Repetitorium Analysis I WS07/08 Uni Bonn

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1 Repetitorium Alysis I WS7/8 Ui Bo Repetitorium Alysis I... Tylor-Reihe... Stz vo de l Hospitl... 5 Uedliche Reihe ud Potezreihe Xi-Fider ud ihre Aweduge... 5 Sostiges... Dies ist ei Script zum Repetitorium Alysis I, gehlte im Witersemester 7/8 der Ui Bo vo Nioli Nowczy, Moritz Firschig ud Ato Steph. Jedes Repetitorium bestd us füf zweistüdige Übuge, die sich ihltlich der Vorlesug vo Helmut Abels ud de Übuge vo Mtthis Kurze orietierte. D bei de m Ede der Vorlesug behdelte Theme m meiste Gesprächsbedrf wr, hbe wir die sost übliche Reihefolge der Theme umgeehrt. I jeder Stude wurde meist m Afg urz eiige wichtige Sätze ud Defiitioe wiederholt ud d dzu Aweseheitsufgbe gerechet. Beides ist hier bgedruct. Aufgrud der Kürze der Zeit ist dieses Repetitorium türlich lles dere ls vollstädig. D wir viel uf Frge eigegge sid, es uch durchus sei, dss dieses Script icht hudertprozetig uf lle Repetitorie psst. Die Aufgbe wurde sorgfältig usgewählt ud überprüft, wir überehme ber eie Grtie für die Korretheit der Lösuge. Sollte jemd eie Fehler fide, so möge er sich bitte melde Subject: Bugreport RepA, To: io@ui-bo.de Tylor-Reihe Def. (Differezierbreit): Sei D R, D Häufugsput vo D ud f : D R. D heißt f differezierbr bei, flls der Limes ( + ) f ( ) f ( ) f h f f ( ) : = = h h heißt Ableitug vo f bei. Die Futio f : D R heißt differezierbr, flls sie i jedem Put D differezierbr ist. Die Futio f : D R heißt Ableitug. Die eistiert. Die Zhl f ( ) Mege ller -ml stetig uf D differezierbre Futioe otiere wir mit C ( D ). Die Mege der beliebig oft differezierbre Futioe uf D otiere wir mit C ( D). Stz (Zerlegugsstz): Sei D R, D Häufugsput vo D ud f : D R. D gilt: f ist geu d i differezierbr, flls gilt: Es eistiert ei c R ud eie i stetige Futio r : D R mit r( ) =, sodss D : f ( ) = f ( ) + c ( ) + r( )( ) Flls f bei differezierbr ist, so gilt c f ( ) A.: Beweise folgedes differezierbr. D eistiert geu eie Polyomfuti- Lemm: Sei : o : R R der Form p f D R -ml i D = ( ) p =. i i mit i= ( ) ( ) : p = f

2 Lösug (Beweis): D ei Polyom durch seie Koeffiziete bereits eideutig bestimmt ist, versuche wir zuächst diese zu ermittel. Eideutigeit: Für beliebiges gilt: ( ) ( ) ( ) i f = p ( ) = i( ) i= ( ) ( ) i i i i i= i= + = + + i! = +! + =! i i i= +! Für jede Koeffiziete gilt lso ( i ) = ( ) f Eistez: D die Futio gegebe ist, hidert us ichts dr ds Polyom p zu defiiere durch Dmit ist obiges Problem lso gelöst. p i=! ( i ) i ( ) f : = i! d heißt obiges Polyom Tylorpolyom vo f m Et- Def. (Tylorpolyom): Sei f C ( D) wiclugsput ud wird geschriebe mit [ ; ] R+ : = f T[ f ; ] ls ds zugehörige Restglied. Flls f C ( D) Tylorreihe vo f i. ( ), so heißt die Reihe T f. M bezeichet R : + D R = ( ) ( ) f T[ f ; ]( ) : =! M bechte, dss wir uch für jede dere Futio h : D R ei Restglied f h defiiere öte (m et es uch Differez). Ds Bemereswerte ist icht, dss es ei Restglied gibt, soder dss es uter gewisse Vorussetzuge eie iteresste Form ht: Stz vo Tylor: Sei f :[, ] R -ml stetig differezierbr ud uf ], [ ( + ) -te Ableitug. D gilt: Es eistiert ei ξ ], [, sodss f ( ) = T [ f ; ]( ) + R ( ), wobei [, ] T f + ( f ) ( ) ( ) ud R ( ) =! = ( + ) ( ξ) ( ) ( + )! f + = eistiere uch die + Bemerug : Wedet m de Stz vo Tylor, so erfüllt die Futio f häufig viel stärere Vorussetzuge. Häufig ist z.b. I R ei Itervll, f : I R ud I. D drf m für jedes obige Stz wede, weil d [, ] I bzw. [, ] I I. M drf dbei ber icht vergesse, dss ds ξ im Restglied vo der Auswertugsstelle bhägt. Mche Lehrbuchutore ezeiche dies dher sicherheitshlber, idem sie sttt ξ schreibe ξ ( ). Für zwei Pute

3 , y I mit y ist im Allgemeie ξ( ) ξ( y) Lösug: Wir bestimme zuächst die Ableituge:. Auch we m de Etwiclugsput durch eie dere Put b I ersetzt, erhält m im Allgemeie ei deres Restglied ξ. Bemerug : I obiger Formulierug ist der Etwiclugsput des Tylorpolyoms ud die Stelle, der wir die Futio uswerte, d.h. es gilt isgesmt ( ) ( + ) f ( ξ) ( + ) f f ( ) = + =!! Die Whl der Bezeicher für die Etwiclugsstelle ud für die Auswertugsstelle ist weit verbreitet. Geuso weit verbreitet ist ber uch eie dere Formulierug: ( ) ( + ) ( ξ) ( + ) f f + f ( + h) = h + h =!! Hier heißt der Etwiclugsput ud die Stelle, der wir uswerte, : = + h. Die beide Formulieruge sid völlig äquivlet. Bemerug : Der Stz vo Tylor ist ei qulittiver Stz, d.h. er liefert eie Eistezussge. Es eistiert ei ξ, sodss. Der Stz vo Tylor sgt icht, dss wir ds Restglied eifch weglsse dürfe. Es sgt icht, dss flls f C ( D) + die zugehörige Tylorreihe overgiere muss. Er sgt icht, dss flls die Tylorreihe overgiert, diese uch gege die Futio overgiere muss. Ds liegt dr, dss lle diese Aussge im Allgemeie flsch sid. A.: Bereche für f ( ) = + + ds Tylorpolyom [ ;] R ( ). f 4 = f = + + = : f : = f = + 4+ = = f ( ) ( ) ( ) ( ) 6 = = 6 + 4= 6 f = T f ud ds Restglied Also ist: T [ ] f ; = D f 4 ( ) =, gilt ch dem Stz vo Tylor für ds Restglied T [ f ;]( ) f ( ) Hilfe des Biomische Stzes die Klmmer i T [ f,] uflöst ud vereifcht.) R = ud somit 4 =. (M dies uch ohe de Stz vo Tylor verifiziere, idem m mit A.: Bereche für f :] ;[ R, [ ;] T f f Lösug: =? die Tylorreihe [ ; ] ( ) ( ) ( ) ( ) f = = = 4 f = ( ) =! ( ) f T f i =. Für welche gilt

