12. Integralrechnung. 12.A Das Riemann-Integral. 12. Integralrechnung 131

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1 2. Itegrlrechug 3 2. Itegrlrechug Als Abschluss der Alysis i eier Veräderliche wolle wir ch der Differetitio u och die Itegrtio betrchte. D die Itegrlrechug über R sehr verschiede vo der über C ist, werde wir us dbei ur mit reelle Itegrle beschäftige. I der Tt sid komplee Itegrle (oder llgemei die komplee Alysis) der wesetliche Ihlt der Vorlesug Eiführug i die Fuktioetheorie, die ihr im zweite Studiejhr höre köt. Die Itegrlrechug k m uf zweierlei Arte motiviere. Ist f : [, b] R eie reelle Fuktio, so köe wir die folgede beide Frgestelluge betrchte: (Flächeberechug) Wie groß ist die Fläche, die uter dem Grphe vo f liegt (im Bild ute liks gru eigezeichet) oder llgemeier, wie k m de Flächeihlt gekrümmter Fläche bereche? f () b c b (Umkehrug der Differetitio) Gibt es eie differezierbre Fuktio F : [, b] R, dere Ableitug F gleich f ist ud we j, wie köe wir ei solches F bestimme? Diese Frge ht oft uch eie schuliche Bedeutug: Beschreibt eie Fuktio z. B. die Positio eies Gegestdes i Abhägigkeit vo der Zeit, so ist die Ableitug dieser Fuktio, lso die lokle Positiosäderug pro Zeiteiheit, türlich eifch die Geschwidigkeit des Gegestdes. We wir vo der Ableitug uf die ursprügliche Fuktio zurück schließe wolle, möchte wir schulich lso us der Ketis der Geschwidigkeit zu jedem Zeitpukt die vo dem Gegestd zurückgelegte Wegstrecke bereche köe. Es ist leicht eizusehe, dss diese beide Probleme sehr eg miteider zusmmehäge: Bezeiche wir für c [,b] mit F(c) die Fläche, die über dem Itervll [,c] uter dem Grphe vo f liegt, so ist F() F(c) für [,b] türlich gerde die Fläche uter f zwische c ud (im Bild obe rechts gru eigezeichet). Für he bei c ist dies äherugsweise eie Rechteckfläche der Breite c ud Höhe f (c), d. h. es ist F() F(c) F() F(c) ( c) f (c), ud dmit f (c). c Im Grezfll c sollte lso F = f gelte, d. h. ds Problem der Flächeberechug uter dem Grphe eier Fuktio sollte utomtisch uch zur Umkehrug der Differetitio führe. Wir werde us im Folgede zuächst i Abschitt 2.A mit dem erste Problem der Flächeberechug beschäftige, ud drufhi d i Abschitt 2.B de Zusmmehg zur Umkehrug der Differetitio herstelle. 2.A Ds Riem-Itegrl Um de Flächeihlt uter dem Grphe eier Fuktio f : [, b] R utersuche zu köe, müsse wir türlich zuächst erst eiml mit eier ekte Defiitio dieses Kozepts begie. Die Idee hierfür ist eifch: Wir zerlege ds Itervll [, b] i viele kleie Teilitervlle, ud pproimiere die Fläche uter dem Grphe vo f durch Rechteckfläche über diese Teilitervlle,

2 32 Adres Gthm idem wir wie im Bild ute ls Höhe der Rechtecke eiml ds Miimum ud eiml ds Mimum vo f uf de betrchtete Teilitervlle wähle. Auf diese Art erhlte wir leicht zu berechede Fläche, die im Fll des Miimums etws kleier ud im Fll des Mimums etws größer ls die gesuchte Fläche sid. We wir die Zerlegug i die Teilitervlle immer feier mche (wie z. B. im Bild ute rechts), sollte diese Fläche d vo ute bzw. obe gege de gesuchte Flächeihlt uter dem Grphe vo f kovergiere. f () f () f () Utersumme b Obersumme b Verfeierug der Utersumme Wir wolle diese Idee u mthemtisch ekt defiiere. Um die Theorie möglichst llgemei zu hlte, wolle wir us dbei icht uf stetige Fuktioe beschräke. Dies heißt türlich, dss f uf de betrchtete Teilitervlle icht mehr otwedig ei Miimum ud Mimum ht (siehe Stz 8.26), soder dss wir im Allgemeie ur ei Ifimum ud Supremum erhlte ud ds uch ur d, we wir vorussetze, dss f beschräkt ist. Defiitio 2. (Zerleguge, Uter- ud Obersumme). Es sei f : [, b] R eie beschräkte Fuktio. () Eie edliche Teilmege Z = { 0,,..., } vo Pukte i [,b] mit,b Z bezeiche wir ls eie Zerlegug des Itervlls [, b]. Wir vereibre, dss wir i dieser Schreibweise die 0,..., immer so orde wolle, dss = 0 < < < = b gilt. Sid Z,Z zwei Zerleguge vo [,b] mit Z Z, so ee wir Z eie Verfeierug vo Z. (b) Ist Z = { 0,..., } eie Zerlegug vo [,b], so heißt US( f,z) := OS( f,z) := i= i= vo f bezüglich Z. ( i i ) if{ f () : [ i, i ]} die Utersumme, ud log ( i i ) sup{ f () : [ i, i ]} die Obersumme Beispiel 2.2. Wir betrchte die Fuktio f : [0,] R,, ud für gegebees N >0 die Zerlegug Z = {0,, 2,...,}. Ntürlich ist ds Supremum vo f uf eiem Teilitervll [ i, ] i geu der Fuktioswert i der rechte Itervllgreze, ud dmit ist die Obersumme vo f bezüglich Z (lso die für de Fll = 5 im Bild rechts eigezeichete grue Fläche) gleich ( i OS( f,z ) = i= i ) i = 3.6 () 2 i = ( + ) = + i= f () 5 Alog müsse wir für die Utersumme jeweils de Fuktioswert i der like Itervllgreze ehme, ud erhlte US( f,z ) = i= ( i i ) i = 2 i= (i ) = 2 i = ( ) = i= Lemm 2.3 (Eigeschfte vo Uter- ud Obersumme). Es seie f : [, b] R eie beschräkte Fuktio ud Z,Z zwei Zerleguge vo [,b]. D gilt: b

