1 vollständige Induktion

Transkript

1 vollstädige Idutio M beweise folgede Gleichuge bzw. Ugleichuge per Idutio ch. (i) (ii) ( ), N ( ) log ( ) log() log(!), N, (iii) (+) +, N, [, [ (iv) ( ) +, N, (v) (vi) (vii) ( + )!, N, F F +, N m i ( +i) m+ m+ i (+i), N, m N Bemerug. Die F i (vi) sid die sogete Fermt-Zhle F +. Zhlefolge M utersuche, ob folgede Zhlefolge ( ) N overgiere, ud gebe ggf. de Grezwert. (i) (ii) (+) + (iii)! (v) ( + ) (iv) ( ) (vi) e π i (vii) ( ) (viii) +,

2 Zhlereihe. M utersuche, ob folgede Reihe overgiere, ud gebe ggf. de Grezwert. (i) (iii) ( )! ( log + ) (ii) (iv) (v) mit {, flls gerde, flls ugerde. M etscheide (mit Begrüdug), ob folgede Reihe im Allgemeie overgiere. (vi) ( ) mit (vii) ( ) mit Potezreihe M bestimme jeweils lle R für die folgede Potezreihe overgiere. (i) e (ii)! (iii) (iv) + (v) (vii) + + (vi) ( + ) (viii) ( )!

3 5 omplee Zhle. M bestimme Rel- ud Imgiärteil folgeder ompleer Zhle. (i) e π i (ii) +i +i (iii) ( ) (iv) +i e iπ! ( ) (v) cos( + 5i) (vi) si +i. M bestimme jeweils lle z C, die folgede Gleichuge erfülle. (vii) z z (viii) e z + e z 6 Stetigeit. M utersuche, ob folgede Futioe f uf D gleichmäßig stetig sid. ( ) (i) f() si, D ],] (ii) f(), D R (iii) f() si( ), D R (iv) f(), D R (v) f() +, D R. M zeige, dss die Futio f : [, ] R mit { > f() stetig ist. Ist f uch gleichmäßig stetig?. Eie Futio f : D R heißt Lipschitz-stetig (oder urz L-stetig), flls eie Kostte L > eistiert, sodss f() f(y) L y,y D gilt. M zeige, dss jede L-stetige Futio gleichmäßig stetig ist.

4 7 Grezwerte M bestimme, ob folgede Limite eistiere, ud gebe ggf. dere Wert. (i) log() + + (ii) e e (iii) si() (v) ( (vii) ) si() (iv) cot() (, > (vi) ) 8 8 Differetilrechug (viii) si()si ( ) M begrüde, wrum folgede Futioe differezierbr sid, ud bestimme ihre Ableitug. Weiterhi etscheide m, ob die Futioe stetig differezierbr sid. (i) f() log()+e, R > (ii) f() cosh( )+ sih( ), R (iii) f() e e, R (iv) f() e, R ( (v) f() rct (vi) f() (vii) f() ), R\{,} { si( )si ( ), R\{}, sih() +t dt, R

5 9 Itegrlrechug M bestimme die Werte folgeder Itegrle. (i) π si ()cos()d (ii) d (iii) e e log () d (iv) e d (v) π e si()d (vi) π π e si() +cos() d (vii) log() log() +e d (viii) eπ si(log())d Futiosfolge M utersuche, ob folgede Futiosfolge (f ) N mit f : D R putweise bzw. gleichmäßig uf D overgiere. (i) f (), D [,] (ii) f (), D [,ε] mit < ε < (iii) f (), D [,] (iv) f () si( ), D R (v) f () e, D [,] (vi) f () +, D R (vii) f (), D [,] 5

6 Aufgbe zum Nchweis der Differezierbreit Aufgbe Gegebe seie die folgede bschittsweise defiierte Futioe f : IR IR, die lle uf Differezierbreit uf ihrem Defiitiosbereich IR zu utersuche sid. ) f () b) f () l() c) d) si() () f () f 9 Aufgbe Zeige, dß die Futio f : IR IR mit f () si uf ihrem gesmte Defiitiosbereich differezierbr ist ud gib f (). Beweise drüber hius, dß die erste Ableitug vo f icht uf gz IR stetig ist. Welche Schlußfolgerug ist us dieser Ttsche zu ziehe? Aufgbe Gegebe seie die folgede bschittsweise defiierte Futioe f : IR IR, die lle uf Differezierbreit uf ihrem Defiitiosbereich IR zu utersuche sid. ) b) c) () ( IR) f f () ( IN) f () ( > )

7 d) () f ( IR) e) b () f,b ( >, b > ) f) b () f,b (, b IR) g) b l () f,b ( >, b IR) Die Lösuge befide sich uf de chfolgede Seite.

8 Aufgbe Alle Futioe der Aufgbe sid ls Summe, Produt oder Quotiet differezierbrer Futioe selbst wieder i fst jedem Put ihres Defiitiosbereiches IR i- differezierbr. Dher bruche wir die Differezierbreit der Futioe lediglich diese Stelle mit Hilfe des Differezequotiete zu utersuche. Zuvor wäre llerdigs och die Stetigeit der Futioe de ritische Stelle chzuprüfe (Wrum wohl?). Wir uterlsse jedoch de Beweis, d offebr für lle Futioe der Aufgbe eier ritische Stelle gilt: f () f ( ). Für verschiedee Grezwerte verweise wir uf ds Bltt Erste wichtige Grezwerte uter ) f () Gemäß der Defiitio des Betrges ist f bschittsweise erlärt. Es ist ämlich f (). Die uf Differezierbreit zu utersuchede ritische Stelle ist demch. Wir bilde de Differezequotiete ud prüfe, ob lis- ud rechtsseitiger Grezwert eistiere ud übereistimme. f () f () f () f () Der Differezequotiet vo f der Stelle besitzt lso eie Grezwert ud dher ist f dort icht differezierbr. Wir bemere zudem, dß der Grph vo f der Stelle eie Spitze ht ud icht gltt ist. Eie Tgete läßt sich somit icht im Put ( / ) lege. l() b) f () I diesem Flle ist zu utersuchede Stelle. Wir bilde de Differezequotiete ud prüfe wieder, ob lis- ud rechtsseitiger Grezwert eistiere ud übereistimme. f () f () l() f () f () l() l() l()

9 Somit ist die Futio f wege f () f () f () der Stelle differezierbr. c) si() () f Die zu utersuchede Stelle ist. Wir bilde de Differezequotiete ud prüfe wieder, ob lis- ud rechtsseitiger Grezwert eistiere ud übereistimme. f () f () si() f () f () si() si() Somit ist die Futio f wege f () f () f () der Stelle differezierbr. d) f () 9 Die zu utersuchede Stelle ist. Wir bilde de Differezequotiete ud prüfe wieder, ob lis- ud rechtsseitiger Grezwert eistiere ud übereistimme.

10 f () f () 6 6 f () f () Lis- ud rechtsseitiger Grezwert eistiere, stimme ber icht überei. Der Grph der Futio mcht der Stelle eie Kic, so dß im Kurveput ( / ) eie Tgete gelegt werde. Aufgbe Die Futio f ist ls Zusmmesetzug differezierbrer Futioe der Stelle selbst wieder differezierbr. Die zu utersuchede Stelle ist. Wege ) si( () f ist ) f ( f () ud dmit f der Stelle stetig. Für de Differezequotiete hbe wir die Abschätzug ) si( ) si( f () f () ud dmit gilt: f () f () () f

11 Die Ableitug vo f lutet somit uter Verwedug vo Produt- ud Ketteregel für f () cos( ) si( ) si( ) cos( ). Strebt gege, so besitzt der Ausdruc cos( ) eie Grezwert, d er stets jede Werte zwische ud immt. icht eistiert, ist die Ableitug der Stelle icht ste- D lso der Grezwert f () tig. Wir schließe us dieser Ttsche, dß die Ableitug eier Futio icht otwedigerweise stetig zu sei brucht. Demzufolge ist es wie i diesem Flle ur möglich, mit Hilfe des Differezequotiete uf die Differezierbreit der ritische Stelle zu schließe, ud ebe icht erlubt, f () eiem Grezwertprozeß zu uterziehe, um f () zu erhlte. Übriges: Futioe, dere Ableituge stetig sid, et m stetig differezierbr. Aufgbe Wie wir sehe werde, hägt die Differezierbreit bei de gegebee Futioe vo der Whl der Prmeter b. I dieser Aufgbe werde wir stets überprüfe, ob die zu utersuchede Futio ihrer ritische Stelle stetig ist. Ist ämlich eie Futio eier Stelle icht stetig, so ist sie dort uch icht differezierbr. ) () ( IR) f Wege f () f () f () ist f für IR der Stelle stetig. D Polyome stetig differezierbr sid, öe wir uf die Bildug des Differezequotiete verzichte ud de lis- ud rechtseitige Grezwert der Ableitug betrchte. f () f () Wir stelle fest, dß für die Futio f der Stelle icht differezierbr ist. Lediglich die Futio f () ist uf gz IR differezierbr. 6