4 Somit liefert die Tylorreihe ( ) f! T[ f ; ]( ) = = = = = f!! : geometrische Reihe A.4: Sei f : + = = = R R, f ( ) : l( ) =, : Beweis: Wir betrchte die erste Ableituge vo f: f = l = f ( ) = l ( ) = f = f = = f = f = f = 4 4 f = f = ( ) ( ) f =! Also: [ ] ( ) ( )! ( )! Bemerug: Flls wir jetzt wüsste, dss T[ f,]( ) l( ) =. Bereche die Tylorreihe [, ] T f. f! = = = T l, = = = = für lle < (Beweis ächstes Semester), so würde wir erhlte: ( ) l = ( ) + = Logrithmusreihe Awedug: Der Grezwert der lterierede hrmoische Reihe ist ( ) ( ) = = l = = A.5: Sei f :[ b, ] R, zwei Ml stetig differezierbr. Es sei ] b, [ dss Bh( ) ] b, [. D heißt + f ( + h) f ( ) f ( ) f ( h) ( Dh ( f) )( ) : =, ( Dh ( f) )( ) : = h Vorwärts- bzw. Rücwärtsdifferez vo f bei um h. Zeige ( Dh ( Dh ( f) ))( ) Zeige weiter mit Hilfe des Stzes vo Tylor, dss: + f + h f + f h = h h ( + ) + ( ) f h f f h h ud h R > so gewählt, = f h 4

5 Beweis: ( ( )) + f + h f f + h f f + f h Dh Dh f = Dh = h h Nch dem Stz vo Tylor gilt: ], h[ : f ( h) f ( ) f ( ) h f ( ξ ) ξ + + = ] h, [ : f ( h) f ( ) f ( ) h f ( ξ ) ξ = + Also: h h f ( + h) + f ( h) f ( ) = f ( ξ+ ) + f ( ξ ) ud somit + f ( + h) f ( ) f ( ) + f ( h) ( Dh ( Dh ( f) ))( ) = h h h f ( ξ+ ) + f ( ξ ) = f ( ) h De us h folgt ξ + ud f ( ) f ξ. h h ξ. D f stetig ist, folgt f f ( ) ξ + ud Stz vo de l Hospitl Beim Bestimme vo Grezwerte hbe wir oft ds Problem, dss wir die Grezwertsätze icht diret wede öe, weil wir eie Ausdruc der Form b = = oder = b vorliege hbe. Zähler ud Neer overgiere etweder beide gege Null oder divergiere beide bestimmt gege. D / icht defiiert ud eie reelle Zhl ist, drf m die Grezwertsätze hier icht wede. Eie Lösug für dieses Dilemm ist der Stz (vo Guillume Frçois Atoie, Mrquis de L'Hospitl): Seie f, g :] b, [ R differezierbr ud es gelte g ( ) für lle ] b, [ ud etweder A), oder D gilt: Eistiert Aloges gilt für b f ցg f = ց B), so eistiert uch ր, ] b[, g = ց, f = g = ց ց f ցg f ցg = ց f ( ) g( ) ud es gilt:, ud. Bemerug: Meist erfülle die Futioe, uf die m diese Stz wede möchte viel stärere Vorussetzuge. D der Stz für Grezübergäge jeglicher Art gilt, fidet er viele Aweduge. Es 5

6 ist isbesodere erlubt ih mehrfch zuwede, d.h. flls uch f ( ) / g ( ) die Vorussetzuge erfüllt, m mehrfch de l Hospitle. Eizige Fehlerquelle ist die Eistezussge: Flls der Limes / icht eistiert, so m i.a. eie Aussge über / f g ց mche. Folgede Übugsufgbe solle de Stz i Atio demostriere: A.: ( ) cos( ) si = = l( ) ( l ) = = = = = ep l = ep = A.: A.: A.4: e e e + e e + e = = = si cos cos ( ) l + = ep l + = ep ( + ) = ep = ep = e + A.5: A.6: ( + ) ( ) ( ) si cos = = si si si + cos si = = = cos + cos si + f g ց A.7: Sid b R,, b>, so gilt: + b ց = b Beweis: + b + b l l b + ep ep = = ց ց ց + + l l b b l l b b = ep ep = ց + b ց + b l( ) + l( b) l( ) l( b) = ep = ep ep = b 6

7 Uedliche Reihe ud Potezreihe I diesem Themebloc hbe wir wichtige Kovergezriterie für uedliche Reihe wiederholt, huptsächlich Wurzel- ud Quotieteriterium. Hier gb es große Verwirrug, weil diese Kriterie i Vorlesug, Köigsberger, Forster oder Formelsmmlug behdelt werde ud jedes Ml ders ussehe. Um die Verwirrug perfet zu mche, formuliere wir sie u ochmls ders : Wurzelriterium: Sei ( ) omplee Folge. () Kovergezriterium: < sup < q R N : : q< q, q< = overgiert bsolut (b) Divergezriterium: > sup > Es gibt eie Teilfolge ( ) icht gege Null gehe divergiert = mit Wir hbe ds so omisch ufgeschriebe, weil jetzt hoffetlich lr wird, wie die uterschiedliche Formulieruge des Wurzelriteriums miteider zusmmehäge: Die obige beide Implitiosette sid ichts deres ls eie Beweissizze des Wurzelriteriums. M drf sich drus für eie oret vorgelegte Reihe sei Wusch-Wurzelriterium zusmmebue. Um die Kovergez eier Reihe zu beweise, m sich Aussuche ob m ) <, ) sup < oder ) q R N : : q< chreche möchte. I lle drei Fälle drf m de Beweis mit Drus folgt die Kovergez vo ch dem Wurzelriterium schließe. Es sei llerdigs druf higewiese, dss i 99% ller Fälle die erste Bedigug dfür die Grezwertsätze beutze drf. Quotieteriterium: Sei () Kovergezriterium: 7 < mit Abstd m eifchste chzureche ist, weil m omplee Folge mit für fst lle N. + + < sup < R N < = + q : : q + q overgiert bsolut (b) Divergezriterium: + + > if > N > divergiert. = + : : ud +