3 2. Itegrlrechug 33 () Ist Z eie Verfeierug vo Z, so ist US( f,z ) US( f,z) ud OS( f,z ) OS( f,z). (b) US( f,z) OS( f,z ). Beweis. () D jede Verfeierug vo Z durch edliches Hizufüge vo weitere Uterteilugspukte etsteht, geügt es, de Fll zu betrchte, dss Z durch Hizufüge eies weitere Puktes us Z etsteht, lso dss Z = { 0,..., } ud Z = { 0,,..., k,, k,..., } ist. Nch Defiitio ist d US( f,z ) = ( i i ) if{ f () : [ i, i ]} i k + ( k ) if{ f () : [ k, ]} + ( k ) if{ f () : [, k ]}. I dieser Summe sid u die beide Ifim i der zweite Zeile größer oder gleich dem Ifimum der größere Mege { f () : [ k, k ]}. Also erhlte wir wie gewüscht US( f,z ) ( i i ) if{ f () : [ i, i ]} + ( k k ) if{ f () : [ k, k ]} i k = US( f,z). Die Aussge über die Obersumme beweist m türlich log. (b) D Z Z eie gemeisme Verfeierug vo Z ud Z ist, erhlte wir mit () US( f,z) US( f,z Z ) OS( f,z Z ) OS( f,z ), wobei die mittlere Ugleichug gilt, weil ds Ifimum eier Mege immer kleier oder gleich dem Supremum ist. Aufgbe 2.4. Es seie f,g: [,b] R zwei beschräkte Fuktioe, Z eie Zerlegug vo [,b] ud c R 0. M zeige: () OS( f + g,z) OS( f,z) + OS(g,Z); (b) OS(c f,z) = c OS( f,z); (c) OS( f,z) US( f,z) OS( f,z) US( f,z). Lemm 2.3 (b) besgt isbesodere, dss jede Obersumme eie obere Schrke für lle Utersumme ist. Die Mege ller Utersumme ist lso ch obe beschräkt. Wir köe dmit ds Supremum ller Utersumme (ud geuso ds Ifimum ller Obersumme) bilde: Defiitio 2.5 (Uter- ud Oberitegrl). Es sei f : [,b] R beschräkt. D heißt vo f. UI( f ) := sup {US( f, Z) : Z Zerlegug vo [, b]} OI( f ) := if {OS( f,z) : Z Zerlegug vo [,b]} ds Uteritegrl, ud log ds Oberitegrl Aschulich bedeutet dies im Fll des Uteritegrls eifch, dss wir wie i der Eileitug zu diesem Abschitt erklärt versuche, die Utersumme (durch fortgesetztes Verfeier der Zerleguge) möglichst groß zu mche, so dss wir us letztlich immer mehr dem eigetlich gesuchte Flächeihlt uter dem Grphe vo f äher. Ds Supremum dieser Utersumme, lso ds Uteritegrl, sollte demch bereits der gesuchte Flächeihlt uter dem Grphe vo f sei. Ds gleiche gilt türlich uch für ds Oberitegrl, so dss wir isgesmt erwrte würde, dss Uterud Oberitegrl übereistimme ud gleich dem gesuchte Flächeihlt sid. Leider ist dies uter de schwche Vorussetzuge, die wir bisher f gestellt hbe, im Allgemeie icht der Fll, wie wir gleich i Beispiel 2.9 (d) sehe werde. Für beliebiges f erhlte wir zuächst ur die folgede Ugleichug. Lemm 2.6. Für jede beschräkte Fuktio f : [, b] R gilt UI( f ) OI( f ).

4 34 Adres Gthm Beweis. Ageomme, es wäre UI( f ) > OI( f ). Wir wähle d eie beliebige Zhl c R mit UI( f ) > c > OI( f ). D UI( f ) die kleiste obere Schrke für die Utersumme ist, ist c keie obere Schrke mehr, d. h. es gibt eie Zerlegug Z vo [,b] mit US( f,z) > c. Alog fide wir uch eie Zerlegug Z vo [,b] mit OS( f,z ) < c. D ist im Widerspruch zu Lemm 2.3 (b) ber US( f,z) > c > OS( f,z ). Defiitio 2.7 (Itegrierbrkeit). Es sei f : [,b] R beschräkt. Gilt d UI( f ) = OI( f ), so ee wir f (Riem-)itegrierbr, ud defiiere ds Itegrl vo f ls diese Wert 26 Bemerkug 2.8. f ()d := UI( f ) = OI( f ). () Die Schreibweise f ()d ist die Differetilschreibweise us Nottio 0.4 geleht ud soll deute, dss m sich ds Itegrl etspreched userer Kostruktio schulich ls eie uedliche Summe kleier Rechteckfläche vorstelle k. Dbei steht ds Itegrlzeiche ls stilisiertes S weiterhi für eie Summe, ud die ufsummierte Rechtecke hbe die Höhe f () ud Breite d (siehe Nottio 0.4), lso die Fläche f ()d. Die Itegrtiosvrible ist dmit log zur Lufvrible i eier Summe ud k dher uch durch eie dere Buchstbe ersetzt werde, drf ber türlich icht gleichzeitig och für etws deres (z. B. die Ober- oder Utergreze) verwedet werde: Ei Ausdruck z. B. der Form f ()d ergibt keie Si, geuso weig wie eie Summe =. (b) Es gibt mehrere Arte, de Flächeihlt uter dem Grphe eier Fuktio zu defiiere. Nebe der hier behdelte Riemsche Itegrtiostheorie über Uter- ud Obersumme, die wohl die eifchste Hergehesweise ist, ist die zweitwichtigste Möglichkeit ds sogete Lebesgue-Itegrl, ds zwr komplizierter zu defiiere ist, dfür ber llgemeier ist i dem Sie, dss eie größere Klsse vo Fuktioe itegrierbr wird. Wir werde i dieser Vorlesug jedoch ur die Riemsche Itegrtiostheorie behdel ud dher sttt vo Riem-Itegrierbrkeit eifch immer ur vo Itegrierbrkeit rede. Die Lebesguesche Itegrtiostheorie köt ihr im zweite Studiejhr i der Vorlesug Mßud Itegrtiostheorie keelere. Beispiel 2.9. () Ist f () = c (mit c R) eie kostte Fuktio, so sid die Ifim ud Suprem vo f uf lle Teilitervlle gleich c. Dmit ist d US( f,z) = OS( f,z) = c(b ) für lle Uterteiluge Z ud somit uch UI( f ) = OI( f ) = c(b ). Also ist f itegrierbr mit f ()d = c(b ) (ws türlich uch geu der Flächeihlt für [,b] uter dem Grphe vo f ist). (b) Wie i Beispiel 2.2 betrchte wir och eiml die Fuktio f : [0,] R, mit de Zerleguge Z = {0,,...,}. D ds Uteritegrl ch Defiitio eie obere Schrke für lle Utersumme (ud log ds Oberitegrl eie utere Schrke für lle Obersumme) ist, folgt us der Rechug vo Beispiel 2.2 sowie Lemm = US( f,z ) UI( f ) OI( f ) OS( f,z ) = + 2, ud dmit durch Grezwertbildug ch Stz 6.22 () 2 UI( f ) OI( f ) 2, d. h. UI( f ) = OI( f ) = 2. Also ist f itegrierbr mit 0 f ()d = 2 ws schulich j uch die Dreiecksfläche uter dem Grphe vo f ist.