12 b) f () ( IN) Für lle IN ist die Futio f stetig für lle IN, d f () ud f () ist ud dmit f () f (). Die Ableitug vo f ist uf IR\{} stetig differezierbr. Wir öe somit uf die Bildug des Differezequotiete verzichte ud überprüfe, ob der lis- ud rechtsseitige Grezwert der Ableitug der Stelle übereistimme. Es gilt für lle IN: f () ud f () Dmit ist für lle IN die Futio f der Stelle differezierbr mit (). f c) f () ( > ) Offebr ist wege f () f () die Futio für lle > stetig der ritische Stelle. Aus Grüde der stetige Differezierbreit der Futio uf IR\{}, geügt es, die Übereistimmug vo lis- ud rechtsseitigem Grezwert der Ableitug der Stelle zu überprüfe. Für lle positive gilt: 7

13 6 f () ud f () Dmit ist für lle > die Futio f der Stelle differezierbr mit Ds Schubild vo b) ist uf diese Teilufgbe übertrgbr. (). f ( IR) d) f () Wege f () f () ist die Futio für lle IR der ritische Stelle stetig. Aus Grüde der stetige Differezierbreit der Futio uf IR\{}, geügt es, die Übereistimmug vo lis- ud rechtsseitigem Grezwert der Ableitug der Stelle zu überprüfe. Für lle IR gilt: f () ud f () D lis- ud rechtsseitiger Grezwert lediglich für übereistimme, ist die Futio ur für de Prmeter der Stelle differezierbr. So weist der Grph der Futio f - der Stelle eie Kic uf. Ihm dher im Put ( / ) eie Tgete zugewiese werde. Wir bemere ei weiteres Ml, dß Differezierbreit eier Kurve gewissermße ihre Glttheit vorussetzt. e) b,b () ( >, b > ) f Dmit die Futio der ritische Stelle stetig ist, müsse lis- ud rechtseitiger Grezwert mit f, b () übereistimme. Für die beide Grezwerte erhlte wir 8

14 f,b () ud f,b () b b. Die Futio ist dher ur stetig, we zwische de beide Prmeter die Beziehug b besteht. Diese Beziehug ist somit uch für die Differezierbreit otwedig. Wir betrchte u de lis- ud de rechtseitige Grezwert der Ableitug der uf IR\{} stetig differezierbre Futio. f,b () ud f,b () b b Wir öe u festhlte, dß f,b ur d der ritische Stelle differezierbr ist, we es Prmeter ud b gibt, die die beide Gleichuge löse. I b ud II b Setze wir u I i II, so erhlte wir folgede Äquivlezeette: Für ud b wird ds Gleichugssystem gelöst ud die Futio f,b ist für diese beide Prmeter differezierbr der Stelle. M mche sich eiem Schubild wie weiter obe lr, dß mit de beide gete Prmeter Wurzelfutio ud Prbel icht ur uf deselbe Put ( / -) ( / b ) zulufe, soder zu diesem Put hi uch och dsselbe Steigugsverhlte zeige, ws geu die Glttheit der Futio der Stelle gewährleistet.. f),b () (, b IR) b f Mit deselbe Argumete wie bei e) ist für die Differezierbreit der Futio die Lösug des chfolgede Gleichugssystems Vorussetzug. I b ud II Wir löse die zweite Gleichug ch uf ud erhlte ud dmit b. 9

15 g) l,b () ( >, b IR) b f Wie bei de beide vorhergehede Aufgbe suche wir eie Lösug für ds Gleichugssystem I l() b ud II Wir löse die zweite Gleichug ch uf ud erhlte, d positiv ist, ud dmit b. Ds ute stehede Schubild zeigt de Grphe differezierbre Futio ud b. f, b mit Tgete ( / ) Logrithmuszweig Prbelzweig

16 Aufgbe zur Grezwertberechug (Futioe) Aufgbe Ermittle die folgede Grezwerte! Dbei sei stets eie türliche Zhl. 6 7 Aufgbe Gegebe sei die Futio f : IR IR mit der Futiosvorschrift Bereche die Grezwerte f (), f (), f () ud f ()! Aufgbe Bei de folgede Grezwertberechuge hdelt es sich um sogete ubestimmte Ausdrüce, die sich mit de bereche lsse. Ds Problem bei diese Ausdrüce liegt dri, dß beim Grezübergg Zähler wie Neer gege Null strebe ud somit der Grezwert des Quotiete icht bestimmbr ist. Durch äquivlete Umformuge lsse sich die Grezwerte dieser Aufgbe deoch bestimme. 6

17 Aufgbe Bereche die folgede Grezwerte! cos si t l si e l Auf de chfolgede Seite befide sich die Ergebisse der Aufgbe.

18 Lösugsvorschläge Aufgbe D die Grezwertberechuge sehr eifch sid, werde lediglich die Ergebisse gegebe. gerde gerde ugerde ugerde 6

19 5 7 5 Aufgbe Grph vo f,5, f () f () f () f ()

20 5 Aufgbe.Biom 5 6 ftorisiere 6 Aufgbe cos

21 6 si cos si cos si t l() l l(e) e l si si

22 Aufgbe zur Stetigeit Aufgbe Gegebe seie die folgede Futioe f,g,h : IR IR. Überprüfe die Futioe uf Stetigeit! f () 5 g() 5 h () Aufgbe Für welches IR ist die Futio f : IR IR mit f () der Stelle stetig ist? Aufgbe Zeige mit Hilfe des --Kriteriums, dß die Futio f : ], [ mit stetig ist. Aufgbe Zeige mit Hilfe des --Kriteriums, dß die beide Futioe f :, IR mit g : IR IR mit gleichmäßig stetig sid. Aufgbe 5 Zeige, dß die Wurzelfutio gleichmäßig stetig ber icht Lipschitz-stetig ist. Aufgbe 6 Gegebe sei die Futio f : IR IR mit rtiol irrtiol Zeige, dß f lediglich der Stelle stetig ist.

23 Aufgbe 7 Gegebe sei die Futio f : IR IR mit Eistiert der Grezwert f ()? Ist f i stetig? Gibt es zu f eie stetige Fortsetzug i? Aufgbe 8 Gegebe sei die Futio f : IR IR mit. Zeige, dß f eie Kotrtio ist. Aufgbe 9 (Awedug) Ei Sprer legt füf Jhre lg zu Begi eies jede Jhres zu eiem bestimmte Zisfuß Die Lösuge befide sich uf de chfolgede Seite.

24 Lösuge Aufgbe Die Futio f ist ls Zusmmesetzug stetiger Futioe für wieder stetig. Lediglich die ritische Stelle ist och zu utersuche. Wir bereche dher die eiseitige Grezwerte f () f () 5 5 Wege f () f () ist f der Stelle stetig ud dmit uf gz IR. Die Futio g ist ls Zusmmesetzug stetiger Futioe wieder stetig. Lediglich die ritische Stelle - ist och zu utersuche. Wir bereche die eiseitige Grezwerte g() g() Wege g() g( ) ist g der Stelle - stetig ud dmit uf gz IR. Die Futio h ist ls Zusmmesetzug stetiger Futioe wieder stetig. Lediglich die ritische Stelle ist och zu utersuche. Wir bereche de Grezwert h() Wege h() h() ist h der Stelle icht stetig. Aufgbe Wir bereche de rechtsseitige Grezwert. f () Wege f () muß lso gelte: Dmit ist f für der Stelle stetig.