8 Auch dieses Kriterium hbe wir mit Absicht so ufgeschriebe, dss es hoffetlich lle Formulieruge, die ihr gefude hbt, i Kosistez zueider brigt. Bemerug : Beide Sätze liefer hireichede Kriterie für bsolute Kovergez. Reihe, dee m vo vore herei sehe, dss sie icht bsolut overgiere öe, soder we ü- berhupt ur bedigt, sid für diese Kriterie lso ugeeiget. Bedigt overgete Reihe sid oft vo der Form Hier hilft oft ds Leibitz-Kriterium weiter. = ( ) Bemerug : Der im Zusmmehg mit diese Kriterie mit Abstd m meiste beggee Fehler ist der folgede: Eie Reihe ist vorgelegt, m erhält = oder + = ud trifft u Aussge über ds Kovergezverhlte der zugehörige Reihe. Wrum führt ds i die Ktstrophe? A.: Bereche zu diesem Zwec für : = ud b : =. + ud, b + b ud b Lösug: = = = = = = = b+ ( + ) = = = = b + + ( + ) b = = = = Aus Vorlesug ud Übuge wisse wir jedoch, dss = divergiert, ber b = = = overgiert = = Flls bei eies Alyse solcher Grezwerte lso herusommt, utzt us ds ichts. Ds ist bitter, ber icht zu äder. Es eistiert eie sivolle Verllgemeierug dieser Kriterie, die d uch och eie Aussge zulässt. Als ächstes m sich die Frge stelle, wieso i lle Kriterie überll sup steht, ur bei der Divergez im Wurzelriteriums icht. Wrum steht dort if ud icht uch sup? sup / A.: Zeige, dss die Bedigug + Betrchte dzu ls Gegebeispiel die Folge ud bereche : = > icht hireiched ist für Divergez vo.,flls gerde,flls ugerde 8

9 Kovergiert? sup +, if +, sup Lösug: D die Folge durch eie Flluterscheidug defiiert ist, mche wir uch eie: + ( ) für gerde = für gerde Die obere Folge overgiert gege Null, die utere gege uedlich. Die Quotietefolge ht lso zwei relevte Teilfolge ud es folgt: = < ud + if Wede wir u ds Wurzelriterium, so erhlte wir + sup wäre. De der würde über obige Folge ussge, dss sie divergiert. Nchdem wir jetzt gesehe hbe, wo die Kriterie versge, wolle wir ei pr Aufgbe reche, wo sie futioiere: => für gerde sup = sup < für ugerde Hier ht die Wurzelfolge geu zwei Häufugspute, ämlich / ud /, welche beide leier sid ls. Folglich overgiert öe: ( ) = = bsolut. Ds hätte m übriges uch eifcher hbe overgiert mit geometr. Reihe Im Quotieteriterium steht beim Divergezfll lso der if, weil der Stz mit sup flsch A.: Etscheide, ob die Reihe = Q, )!, > + ) : 6) : N overgiert oder icht für 4 : =, 4) :! = ) Beweis ) overgiert mit Quotieteriterium ( ) ( ) = 5) : = q, q <, +! + +! = = = + < +! +! + ): overgiert mit Quotieteriterium + ( ) ( ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) +!! + + = = = =!! + = = < e ( + ) + 9

10 ) overgiert mit Wurzelriterium 4 4 = = < 4) overgiert mit Wurzelriterium = = < 5) overgiert mit Wurzelriterium = q = q q< 6) Für < gilt: Für gilt: + < Divergez ch otwedigem Kriterium ov. mit geometr. Reihe ud Mjorteriterium = = + ( + ) + A.4: Bereche de Kovergezrdius der beide folgede Potezreihe l, = = + Beweis: Für die erste beutze wir Cuchy/Hdmrd (Quotieteriterium): ( ) ( ) l l l l l = = = = l + l( + ) l + l + l l( + + ) l + + l Der Kovergezrdius ist lso R=. Für die zweite beutze wir Euler (Wurzelriterium): Es gilt = = ( ( ) ) ( ) Für de rechte Ftor beutze wir ds Sdwichlemm: Isgesmt ist lso + + R = = R= +

11 4 Xi-Fider ud ihre Aweduge Viele Aufgbe sid vom Typ Fide Sie ei ξ, sodss oder erforder dies i eiem Zwischeschritt. Hilfreiche Sätze dfür sid: Zwischewertstz: Es sei f :[ b, ] R eie stetige Futio mit f ( ) f ( b) jedes y f ( ), f ( b) (bzw. y f ( b), f ( ) ) eistiert ei ξ ] b, [, sodss f. D gilt: Für ξ = y. Stz vo Rolle: Es sei f :[ b, ] R stetig ud uf ] b, [ differezierbr. Gilt f ( ) f ( b) eistiert ei ξ ] b, [, sodss f ( ξ) =. Mittelwertstz der Differetilrechug: Es sei f :[ b, ] R stetig ud uf ], [ D eistiert ei ξ ] b, [, sodss f ( b) f ( ) = f ( ξ) b Verllgemeierter Mittelwertstz: Es seie f, g :[ b, ] R stetig ud uf ], [ Ferer sei g ( ) für lle ] b, [. D ist g( b) g( ) ud es gibt ei ξ ] b, [ f ( b) f ( ) f ( ξ) = g( b) g( ) g ( ξ) =, so b differezierbr. b differezierbr., sodss Stz vo Tylor: siehe Kpitel A4. Weise ch, dss die folgede Futio eie Nullstelle besitzt: Beweis: Es gilt f R R, : f : e f = e + e ( ) = e< ud f = e+ > e f ξ =. Nch dem Zwischewertstz eistiert lso ei ξ [,], sodss A4.: Sei f :[,] R stetig mit f ( ) = f. Zeige: Es gibt ei ξ [, ] f ( ξ) = f ( ξ+ )., sodss Beweis: Defiiere g :[, ] R f ( ) f ( + ). D ist g( ) = f ( ) f ( = f f = g ) D ist etweder g( ) = g( ) = ud wir setze zb ξ : =. Oder es ist o.e. ( ) ( g ) < ud ch dem Zwischewertstz eistiert ei ξ [, ] mit g( ξ) f ( ξ) f ( ξ ) I jedem Fll gilt f ( ξ) = f ( ξ+ ) g >. D ist = = +.