5 2. Itegrlrechug 35 (c) Es sei f die (ustetige) Fuktio f : [0,] R, { für = 0, 0 für > 0. f () Für die gleiche Zerlegug Z = {0,, 2,...,} wie i (b) ist diesml US( f,z ) = 0 ud OS( f,z ) = (im Bild rechts ist die Obersumme eigezeichet). Also folgt wieder 0 = US( f,z ) UI( f ) OI( f ) OS( f,z ) =, ud dmit wie i (b) durch Grezwertbildug für 0 UI( f ) OI( f ) 0. Dmit ist f itegrierbr mit 0 f ()d = 0 ws uch schulich eileuchted ist, de uter dem eie Pukt, dem der Fuktioswert gleich ist, liegt j kei Flächeihlt größer ls Null. (d) Wir betrchte die Fuktio f : [0,] R, { für Q, 0 für / Q.. D i jedem Teilitervll vo [0, ] ch Aufgbe 4.28 sowohl rtiole ls uch irrtiole Zhle liege, ist uf jedem solche Teilitervll ds Ifimum vo f gleich 0 ud ds Supremum gleich. Dmit folgt US( f,z) = 0 ud OS( f,z) = für jede Zerlegug Z, d. h. es ist uch UI( f ) = 0 ud OI( f ) =. Also ist f icht itegrierbr mit usere Defiitioe köe wir de Flächeihlt uter dem Grphe vo f icht sivoll defiiere. Aufgbe 2.0. Zeige durch eie eplizite Berechug vo Ober- ud Utersumme, dss () 0 e d = e (b) 0 d = + + für lle R >0 ud N. (Hiweis: Aufgbe 3.32 ist für (b) ützlich.) Bevor wir die wichtigste Eigeschfte itegrierbrer Fuktioe utersuche, wolle wir zuächst och ei eifches Kriterium für die Itegrierbrkeit beweise, ds implizit uch bereits i usere Rechuge vo Beispiel 2.9 versteckt ist. Lemm 2. (Riemsches Itegrbilitätskriterium). Es sei f : [, b] R eie beschräkte Fuktio. () f ist geu d itegrierbr, we es zu jedem ε > 0 eie Zerlegug Z vo [,b] gibt mit OS( f,z) US( f,z) < ε. (b) f ist geu d itegrierbr mit Itegrl f ()d = c, we es zu jedem ε > 0 Zerleguge Z ud Z vo [,b] gibt mit OS( f,z) < c + ε ud US( f,z ) > c ε. Beweis. Es sei f itegrierbr mit f ()d = UI( f ) = OI( f ) = c. D OI( f ) ch Defiitio die größte utere Schrke für die Obersumme vo f ist, ist c+ ε 2 keie utere Schrke mehr, d. h. es gibt eie Zerlegug Z vo [,b] mit OS( f,z) < c+ ε 2. Alog gibt es eie Zerlegug Z vo [,b] mit US( f,z ) > c ε 2, ws bereits (b) zeigt. Außerdem erfüllt die Zerlegug Z Z d uch die Eigeschft vo (), de ch Lemm 2.3 () ist ( OS( f,z Z ) US( f,z Z ) OS( f,z) US( f,z ) < c + ε ) ( c ε ) = ε. 2 2

6 36 Adres Gthm Für Teil () hbe wir zu jedem ε > 0 eie Zerlegug Z wie i der Vorussetzug, ud dmit OI( f ) UI( f ) OS( f,z) US( f,z) < ε, d ds Ober- bzw. Uteritegrl eie utere bzw. obere Schrke für die Ober- bzw. Utersumme sid. Nimmt m hier de Grezwert für ε 0, so ergibt sich OI( f ) UI( f ) 0, mit Lemm 2.6 lso OI( f ) = UI( f ). Dmit ist f d itegrierbr. Für Teil (b) gilt stttdesse für jedes ε > 0 c ε < US( f,z ) UI( f ) OI( f ) OS( f,z) < c + ε, worus im Grezfll ε 0 die Ugleichugskette c UI( f ) OI( f ) c folgt, d. h. f ist itegrierbr mit Itegrl c. Als erste Awedug dieses Kriteriums wolle wir u utersuche, wie die Itegrierbrkeit mit der Stetigkeit eier Fuktio zusmmehägt. Dzu hbe wir i Beispiel 2.9 (c) scho gesehe, dss itegrierbre Fuktioe icht otwedig stetig sei müsse. Die Umkehrug ist jedoch immer richtig: Stz 2.2. Ist f : [,b] R stetig, so ist f uch itegrierbr uf [,b]. Beweis. Nch Stz 8.24 ist f beschräkt, so dss wir lso die Begriffe dieses Kpitels wede köe. Wir zeige die Itegrierbrkeit vo f mit dem Kriterium us Lemm 2. (). Es sei lso ε > 0 gegebe. D f uf dem bgeschlossee Itervll [,b] stetig ist, ist f dort ch Stz 8.37 sogr gleichmäßig stetig. Es gibt lso ei δ > 0, so dss f () f (y) < b ε für lle,y [,b] mit y < δ. Wir wähle u eie Zerlegug Z = { 0,..., } vo [,b] mit i i < δ für lle i, d. h. lle Teilitervlle solle kürzer ls δ sei. D gilt OS( f,z) US( f,z) = i= ( i i ) (sup{ f () : [ i, i ]} if{ f () : [ i, i ]} ). Als stetige Fuktio immt f uf jedem Teilitervll [ i, i ] ch Stz 8.26 eier Stelle y i ei Mimum ud eier Stelle z i ei Miimum. D y i ud z i beide im Itervll [ i, i ] liege, desse Läge j kleier ls δ ist, ist türlich uch y i z i < δ ud dmit f (y i ) f (z i ) < b ε ch Whl vo δ. Wir köe obe lso weiterreche ud erhlte ε OS( f,z) US( f,z) = ( i i ) ( f (y i ) f (z i )) < ( i i ) b = ε, i= worus u mit Lemm 2. () die Behuptug folgt. Als Nächstes wolle wir die wichtigste elemetre Eigeschfte vo itegrierbre Fuktioe herleite. Stz 2.3 (Eigeschfte des Itegrls). Es seie f, g: [, b] R itegrierbre Fuktioe ud c R. D gilt: () f + g ist ebeflls itegrierbr uf [,b], ud es gilt ( f () + g())d = (b) c f ist ebeflls itegrierbr uf [,b], ud es gilt c f ()d = c f ()d + i= f ()d. g() d. (c) Ist f g, d. h. f () g() für lle [,b], so ist f ()d g() d. (d) f ist ebeflls itegrierbr uf [,b], ud es gilt die Dreiecksugleichug f ()d f () d.