25 Aufgbe Sei ], [ beliebig gewählt. Zusätzlich verlge wir, dß die -Umgebug vo stets gz im Itervll ], [ liegt ud dmit < ist. f () f () Mit dieser Abschätzug läßt sich ) f ( () f uter jede beliebig gewählte -Schre brige, d wir zu jedem > ei (,) > wähle öe, so dß d für lle U () f () () f < ist. Dmit ist die Futio f stetig, d ], [ beliebig gewählt wr. Aufgbe Sei [, [ beliebig gewählt. f () f (), Mit der Whl vo hbe wir ei Uiversl- gefude. Dmit ist f gleichmäßig stetig. Sei IR beliebig gewählt. g() g() Die letzte Ugleichug erhlte wir wege

26 Mit der Whl vo hbe wir ei Uiversl- gefude. Dmit ist g gleichmäßig stetig. Aufgbe 5 Die Wurzelfutio ist gleichmäßig stetig. Sie ist gezeigt, we es zu eiem beliebig vorgegebee > ei Uiversl- > gibt, so dß jeder Stelle [, [ gilt: f () f () f () Dmit uch U () ud f (), U gilt, verlge wir och zusätzlich, dß, ist. Als Uiversl- wähle wir u () ud bruche wege der strege Mootoie der Wurzelfutio ur och zu zeige, dß Die erste Ugleichug ist ber richtig wege f () f ud die zweite wege f ud f f ( f () f ) f (). U U U U Ds Schubild zeigt och eiml, dß es für die Wurzelfutio möglich ist, ei Uiversl- zu wähle. 5

27 Die Wurzelfutio ist icht Lipschitz -stetig Die Ahme, die Wurzelfutio sei Lipschitz-stetig, wolle wir zum Widerspruch führe. Nch der Defiitio der Lipschitz-Stetigeit siehe uf Seite uter gibt es lso ufgrud userer Ahme ei Kostte C >, so dß für lle, y [, [ gilt: f () f (y) C y ud dmit y y y y.biom y y Ahme C y y C Wählt m u die beide Zhle ud y etw us dem Itervll, 9 C, so erhlte wir eie Widerspruch. Dmit ist gezeigt, dß die Wurzelfutio icht Lipschitz-stetig ist. Aufgbe 6 rtiol Die Futio f : IR IR mit etzieht sich userer Aschuug irrtiol ud läßt sich icht zeiche. Ds folgede Schubild demch de Grphe vo f ur rtiole Pute irrtiole Pute Wir erier us, dß die Stetigeit mit der Kovergez vo Folge verüpft werde. Siehe dzu uf Seite uter 6

28 So ist eie Futio f : ID ist IW geu d der Stelle ID stetig, we für jede Folge ( ) IN us ID mit gilt: f( ) f(). Sei lso irgedeie irrtiole Zhl. Nu wähle wir eie Folge ( ) IN rtioler Zhle mit. Für de Fll hbe wir f ud f ud dmit f f ud für de Fll hbe wir f ud f ud dmit f f D für ei irrtioles icht für jede Folge ( ) IN us IR mit uch f( ) f() gilt, ist f eier irrtiole Stelle stetig. Sei u irgedeie rtiole Zhl. Nu wähle wir eie Folge ( ) IN irrtioler Zhle mit. Mit deselbe Argumete erhlte wir, dß f uch diese rtiole Stelle ustetig ist. Nur für hbe wir für jede Folge ( ) IN mit. f f Aufgbe 7 Die Futio f : IR IR mit ist ei Beispiel dfür, dß für de Grezwert eier Futio eier Stelle ds Verhlte der Futio i der putierte Umgebug vo etscheided ist. Die ritische Stelle vo f ist. I der putierte Umgebug vo U ()\{} ]-, [ \ {} ist die Futio ostt ud dmit ist f (). Die Futio ist llerdigs der Stelle icht stetig, d f () f () ist. Mit f * : IR IR,, hbe wir eie stetige Futio, für die f * () f() für lle ist.. Nch Defiitio ist somit f i stetig fortsetzbr. Siehe dzu uter t f(), der sich dem Verhlte der Futio uf der putierte Umgebug U () pßt. 7

29 8 Aufgbe 8 Wir hbe zu zeige, dß es für lle, y IR eie positive Kostte C < gibt mit y C f (y) () f. Wir hbe für die Futio die Gleichugsette y y y y y y y y y y y y y y y y y f (y) f () ud sid fertig, we wir ei C < gefude hbe mit C y. Dzu forme wir die Ugleichug äquivlet um. y C C y C y Für die rechte Seite der letzte Ugleichug erhlte wir C y C y C C y C y y C y y C Nu utersuche wir, für welche C der Ausdruc C ist. Es gilt folgede Äquivlezeette: C C C C Dmit hbe wir für lle, y IR folgede Ugleichug y f (y) () f ud gezeigt, dß f eie Kotrtio ist.

30 Aufgbe 9 Diese Aufgbe ist ei eifches Problem der Reterechug. Zuächst erier wir us die Zisesformel K p p K q q K, mit dere Hilfe wir ds Edpitl K für ei Afgspitl K bereche öe, ds für Jhre zu eiem Zisfuß vo p % gelegt wird. Nch Aufgbestellug wird der erste Betrg vo. Jhre, der dritte drei Jhre ud so weiter. Der Zisfuß ist us ubet. Als Gesmtbetrg B erhlte wir ch füf Jhre uter Verwedug der Ziseszisformel B. q 5. q. q q q q. q q 5 q. q q wir die Gleichug. q geometrische Reihe. q 5 q 5.6,98. q q q 6 6,698 q 5,698 Die Lösug useres Problems ist u äquivlet mit dem Auffide der Nullstelle q des Polyoms 6 f (q) q 6,698 q 5,698. D für q eie Verzisug vorliege würde, iteressiere wir us türlich ur für Werte, die größer ls sid. Drüber hius bedee wir, dß etw für eie urelistische Verzisug vo % q ist. Also werde wir relistischerweise i dem Itervll ], [ ch der Nullstelle suche. Wir uterstelle, dß f ove ist, ud erhlte durch Probiere mit dem Tscherecher, dß f(,) < ud f(,) > ist. Als Itertiosfolge mit Strtwert, erhlte wir f ( b ) f (b) f ( ud dmit die EXCEL-Tbelle ) 6 6,698 5,698, 6 6,698 5,698, ,,88,8,88,7,78,67,575,78, ,88,96,95,97,98,988,996,995,997, ,9988,999,9996,9997,9998,9999,, Nch 6 Schritte hbe wir eie Geuigeit bis uf sechs Nchommstelle erzielt. Die gesuchte Nullstelle ist somit,, ws eiem Zisfuß vo % etspricht. Die Probe bestätigt ds Ergebis. 9

31 c 7 by Rier Müller - Aufgbe zur vollstädige Idutio We ichts deres gegebe ist, d gelte die Behuptuge für IN {;; ;...}. A) Teilbreit: ) + ist gerde (d.h. durch teilbr). ) + ist durch teilbr. ) ist durch teilbr. ) ist durch 6 teilbr. 5) + + ist durch 6 teilbr. 6) 6 + ist durch teilbr. 7) ist durch 6 teilbr. 8) + ( + ) + ( + ) ist durch 9 teilbr. 9) 7 ist durch 7 teilbr. ) ist durch teilbr. ) 5 ist durch 8 teilbr. ) + ist durch 7 teilbr. ) < IN: ist durch teilbr. ) 7 ist durch 7 teilbr. 5) ist durch 5 teilbr. 6) ist durch 5 teilbr. 7) + 7 ist durch 8 teilbr. 8) + 5 ist durch 6 teilbr. 9) ist durch teilbr. ) ist durch 9 teilbr. ) + 5 ist durch 9 teilbr. ) 5 + ist durch 8 teilbr. ) + + ist durch teilbr. ) IN: ( ) ist gerde. 5) IN: + + ( + ) ist durch + + teilbr. 6) IN: + ist durch 6 teilbr.

32 c 7 by Rier Müller - B) Summewerte: ) (+) ) (+) (+) 6 ) (+) bzw ( ) ) (+) (+) ( + ) 5) ( ) 6) ( ) ( ) (+) 6 7) ( ) ( ) 8) ( ) + 9) ) + q + q q q+ q bzw. + q + q q q q ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) (+) bzw () + ( + ) ( + ) ( + ) bzw () ( + ) ) ( + ) (+) (+) )! +! +! ! ( + )! [ es gilt:!... ] 5) ( + ) ( + ) (+) (+) (+) 6) ) ( ) 8) (+) + 9) ( ) (+) ) ( ) (+) ) ( ) (+) ) (+) (+) + (+) (+) (+) (+) ) (+) (+5) (+) (+) (+) ) (+) (+) (+) (+) (+) (+) (+)

33 c 7 by Rier Müller - 5) (+) ( ) (+) (+) 6) ( ( ) + ( ) + ( ) ) 7) [ es gilt: ( )!! ( )! ud ( ) ( + ( ) + 8) l( ) + l( ) + l( ) ( ) l( ) l() l (!) 9)! +! +! !!! ) ( ) + + ) ] ) ( + b) b + ( ) b + ( ) b ( ) b + [biomischer Lehrstz ] für, b IR; ( ) b ) ( + ) ( ) ( + ) C) Produtwerte: )... (+) ) ( ) ( ) ( )... ( ) für ) ( ) ( ) ( )... ( )! für ) ( ) ( ) ( )... ( ) + für 5) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )... ( + 8 ) 6) ( + + ) ( + + ) ( + + )... ( + + ) + 7) ( ) ( ) ( 5 ) ( 6 )... ( + ) ) ( + ) ( + ) ( + )... ( + ) ( + ) D) Ugleichuge: ) > für ) + + +(+) ( ) + +() > ) + + +(+) ( ) + +() > ) > + für 5) > für 5 6) > für 7) < < 8) > für 9) ( + b ) > ( + b) für ; b; + b >