12 A4.: Sei f :[ b, ] R eie stetige ud i ], [ verschiedee Nullstelle. D ht b -ml stetig differezierbre Futio mit + f uch och eie Nullstelle i ], [ Beweis: Es seie,,,, + [ b, ] die f ( ) f ( + ) b. + Nullstelle vo f. Es gilt lso, = =, = Wede m uf je zwei dieser Stelle de Stz vo Rolle, so folgt: Es eistiere,, ] [,, b,, lle prweise verschiede, sodss f ( ) f, = =, = Die erste Ableitug ht lso Nullstelle. Wede wir uf je zwei dieser eue Stelle de Stz vo Rolle, so folgt: Es eistiere,,,, ] b, [, sodss f ( ) f ( ) Die zweite Ableitug ht lso, = =, = erhlte wir lso: Die -te Ableitug ht eie Nullstelle. A4.4: Beweise die folgede Ugleichuge (i) si( ) si y y (ii) p p p p p y y py ( y ) (iii) rct( ) rct( y) y (iv) Nullstelle. Uter -fcher Awedug des Stzes vo Rolle für y >, p> b b b l b, b> > Beweis: Strtegie ist jedes Ml der Mittelwerstz der Differetilrechug: (i) Für si( ) erhlte wir: si( ) si( y) = si ( ξ) y = cos( ξ) y y p p (ii) Für f ( ) : = ist f ( ) p = ud d p>, ist f mooto steiged. Folglich gilt: y p pξ = f ( ξ) = = f ( ξ) = pξ py y p p p p p p rct rct y = rct ξ y = y y + ξ (iii) b b = = = ξ b b b. b ξ (iv) Es ist l l( b) l( ) l ( ξ)( b ) ud ußerdem gilt: b Lipschitz- A4.5 (Schrestz): Sei f :[ b, ] R stetig differezierbr. D ist f uf [, ] stetig, d.h. es eistiert ei L>, sodss für lle, y [ b, ] gilt: f ( ) f ( y) L y Beweis:

13 ( ξ) = : L ( ξ) f f y = f y m f y = L y ξ [ b, ] ( ) : Hier verwede wir de Mittelwertstz der Differetilrechug. ( ) : Nch Vorussetzug ist f stetig differezierbr. Also immt die stetige Futio f uf dem Komptum [ b, ] ihr Mimum. Ds ist übriges ei sehr hilfreiches Kriterium, um Lipschitz-Stetigeit vo Futioe chzuweise. 5 Sostiges Aufgrud vielfältiger Nchfrge hier ochmls: Stz: Es sei ( ) omplee Folge ud es sei A = { h C h } : ist prtieller Grezwert (Häufugsput) vo D gilt: A= A, d.h. A ist bgeschlosse. Beweis: Flls A= ist ichts zu zeige. Sei dher A. Wir müsse zeige, dss A lle seie Häufugspute ethält. Ageomme, A wäre icht bgeschlosse. D eistiert ei h C, sodss gilt: (i) h ist Häufugsput vo A (ii) h A Dies führe wir u i zwei Schritte zum Widerspruch. Eigeschft (ii) bedeutet, dss h ei prtieller Grezwert vo ist. Folglich eistiert ei ε >, sodss i U ( h) ε ur edlich viele Folgeglieder vo ( ) liege. Eigeschft (i) bedeutet, dss i Uε ( h) ei Elemet us A liegt mit h. Also: Uε( h) A. D A ist lso ei prtieller Grezwert vo ( ). Defiiert m r : = ( ε h ) so gilt dher, dss i Ur( ) Uε( h) uedlich viele Glieder vo ( ) liege müsse. Somit müsse uch i Uε ( h) uedlich viele Glieder vo ( ) liege müsse. Widerspruch zu (i)!

14 Repetitorium Alysis I WS 8/9 Repetitorium Alysis I... Reihe ud Potezreihe.... Potezreihe... 6 Stz vo de l Hospitl... 7 Stetigeit & Zwischewertstz Eurs: Präditelogi.... Xi-Fider... 4 Futioefolge... 5 Dies ist ei Script zum Repetitorium Alysis I, gehlte i de Ferie des Witersemesters 8/9 der Ui Bo vo Nioli Nowczy, Elis Esselbor ud Simo Mrett. Jedes Repetitorium bestd us füf zweistüdige Übuge, die sich ihltlich der Vorlesug vo Werer Müller ud de Ü- buge vo Arthur Wotze orietierte. Die Aufgbe wurde sorgfältig usgewählt ud überprüft, wir überehme ber eie Grtie für die Korretheit. Sollte jemd eie Fehler fide, so möge er sich bitte melde Subject: Bugreport RepAWS8/9, To: io@ui-bo.de Reihe ud Potezreihe I diesem Themebloc hbe wir wichtige Kovergezriterie für uedliche Reihe wiederholt, huptsächlich Wurzel- ud Quotieteriterium. Hier gb es große Verwirrug, weil diese Kriterie i Vorlesug, Köigsberger, Forster oder Formelsmmlug behdelt werde ud jedes Ml ders ussehe. Um die Verwirrug perfet zu mche, formuliere wir sie u ochmls ders : Wurzelriterium: Sei ( ) omplee Folge. () Kovergezriterium: < sup < q R : N : : q< q, q< = overgiert bsolut (b) Divergezriterium: > sup > Es gibt eie Teilfolge ( ) icht gege Null gehe divergiert = mit Wir hbe ds so omisch ufgeschriebe, weil jetzt hoffetlich lr wird, wie die uterschiedliche Formulieruge des Wurzelriteriums miteider zusmmehäge: Die obige beide Implitiosette sid ichts deres ls eie Beweissizze des Wurzelriteriums. M drf sich drus für eie oret vorgelegte Reihe sei Wusch-Wurzelriterium zusmmebue. Um die Kovergez eier Reihe zu beweise, m sich ussuche, ob m ) <, ) sup < oder ) q R : N : : q<

15 chreche möchte. I lle drei Fälle drf m de Beweis mit Drus folgt die Kovergez vo ch dem Wurzelriterium schließe. Es sei llerdigs druf higewiese, dss i 99% ller Fälle die erste Bedigug dfür die Grezwertsätze beutze drf. Quotieteriterium: Sei () Kovergezriterium: < mit Abstd m eifchste chzureche ist, weil m omplee Folge mit für fst lle N. + + < sup < < = + q R N : : q + q overgiert bsolut (b) Divergezriterium: + + > if > N > divergiert. = + : : ud + Auch dieses Kriterium hbe wir mit Absicht so ufgeschriebe, dss es hoffetlich lle Formulieruge, die ihr gefude hbt, i Kosistez zueider brigt. Bemerug : Beide Sätze liefer hireichede Kriterie für bsolute Kovergez. Reihe, dee m vo vore herei sehe, dss sie icht bsolut overgiere öe, soder we ü- berhupt ur bedigt, sid für diese Kriterie lso ugeeiget. Bedigt overgete Reihe sid oft vo der Form Hier hilft oft ds Leibitz-Kriterium weiter. = ( ) Bemerug : Der im Zusmmehg mit diese Kriterie mit Abstd m meiste beggee Fehler ist der folgede: Eie Reihe ist vorgelegt, m erhält = oder + = ud trifft u Aussge über ds Kovergezverhlte der zugehörige Reihe. Wrum führt ds i die Ktstrophe? A: Bereche zu diesem Zwec für : = ud b : =. + ud, b + b ud b Lösug: = = = + + +