7 2. Itegrlrechug 37 Beweis. Wir verwede ds Riemsche Itegrbilitätskriterium us Lemm 2.. () D f ud g itegrierbr sid, gibt es für lle ε > 0 ch Lemm 2. (b) Zerleguge Z ud Z vo [,b] mit OS( f,z) < f ()d + ε 2 Nch Aufgbe 2.4 () ud Lemm 2.3 () folgt drus ud OS(g,Z ) < g()d + ε 2. OS( f + g,z Z ) OS( f,z Z ) + OS(g,Z Z ) OS( f,z) + OS(g,Z ) < f ()d + g()d + ε. Alog fide wir für die Utersumme Zerleguge Z ud Z mit US( f + g, Z Z ) > f ()d + g()d ε. Die Behuptug folgt u us Lemm 2. (b) gewedet uf f + g. (b) Für c = 0 ist die Aussge trivil. Es sei u c > 0. Zu gegebeem ε > 0 gibt es d wieder eie Zerlegug Z vo [,b] mit OS( f,z) < f ()d+ ε c. Dmit folgt us Aufgbe 2.4 (b) d OS(c f,z) = c OS( f,z) < c f ()d + ε. Eie loge Abschätzug bekomme wir türlich uch wieder für die Utersumme. Dmit folgt die Behuptug für c > 0 us Lemm 2. (b). Für c < 0 ergibt sich die Behuptug geuso us der log zu zeigede Aussge OS(c f,z) = c US( f,z). (c) Aus f g folgt sofort OS( f,z) OS(g,Z) für jede Zerlegug Z, ud dmit durch Übergg zum Ifimum über lle Z uch f ()d = OI( f ) OI(g) = g()d. (d) Wir zeige zuächst die Itegrierbrkeit vo f. Dzu sei wieder ε > 0 gegebe; ch Lemm 2. () köe wir eie Zerlegug Z vo [,b] wähle mit OS( f,z) US( f,z) < ε. Mit Aufgbe 2.4 (c) folgt d ber uch OS( f,z) US( f,z) OS( f,z) US( f,z) < ε, ud dmit ist f ch Lemm 2. () itegrierbr. Die Abschätzug des Itegrls erhlte wir u us (c): Wege f f ud f f ist sowohl f ()d f () d ls uch f ()d f () d, worus sich die Behuptug ergibt, d f ()d i jedem Fll eie dieser beide like Seite ist. Eie weitere sehr schuliche Eigeschft vo Itegrle ist die sogete Additivität: für jede Zwischestelle c (, b) ist die Fläche uter dem gesmte Grphe vo f : [, b] R gleich der Summe der Fläche vo bis c ud vo c bis b. Stz 2.4 (Additivität des Itegrls). Es seie f : [, b] R eie Fuktio ud c (,b). Ist f d sowohl uf [,c] ls uch uf [c,b] itegrierbr, so uch uf [,b], ud es gilt f ()d = c f ()d + c f ()d. c f ()d c b c f ()d f

8 38 Adres Gthm 27 Beweis. Der Beweis ist sehr ählich zu dem vo Stz 2.3 (). Es sei ε > 0 gegebe. D f uf [,c] ud [c,b] itegrierbr ist, gibt es Zerleguge Z bzw. Z dieser beide Itervlle, so dss c OS( f [,c],z) < f ()d + ε ud OS( f 2 [c,b],z ) < f ()d + ε c 2. Die Obersumme vo f bezüglich der Zerlegug Z Z ist d offesichtlich gerde die Summe dieser beide Teilobersumme, d. h. wir hbe c OS( f,z Z ) = OS( f [,c],z) + OS( f [c,b],z ) < f ()d + f ()d + ε, c ud eie loge Aussge uch geuso für die Utersumme. Dmit folgt die Behuptug us Lemm 2. (b). Nottio 2.5 (Itegrle mit vertuschte Greze). Bisher hbe wir Itegrle f ()d ur für b defiiert. Ist higege > b, so vereibre wir die Nottio f ()d := b f ()d, we f uf [b,] itegrierbr ist. Dies ht de Vorteil, dss die Formel us Stz 2.4 (im Fll der Itegrierbrkeit) d icht ur für c b, soder für beliebige,b,c gilt: Ist z. B. b c, so ist ch Stz 2.4 c c f ()d = f ()d + f ()d, b b ws (durch Additio vo f ()d ud f ()d uf beide Seite) mit der Kovetio ( ) wieder die gleiche Form wie i Stz 2.4 ht. c c f ()d = f ()d + f ()d c Beispiel 2.6 (Stückweise stetige Fuktioe). Es sei f : [, b] R eie Fuktio. Wir ee eie Pukt c [,b] eie Sprugstelle vo f, we die drei Zhle lim f (), c c lim f () ud f (c) f () <c >c eistiere, ber icht lle gleich sid (flls c eier der Rdpukte des Itervlls ist, gibt es de Grezwert türlich ur vo eier der beide Seite). M et f stückweise stetig, we f wie im Bild rechts stetig bis uf edlich viele Sprugstelle ist. Eie solche stückweise stetige Fuktio ist stets itegrierbr: ( ) 2 b () Es seie = 0 < < < = b die Sprugstelle ud Rdpukte des Defiitiositervlls. Auf jedem Teilitervll [ i, i ] für i =,..., ist f d eie stetige Fuktio mit evtl. bgeäderte Fuktioswerte de Räder, lso die Summe us eier stetige Fuktio ud geeigete Vielfche der Sprugfuktioe [ i, i ] R, { für = i, ud [ i, i ] R, 0 für > i { für = i, 0 für < i. D eie stetige Fuktio ud diese Sprugfuktioe ch Stz 2.2 ud Beispiel 2.9 (c) itegrierbr sid, ist ch Stz 2.3 () ud (b) uch f [i, i ] itegrierbr. (b) Nch der Additivität us Stz 2.4 ist f dmit uch uf [,b] itegrierbr. Aufgbe 2.7. Zeige, dss die folgede Fuktioe itegrierbr sid: () eie beliebige mootoe Fuktio f : [, b] R; { si (b) f : [,] R, für 0, 0 für = 0;