34 c 7 by Rier Müller - )! > für ) + < ()! (!) für ) > ( + ) für 5 ) ) > + für 5)... (+) 6) < für 7) ( + ) > + für > ; 8) ( + ) + ( ) für E) (Reursive) Folge: ) ; + ; d gilt: + ) ; + ; d gilt: ( ) + + ) ; + ( + ) ; d gilt: ) ; + + ; d gilt: 5) Für die Glieder der Fibocci-Folge F ; F ; F + F + F gilt: ) + F + F F F + b) F + F F F F + c) F m+ F m F + F m F + d) F + F + F + e) F + F F + + F + F + f) F + F F + F + ( ) + g) F + F F ( ) F) Ableituge: ) Für f() e +b gilt: f () () e +b ) Für f() (e t) gilt: f () () e t e ) Für f() ( + ) e gilt: f () () ( ) ( + ) e ) Für f() e gilt: f () () ( + + ( ) ) e 5) Für f() l + gilt: f () () ( ) ( )! (+) + ( )! ( ) 6) Für f () gilt: f () 7) Für f() +b gilt: f () () ( )! (+b) + 8) Für f() gilt: f () () ( ) +! ( ) + 9) Für f() sih( ) gilt: f () () sih ( ) [ sih(z) e z e z ] ) Für f() si( ) gilt: f () () ( ) si( )

35 c 7 by Rier Müller G) Sostiges: ) Zeige: Elemete m uf...! verschiedee Arte orde. ) Wieviele Digole gibt es i eiem ebee, ovee -Ec? Zeige: es gibt ( ) Digole. ) Eie Gerde zerlegt die Ebee i zwei Gebiete. I wieviele Gebiete die Ebee durch Gerde höchstes zerlegt werde? Zeige: m die Ebee i höchstes + + Gebiete zerlege. ) Wie groß ist die Summe der Iewiel i eiem -Ec? Zeige: die Wielsumme i eiem ovee -Ec ist ( ) 8. 5) Wieviele Elemete ethält die Potezmege eier -elemetige Mege? Zeige: die Potezmege ethält Elemete. 6) Zeige ds,,schubfchprizip : Werde Objete i Fächer gegebe, wobei < ist, d ethält midestes eies der Fächer mehr ls eies der Objete. 7) p teilt p, we p prim ist ud ggt(,p) gilt (sogeter,,leier Fermt ). 8) Zeige... () ( ) Dbei steht die Ziffergruppe () geu -ml hitereider (im Zweiersystem). 9) Zeige: mit der Mtri A gilt: A A } A {{... A } Stüc ( ) ) Zeige: mit der Mtri A gilt: A } A A {{... A } Stüc +( ) ( ) ( ) +( )

36 c 7 by Rier Müller ) Zeige: mit der Mtri A gilt: A A A... A }{{} Stüc ) Seie,,...,, > positive reelle Zhle mit. Zeige: D gilt

37 Aufgbe zur vollstädige Idutio Beweise A. Teilbreit A : + ist eie gerde (d. h. durch teilbre) Zhl für lle Idutiosfg: : + ist eie gerde Zhl Idutiosvorussetzug: Es gelte die Idutiosvorussetzug: + ist eie gerde Zhl Zu zeige: Die Behuptug gilt uch für (+), lso zu zeige: (+) + (+) ist eie gerde Zhl. Beweis des Idutiosschlusses: (+) + (+) ( +) + (+) ( +) + (+) ist eie gerde Zhl, weil der erste Summd gerde ist ch Idutiosvorussetzug ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo ist. Bei lle folgede Aufgbe werde lediglich och der Idutiosfg ud der Idutiosschluss ufgeschriebe. Auf ds ochmlige Aufschreibe der Idutiosvorussetzug wird verzichtet, d ds Prizip immer ds gleiche ist. A : + ist durch teilbr für lle Idutiosfg: : + ist durch ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: (+) + (+) ( + ) + ( + + ) ( + ) + ( + + ) ist durch teilbr, d der erste Summd durch teilbr ist ch Idutiosvorussetzug ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo ist.

38 A : ist durch teilbr für lle Idutiosfg: : ist durch ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: (+) (+) ( ) ( ) + ( + + ) ist durch teilbr, d der erste Summd durch teilbr ist ch Idutiosvorussetzug ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo ist. A : ist durch 6 teilbr für lle Idutiosfg: : ist durch 6 ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: (+) (+) ( ) + (+) Der erste Summd ( ) ist durch 6 teilbr ch Idutiosvorussetzug. Der zweite Summd (+) ist durch teilbr ud durch teilbr, d etweder oder die druf folgede türliche Zhl (+) eie gerde Zhl ist. Ist ber eie Zhl durch ud durch teilbr, d ist sie uch durch 6 teilbr. D beide Summde durch 6 teilbr sid, muss uch die Summe durch 6 teilbr sei. A 5: + + ist durch 6 teilbr für lle Idutiosfg: + + ist durch 6 ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: (+) + (+) + (+) ( ) + ( + + )+ ( + ) ( + + ) + 6( + + ) ist durch 6 teilbr, d der erste Summd durch 6 teilbr ist ch Idutiosvorussetzug ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo 6 ist.

39 A 6: 6 + ist durch teilbr für lle Idutiosfg: : ist durch 6 ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: (+) - 6(+) + (+) ( ) - 6( + + ) + ( + ) ( ) + ( - + ) ist durch teilbr, d der erste Summd durch teilbr ist ch Idutiosvorussetzug ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo ist. A 7: ist durch 6 teilbr für lle Idutiosfg: ist durch 6 ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: + + ( ) + ( ) ( - ) + ( ) (6 - ) + ( ) ist durch 6 teilbr, d der zweite Summd durch 6 teilbr ist ch Idutiosvorussetzug ud der erste Summd ei gzzhliges Vielfches vo 6 ist (wege ist - eie gze Zhl). A 8: + (+) + (+) ist durch 9 teilbr für Idutiosfg: : ist durch 9 ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: (+) + (+) + (+) (+) + (+) (+) + (+) [ + (+) + (+) ] + 9( + + ) ist durch 9 teilbr, d der erste Summd durch 9 teilbr ist ch Idutiosvorussetzug ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo 9 ist.

40 A 9: 7 ist durch 7 teilbr für Idutiosfg: : 7 ist durch 7 ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: 7 (+) (7 ) + 7 ist durch 7 teilbr, d der erste Summd ei gzzhliges Vielfches der Idutiosvorussetzug ist (ds 9-fche) ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo 7 ist. A : ist durch teilbr für Idutiosfg: : ist durch ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: (5 + 7) ist durch teilbr, d der erste Summd ei gzzhliges Vielfches vo ist ud der zweite Summd durch teilbr ist ch Idutiosvorussetzug. A : 5 ist durch 8 teilbr für lle Idutiosfg: : 5 ist durch 8 ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: 5 (+) (+) (5 ) + 8( 5 ) ist durch 8 teilbr, d der erste Summd durch 8 teilbr ist ch Idutiosvorussetzug ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo 8 ist.

41 A : + ist durch 7 teilbr für lle Idutiosfg: : + ist durch 7 ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: (+) ( + ) ist durch 7 teilbr, d der erste Summd ei gzzhliges Vielfches vo 7 ist ud der Klmmerusdruc durch 7 teilbr ist ch Idutiosvorussetzug. A : Für lle N ( ) ist ( ) durch (-) teilbr für lle N mit Utersuche zuächst die Behuptug A *: Für jedes ist für lle N mit Idutiosfg: : (gze Zhl), d. h. ( ) ist durch ( -) teilbr. Idutiosschluss: ( ) + + qed, Wege Behuptug A * ist der Quotiet dss die Behuptug A richtig ist. immer eie gze Zhl, für lle, so A : 7 ist durch 7 teilbr für lle Idutiosfg: : 7 ist ohe Rest durch 7 teilbr. Idutiosschluss: (+) 7 (+) ( 7 ) + 7( ) ist durch 7 teilbr, d der erste Summd durch 7 teilbr ist ch Idutiosvorussetzug ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo 7 ist.