16 = = = = b+ ( + ) = = = = b + + ( + ) b = = = = Aus Vorlesug ud Übuge wisse wir jedoch, dss = divergiert, ber b = = = + overgiert = = Flls bei eies Alyse solcher Grezwerte lso herusommt, utzt us ds ichts. Ds ist bitter, ber icht zu äder. Es eistiert eie sivolle Verllgemeierug dieser Kriterie, die d uch och eie Aussge zulässt. Als ächstes m sich die Frge stelle, wieso i lle Kriterie überll sup steht, ur bei der Divergez im Wurzelriteriums icht. Wrum steht dort if ud icht uch sup? sup / A: Zeige, dss die Bedigug + Betrchte dzu ls Gegebeispiel die Folge ud bereche sup + : =, if > icht hireiched ist für Divergez vo.,flls gerde,flls ugerde, sup Lösug: D die Folge durch eie Flluterscheidug defiiert ist, mche wir uch eie: + + = für gerde = ( + ) = für gerde Die obere Folge overgiert gege Null, die utere gege uedlich. Die Quotietefolge ht lso zwei relevte Teilfolge ud es folgt: + if = < ud Wede wir u ds Wurzelriterium, so erhlte wir, = + sup => für gerde sup = sup < für ugerde Hier ht die Wurzelfolge geu zwei Häufugspute, ämlich / ud /, welche beide leier sid ls. Folglich overgiert öe: ( ) = = bsolut. Ds hätte m übriges uch eifcher hbe overgiert mit geometr. Reihe Aufgrud der bsolute Kovergez drf die Reihe umsortiert werde ud m sogr eplizit de Grezwert bestimme:

17 = + = = = = = = = + = + = + = = = 4 9 Im Quotieteriterium steht beim Divergezfll lso der if, weil der Stz mit sup flsch wäre. De der würde über obige Folge ussge, dss sie divergiert. Nchdem wir jetzt gesehe hbe, wo die Kriterie versge, wolle wir ei pr Aufgbe reche, wo sie futioiere: A: Etscheide, ob die Reihe N overgiert oder icht für ) : = Q, )!, > + 6) : ): overgiert mit Quotieteriterium + ( )!! ! = ) Beweis ) overgiert mit Quotieteriterium ( ) 4 : =, 4) ( ) ( ) : = 5) : = q, q <, +! + +! = = = + < +! +! = = = =!! + ( + ) = = < e ( + ) + ) overgiert mit Wurzelriterium 4 4 = = < 4) overgiert mit Wurzelriterium = = < 5) overgiert mit Wurzelriterium = q = q q< 6) Für < gilt: Für gilt: + < Divergez ch otwedigem Kriterium ov. mit geometr. Reihe ud Mjorteriterium = = + ( + ) + 4

18 A4: Bereche de Kovergezrdius der folgede Potezreihe l, =, = + si 9 = + Beweis: Für die erste beutze wir Cuchy/Hdmrd (Quotieteriterium): ( ) ( ) l l l l l = = = = l + l( + ) l + l + l l( + + ) l + + l Der Kovergezrdius ist lso R=. Für die zweite beutze wir Euler (Wurzelriterium): Es gilt = = ( ( ) ) ( ) Für de rechte Ftor beutze wir ds Sdwichlemm: Isgesmt ist lso + + R = = R= + Bei der dritte substituiere wir zuächst ereut mit dem Wurzelriterium: : y = ud lysiere y = si + 9 = = si si 9 + si Für de rechte Ausdruc verwede wir ereut ds Sdwichlemm 8 si Also ist der Kovergezrdius der ursprügliche Potezreihe R= 9 = = si + 9 Isbesodere für Reihe, dee m sofort sieht, dss sie icht bsolut overgiere, ber mögli- eie reelle mooto fl- cherweise bedigt, eiget sich ds Leibiz-Kriterium: Es besgt: Sei lede Nullfolge. D overgiert die lterierede Reihe = ( ) Die Mootoie wird oft vergesse. Ds ftl sei, wie ds Beispiel 5

19 zeigt. De die Reihe divergiert., gerde, : = sost = = =. Potezreihe Die Behdlug vo Potezreihe verhält sich icht großrtig ders. Die Frgestellug ist die folgede. Gegebe sei eie Reihe der Form wobei Der Kovergezrdius R lso berechet werde mittels R sup = Cuchy-Hdmrd = eie omplee Folge ud z C ist. Gesucht ist der Kovergezrdius, d.h. z sup R> z C : z < R overgiert = Diese öe wir u mit obige Kriterie ebeflls bestimme: Hält m ei z C fest, so ergibt beispielsweise ds Wurzelriterium die Forderug > sup sup sup z = z z < Aus dem Wurzelriterium folgt lso, dss die Potezreihe overgiert für lle z C mit z R divergiert für lle z R >. Über ds Kovergezverhlte uf dem Rd { z R} < ud = zuächst ichts usgesgt werde. Altertiv uch ds Quotieteriterium gewedet werde. Dieses liefert die Forderug + + z + + > = z z < z Der Kovergezrdius lso uch berechet werde mittels R + = / M bechte, dss ds ur futioiert, flls + Euler wirlich overgiert. Es hier icht mit Häufugspute gerbeitet werde, weil ds Quotieteriterium die i.a. verschiedee Häufugspute if + + sup zur Etscheidug über Kovergez bzw. Divergez verwedet. 6

20 Stz vo de l Hospitl Beim Bestimme vo Grezwerte hbe wir oft ds Problem, dss wir die Grezwertsätze icht diret wede öe, weil wir eie Ausdruc der Form b = = oder = b vorliege hbe. Zähler ud Neer overgiere etweder beide gege Null oder divergiere beide bestimmt gege. D / icht defiiert ud eie reelle Zhl ist, drf m die Grezwertsätze hier icht wede. Eie Lösug für dieses Dilemm ist der Stz (vo Guillume Frçois Atoie, Mrquis de L'Hospitl): Seie f, g :] b, [ R differezierbr ud es gelte g ( ) für lle ] b, [ ud etweder A), oder D gilt: Eistiert Aloges gilt für b f ցg ց f = B), so eistiert uch ր, ] b[, ց g =, f = g = ց ց f ցg f ցg = ց f ( ) g( ) ud es gilt:, ud. Bemerug: Meist erfülle die Futioe, uf die m diese Stz wede möchte viel stärere Vorussetzuge. D der Stz für Grezübergäge jeglicher Art gilt, fidet er viele Aweduge. Es ist isbesodere erlubt ih mehrfch zuwede, d.h. flls uch f ( ) / g ( ) die Vorussetzuge erfüllt, m mehrfch de l Hospitle. Eizige Fehlerquelle ist die Eistezussge: Flls der Limes / icht eistiert, so m i.a. eie Aussge über / f g ց mche. (Siehe Aufgbe 8) Flls übriges, ud stetig differezierbr sid, d ist der Beweis sehr eifch: f g ց f g sogr i eier offee Umgebug vo defiiert f f f ( ) f f = = = g( ) g( ) g( ) g ( ) g Folgede Übugsufgbe solle de Stz i Atio demostriere: A: ( ) cos( ) si = = A: ( ) ( ) l ( l ) = = = = A: ( ) = ep l = ep = 7

