iflatiosrate zwische t ud t

60 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Verküpfug vo Preisidizes P 0t Preisidex mit Basisperiode 0, Berichtsperiode t (t 0) P 00, P 0,, P 0τ P τt Preisidex mit Basisperiode τ, Berichtsperiode t (t τ) P ττ, P τ,τ+, Ziel: Umbasierug vo P 00,, P 0τ auf die eue Basisperiode τ Aahme: = für 0 t τ (P τ τ =) ist der eu kostruierte Preisidex der Periode t mit der Basisperiode τ Literatur zu 7 Bamberg/Baur/Krapp: Kap Schulze: Kap. 6., 6.

61 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 6 Teil II Wahrscheilichkeitstheorie Ziel: Vermittlug vo grudlegede Ketisse zu Zufallsvariable, wie sie für das Verstädis der iduktive Statistik, vo ökoometrische Verfahre etc. otwedig sid.

62 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 6 Eidimesioale Zufallsvariable. Grudsätzliche Struktur Ω Mege der mögliche Ergebisse ω eies zufallsabhägige Vorgags P(A) Wahrscheilichkeit, dass ei Ergebis ω mit ω Aeitritt: Wahrscheilichkeit des Ereigisses A 0 P(A), P( Ω ) = P(A B) = P(A) + P(B), falls A ud B sich ausschließede Ereigisse sid (A B = ) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) für alle Ereigisse A, B X : Ω IR P(X x) = = { ω Ω ω = } P( X( ) x ) = Wahrscheilichkeit, dass X de Wert x aimmt P(X [a,b]) = P( { ω Ω X( ω) [a,b]}) = Wahrscheilichkeit, dass X Werte im Itervall [a, b] aimmt

63 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 63 X heißt Zufallsvariable, falls für alle a,b IR,a b, die Wahrscheilichkeit des Ereigisses A = { ω Ω a X( ω) b} bestimmt werde ka. Exakte Defiitio vo Zufallsvariable i der Ergäzugsverastaltug.

64 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 64. Diskrete Zufallsvariable.. Defiitio ud grudlegede Eigeschafte Defiitio: Eie Zufallsvariable X : Ω IR heißt diskret, we sie ur edlich oder abzählbar uedlich viele Realisatioe (Werte) aimmt. Realisatioe vo X: { x,,x } (edlicher Fall) { x,x, } (uedlicher Fall) Defiitio: Die Verteilug vo X, i. Z. P x, ist gegebe durch die Werte Es gilt: 0 P(X = x i) i P(X = x i) für alle Realisatioe x i P(X = x ) = P(X [a,b]) = P(X = x ) i i:x i [a,b] i Defiitio: Die Fuktio X F : IR [0,] F X (x) = P(X ],x]) mit = P(X = x ) i:xi x heißt Verteilugsfuktio vo X. i

65 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 65 Falls keie Verwechsluge möglich sid, wird F statt F X geschriebe. F ist mooto wachsed. F(x) 0 für x F(x) für x + x < x Sei F(x ) F(x ) ist die Wahrscheilichkeit, dass X Werte im Itervall ]x,x ] aimmt... Biomialverteilug Defiitio: Eie ZV X mit de + Realisatioe 0,,, heißt biomialverteilt mit Parameter p [0,], i. Z. X ~ B(,p), falls gilt: x x P(X = x) = p ( p) (x = 0,,,) x x= 0 p x ( p) x x =

66 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 66 Sei A ei Ereigis, das mit Wahrscheilichkeit p eitritt. X ist die ZV, die die Azahl des Eitretes vo A bei Wiederholuge uter de jeweils gleiche Bediguge (uabhägige Wiederholuge) agibt. Stadardbeispiel: Ure mit weiße ud schwarze Kugel. p sei der Ateil der weiße Kugel. Kugel werde acheiader mit Zurücklege etomme. X ist die Azahl der gezogee weiße Kugel...3 Hypergeometrische Verteilug Defiitio: Eie ZV X heißt hypergeometrisch verteilt mit Parameter L, M, (L, M, IN mit M L, L), i. Z. X ~ H(L, M, ), falls gilt: P(X = x) = M L M x x L für x mit max{ 0, (L M) } x mi{, M}

67 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 67 x M L M x x L = Summatio über alle Realisatioe vo X. Stadardbeispiel: Ure mit M weiße ud L M schwarze Kugel. Kugel werde ohe Zurücklege etomme. X ist die Azahl der gezogee weiße Kugel. Ist wesetlich kleier als L, so ist eie hypergeometrisch verteilte Zufallsvariable approximativ biomialverteilt: M Η(L,M,) B, L