42 A 5: ist durch 5 teilbr für lle Idutiosfg: : ist teilbr durch 5. Idutiosschluss: (+)+ + (+) ( ) ist durch 5 teilbr, d der erste Summd ei gzzhliges Vielfches der Idutiosvorussetzug ist ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo 5 ist. A 6: ist durch 5 teilbr für lle Idutiosfg: : ist durch 5 ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: (+) 5 + 5(+) + 7(+) ( ) + 5( ) + 7( + ) ( ) + ( ) ( ) + 5( ) ist durch 5 teilbr, d der erste Summd durch 5 teilbr ist ch Idutiosvorussetzug ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo 5 ist. A 7: + 7 ist durch 8 teilbr für lle Idutiosfg: : ist durch 8 ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: (+) ( + 7) + 8 ist durch 8 teilbr, d der erste Summd durch 8 teilbr ist ch Idutiosvorussetzug ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo 8 ist.

43 A 8: + 5 ist durch 6 teilbr für lle Idutiosfg: : + 5 ist durch 6 ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: (+) + 5(+) ( + 5) + ( + + 6) ( + 5) + ( + ) + 6 Der erste Summd ( + 5) ist durch 6 teilbr ch Idutiosvorussetzug. Der zweite Summd ( + ) ist ei Vielfches vo ud ei Vielfches vo, d etweder oder die türliche Nchfolgezhl (+) eie gerde Zhl ist. D der zweite Summd durch ud durch teilbr ist, ist er uch durch 6 teilbr. Der dritte Summd 6 ist sowieso durch 6 teilbr. D lle drei Summde durch 6 teilbr sid, ist uch die Summe durch 6 teilbr. A 9: ist durch teilbr für lle Idutiosfg: : - ist durch ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: (+) (+) ( + + ) ( ) + ( + 6 ) ( ) + ( + 6 ) + ( ) ( ) + ( + ) + ( ) ( ) + ( + ) + (-)(+) Der erste Summd ist durch teilbr ch Idutiosvorussetzug. Der zweite Summd ist ei gzzhliges Vielfches vo. Der dritte Summd ethält drei ufeider folgede türliche Zhle (-), ud (+), wobei d eier dieser drei Zhle durch teilbr sei muss. D lle drei Summde durch teilbr sid, ist uch die Summe durch teilbr. A : ist durch 9 teilbr für lle Idutiosfg: : ist durch 9 ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: ( ) + ( ) ( ) + 9( + + ) ist durch 9 teilbr, d der erste Summd durch 9 teilbr ist ch Idutiosvorussetzug ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo 9 ist.

44 A : + 5 ist durch 9 teilbr für lle Idutiosfg: : + 5 ist durch 9 ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: + + 5(+) ( + 5 ) + ( + 5) ( + 5 ) + ( + 5) Der erste Summd ist durch 9 teilbr ch Idutiosvorussetzug. Beim zweite Summde ist bereits eie ls Ftor ethlte. We der zweite Ftor ( + 5) ebeflls ei Vielfches vo wäre, d ist der Summd ( + 5) ei Vielfches vo 9 ud der Beweis wäre omplett. Also och zu zeige: A * : + 5 ist durch teilbr für lle Beweis wieder durch Idutio: Idutiosfg: : ist durch ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: ( + 5) + ist durch teilbr, d der erste Summd durch teilbr ist ch Idutiosvorussetzug ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo ist. Dmit ist uch A vollstädig bewiese! A : 5 + ist durch 8 teilbr für lle Idutiosfg: : 5 + ist durch 8 ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: 5 (+) + (+) (5 + ) + ( 5 + ) (5 + ) + (5 + ) Der erste Summd ist durch 8 teilbr ch Idutiosvorussetzug. Der zweite Summd besteht us eiem Produt, bei dem der erste Ftor ist. Dmit der gesmte Summd (5 + ) durch 8 teilbr wird, muss der zweite Ftor (5 + ) durch teilbr sei. Dmit wäre die Behuptug bewiese.

45 Noch zu zeige: A * : 5 + ist durch teilbr für lle Beweis wieder mit vollstädiger Idutio: Idutiosfg: 5 + ist durch ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: 5 (+) (5 + ) + 5 ist durch teilbr, d der erste Summd durch teilbr ist ch Idutiosvorussetzug ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo ist. A : ist durch teilbr für lle Idutiosfg: : ist durch ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: + + (+) ( ) + - ist durch teilbr, d der erste Summd ei gzzhliges Vielfches der Idutiosvorussetzug ist ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo ist. A : Für N mit ist ( ) eie gerde Zhl für lle Idutiosfg: : ( ) ist eie gerde Zhl. Idutiosschluss: ( ) + ( )( ) Nch Idutiosvorussetzug ist ( ) eie gerde Zhl. Dher ist der Miued ( ) ugerde, lso i der Form (z + ) drgestellt werde mit irgedeier türliche Zhl z. ( )( ) ( )(z + ) z + z (z + z ) Dmit ist dieser Ausdruc wieder eie gerde Zhl, d er ei gzzhliges Vielfches vo ist.

46 A 5: Für N ist [ + + (+) - ] durch ( + + ) teilbr für lle Idutiosfg: : + + (+) - + (+) + + ist ei gzzhliges Vielfches vo + +. Idutiosschluss: ++ + (+) (+) (+) (+) (+) + + ( + + ) (+) - [ + + (+) - ] + ( + + )(+) - ist durch ( + + ) teilbr, d der erste Summd ei gzzhliges (-fches) Vielfches der Idutiosvorussetzug ist ud der zweite Summd ei gzzhliges Vielfches vo ( + + ) ist. A 6: Für N mit ist ( + ) durch 6 teilbr für lle Idutiosfg: : + ist durch 6 ohe Rest teilbr. Idutiosschluss: (+)+ + + ( ) + + ( + ) ( ) ( + ) + + ( + ) Der zweite Summd ist durch 6 teilbr ch Idutiosvorussetzug. Der erste Summd ethält drei ufeider folgede türliche Zhle ( ), ud ( + ). Vo diese drei ufeider folgede Zhle ist midestes eie Zhl durch teilbr ud geu eie durch teilbr (es öte uch sei, dss es uter diese drei Zhle eie gibt, die durch ud durch teilbr ist). Ds Produt dieser drei Zhle ist d ber durch 6 teilbr, d ud ls Teiler voromme. Dmit ist der gesmte erste Summd ( ) ( + ) ei gzzhliges Vielfches vo 6 ud die Behuptug ist bewiese.

47 Rier Müller, Armi Moritz (Joheum-Gymsium Herbor) B. Summewerte B : ( ) (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: ur ei Summd: ( ) rechte Seite: Idutiosschluss: + (+) ( ) ( ) + (+) + ( ) ( )( ) q.e.d. B : ( )( ) 6 (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: ( )( ) rechte Seite: 6 Idutiosschluss: + (+) ( ( )[( ) 6( )] 6 ( )( )( ) 6 )( ) + (+) 6 ( )( q.e.d. 6 6) 6 ( )( ) 6( ) 6 ( )( 7 6) 6 B : ( ) ( ) (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: ( ) rechte Seite: Idutiosschluss: + (+) ( ) + (+) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) q.e.d. ( ) Die zweite Behuptug: ( ) folgt sofort mit B.

48 ( )( )( ) Idutiosfg: : lie Seite: ( )( )( ) rechte Seite: B : Idutiosschluss: (für lle ) + (+) ( )( )( ) + (+) ( )( )( ) ( ) ( ) [ ( )( ) ( ) ] + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( )( )] ( ) ( ) ( ) ( 9 5) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) q.e.d. B 5: ( ) ( ) (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: ( ) ( ) + ((+) ) + + (+) q.e.d.

49 B 6: ( ) ( ) ( )( ) 6 (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: ( )( ) rechte Seite: 6 Idutiosschluss: ( ) ( ) + ((+) ) ( )( ) + ( + ) 6 ( )( ) 6( ) ( ) [ ( ) 6( )] ( ) ( 6) ( ) ( 6) 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) (( ) ) q.e.d. 6 6 B 7: ( ) ( ) ( ) (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: ( ) rechte Seite: Idutiosschluss: ( ) ( ) + ((+) ) 5 ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) (( ) ) q.e.d. 6 B 8: ( ) ( ) + (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: rechte Seite: + Idutiosschluss: ( ) ( ) + ((+) ) ( + + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) q.e.d.