21 A4: e e e + e e + e = = = si cos cos ( ) l + = ep l + = ep ( + ) = ep = ep = e + A5: A6: ( + ) ( ) ( ) si cos = = si si si + cos si = = = cos + cos si + A7: Sid b R,, b>, so gilt: + b ց = b Beweis: + b + b l l b + ep ep = = ց ց ց + + l l b b l l b b = ep ep = ց + b ց + b l( ) + l( b) l( ) l( b) = ep = ep ep = b A8: Zeige, dss die Umehrug des Stzes vo de l Hospitle i.a. flsch ist, idem du für f, g : R R die Ausdrüce berechest. Lösug: : = + si( ), : f f g f + cos( ) = eistiert icht, ber g f si( ) = + = eistiert deoch. g, 8 g = f g

22 A9: Zeige, dss + = ep( ) Beweis: Es ist ud es gilt ch de l Hospitle + = ep l + = ep l + l + + l + = = = = + Dher mit der Stetigeit vo ep + = ep l + = ep( ) Stetigeit & Zwischewertstz Sei für diese Abschitt D C, f : D C, D. Def. (ε -δ -Stetigeit): Es heißt f ε -δ -stetig bei, flls gilt ε > : δ > : z D : z < δ f z f < ε Def. (Folgestetigeit): Es heißt f folgestetig bei, flls gilt = f z f z Stz: f ist ε -δ -stetig bei f ist folgestetig bei. Dher sge wir i diesem Fll uch schlicht ud ergreifed f ist stetig bei. Wir sge f ist stetig, flls f i jedem D stetig ist. Def. (gleichmäßig stetig): Es heißt f gleichmäßig stetig, flls gilt ε > : δ > : z, z D : z z < δ f z f z < ε Def. (Lipschitz-stetig): Es heißt f Lipschitz-stetig, flls gilt Stz: Es gelte die Implitioe L R : z, z D : f z f z L z z Lipschitz-stetig gleichmäßig stetig stetig 9

23 . Eurs: Präditelogi Der Stz, dss us gleichmäßiger Stetigeit ormle Stetigeit folgt, ht mit Alysis eigetlich gr ichts zu tu, soder bsiert uf eier Grudttsche des gesude Mescheverstdes bzw. der so gete Präditelogi zweiter Stufe ( PL ). D diese Ttsche i der Alysis öfter ml vorommt, wolle hier urz druf eigehe. Es seie M, K zwei Mege ud es sei P ei zweistelliges Prädit uf M K, d.h. eie Aussge, die uf ei Tupel ( m, ) M K zutreffe oder icht. Beispiel: M : = { Mäuse}, K : = { Ktze}, P( m) = m, : " wird vo gefresse" Die Präditelogi zeichet sich gegeüber der Aussgelogi ddurch us, dss sie ebe uch solche Prädite zulässt ud drüber hius Qutore ud Mege. I ihr drf m lso Aussge wie etw Der wirlich iteresste Fll tritt uf, we wir eie All- ud eie Eistzqutor vorliege hbe. D gilt ämlich ur m M : K : P m, formuliere ud utersuche. Nhezu die gesmte Mthemti but uf der PL uf. Selbst we m sich icht uf Logi ud Megelehre spezilisiere will, ist es hilfreich, die folgede Schverhlte zur Ketis geomme zu hbe: Wir stelle us die Frge, ob zwei Qutore hitereider ommutiere. Es gilt etw K m M P( m) m M : K : P m, : :, d.h. zwei Allqutore dürfe i ihrer Reihefolge vertuscht werde. Selbiges gilt uch für Eistezqutore: K m M P( m) m M : K : P m, : :, K m M P( m) m M : K : P m, : :, Ds m sich lrmche, idem m die Aussge eiml i türlicher Sprche hischreibt ud blumig usschmüct. Die lie Aussge bedeutet: Für jede Mus eistiert eie Ktze, sodss diese Mus vo der Ktze gefresse wird. Der eistetilistische Kmpf der Mus mit der Welt fidet lso immer ei trgisches Ede. Die rechte Aussge bedeutet: Es gibt eie Ktze, sodss jede Mus vo dieser gefresse wird. Es eistiert lso eie riesige fette Mostertze, die sämtliche Mäuse uf der Welt verschligt. Wir stelle us ds so vor, dss jede Mus wird vo ei ud derselbe Ktze gefresse wird. Formllogisch wäre es hier llerdigs icht usgeschlosse, dss es mehrere solcher Mostertze gibt, d wir j i der rechte Aussge icht! K... geschriebe hbe. Dieses Problem hier prtisch gesehe ber icht uftuche, weil mehrere Mostertze sich d uch gegeseitig ihre bereits verspeiste ud verdute Mäuse us de Bäuche wegfresse müsste. Der etscheidede Put ist hier icht, ob diese Aussge whr sid oder icht, soder er besteht dri, dss m erstes eret, dss die lie ud die rechte Aussge völlig verschiede sid ud zweites, dss trotzdem die lie us der rechte folgt: We eie Mostertze lle Mäuse uffrisst, d wird isbesodere jede Mus vo eier Ktze gefresse. Bei der lie Aussge ist es erlubt, dss es sich bei verschiedee Mäuse uch um verschiedee Ktze hdelt, bei der rechte Aussge gibt es eie Ktze, die lle Mäuse frisst. Es ist wichtig zu verstehe, dss lle drei Gesetze zur Kommutierbreit vo Qutore, die wir hier ufgeschriebe hbe, icht us der Aiomti der Alysis lleie bewiese werde öe. Die Alysis ist wie fst lle dere mthemtische Theorie uch - errichtet uf der Logi ud der Megelehre ud wir verwede hier dere Resultte. Übriges folge bei eier systemtische Aiomtisierug der Präditelogi diese Gesetze reltiv diret us de Aiome; es hdelt sich icht um tief liegede Theorie.