9 2. Itegrlrechug 39 (c) f : [0,] R, { q für Q mit gekürzter Drstellug = p q für p N ud q N >0, 0 für R\Q. Aufgbe 2.8. Für eie Zerlegug Z = { 0,..., k } eies Itervlls [,b] defiiere wir die Feiheit l(z) ls de größte Abstd m{ i i : i =,...,k} zwische zwei bechbrte Pukte vo Z. Es seie u eie Folge (Z ) vo Zerleguge Z = {,0,...,,k } vo [,b] mit lim l(z ) = 0 sowie Zwischepukte ξ,i [,i,,i ] für N ud i =,...,k gegebe. Zeige, dss d für jede stetige Fuktio f : [, b] R f ()d = lim k (,i,i ) f (ξ,i ) i= gilt, lso dss m ds Itegrl sttt mit Ober- ud Utersumme uch mit eier beliebige Zwischesumme bereche k. 2.B Stmmfuktioe Usere bisherige Ergebisse erlube es us zwr, vo viele Fuktioe die Itegrierbrkeit chzuweise, ber och icht, de Wert des Itegrls d uch eplizit zu bereche. Wie wir i der Eileitug dieses Kpitels scho motiviert hbe, ist ds zetrle Resultt für solche Berechuge die Aussge, dss die Itegrtio die Umkehrug der Differetitio ist. Um dies zu zeige, beötige wir zur Vorbereitug och ei kleies ud sehr schuliches Lemm. Stz 2.9 (Mittelwertstz der Itegrlrechug). Es sei f : [,b] R eie stetige Fuktio. D gibt es eie Pukt c [,b] mit f ()d = f (c) (b ) (d. h. die Fläche uter dem Grphe ist wie im Bild rechts gleich der Fläche eies Rechtecks, desse Höhe ei Fuktioswert f (c) uf dem betrchtete Itervll ist). M f (c) m f () c b Beweis. Nch Stz 8.26 immt f ls stetige Fuktio uf eiem bgeschlossee Itervll ei Mimum M ud Miimum m. Also folgt us Beispiel 2.9 () ud Stz 2.3 (c) m(b ) = md f ()d M d = M (b ), ud dmit m b f ()d M. D f stetig ist, gibt es u ch dem Zwischewertstz 8.22 ei c [,b] mit f (c) = b f ()d ws geu die Behuptug wr. Bemerkug Mit Nottio 2.5 gilt die Gleichug f ()d = f (c)(b ) für ei c zwische ud b uch für de Fll > b: Awede des Mittelwertstzes 2.9 uf ds Itervll [b,] liefert d zuächst b f ()d = f (c)( b), worus wir ber durch Multipliktio mit wieder die Form f ()d = f (c)(b ) erhlte köe. Stz 2.2 (Huptstz der Differetil- ud Itegrlrechug). Es sei f : [, b] R eie stetige Fuktio. D ist die Fuktio F : [,b] R, f (t)dt (bei der wir lso ds Itegrl vo f bereche ud dbei die Obergreze ls Vrible ehme) differezierbr mit F = f.

10 40 Adres Gthm Beweis. Wir zeige die Differezierbrkeit vo F i eiem Pukt c [, b] mit dem Folgekriterium. Es sei lso ( ) eie beliebige Folge i [,b]\{c} mit c. D gilt für lle F( ) F(c) = = c f (t)dt c f (t)dt f (t)dt (Stz 2.4 bzw. Nottio 2.5) = f (z )( c) (Stz 2.9 bzw. Bemerkug 2.20) für ei z zwische c ud. Bechte, dss wege c uch z c gilt, d z j immer zwische c ud liegt. D f stetig ist, hbe wir dmit F( ) F(c) lim = lim f (z ) = f (c) c ch dem Folgekriterium für Stetigkeit us Stz 8.2 (b). Wiederum ch dem Folgekriterium gemäß Stz 8.2 () bedeutet dies u ber gerde wie gewüscht F F() F(c) (c) = lim = f (c). c c Beispiel Die Vorussetzug der Stetigkeit im Huptstz 2.2 ist wirklich otwedig: Betrchte wir z. B. och eiml die ustetige Fuktio { für = 0, f : [0,] R, 0 für > 0 us Beispiel 2.9 (c), so ist hier F() = 0 f (t)dt = 0 für lle [0,]. Diese Fuktio ist zwr differezierbr, ht ls Ableitug jedoch die Nullfuktio ud icht f. Für die Itegrlberechug beötige wir lso Fuktioe, dere Ableitug die ursprüglich gegebee Fuktio ist. Wir gebe solche Fuktioe dher eie besodere Nme. Wege Beispiel 2.22 beschräke wir us dbei uf stetige Fuktioe. Defiitio 2.23 (Stmmfuktioe). Es seie D R ud f : D R eie stetige Fuktio. D heißt eie differezierbre Fuktio F : D R mit F = f eie Stmmfuktio vo f. Folgerug 2.24 (Itegrlberechug mit Stmmfuktioe). Es sei f : [, b] R eie stetige Fuktio. D gilt: () f besitzt eie Stmmfuktio. (b) Sid F ud G zwei Stmmfuktioe vo f, so uterscheide sich diese ur um eie dditive Kostte, d. h. es gibt ei c R mit F G = c. (c) Ist F eie Stmmfuktio vo f, so gilt f ()d = F(b) F(). Beweis. () folgt umittelbr us Stz 2.2: Die dort gegebee Fuktio f (t)dt ist eie Stmmfuktio vo f. (b) Nch Vorussetzug ist (F G) = F G = f f = 0. Dmit ist F G ch Folgerug 0.23 (c) kostt.

11 2. Itegrlrechug 4 (c) Nch dem Huptstz 2.2 sid sowohl F ls uch f (t)dt Stmmfuktioe vo f. Also gibt es ch (b) eie Kostte c R mit F() f (t)dt = c für lle [,b]. Eisetze vo = liefert F() = c, ud dmit F() F() = Für = b ergibt sich u die Behuptug. f (t)dt. Nottio 2.25 (Ubestimmte Itegrle). M schreibt die Differez F(b) F() i Folgerug 2.24 (c) oft uch ls [ F() ] b = oder F() b (we die Itegrtiosvrible us dem Zusmmehg klr ist, uch ls [ F() ] b = oder F() b ), ud die dortige Gleichug dmit ls f ()d = [ F() ] b. D dies für beliebige Itegrtiosgreze ud b gilt, vereifcht m diese Nottio oft och weiter ud schreibt gemäß Folgerug 2.24 eifch f ()d = F(), ( ) für die Aussge, dss F eie Stmmfuktio vo f ist. M bezeichet dies d uch ls ei ubestimmtes Itegrl. Bechte ber, dss ( ) ur eie symbolische Schreibweise ist, die erst ch dem Eisetze vo Greze zu eier echte Gleichheit i R wird! Mit F ist ämlich z. B. uch F + eie Stmmfuktio vom f, d. h. wir köe sowohl f ()d = F() ls uch f ()d = F() + schreibe ws türlich sofort zum Widerspruch F() = F() + führe würde, we m dies ls echte Gleichuge vo Fuktioe betrchte dürfte. Beispiel Wir köe u viele Itegrle kokret bereche, idem wir vom Itegrde eie Stmmfuktio suche: () Ist f () = für ei R\{ }, so ist F() = + + ch Beispiel 0.28 (d) eie Stmmfuktio vo f, d. h. mit Nottio 2.25 gilt d = + + für. Kokret köe wir dmit z. B. ds Itegrl us Beispiel 2.9 (b) uch ohe komplizierte Berechug vo Ober- ud Utersumme bestimme: Es ist eifch [ ] d = 2 2 = = 2. 0 =0 (b) Für = ist die Formel us () türlich icht wedbr. Wir hbe ber glücklicherweise mit dem Logrithmus scho eie Fuktio keegelert, dere Ableitug ch Beispiel 0.28 (c) gleich ist: Es ist lso d = log für Itegrtiositervlle i R >0 (so dss der Logrithmus dort defiiert ist). Flls ds Itegrtiositervll i R <0 liegt, köe wir ls Stmmfuktio log( ) ehme, de uch die Ableitug dieser Fuktio ist j gleich. Isgesmt ist dmit d = log.