50 B 9: (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: rechte Seite: + Idutiosschluss: q.e.d. B : + q + q + + q q q q (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: q rechte Seite: q Idutiosschluss: q q + q + q q + q + q q q q q q q.e.d. B : ( ) + ( ) (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: + rechte Seite: Idutiosschluss: + ( ) + ( ) q.e.d. ()

51 B : (-) - ( ) ( ) (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: ( rechte Seite: ) Idutiosschluss: ( ) ( ) + (-) (+) ( ) - ( ) ( ) ( ) + (-) ( ) ( ) (-) ( ) ( ) q.e.d. ( ) + (-) (+) ( ) B : (+) ( ) ( )( ) (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: ( )( ) rechte Seite: Idutiosschluss: ( )( ) ( ) ( ) + (+)(+) ( )( ) ( )( ) ( )( ( ) + (+)(+) q.e.d. B :! +! +! + +!! (+)! (mit! ) (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite:! rechte Seite: ( + )! Idutiosschluss:!! + (+) (+)! (+)! + (+)(+)! (+)! ( + +) (+)! (+) (+)! q.e.d.

52 B 5: (+)(+) ( )( ) ( )( )( ) (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: 6 ( )( )( ) rechte Seite: Idutiosschluss: 6 ( )( ) ( )( ) + (+)(+)(+) ( )( )( ) + (+)(+)(+) ( )( )( ) ( ) q.e.d. ( )( )( ) ( )( )( ) B 6: (für lle ) bzw. ( ) Idutiosfg: : Idutiosschluss: lie Seite: rechte Seite: ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) q.e.d.

53 B 7: Idutiosfg: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: + + (für lle ) q.e.d. B 8:... ( ) ( ) (für lle ) Idutiosfg: : Idutiosschluss: lie Seite: rechte Seite: ( ) ( ) + ( )( ) + ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) q.e.d.

54 B 9: ( )( ) (für lle ) ( )( ) Idutiosfg: : Idutiosschluss: lie Seite: rechte Seite: ( )( ) ( )( ) + [( ) }[( ) ] + ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) q.e.d. B : 7 7 (für lle )... ( )( ) ( )( ) Idutiosfg: : Idutiosschluss: lie Seite: rechte Seite: ( )( ) ( )( ) + [( ) ][( ) ] + ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) q.e.d.

55 B : ( )( ) ( )( ) (für lle ) Idutiosfg: Idutiosschluss: : lie Seite: rechte Seite: ( )( ) ( )( ) + ( 5) ( )( 5) ( )( 5) q.e.d. 5 ( ) + [( ) ] [( ) ] 5 ( )( 5) ( )( ) ( )( 5) B :... ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: rechte Seite: ( ) ( ) ( ) Idutiosschluss: ( )( ) ( )( ) + ( ) ( ) + ( ) ( 5) ( ) ( 5) q.e.d. ( 5) ( ) ( 5) 5 ( ) ( 5) ( )( ) ( ) ( 5)

56 B : ) )( ( 5) ( ) ( ) (... 5 (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: rechte Seite: ) )( ( 5) ( Idutiosschluss: ) ( ) ( + ) )( ( ) )( ( 5) ( + ) )( ( ) )( )( ( ) ( ) 5)( ( ) )( )( ( 8 5 ) )( )( ( 8 9 ) )( )( ( 8) )( ( ) )( ( 8 ) )( ( ) 8)( ( ] ) [( ] ) [( 5] ) [( ) ( q.e.d. B : ) )( )( ( ) )( )( (... 5 ) )( ( ) )( ( (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: rechte Seite: ) )( ( ) )( ( Idutiosschluss: ) )( )( ( ) )( )( ( + ) )( )( ( ) )( ( ) )( ( + ) )( )( ( ) )( )( ( ) )( ( ) )( )( ( 6) 8 )( ( ) )( )( ( 9 ) )( )( ( ) 7 )( ( ) )( ( 5) )( ( q.e.d.

57 B 5: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: rechte Seite: ( ) ( ) Idutiosschluss: ( )( ) ( )( ) + ( ) ( )( ) ( ) ( ) + ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( 5 ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) q.e.d. B 6:.. (für lle ) Defiitio:!! ( )! Hilfsformel: Idutiosfg: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: q.e.d.

58 B 7:... (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: rechte Seite: - Idutiosschluss: q.e.d. B 8: l l ) (... l l l l() l(!) (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: l l() rechte Seite: l() l(!) l() Idutiosschluss: l l + l l() l(!) + [l(+) l()] l() l(!) + l(+) l() l(+) l(!) (+) l(+) l(+) l(!) (+) l(+) [l(+) + l(!)] (+) l(+) l[(+)!] (+) l(+) l[(+)!] q.e.d.

59 B 9:!!!...!! ( )!! (für lle ) Idutiosfg: : Idutiosschluss: lie Seite: rechte Seite:!!! ( )! ( )! + ( )!! +! ( )! ( )(! ) ( )! ( )! ( ) ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! q.e.d. B : (-) + + (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: rechte Seite: (-) + + Idutiosschluss: + (+) + (-) + ++ (+) q.e.d.

60 B : Biomischer Lehrstz: Für reelle Zhle ud b gilt: ( + b) b (für lle ) Defiitio: )!! (! Hilfsformel: Amerug: Behuptug B 6 folgt us dem Biomische Lehrstz sofort für b Idutiosfg: : lie Seite: (+b) rechte Seie: b b Idutiosschluss: (+b) + (+b) (+b) (+b) b b + b b + b b + b + b - ) ( b b + b + b + b b q.e.d.

61

62 Rier Müller, Armi Moritz (Joheum-Gymsium Herbor) C. Produtwerte C : (+) (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: rechte Seite: (+) Idutiosschluss: (+) (+) + (+)(+) q.e.d. C :... (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: q.e.d. C :... (für lle )! Idutiosfg: : lie Seite: Idutiosschluss: rechte Seite:!!! ( )! q.e.d.

63 C :... (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q.e.d. ( ) C 5:... 8 (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: + rechte Seite: Idutiosschluss: q.e.d.

64 C 6:... - (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: rechte Seite: Idutiosschluss: : : : ) )( )( )( ( ) )( )( )( ( - q.e.d.

65 C 7: bzw. (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: 9 rechte Seite: + 9 Idutiosschluss: + + ) ( ) ( + (+) (wobei im Beweis die Formel B verwedet wurde) q.e.d. C 8: (+) bzw. (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: + rechte Seite: + Idutiosschluss: ) )( ( ) )( ( (wobei im Beweis die Formel B verwedet wurde) q.e.d.

66 Rier Müller, Armi Moritz (Joheum-Gymsium Herbor) D. Ugleichuge D : > (für lle ) Idutiosfg: : > Idutiosschluss: (+) (+) + + ( ) + ( ) > > für lle q.e.d. D :... ( ) ( ) > (für lle ) Utersuche zuächst die Behuptug D * : > (für lle ) Idutiosfg: : 7 > Idutiosschluss: ( ) > + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) > q.e.d. Wege > (d die lie Summe eie Summde mehr besitzt), gilt uch D.

67 D :... ( ) ( ) > (für lle ) Idutiosfg: : > Idutiosschluss: ( ) + > ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) > q.e.d. D : > + (für lle ) Idutiosfg: : > + Idutiosschluss: + > ( + ) + ( + ) + > + q.e.d. D 5: > (für lle 5) Idutiosfg: 5: 5 > 5 5 Idutiosschluss: + > + > + > + + (+) q.e.d.

68 D 6: > (für lle ) Idutiosfg: : > Idutiosschluss: + > + > > (+) q.e.d. D 7: <... < (für lle ) Idutiosfg: : < < Idutiosschluss: + Zwischeüberlegug: Der zweite Summd besitzt ( + -) ( -) Summde. Es gilt: > > bzw. < Dmit gilt für die Ausggssumme mit Hilfe dieser Überlegug ud der Idutiosvorussetzug: > + bzw. < + ud dmit: < < + q.e.d.

69 D 8:... > (für lle ) Idutiosfg: : >,7 >,5 > Vorüberlegug zum Idutiosschluss: + > (+) > ( ) > + > + ( < + Idutiosschluss: + > + > q.e.d. D 9: - ( + b ) > ( + b) ( b; + b > ) (für lle ) Vorüberlegug zum Idutiosfg: Wege b ist < ( b) b + b + b > b Idutiosfg: : - ( + b ) + b + b + + b > + b + b ( + b) Vorüberlegug zum Idutiosschluss: D ch Vorussetzug b, sei z. B. > b ( b wird i der Vorussetzug usgeschlosse ud -b uch icht sei, d sost + b i Widerspruch zur Vorussetzug wäre). Flls < b, folgt die Behuptug etspreched. Behuptug: > b für. Beweis durch Flluterscheidug, siehe ächste Seite...