24 Zurüc zur Stetigeit: Schreibt m die Defiitioe vo gleichmäßiger Stetigeit ud gewöhlicher ε δ -Stetigeit hi, so sieht m, dss sie ch obige Überleguge useider folgedermße hervorgehe: Sei : f D C, d gilt: Beweis: ) Die Stetigeit vo f sieht m m beste durch Folgestetigeit ud Grezwertsätze: f ( z ) f ( z ) D : ε > : δ > : z D : z < δ f z f < ε ε > : z D : δ > : z D : z z < δ f z f z < ε ε > : δ > : z D : z D : z z < δ < ε Bei der erste Äquivlez hbe wir ur die vorderste beide Allqutore vertuscht ud die Vri-, z z, z durchgeführt. Im zweite Schritt hbe wir die uterstrichee bleumbeeug Qutore vertuscht ud die obige Überlegug gewdt. Um zu zeige, dss uch wirlich ei mthemtischer Uterschied zwische gleichmäßiger Stetigeit ud ormler Stetigeit besteht, betrchte wir folgedes Beispiel, bei dem uch gleich mit uf die Lipschitz-Stetigeit eigegge wird. Beispiel: Zeige, dss die Umehruge der Implitioe Lipschitz-stetig gleichmäßig stetig stetig i.a. flsch sid. Betrchte dzu die Futioe f : R R, Zeige () f ist stetig, ber icht gleichmäßig stetig (b) g ist gleichmäßig stetig, ber icht Lipschitz-stetig ud : R : f = = = = f g R R, Jedoch ist f icht gleichmäßig stetig. De geomme, dies wäre der Fll: D gäbe es zu ε : = ei δ >, sodss Wähle u ei beliebiges festes, R : < δ < δ > δ. D gilt für : δ δ = + = < δ Folglich müsste ufgrud der gleichmäßige Stetigeit mittels dritter biomischer Formel ud ch Whl vo : = +, dss. < gelte. Es gilt ber dererseits δ δ δ δ δ = + = = ( + ) = δ+ > δ > δ = 4 δ Widerspruch! b) Zuächst ist g gleichmäßig stetig: Sei ε >, d gilt mit δ : = ε, R : < δ g g = δ= ε ( ) : Wir verwede hier die Subdditivität der Wurzel, welche m wie folgt eisehe : Es sei zuächst o.e.. D gilt mittels biomischer Formel ( )

25 Dss die letzte Ugleichug gilt, m so eisehe: = + = + + de.v. ist. Eie loge Abschätzug ist gültig, flls ud somit gilt die Aussge uch mit de Beträge. Außerdem ist g icht Lipschitz-stetig. De wählt m eifch : = so folgt Folglich ist durch ei edliches L R beschrät. = =. Xi-Fider Viele Aufgbe sid vom Typ Fide Sie ei ξ, sodss oder erforder dies i eiem Zwischeschritt. Hilfreiche Sätze dfür sid: Zwischewertstz: Es sei f :[ b, ] R eie stetige Futio mit f ( ) f ( b) jedes y f ( ), f ( b) (bzw. y f ( b), f ( ) ) eistiert ei ξ ] b, [, sodss f. D gilt: Für ξ = y. Stz vo Rolle: Es sei f :[ b, ] R stetig ud uf ] b, [ differezierbr. Gilt f ( ) f ( b) eistiert ei ξ ] b, [, sodss f ( ξ) =. Mittelwertstz der Differetilrechug: Es sei f :[ b, ] R stetig ud uf ], [ D eistiert ei ξ ] b, [, sodss f ( b) f ( ) = f ( ξ) b Verllgemeierter Mittelwertstz: Es seie f, g :[ b, ] R stetig ud uf ], [ Ferer sei g ( ) für lle ] b, [. D ist g( b) g( ) ud es gibt ei ξ ] b, [ f ( b) f ( ) f ( ξ) = g( b) g( ) g ( ξ) =, so b differezierbr. b differezierbr., sodss Die folgede Aufgbe beschäftige sich mit Stetigeit im Allgemeie ud demostriere isbesodere de Zwischewertstz i Atio. Die letzte Aufgbe beziehe sich uf de Stz vo Rolle ud de Mittelwertstz. A Seie f, g : R R stetig ud f = g Q. Zeige, dss d f g. Q Beweis: Sei R beliebig. Flls Q, gilt f ( ) = g( ) ch Vorussetzug. Asoste ist R= Q ud es gibt eie Folge q =. Verwedet m Folgestetigeit, so erhält m q rtioler Zhle mit

26 = ( ) = = = ( ) = f f q f q g q g q g A Sei f : R R stetig, R ud f ( ) >. Zeige: Es gibt ei δ >, sodss f Bδ >. Beweis: D f ( ) > eistiert ei ε >, sodss f ( ) + ε > f ( ) > f ( ) ε > Wege der Stetigeit vo f eistiert lso uch ei δ >, sodss f Bδ >. A Bestimme de Grezwert vo + für. Beweis: Verwedet m die Stetigeit der Wurzel ud die dritte biomische Formel, so erhält m ( + )( + + ) + = + = = = = Beweis: Es ist + + A4 Weise ch, dss die folgede Futio eie Nullstelle besitzt: f : Also gilt ch dem ZWS: [ ] R R, : f = e + e f ( ) = >, f ( ) = e< e ξ, : f ξ =. A5 Sei f :[ b, ] R stetig ud es gelte Zeige: ξ [ b] f ( ξ), : =. f ( ) f ( b ) < Beweis: Folgt diret us dem ZWS d etweder oder umgeehrt. f ( ) > ud f ( b ) < A6 Seie f, g :[ b, ] R stetig mit g( ) = f ( b) ud g( b) = f ( ) Zeige: ξ [ b, ]: f ( ξ) = g( ξ) Beweis: Es gilt ( f g)( ) = f ( ) g( ) = g( b) f ( b) = ( f g)( b)

27 A7 Sei f :[ b, ] [ b, ] stetig. Zeige: ξ [ b, ]: f ξ = ξ Beweis: Defiiere g :[ b, ] R durch : g = f Fll : Ist f ( ) = oder f ( b) b Fll : Es ist f ( ) > ud f ( b) < b D ist g( ) f ( ) Aus ZWS folgt die Behuptug. =, d wähle wir hlt ξ = oder = >, g( b) = f ( b) b< ξ = b A8 Jedes reelle Polyom ugerde Grdes ht eie Nullstelle. Beweis: Sei p( ) Folglich eistiere, eie Nullstelle. A9 Sei :[, ] + =, N, ei solches Polyom. D gilt = + + p( ) = = = = + + p( ) = = = = b R, sodss p( ) > ud p b <. Nch dem ZWS eistiert lso uch b, zwei ml stetig differezierbre Futio mit ver- f b R eie stetige ud i ] [ schiedee Nullstelle. D ht f uch och eie Nullstelle i ] b, [. Beweis: Hier verwede wir de Stz vo Rolle: Es gebe drei verschiedee ξ, ξ, ξ [ b, ], sodss f ( ξ) = f ( ξ) = f ( ξ) = D eistiere ch dem Stz vo Rolle zwei verschiedee η, η [ b, ] f ( η) = f ( η) = Ereute Awedug des Stzes vo Rolle liefert schließlich ei γ [ b, ] f ( γ) = A Eie stetig differezierbre Futio f :[ b, ] R ist Lipschitz-stetig. Beweis: Nch dem Mittelwertstz gilt ( ξ) [ b, ] ( ξ), sodss, sodss f f y = f y m f y Dss ds Mimum uch wirlich geomme wird, folgt us der Stetigeit vo f ud der Komptheit vo [ b, ]. ξ 4