68 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Poisso-Verteilug Defiitio: Eie Zufallsvariable X heißt Poisso-verteilt mit Parameter λ > 0, i.z. X ~ Po(λ), falls gilt x λ λ P(X = x) = e (x = 0,,,...) x! Es gilt: x λ λ P(X = x) = e = x! x= 0 x= 0 Für X existiert kei Stadardbeispiel. X beschreibt häufig die Azahl des zufällige Eitretes selteer Ereigisse. Für 50, p 0, p 0, ist die Biomialverteilug approximativ Poisso-verteilt: B(,p) Po( p)

69 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 69.3 Stetige Zufallsvariable.3. Defiitio ud grudlegede Eigeschafte Defiitio: Eie Zufallsvariable X : Ω IR heißt stetig mit Dichte f, we eie itegrierbare Fuktio f : IR IR + existiert mit der Eigeschaft: Für alle Itervalle I = [a, b] gilt { } P(X I) = P( ω Ω X( ω) [a,b] ) [ ] = P(X a,b ) b = f (y)dy a Defiitio: Die Verteilug vo X, i. Z. P X, ist gegebe durch die Werte [a, b]. b a f (y)dy für alle Itervalle P(X [a, b]) = P(X ]a, b]) = P(X [a, b[) = P(X ]a, b[) P(X = x) = 0 für alle x IR

70 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 70 + P(X IR) = f (y)dy = Defiitio: Die Fuktio X F : IR [0,] mit F X (x) = P(X ],x]) = f(y)dy x heißt Verteilugsfuktio vo X. Es gelte die Eigeschafte für Verteilugsfuktio diskreter Zufallsvariable (vgl...). Ist f stetig, so gilt F'(x) = f(x)..3. Rechteckverteilug Defiitio: Eie stetige Zufallsvariable X : Ω IR heißt rechteckverteilt über [a,b], i. Z. X ~ Re[a,b], we sie die Dichte f (y) a y b b a = für 0 sost besitzt.

71 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 7 Statt Rechteckverteilug wird auch der Begriff Gleichverteilug beutzt. Für die Verteilugsfuktio gilt: F(x) 0 x < a x x a = f (y)dy = für a x b b a x > b Für alle Itervalle I,I [a,b] mit gleicher Läge gilt P(X I ) = P(X I )..3.3 Expoetialverteilug Defiitio: Eie Zufallsvariable X heißt expoetialverteilt mit Parameter λ( λ> 0), i. Z. X ~ Ex( λ ), we für ihre Dichte gilt f (y) 0 y< 0 = für λ λ y e y 0

72 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 7 Für die Verteilugsfuktio gilt: F(x) 0 x 0 = für λ x > e x Normalverteilug Defiitio: Eie Zufallsvariable X heißt ormalverteilt mit de Parameter µ, σ ( µ IR, σ > 0), i. Z. X gilt X ~ N(, ) µσ, we für die Dichte vo f (y) = π σ e σ (y µ) (y IR) Für µ = 0 ud σ = heißt eie ormalverteilte Zufallsvariable stadardormalverteilt. Die Verteilugsfuktio eier stadardormalverteilte Zufallsvariable wird mit Φ bezeichet: y x Φ (x) = e dy π Für alle x IR gilt: Φ( x) = Φ (x)

73 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 73 Für Für X ~ N( µσ, ) gilt: X µ ~ N(0,) σ X ~ N( µσ, ) gilt: X µ a µ b µ P(X [a, b]) = P, σ σ σ b µ a µ =Φ Φ σ σ

74 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 74.4 Kostruktio vo Zufallsvariable Seie x,, x IR ud β,, β 0 mit β i = gegebe. Da ist durch die Festlegug P(X = x ) =β ( i ) i i i= die Verteilug eier diskrete Zufallsvariable X bestimmt (ohe Agabe vo Ω). mit Sei eie itegrierbare Fuktio f : IR IR + + f (y) dy = gegebe. Da ist durch die Festlegug P(X [a,b]) f (y) dy b = a die Verteilug eier stetige Zufallsvariable X bestimmt (ohe Agabe vo Ω). Literatur zu Bamberg/Baur/Krapp: Kap Fahrmeir et al.: Kap. 5.3, 6.3

75 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 75 Mehrdimesioale Zufallsvariable Im Folgede werde -dimesioale Zufallsvariable betrachtet; auf die ahe liegede Verallgemeierug wird i.4 eigegage.. Grudsätzliche Struktur Seie Ω, P gegebe wie i. (X,Y) : Ω IR P(X = x,y = y) = P( { ω Ω X( ω ) = x ud Y( ω ) = y }) = Wahrscheilichkeit, dass X de Wert x ud (zugleich) Y de Wert y aimmt. P(X [a, b], Y [c,d]) = P({ ω Ω X( ω) [a,b] ud Y( ω ) [c,d]}) = Wahrscheilichkeit, dass X Werte i [a, b] ud (zugleich) Y Werte i [c, d] aimmt.