70 . Fll: > ud b > : Wege > b ud dmit > b folgt sofort > b.. Fll: > ud b < : Uter Awedug des erste Flls gilt: > b b. Fll: < ud b > : Wege > b lso - > b + b < etfällt dieser Fll, d er der Vorussetzug widerspricht.. Fll: < ud b < : Wege der Vorussetzug + b > etfällt uch dieser Fll. Dmit ist die Vorüberlegug bewiese. Aus der Vorüberlegug folgt us der Behuptug für isbesodere > b. Dmit ergibt sich ( b) > ud ( b ) > < ( b) ( b ) + b b + b b + > b + b Diese Ugleichug wird im Idutiosschluss beötigt. Idutiosschluss: ( + b) + ( + b) ( + b) < ( + b) - ( + b ) - ( + + b + b + b + ) - [( + + b + ) + (b + b)] < - [( + + b + ) + ( + + b + )] - ( + + b + ) ( + + b + ) q.e.d. D :! > (für lle ) Idutiosfg: :! > 6 Idutiosschluss: (+)! (+)! > (+) > + q.e.d.

71 D : ()! (! ) < (für lle ) Idutiosfg: :!! Vorüberlegug zum Idutiosschluss: + + < (+) < (+)(+) ( ) Idutiosschluss: ( ) < < ()! (!) ()! ( )( ) ( )! (!) ( ) [( )!] [( )]! [( )!] q.e.d. D : > (+) (für lle 6) Idutiosfg: 6: > Vorüberlegug zum Idutiosschluss: Für 6 ist ch der Behuptug D 5: > 5 + > + Idutiosschluss: + (+) > (+) + (+) (+)( + ) > (+)( + + ) (+)(+)(+) (+)(+) q.e.d.

72 D : (für lle ) Idutiosfg: : +,5,5 + Idutiosschluss: > q.e.d. D : > + (für lle ) Idutiosfg: : > 5 > + Idutiosschluss: (+) > + + > > (+) + + q.e.d. D 5: ( + ) (für lle ) (+ ) Idutiosfg: : Idutiosschluss: + (+ ) (+ ) + ( + ) (+) + < ( + ) (+) + (+ ) (+ )( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) q.e.d.

73 D 6:... (für lle ) Idutiosfg: : <, <,5 < - - Vorüberlegug zum Idutiosschluss: + > + > > (+) > ( + + 9) ) ( 9 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Idutiosschluss: ) ( < - + ) ( < - q.e.d. D 7: Ugleichug vo Beroulli: (+) + für > -; (für lle ) Idutiosfg: : (+) + + Idutiosschluss: (+) + (+) (+) (+)(+) (+) q.e.d.

74 D 8: (+) + ( ) für (für lle ) Idutiosfg: : (+) ( -) Idutiosschluss: (+) + (+) (+) [+( -)] (+) ( ) ( + ) q.e.d.

75 Rier Müller, Armi Moritz (Joheum-Gymsium Herbor) E. Reursive Folge Lösuge E : ; + Idutiosfg: - -,5 Idutiosschluss: + q.e.d. E : ; ( ) + Idutiosfg: ( ) + Idutiosschluss: + + (+) + + (-) + + (+) q.e.d. E : ; + für lle Idutiosfg: : Idutiosschluss: + + +,5 > ud + + +,5 < q.e.d.

76 E : ; + Idutiosfg: Idutiosschluss: + q.e.d. E 5: Defiitio eier Fibocci-Folge: F, F ud F + F + F + (F ; F ; F 5 5; F 6 8; F 7, F 8 ; ) Für diese Fibocci-Folge gelte folgede Behuptuge: E 5 : F + + F + F + + F + F (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: F + F F + F + Idutiosschluss: rechte Seite: + F + F + F + + F + + F + F + + F q.e.d. E 5 b: F + F + + F F F F + (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: F Idutiosschluss: rechte Seite: F F F F + F + F F + + F + F + (F + F + ) F + F + q.e.d.

77 E 5 c: F m+ F m - F + F m F + (für lle m ud ) Idutiosfg: m, : lie Seite: F + F F + F + rechte Seite: F F + F F + m, : lie Seite: F + F rechte Seite: F F + F F + Idutiosschluss:. Schritt: m, vribel: zu zeige: F ++ F F + + F F + : Beweis: Mit F F folgt: F +(+) F + F + + F + F + F + F F + + F F + q.e.d. m, vribel:: zu zeige: F ++ F F + + F F + : Beweis: F +(+) F + F + + F + F + + F + + F + F + + F + F + + F + F F + + F F + q.e.d.. Schritt: fest, Idutiosschluss uf m: zu zeige: F m++ F m F + F m+ F + : Bei Idutiosschluss wird die Idutiosvorussetzug uf F m-+ ud uf F m+ gewedet (dies ist erlubt, weil der Idutiosfg ud der. Schritt für zwei ufeider folgede Zhle m ud m gezeigt wurde). Beweis: F m++ F m-+ + F m+ F m - F + F m- F + + F m - F + F m F + F (F m- + F m- ) + F + (F m- + F m ) F F m + F + F m+ q.e.d.

78 E 5 d: F + F + F + (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: F + F rechte Seite: F + F + Idutiosschluss: Beim Idutiosschluss wird E 5 c verwedet: F F + F - F + F F + Beweis: F (+)+ F + F + + F + F + + F + F + F + F + F + (F + F + ) F - F + F F + + F + F + F (F - + F ) + F F + + F + F + F F + + F F + + F + F + F +F F + + F + + F + (F + F + ) + F + F + + F + q.e.d. E 5 e: F + F F + + F + F + Idutiosfg: : lie Seite: F + F rechte Seite: F F + F F + 5 Vorüberlegug: Für de Idutiosschluss werde ußer der Idutiosvorussetzug och folgede obe bewiesee Aussge beötigt: Idutiosvorussetzug: F + F F + + F + F + E 5 d: F + F + + F + E 5 c: F + F (+)+(+) F + F + + F + F + Idutiosschluss: F +5 (F + + F + ) F + + F + F + + F + F F + + F + F + + (F + + F + )(F + F + + F + F + ) + (F + F + + F + F + ) (F + F + ) (F + + F + ) + F + F + + F + ( F + + F + ) (F + + F + ) + F + (F + + F + )

79 (F + F + ) (F + + F + ) + F + F + + F + ( F + + F + ) (F + + F + + F + ) + F + (F + + F + + F + ) (F + F + ) (F + + F + ) + F + F + + F + ( F + + F + ) (F + + F + ) + F + (F + + F + ) [(F + F + )(F + + F + )] + F + F + + F + (F + + F + F + + F + F + + F + ) + F + (F + + F + F + + F + ) [(F + F + ] + F + F + + F + (F + + F + F + + F + F + + F + ) + F + (F + + F + F + + F + ) F + F + F + + F + + F + F + + F + F + + F + F + + F + F + + F + + F + F + + F + F + + F + F + + F + F + + 8F + F + + 8F + F + + F + F + + F + F + + F + F + + (F + F + + F + F + + F + ) F + (F + + F + F + + F + ) + F + (F + + F + F + + F + ) F + (F + + F + ) + F + (F + + F + ) F + (F + + F + + F + ) + F + (F + ) F + (F + + F + ) + F + F + F + F + + F + F + q.e.d. E 5 f: F + F F + F + (-) + (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: F + F F F + rechte Seite: (-) + Idutiosschluss: F + + F + F + F + F + + F + (F + F + ) (F + F + ) F + + F F + + F + F F F + F + - F F F + + F + - (F + F F + F + ) -(-) + (-) + q.e.d.

80 Rier Müller, Armi Moritz (Joheum-Gymsium Herbor) F. Ableituge Lösuge F : f() e +b f () () e +b (für lle ) Idutiosfg: : f () () e +b e +b f() Idutiosschluss: f (+) () [f () ()] [ e +b ] e +b +b + e q.e.d. F : f() (e t) f () () e t e (für lle, ) Idutiosfg: : lie Seite: f () () f () (e t) e e t e rechte Seite: f () () e t e e t e Idutiosschluss: f (+) () [f () ()] [ e t e ] e t e + e t e q.e.d. F : f() -(+) e - f () () (-) - ( + - ) e - (für lle ) Idutiosfg: : f () () (-) - ( + - ) e - -(+) e - f() Idutiosschluss: f (+) () [f () ()] [(-) - ( + - ) e - ] (-) - [ e - + ( + ) e - (-)] (-) - [-(-) e - ( + ) e - ] (-) - [ ( + ) e - ] (-) - [ ( + ( + )) e - ] (-) - (-) [( + ( + )) e - ] (-) [( + ( + )) e - ] q.e.d.