28 A Zeige für, y R si ( ) si y y Beweis: Nch dem Mittelwertstz gilt ( ξ) ( ξ) si si y = si y = cos y y 4 Futioefolge Def. (putweise / gleichmäßig overget): Sei D C. ) Eie Folge vo Futioe : I Qutore: f D C overgiert putweise gege : z D : f z = f z z D : ε > : N : : f z f z < ε b) Die Folge f : D C overgiert gleichmäßig, flls gilt ε > : N : : z D : f z f z < ε Auch hier gilt ch präditelogische Grudttsche f overgiert gleichmäßig f overgiert putweise Die Umehrug ist i.a. flsch. f D C, flls gilt: Es gibt u mehrere Sätze, welche us lytische Eigeschfte der f Rücschlüsse uf die Eigeschfte vo f zulsse. Am wichtigste ist für us der Stz: Sei f : D R eie gleichmäßig overgete Folge stetiger Futioe. D ist uch der Limes f : D R eie stetige Futio. f D R. Utersuche, ob f putweise bzw. gleichmäßig gege ei f : D R overgiert Sei : ud fide dieses f für D =R, f( ) : = A : + f overgiert gleichmäßig gege, de = + A D : = [,], f( ) : f overgiert putweise: Für ist = + 5

29 ud für sei müsste. = ist = + + f =. Die Kovergez ist icht gleichmäßig, d sost die Grezfutio stetig A D : = [,], f ( ) = = :! f overgiert gleichmäßig gege ep, de für jedes [,] ud es gilt ( ) f A4 D : = [,], : f ist = = ep( ) = Die Kovergez ist icht gleichmäßig, d d die Grezfutio stetig sei müsste, ws ber icht der Fll ist.! ep = =!!!!! f = = = = + = + = + Kovergiert putweise: Für < gilt f = ud für = ist A5 D : = [,], f ( ) = = f,, : =,,,, Die Futio overgiert putweise: Für < gibt es ei N, sodss somit ist f( ) = für fst lle. Also ist f( ) =. Für f = = ist ud somit overgiert f putweise. Die Kovergez ist ber icht gleichmäßig, weil f f = f f = = = A6 Seie ( f ), : < ud g Folge beschräter Futioe uf D, die gleichmäßig gege ei f bzw. g overgiere. Zeige: f g overgiert gleichmäßig gege f g. f g beschrät sid ud gleichmäßig overgiere, sid uch f, g beschrät: Sei ε =, d eistiert ei N, sodss f f f f < f + f = : K Beweis: D, etw de f ist ch Vorussetzug beschrät. Gleiches gilt für g. 6

30 Aus der gleichmäßige Kovergez der sid, d.h. De log eistiert uch hier zu Sei g folgt weiter, dss die L R : N : g L ε = ei N, sodss : g g g g g + g = : L ε >. D eistiert ufgrud der gleichmäßige Kovergez der : ε f f < K Alog eistiert ei N, sodss : ε g g < L : = m, : Also gilt für lle f g fg = f g fg + fg fg ε ε f f g + g g f K+ L= ε K L g uch gleichmäßig beschrät f ei N, sodss A7 Es sei ( f ) eie gleichmäßig gege f overgete Futioefolge. Es gebe ei >, sodss D f ( ) : D overgiert f gleichmäßig gege f. Beweis: Aufgrud der gleichmäßige Kovergez der f eistiert zu ε > ei N, sodss f f ε f : f f f f ε f = = ε f f f f f f 7

31 Repetitorium Alysis I WS 8/9 Aufgbebltt : Uedliche Reihe A: Etscheide, ob die Reihe = overgiert oder icht für ) : )! =, Q ) : =! 4 : = 4) : = = q, q < 6) : =, > + 5) : A: Bereche de Kovergezrdius der folgede Potezreihe,, l = = + si 9 = + A: Bereche für die Grezwerte + : ud Ws wisse wir über ds Kovergezverhlte vo = = = ud b : =., b b + = ud b = = = ud? b A4: Zeige, dss die Bedigug icht hireiched ist für Divergez vo ud bereche sup + > + sup : =, if. Betrchte dzu ls Gegebeispiel die Folge,flls gerde,flls ugerde +, sup, =

32 Repetitorium Alysis I WS 8/9 Aufgbebltt : Regel vo de l Hospitl Bereche die folgede Grezwerte. A: si ( ) A: l( ) ց A: ց A4: e e si ( ) A5: + A6: si ( ) A7: Sid b R,, b>, so gilt: + b ց = b A8: Zeige, dss die Umehrug des Stzes vo de l Hospitl i.a. flsch ist, idem du für f, g: R R die Ausdrüce berechest. : si( ) f = +, g( ): = f g ud f g A9: Zeige, dss für R + = ep( )

33 Repetitorium Alysis I WS 8/9 Aufgbebltt : Stetigeit ud Zwischewertstz A Seie f, g: R R stetig ud f = g Zeige, dss d f g. Q Q. A Sei f: R R stetig, R ud f ( ) >. Zeige: Es gibt ei δ >, sodss f >. Bδ A Bestimme de Grezwert vo für. + A4 Weise ch, dss die folgede Futio eie Nullstelle besitzt: f: R R, f ( ): = e + e A5 Sei f: [ b, ] R stetig ud es gelte Zeige: ξ [ b] f ( ξ), : =. f ( ) f ( b ) < A6 Seie f, g: [ b, ] R stetig mit g( ) = f ( b) ud g( b) = f ( ) Zeige: ξ [ b, ]: f ( ξ) = g( ξ) A7 Sei f: [ b, ] [ b, ] stetig. Zeige: ξ [ b, ]: f ξ = ξ A8 Jedes reelle Polyom ugerde Grdes ht eie Nullstelle. A9 Sei f: [ b, ] R eie stetige ud i ], [ verschiedee Nullstelle. D ht f uch och eie Nullstelle i ] b, [. b zwei ml stetig differezierbre Futio mit A Eie stetig differezierbre Futio f: [ b, ] R ist Lipschitz-stetig. A Zeige für, y R ( ) si si y y

34 Repetitorium Alysis I WS 8/9 Aufgbebltt 4: Futioefolge Sei D R ud f: D R eie Futioefolge. Utersuche, ob gege ei f: D R overgiert ud fide dieses f für D =R, A : f : = + = + A D : = [,], f( ) : A D : = [,], f ( ) A4 : [,] = = D =, f ( ): = A5 D : = [,], f ( ) A6 Seie ( f ), :!,, : =,,,, f putweise bzw. gleichmäßig g Folge beschräter Futioe uf D, die gleichmäßig gege ei f bzw. g overgiere. Zeige: f g overgiert gleichmäßig gege f g. A7 Es sei ( f ) eie gleichmäßig gege f overgete Futioefolge. Es gebe ei >, sodss D f ( ) : D overgiert f gleichmäßig gege f.