76 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 76 (X,Y) heißt -dimesioale Zufallsvariable, falls für alle a,b,c,d mit a b ud c d die Wahrscheilichkeit der Ereigisse A = { ω Ω X( ω ) [a,b] ud Y( ω ) [c,d]} bestimmt werde ka. (X,Y) heißt diskrete Zufallsvariable, falls X ud Y ur edlich oder abzählbar uedlich viele Realisatioe aufweise. Es gilt: x y P(X = x,y = y) = (X,Y) heißt stetige Zufallsvariable, falls eie itegrierbare Fuktio f : IR IR + existiert ud für alle a,b,c,d mit a b ud c d gilt: bd P(X [a, b], Y [c,d]) f (w, r)dr dw =. ac f heißt gemeisame Dichte vo (X, Y). + + Es gilt: f (w,r)dr dw =

77 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 77 Defiitio: Sei (X, Y) eie -dimesioale diskrete Zufallsvariable. Da heißt die Fuktio F : IR [0,] mit F(x, y) = P(X ],x],y ], y]) = P(X = x,y = y ) i:x i x j:y j y i j Verteilugsfuktio vo (X, Y). Defiitio: Sei (X, Y) eie -dimesioale stetige Zufallsvariable mit gemeisamer Dichte f. Da heißt die Fuktio F : IR [0,] mit F(x, y) = P(X ],x],y ], y]) x y = f (w,r)dr dw Verteilugsfuktio vo (X, Y).

78 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 78. Radverteiluge, Uabhägigkeit Sei (X, Y) eie zweidimesioale Zufallsvariable. Defiitio: Defiitio: Die gemeisame Verteilug vo (X,Y), i. Z. P (X,Y), ist gegebe durch die Agabe P(X [a, b], Y [c,d]) a b, c d. für alle a,b,c,d mit Für eie gegebee gemeisame Verteilug P (X,Y) sid durch P (X [a,b]): = P(X [a,b],y IR) P (Y [c,d]) : = P(X IR,Y [c,d]) die Radverteiluge vo X bzw. vo Y gegebe. Ist (X, Y) diskret, so gilt: P (X = x) = P(X = x,y = y) y P (Y = y) = P(X = x,y = y) x We keie Verwechsluge möglich sid, werde die Idices bei P,P weggelasse.

79 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 79 Ist (X,Y) stetig mit gemeisamer Dichte f, so sid + + f (x) = f(x,r)dr, f (y) = f(w,y)dw die Dichte der Radverteiluge vo X bzw. vo Y. Die gemeisame Verteilug impliziert die beide Radverteiluge. Verschiedee gemeisame Verteiluge köe die selbe Radverteiluge besitze. Defiitio: Sei (X, Y) eie -dimesioale Zufallsvariable. X ud Y heiße uabhägig, falls für alle a,b,c,d mit a b, c d gilt: P(X [a, b], Y [c,d]) = P (X [a,b]) P (Y [c,d]) Uabhägigkeit liegt vor, we die gemeisame Verteilug das Produkt der Radverteiluge ist. Ist (X, Y) diskret, so sid X ud Y geau da uabhägig, we gilt: P(X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y) für alle x, y.

80 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 80 Ist (X, Y) stetig mit gemeisamer Dichte f ud f,f, so sid X ud Y geau da Raddichte uabhägig, we gilt: f (x, y) = f (x) f (y) für alle x, y Sid X ud Y zwei diskrete eidimesioale Zufallsvariable mit Verteiluge X die gemeisame Verteilug X P ud P, so gilt für P(X = x,y = y): = P (X = x) P (Y = y) : X ud Y sid uabhägig. Aalog für stetige Zufallsvariable X ud Y. Y Y