12 42 Adres Gthm (c) Durch die Ableituge der spezielle Fuktioe, die wir i Beispiel 0.28 berechet hbe, sehe wir geuso z. B. e d = e, cos d = si ud si d = cos. Nch der Eiführug vo Stmmfuktioe wolle wir usere Itegrlbegriff u och etws erweiter. Bisher kote wir Itegrle ur uf bgeschlossee Itervlle [, b] im Defiitiosbereich des Itegrde bereche. Oft trete llerdigs Fälle uf, i dee eie oder beide Itegrtiosgreze etweder icht mehr im Defiitiosbereich liege oder ber gleich ± sid. Auch i diese Fälle k m durch eie eifche Grezwertbildug ds Itegrl defiiere. Defiitio 2.27 (Ueigetliche Itegrle). () Es sei f : [,b) R eie reelle Fuktio (wobei der Fll b = zugelsse ist). Wir ehme weiterhi, dss f uf jedem bgeschlossee Itervll [,] mit < b itegrierbr ist. Eistiert d der Grezwert f (t)dt := lim b <b f (t)dt R {± }, so ee wir ih ds ueigetliche Itegrl vo f uf [, b). Liegt dieser Grezwert zusätzlich i R, so heißt ds ueigetliche Itegrl f (t)dt koverget, derflls diverget. Alog defiiert m ueigetliche Itegrle im Fll f : (,b] R. (b) Es sei u f : (,b) R, wobei die Fälle = bzw. b = wieder zugelsse sid. Für ei c (,b) setze wir d c f (t)dt := f (t)dt + f (t)dt, c sofer die rechte Summe (vo zwei ueigetliche Itegrle gemäß ()) i R {± } eistiert. Bechte, dss diese Summe d wege der Additivität des Itegrls us Stz 2.4 icht vo der Whl des Zwischepuktes c bhägt. Wie im Fll () spricht m uch hier vo eiem (beidseitig) ueigetliche Itegrl bzw. vo der Kovergez oder Divergez dieses Itegrls. Beispiel () Für R\{ } ist d = lim = [ ] t dt = lim + t+ = t= + lim (+ ) { + für + < 0, für + > 0. Ds ueigetliche Itegrl kovergiert lso geu für <. Aschulich bedeutet dies, dss die Fläche vo bis uter dem Grphe vo i diesem Fll (wie im Bild ute liks für = 2 drgestellt) edlich ist, obwohl sie ch rechts eie uedliche Ausdehug ht. 2 f () = 2 f () = 2 3 () (b)

13 2. Itegrlrechug 43 (b) Ds ueigetliche Itegrl der Idetität f () = uf (, ) eistiert icht, de bei der Whl des Zwischepuktes 0 erhlte wir de ubestimmte Ausdruck d = 0 = lim d + [ 2 t2 = +. 0 ] 0 d = lim + lim t= 0 ] [ 2 t2 t=0 t dt + lim 0 t dt = 2 lim lim 2 Auch schulich ist im Bild obe rechts ersichtlich, dss sich dieser Flächeihlt us eier uedlich große egtive ud positive Fläche zusmmesetzt. Bechte, dss wir icht ds gleiche Ergebis erhlte hätte, we wir ds ueigetliche Itegrl ls [ ] lim t dt = lim 2 t2 = 2 lim (2 2 ) = 0 defiiert hätte! t= 28 2.C Itegrtiosregel I Abschitt 2.B hbe wir lle Stmmfuktioe zur Berechug vo Itegrle letztlich durch Zufll gefude lso weil wir us eifch eie Fuktio erier kote, dere Ableitug wir scho eiml berechet hbe ud bei der für diese Ableitug d die gegebee Fuktio heruskm. Dher müsse wir us jetzt türlich frge, wie m Stmmfuktioe bereche k, we m icht gerde zufällig eie solche sieht. Gibt es log zur Berechug vo Ableituge uch Regel, mit dee m, we m die Stmmfuktioe eiiger spezieller Fuktioe ket, uch die Stmmfuktioe z. B. ihrer Produkte, Quotiete oder Verkettuge bereche k? Leider gibt es keie solche uiverselle Regel. Dies ist uch der Grud dfür, dss i mthemtische Formelsmmluge oft seiteweise Tbelle vo Stmmfuktioe stehe, währed m für ds Differeziere ufgrud der Produkt-, Quotiete- ud Ketteregel keie derrtige Tbelle beötigt. Es gibt jedoch uch für die Itegrtio ei pr Regel, mit dee m Itegrle oft bereche k ur ist es je ch der betrchtete Fuktio mehr oder weiger schwierig (oder evtl. sogr umöglich), eie Weg zu fide, um mit diese Regel s Ziel zu komme. Wir wolle u die wichtigste derrtige Regel behdel. Die erste ist im wesetliche ur die umgekehrte Richtug der Produktregel der Differetitio: Stz 2.29 (Prtielle Itegrtio bzw. Produktitegrtio). Es seie u,v: [,b] R stetig differezierbre Fuktioe. D gilt u ()v()d = [ u()v() ] b u()v ()d (bzw. ls ubestimmtes Itegrl u ()v()d = u()v() u()v ()d). Beweis. Nch der Produktregel us Stz 0.8 (b) ist uv eie Stmmfuktio vo (uv) = u v + uv. Also ist (u ()v() + u()v ())d = [ u()v() ] b. Die Behuptug folgt d durch Subtrktio vo u()v ()d ch Stz 2.3. Beispiel Die Regel us Stz 2.29 et sich prtielle Itegrtio, weil bei der Berechug des Itegrls uf der like Seite mit Hilfe der rechte ebe eiem usitegrierte Ateil och ei deres Itegrl übrig bleibt ämlich eies, bei dem wir vo eiem Fktor des ursprügliche Itegrls die Ableitug ud vom dere eie Stmmfuktio gebildet hbe. Die Awedug dieser Regel ist lso vor llem d sivoll, we dieses eue Itegrl bereits bekt oder zumidest eifcher ls ds ursprügliche ist. Hier sid zwei Beispiele dfür.