81 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 8.3 Bedigte Verteiluge.3. Diskrete Zufallsvariable Sei (X, Y) eie diskrete Zufallsvariable. Defiitio: Die bedigte Verteilug vo X gegebe Y= y ist gegebe durch = > (P (Y y) 0): P(X = x Y = y) = P(X = x,y = y) P (Y = y) Die bedigte Verteilug vo Y gegebe X= x ist gegebe durch = > (P (X x) 0): P(Y = y X = x) = P(X = x,y = y) P (X = x) Es gilt: x y P(X = x Y = y) = P(Y = y X = x) = Sid X ud Y uabhägig, so gilt: P(X = x Y = y) = P (X = x) für alle x, y P(Y = y X = x) = P (Y = y) für alle x, y

82 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 8.3. Stetige Zufallsvariable Sei (X, Y) eie stetige Zufallsvariable mit gemeisamer Dichte f. Defiitio: Die Dichte der bedigte Verteilug vo X gegebe Y = y ist (f (y) > 0) f (x,y) f(x y) = (x IR) f (y) Die Dichte der bedigte Verteilug vo Y gegebe X = x ist (f (x) > 0) f (x,y) f(y x) = (y IR) f (x) Sid X ud Y uabhägig, so gilt: f (x y) = f (x), f (y x) = f (y) für alle x, y IR

83 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Satz vo Bayes Sei (X, Y) eie diskrete Zufallsvariable mit Verteilug P (X,Y) ud Radverteiluge P bzw. P. Alle auftretede bedigte Verteiluge seie wohldefiiert. P(X = x Y = y) = 0 x P(X = x 0,Y = y) P (Y = y) P(X = x 0,Y = y) P (X = x 0) = P (X = x ) P (Y = y) = 0 P(Y = y X = x 0)P (X = x 0) P (Y = y) P (Y = y) = P(X IR,Y = y) = P(X = x,y = y) = P(Y = y X = x) P (X = x) x Es gilt (Satz vo Bayes für diskrete Zufallsvariable) P(X = x Y = y) = 0 Aalog für P(Y = y 0 X = x) P(Y = y X = x 0) P (X = x 0) P(Y = y X = x) P (X = x) x

84 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik ud höherdimesioale Zufallsvariable Sei (X, Y, Z) eie 3-dimesioale Zufallsvariable, 3 (X,Y,Z) : Ω IR. Die gemeisame Verteilug P (X,Y,Z) ist aalog zu. gegebe. Die Radverteilug vo X ist gegebe durch P (X [a,b]): = P(X [a,b],y IR,Z IR) ; aalog für die Radverteiluge P,P 3 vo Y bzw. Z. Die Radverteilug vo (X, Z) ist gegebe durch P 3(X [a,b], Z [c,d]) : = P(X [a,b],y IR, Z [c,d]) aalog für die Radverteiluge vo (X,Y), (Y, Z). Die 3-dimesioale Zufallsvariable (X, Y, Z) heißt gemeisam uabhägig, falls gilt (diskreter Fall): P(X = x,y = y,z = z) = P (X = x) P (Y = y) P 3(Z = z) für alle x, y, z.

85 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 85 Es ist möglich, dass je der Zufallsvariable X, Y, Z uabhägig sid (paarweise Uabhägigkeit), jedoch keie gemeisame Uabhägigkeit besteht. Die bedigte Verteilug vo X gegebe Y= y ud Z= z ist gegebe durch (diskreter Fall) P(X = x,y = y,z = z) P(X = x Y = y, Z = z) = (x IR) P (Y = y,z = z) Die bedigte Verteilug vo (X, Z) gegebe Y gegebe durch 3 = y ist P(X = x,y = y,z = z) P(X = x,z = z Y = y) = (x,z IR) P (Y = y) Aalog für die adere Kombiatioe ud für de stetige Fall. Für m-dimesioale Zufallsvariable (X, X ) : Ω IR m m köe die obige Verallgemeieruge für die 3- dimesioale Zufallsvariable aalog durchgeführt werde.

86 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 86 Sei X eie eidimesioale diskrete Zufallsvariable. Seie X i verteilt wie X ( i m) ud sei die gemeisame Verteilug vo (X,,X m) defiiert durch P(X = x,,x = x ) = P(X = x ) P(X = x ). m m m Da sid X,,Xm gemeisam uabhägig (eifache Stichprobe zu X).

87 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 87.5 Multiomialverteilug Sei (X, X m) eie m-dimesioale Zufallsvariable. Jede eidimesioale Zufallsvariable i { } x 0,,. X i besitzt die Realisatioe Defiitio: Die Zufallsvariable (X,,X m) heißt multiomialverteilt mit de Parameter (,p, p m) mit IN, p 0, p =, falls j m j = j gilt:! P(X x,,x x ) p p p x x x = m = m = m x! x m! m für alle x { 0,,} i mit m xj j = =

88 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 88 Stadardbeispiel Aus eier Ure mit Kugel i m Farbe mit de Ateile p j ( j m) werde Kugel mit Zurücklege etomme. (X,,X m) beschreibt die Azahl der i de m Farbe gezogee Kugel. Die Radverteiluge vo (X,,X m) sid Biomialverteiluge. X j ~ B(,p j) ( j m) Für je zwei X i, X j (i j) gilt: X i ud uabhägig. Für m = gilt (p = p ) : X j sid icht P(X = x,x = x ) = P(X = x,x = x )! x = p ( p ) x!( x )! x x x = p ( p ) (B(, p ) Verteilug) x

89 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 89.6 Mehrdimesioale Normalverteilug Defiitio: Eie stetige Zufallsvariable (X, Y) heißt zweidimesioal ormalverteilt mit Parameter µ, µ IR, σ, σ IR +, ρ<, falls für die Dichte f vo (X, Y) gilt: f(w,r) =. πσσ ρ (w µ ) (r µ ) (w µ )(r µ ) exp + ρ ( ρ ) σ σ σσ Es gilt corr(x,y) = ρ: X ud Y sid geau da uabhägig, we ρ= 0 gilt. Die Formel für höherdimesioale Normalverteiluge wird i der Ergäzugsverastaltug behadelt. Literatur zu Bamberg/Baur/Krapp: Kap. 8.7 Fahrmeir et al.: Kap

90 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 90 3 Momete ud Quatile vo Zufallsvariable 3. Eidimesioale Zufallsvariable 3.. Erwartugswert Sei X eie diskrete Zufallsvariable mit Realisatioe x,x, oder eie stetige Zufallsvariable mit Dichte f Defiitio: (diskreter Fall) Erwartugswert der Zufallsvariable X heißt E(X) = x P(X = x ) i i (Bemerkug: Es wird stets ageomme, dass E(X) existiert.) i Iterpretatio: (diskreter Fall) E(X) ist ei mit Werte P(X = x i) gewichteter Mittelwert der x i der Zufallsvariable X. zusätzliche Iterpretatio aus dem Gesetz der große Zahle i II.4

91 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 9,..., x Spezialfall: X mit Werte x P(X = x i) = ( i ) E(X) = x P(X = x ) i i= = xi = x i= ( Erwartugswert hat gleiche Schwäche wie arithmetisches Mittel) i Defiitio: (stetiger Fall) Erwartugswert der stetige Zufallsvariable X heißt E(X) + = x f (x)dx (Es wird ageomme, dass E(X) existiert.)

92 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 9 q X sei Fuktio vo X E(q X) = q(x )P(X = x ) (diskreter Fall) i i + E(q X) = q(x)f (x)dx (stetiger Fall) i E(a + bx) = a + be(x) für alle a,b IR X ~ B(,p) : E(X) = p X ~ Η (L,M,): M E(X) = L X ~ Po( λ ) : E(X) =λ X ~ Re[a,b]: E(X) = a + b X ~ N( µσ, ): E(X) = µ X ~ Ex( λ ): E(X) = λ

93 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik Variaz Defiitio: (diskreter Fall) Sei X Zufallsvariable mit Erwartugswert E(X). Da heißt Var(X) = (x E(X)) P(X = x ) Variaz vo X (auch i i σ (X)). (Bemerkug: Es wird stets ageomme, dass Var(X) existiert.) i Iterpretatio: (diskreter Fall) Var(X) ist ei mit P(X = x i) gewichteter Mittelwert der quadrierte Abweichuge der x i vom Erwartugswert (Maß der Variabilität vo X)

94 Basismodul Statistik Prof. Dr. Peter Kischka, Lehrstuhl für Wirtschafts- ud Sozialstatistik 94 Spezialfall: P(X = x i) = ( i ) Var(X) = (x x) P(X = x ) Defiitio: (stetiger Fall) i i= (xi x) i= = = (empirische) Variaz der Werte x,,x Sei X Zufallsvariable mit Erwartugswert E(X). Da heißt + Var(X) = (x E(X)) f(x)dx Variaz vo X (auch σ (X)). i Var(X) = 0 X ist kostat. q X Fuktio vo X. Var(q X) = (q(x ) E(q X)) P(X = x ) i + i Var(q X) = (q(x) E(q X)) f (x)dx i