14 44 Adres Gthm () Zur Berechug vo cos d setze wir (mit de Nottioe vo Stz 2.29) ud erhlte u() = si u () = cos v() = v () = cos d = si si d = si + cos. Wir hbe bei der Awedug der prtielle Itegrtio lso de Fktor differeziert ud de Fktor cos itegriert. Möchte m dies i der Rechug deutlich mche (ud die Fuktioe u, u, v, v icht eplizit hischreibe), so otiert m dies uch oft ls cos d = si si d = si + cos. Bechte, dss die umgekehrte Whl hier icht zum Ziel geführt hätte: Die Rechug cos d = cos + si d 2 ist zwr korrekt, ber ds eue Itegrl ist hier komplizierter ls ds ursprügliche. (b) Ds Itegrl log d lässt sich mit eiem Trick ebeflls durch prtielle Itegrtio bereche: log d = log d = log d = log. Dieser Trick fuktioiert hier, weil us der (komplizierte) Logrithmusfuktio beim Ableite die sehr viel eifchere Fuktio etsteht. Auf die gleiche Art k m übriges uch die Itegrle der Arkusfuktioe us Defiitio 9.23 bereche, d uch diese bei der Differetitio sehr viel eifcher werde (siehe Beispiel 0.28 (c)). Die zweite wichtige Itegrtiosregel ergibt sich log us der Ketteregel der Differetitio. Stz 2.3 (Substitutiosregel). Es seie f : [, b] R eie stetig differezierbre Fuktio ud g: D R eie stetige Fuktio mit f ([,b]) D. D gilt g( f ()) f ()d = f (b) f () g(y) dy. Beweis. Nch Folgerug 8.27 ist f ([, b]) ei bgeschlossees Itervll, ud dmit ht g ch Folgerug 2.24 () dort eie Stmmfuktio G. Die Ketteregel us Stz 0.0 liefert d (G f ) () = g( f ()) f (). Dmit ist die like Seite der zu beweisede Gleichug (G f ) ()d = [ G( f ()) ] b = G( f (b)) G( f ()), = ud die rechte Seite ebeflls f (b) g(y)dy = [ G(y) ] f (b) = G( f (b)) G( f ()). y= f () f () Bemerkug Die Substitutiosregel immt i der Differetilschreibweise us Nottio 0.4 eie besoders eifche Form : Setze wir y = f () ud dmit dy d = f (), ud bezeiche wir die Itegrtiosgreze mit = ud 2 = b bzw. y = f () ud y 2 = f (b), so schreibt sich die Substitutiosregel ls 2 g(y) dy y2 d d = g(y)dy, y oder log zu Nottio 2.25 eifch ls g(y) dy d d = g(y) dy,

15 2. Itegrlrechug 45 we m druf chtet, dss die Greze pssed zur Itegrtiosvrible gewählt werde. Die Regel sieht d lso eifch wie ei formles Erweiter mit d us. Beispiel Die Substitutiosregel bietet sich türlich immer d, we die zu itegrierede Fuktio eie Verkettug vo zwei dere Fuktioe ist oder ethält ud isbesodere d, we die Ableitug der iere Fuktio zusätzlich uch och ls Fktor im Itegrde steht. () Beim Itegrl e 2 d stelle wir fest, dss sich im Itegrde eie verkettete Fuktio e 2 befidet, ud dss die Ableitug 2 der iere Fuktio 2 uch (bis uf die Kostte 2) zusätzlich och ls Fktor im Itegrde steht. Wir substituiere lso y = 2, so dss dy d = 2 i der Nottio vo Bemerkug 2.32 gilt. Dmit folgt lso e 2 d = dy 2 d ey d 2.3 = e y dy = 2 2 ey = 2 e2. Im Fll eies bestimmte Itegrls hätte wir bei der Awedug vo Stz 2.3 die Greze mitsubstituiere müsse: e 2 d = dy 2 d ey d = 2.3 = 2 e y dy = [ e y ] b y= 2 = ( e b 2 ) e 2. 2 Bechte, dss der Fktor im Itegrde bei diesem Beispiel gz wesetlich dfür wr, dss die Substitutiosregel zum Ziel geführt ht: Ohe diese Fktor hätte wir mit derselbe Substitutio e 2 d = 2 dy d ey d = e y dy 2 y erhlte ws zwr uch richtig ist, ber icht weiter hilft, weil ds eue Itegrl uch icht eifcher ls ds ursprügliche zu bereche ist. I der Tt k m zeige, dss sich die Stmmfuktio vo e 2 icht durch die us bisher bekte spezielle Fuktioe usdrücke lässt. (b) Besoders eifch wird die Substitutiosregel im Fll der sogete liere Substitutio: Ist f eie beliebige stetige Fuktio, dere Stmmfuktio F wir kee, so köe wir dmit immer uch die Stmmfuktio vo f ( + b) mit,b R ud 0 bestimme, d die iere Ableitug hier eie Kostte ist: Substituiere wir y = + b, so ergibt sich wege dy d = f ( + b)d = Kokret ist lso z. B. f (y) dy 2.3 d = d d = log 2 + 3, 2 f (y)dy = F(y) = F( + b). d log ch Beispiel 2.26 (b) eie Stmmfuktio vo ist. Wir htte bereits erwäht, dss sich die Stmmfuktioe vo Fuktioe, die us usere spezielle Fuktioe zusmmegesetzt sid, im Allgemeie icht wieder uf diese Art schreibe lsse. Für mche Klsse vo Fuktioe ist dies ber doch der Fll z. B. für rtiole Fuktioe der Form p q für zwei Polyome p ud q. Wir wolle dies hier u zeige, der Eifchheit hlber llerdigs ur für de Fll, dss ds Neerpolyom q i verschiedee Lierfktore zerfällt ud größere Grd ls ds Zählerpolyom p ht. Der Trick besteht i diesem Fll dri, de Ausdruck p q ls Summe vo Brüche zu schreibe, die ur eie Kostte im Zähler ud eie eizige Lierfktor im Neer hbe. Derrtige Fuktioe der Form c lsse sich mit eier liere Substitutio wie i Beispiel 2.33 (b) d eifch zu c log itegriere. Lemm 2.34 (Prtilbruchzerlegug). Es seie N >0 ud,..., R verschiede. Ferer sei p ei reelles Polyom vo kleierem Grd ls. D gilt p() ( ) ( ) = c i p( i ) für c i := i= i ( i ) ( i i )( i i+ ) ( i )

16 46 Adres Gthm für lle R\{,..., }. Beweis. Offesichtlich ist f () := p() i= p( i ) ( ) ( i )( i+ ) ( ) ( i ) ( i i )( i i+ ) ( i ) ei Polyom vo kleierem Grd ls. Es ht ber jedes k für k =,..., ls Nullstelle, de es gilt f ( k ) = p( k ) p( k ) ( k ) ( k k )( k k+ ) ( k ) ( k ) ( k k )( k k+ ) ( k ) = 0, d ch Eisetze vo = k i der Summe über i i ( ) lle Terme mit i k eie Fktor 0 im Zähler hbe ud dmit verschwide. Nch Stz 3.25 (b) ist f lso ds Nullpolyom. Divisio vo ( ) durch ( ) ( ) liefert dmit wie behuptet p() 0 = ( ) ( ) c i. i= i Bemerkug Die Formel für die Koeffiziete c i i Lemm 2.34 lässt sich leicht merke: p() M erhält c i, idem m = i im ursprügliche Ausdruck ( ) ( i ) ( ) eisetzt bis uf de Lierfktor i im Neer, de m dbei weglsse muss, d er soste j uch zu eiem Fktor 0 im Neer führe würde. Beispiel Um ds Itegrl d zu bereche, führe wir eie Prtilbruchzerlegug des Itegrde durch: Mit = ( + )( + 2) ist ( + )( + 2) = c + + c 2 + 2, wobei sich c = = durch Eisetze vo = i +2 ud c 2 = 2 = 2 durch Eisetze vo = 2 i + ergibt. Also ist ( d = ) d = log log ch eier liere Substitutio wie i Beispiel 2.33 (b). Als letzte Recheregel zur Bestimmug vo Itegrle wolle wir u och utersuche, wie m Itegrle vo Fuktioe bereche k, die ls Grezwerte vo Fuktioefolge etstehe lso z. B. vo Potezreihe. Die Situtio ist hier sehr viel eifcher ls sie es bei der Differetitio i Stz 0.25 wr. Stz 2.37 (Vertuschbrkeit vo Itegrtio ud Grezwertbildug). Es seie f : [,b] R stetige Fuktioe, die gleichmäßig gege eie (ch Stz 8.40 d utomtisch ebeflls stetige) Grezfuktio f : [, b] R kovergiere. D gilt f ()d = ( lim f () ) d = lim f ()d, d. h. Grezwertbildug ud Itegrtio köe vertuscht werde. Beweis. Die erste behuptete Gleichheit ist türlich ichts weiter ls die Defiitio vo f. Für die zweite sei ε > 0 gegebe. Wege der gleichmäßige Kovergez vo ( f ) gibt es ei 0 N, so dss f () f () < ε 2(b ) für lle [,b] ud 0. Dmit ergibt sich ch Stz 2.3 f ()d f ()d = ( f () f ())d f () f () d = ε 2 < ε. ε 2(b ) d Nch Defiitio des Grezwerts bedeutet dies geu f ()d f ()d für, ws zu zeige wr. ( )

17 2. Itegrlrechug 47 Bemerkug 2.38 (Itegrtio vo Potezreihe). Isbesodere bedeutet Stz 2.37, dss Potezreihe (die i jedem bgeschlossee Itervll ierhlb des Kovergezgebiets ch Stz 8.38 j gleichmäßig kovergiere) gliedweise itegriert werde köe: Sid f () = k=0 c k k eie Potezreihe ud f () = k=0 c k k ihre Prtilsumme, so folgt f ()d = lim f ()d = lim [ k=0 c k k + k+ ] b = [ k=0 c k k + k+ (sofer [, b] komplett im Kovergezitervll der Potezreihe liegt), d. h. ls ubestimmtes Itegrl geschriebe ist c k f ()d = k + k+. k=0 Dies zeigt och eiml deutlich die besoders schöe Eigeschfte vo Potezreihe: Ierhlb ihres Kovergezgebiets k m mit ihe prktisch wie mit Polyome reche, d. h. sie köe wie erwrtet ddiert ud multipliziert werde (Lemm 7.4 ud Bemerkug 7.34); sie sid beliebig oft differezierbr ud ihre Ableituge köe gliedweise berechet werde (Folgerug 0.26 ud Stz.9); Itegrle köe gliedweise berechet werde; viele Fuktioe köe ls Potezreihe (ämlich ls ihre Tylor-Reihe, siehe Kpitel ) geschriebe werde. Beispiel () Wir betrchte die Fuktio f : R >0 R, log. Die Ableitug dieser Fuktio ist türlich f () =. Nu köe wir dies für < mit Hilfe der geometrische Reihe (siehe Beispiel 7.3 ()) ls f () = + ( ) = ( ) + ( )2 ( ) 3 ± schreibe. Diese Potezreihe k jetzt ber ch Bemerkug 2.38 gliedweise itegriert werde, ud drum ist ( ) ( )2 2 + ( )3 3 ( )4 4 ± für <, lso uf (0,2), eie Stmmfuktio vo f. Nch Folgerug 2.24 (b) k sich diese vo der ursprügliche Fuktio f ur um eie dditive Kostte uterscheide Eisetze vo = liefert ber uch sofort, dss diese Kostte gleich 0 ist. Also erhlte wir die Drstellug log = ( ) ( )2 2 + ( )3 3 ( )4 4 ± für lle (0,2) (die wir i Beispiel.6 () bereits für [,2] bewiese htte). (b) Eie loge Rechug köe wir uch mit der Fuktio f : (,) R, rct durchführe: Hier ist die Ableitug ud dmit ist f () = + 2 = ±, ± eie Stmmfuktio vo f, die sich vo f wiederum ur um eie dditive Kostte uterscheide k. Auch hier ist diese Kostte wege rct 0 = 0 wieder gleich 0, ud wir ] b

18 48 Adres Gthm erhlte uf (, ) ohe irgedwelche komplizierte Rechuge die Potezreihedrstellug der Arkustges-Fuktio 29 rct = ±. Aufgbe Bereche die folgede (z. T. ubestimmte bzw. ueigetliche) Itegrle: () d (b) 2 e d (c) d (d) e 2 e log(log ) d log (e) 0 π + e d (f) 2 Aufgbe 2.4. Zeige mit Iduktio über N, dss { π 2 cos 2 π d = π si 8 cos 3 d flls gerde, flls ugerde. Aufgbe 2.42 (Itegrlkriterium für Reihe). Es sei f : R R 0 eie stetige ud mooto fllede Fuktio. M zeige: () Ds ueigetliche Itegrl f ()d ht ds gleiche Kovergezverhlte wie die Reihe f (), d. h. es sid etweder beide koverget oder beide diverget. = (b) Für R kovergiert die Reihe = geu d, we >. (Dies ist eie Verllgemeierug vo Beispiel 7.3 (c) ud 7.9 uf reelle Epoete.) Gilt die Aussge () uch ohe die Vorussetzug, dss f mooto flled ist? Aufgbe Es seie,b R >0 ud f : [0,] [0,b] eie bijektive, stetig differezierbre Fuktio. M zeige: () Ist f mooto wchsed mit f (0) = 0 ud f () = b, d gilt 0 f ()d+ 0 f ()d = b. (b) Ist f mooto flled mit f (0) = b ud f () = 0, d gilt 0 f ()d = 0 f ()d. Ws bedeute diese Aussge geometrisch? Aufgbe 2.44 (Biomische Reihe). Für R defiiere wir die verllgemeierte Biomilkoeffiziete durch ( ) ( ) ( + ) :=! für lle N. Wir betrchte u uf D = (,) die Fuktio f : D R, f () = ( + ). M zeige: () Die Tylor-Reihe vo f mit Etwicklugspukt 0 ist gegebe durch T f,0 () = =0 ( ) ud kovergiert uf D. (b) Es gilt sogr ( + ) = =0 ( ) für lle D, d. h. die Tylor-Reihe stellt wirklich die ursprügliche Fuktio dr. (Tipp: Zeige zuächst, dss die Ableitug vo T f,0 f gleich 0 ist.) (c) Die Fuktio rcsi lässt sich uf D ls Potezreihe schreibe. Bereche diese Potezreihe eplizit! Ws ergibt sich us der biomische Reihe i de Spezilfälle N bzw. =?