81 F : f() e f () () [ + + (-)] e (für lle ) Idutiosfg: : lie Seite: f () () f () e + e ( + ) e rechte Seite: f () () [ + + (-)] e ( + ) e Idutiosschluss: f (+) () [f () ()] {[ + + (-)] e } [ + ] e + [ + + (-)] e [ ] e [ + (+) + + ] e [ + (+) + (+) ] e q.e.d. F 5: f() l f () () (-) - (-)! ( ) + (-)! ( ) (für lle ) Idutiosfg: : ( ) ( ) ( ) lie Seite: f () ( ) ( ) ( )( ) rechte Seite: f () () (-) - (-)! ( ) + (-)! ( ) + ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Idutiosschluss: f (+) () [f () ()] [(-) - (-)! ( ) [(-) - (-)! (+) - + (-)! (-) - ] + (-)! ( ) ] (-) - (-)! (-) (+) -- + (-)! (-) (-) -- (-) (-) - (-) (-)! ( ) + (-)! ( ) (-)! ( ) +! ( ) q.e.d.

82 F 6: f () - f () - -- (für lle ) Idutiosfg: : f () - f () f( ) f() ( ) ( ) - ( ) - ( ) Idutiosschluss: f + () -(+) Mit Hilfe der Produtregel, des Idutiosfgs ud der Idutiosvorussetzug folgt: f + () (- -- ) (+) -- q.e.d. F 7: f() b f () () (-)! ( b) (für lle ) Idutiosfg: : f () () (-)! ( b) b f() Idutiosschluss: f (+) () [f () ()]! ' ( ) (-)! [(+b) -- ] ( b) (-)! (--) (+b) (-) + +! (+) (+b) (-) + ( )! ( b) q.e.d.

83 F 8: f() f () () (-) +! ( ) (für lle ) Idutiosfg: : f() (-) - f () - (-) - (-) (-) +! ( ) Idutiosschluss: f (+) () [f () ()] ( )! ( ) (-) +! (--) (-) -- (-) +! (+) (-) -- (-) + (+)! ( ) q.e.d. F 9: f() sih( ) f () () sih( ) (für lle ) e z e z Hiweis: sih(z) Idutiosfg: : f ( ) () sih( ) sih( ) f() Idutiosschluss: f (+) () [f ()] [ sih()] [sih()] [e e - ] [ e + e - ] [ e e - ] [e e - ] + sih() q.e.d. F : f() si( ) f () () (-) si( ) (für lle ) Idutiosfg: : f ( ) () (-) si() si() f() Idutiosschluss: f (+) () [f ()] [(-) si()] [(-) cos()] (-) [-si()] (-) + + si() q.e.d.

84 Rier Müller, Armi Moritz (Joheum-Gymsium Herbor) G. Sostiges Lösuge G : Elemete m uf! verschiedee Arte orde. Idutiosfg: : Elemet lässt sich uf eie Art orde:! Idutiosschluss: Gegebe seie die Elemete e bis e. Diese lsse sich ch Idutiosvorussetzug uf! Arte orde. Nu ommt ei eues Elemet e + hizu. Für die (+) Elemete stehe (+) Plätze zur Verfügug. Ds Elemet e + zuächst uf irgedeies dieser (+) Plätze gesetzt werde. Für die restliche Elemete e bis e stehe u och jeweils Plätze zur Verfügug. Dfür gibt es ch Idutiosvorussetzug! Möglicheite. Isgesmt gibt es lso für lle Elemete e bis e + (+)! (+)! Möglicheite. q.e.d. ( ) G : I eiem ovee -Ec (mit ) gibt es Digole. Idutiosfg: : I eiem Dreiec gibt es eie Digole. ( ) Es ist Idutiosschluss: Nch Idutiosvorussetzug öe i eiem ovee Vielec mit Ece isgesmt,5 (-) Digole gezeichet werde. Ei ovees Vielec mit (+) Ece etsteht us eiem ovee Vielec mit Ece, idem eie zusätzliche Ece hizuommt. Diese zusätzliche Ece mit lle Ece des ovee (+)-Ecs mit eier Digole verbude werde, usgeomme mit sich selber ud mit de beide Nchbrece, d. h. es öe vo dieser eue Ece us (+) eue Digole gezeichet werde. Außerdem öe die beide Nchbrece dieser eue Ece erstmls durch eie Digole verbude werde, d. h. es ommt och eie Digole hizu. Zu de scho vor vorhdee,5 (-) omme lso och eiml (+) + eue Digole hizu, lso isgesmt,5 (-) +,5 ( + ),5 ( ( ) [( ) ] ),5 (+)(-) q.e.d.

85 G : Eie Gerde zerlegt die Ebee i zwei Gebiete. Gerde öe die Ebee höchstes i Gebiete zerlege. Idutiosfg: : Keie Gerde, d. h. ds Gebiet wird icht zerteilt, lso verbleibt Gebiet ud es ist: Idutiosschluss: Nch Idutiosvorusetzug öe Gerde ei Gebiet i höchstes zerlege. Eie eu hizuommede (+)-te Gerde jede der bisher vorhdee Gerde höchstes eiml scheide. Dbei verläuft diese eue Gerde durch miml (+) Gebiete, die d durch die eue Gerde i jeweils Teilgebiete ufgeteilt werde, d. h. es omme miml (+) eue Gebiete hizu. Mimlzhl ller Gebiete bei (+) Gerde: ( ) ( ) q.e.d. + + G : Die Wielsumme der Iewiel i eiem ovee -Ec (mit ) beträgt (-) 8. Idutiosfg: : Die Summe der Iewiel i eiem Dreiec beträgt betermße 8 ( ) 8. Idutiosschluss: Sei u ei Dreiec gegebe mit (+) Ece. Betrchte zuächst ei Dreiec mit Ece, welches etsteht, we us dem Dreiec mit (+) Ece eie Ece überspruge wird: Für ds Dreiec mit Ece beträgt die Summe der Iewiel ch Idutiosvorussetzug ( ) 8. Die Summe der Iewiel im Dreiec mit (+) Ece müsse zur bisherige Summe der Iewiel lediglich och die drei Iewiel des eue Dreiecs hizugefügt werde, lso 8. Gesmtsumme ller Iewiel im Dreiec mit (+) Ece: ( ) ( ) 8 q.e.d.

86 G 5: Die Potezmege eier -elemetige Mege ( ) ethält Elemete. Idutiosfg: : Eie Mege mit Elemete ur die leere Mege { } sei. Die Potezmege der leere Mege P({ }) ethält ur eie eizige Mege, ämlich die leere Mege: P({ }) { { } }, d. h. sie ethält geu ei Elemet:. Idutiosschluss: Sei M + eie Mege mit (+) Elemete e ; ; e +. Betrchte dzu die Teilmege M mit de Elemete e ; ; e. Die Potezmege P(M ) dieser Teilmege ethält ch Idutiosvorussetzug geu Elemete, diese seie mit T(); ; T( ) bezeichet, d. h. P(M ) {T(); ; T( )}. Um die Potezmege vo M +, lso lle mögliche Teilmege vo M + zu erhlte, die Potezmege vo P(M ) verwedet werde, de diese ist eie Teilmege vo P(M + ). Dzu omme och lle mögliche Teilmege, die uch ds Elemet e + ethlte. Diese erhält m ddurch, idem jedes Elemet vo P(M ) mit dem Elemet e + vereiigt wird: T() {e + }; ; T( ) {e + }. P(M + ) {T(); ; T( ); T() {e + }; ; T( ) {e + } }. Die Azhl der Elemete vo P(M + ) beträgt dher + +. q.e.d. G 6: Schubfchprizip: Werde Objete i Fächer gegebe ( mit < ), d ethält midestes eies der Fächer mehr ls ei Objet. Die Objete werde u cheider uf die Fächer verteilt, wobei i jedem Schritt uf die Behuptug gechtet wird. Idutiosvorussetzug: Der erste Objet wird i ei beliebiges Fch gelegt, dmit ist ei Fch belegt. Für ds zweite Objet gibt es u zwei Möglicheite. Wird es i ds bereits mit eiem Objet belegte Fch gelegt, d ist die Behuptug bereits erfüllt. Wird ds zweite Objet llerdigs i ei och leeres Fch gelegt, sid dmit zwei Fächer mit jeweils eiem Objet belegt. Idutiosschluss: Nch Idutiosvorussetzug seie u m (m < ) Fächer mit jeweils eiem Objet belegt. Für ds (m+)-te Objet gibt es u zwei Möglicheite. Wird es i ei Fch gelegt, dss bereits mit eiem Objet belegt ist, d ist die Behuptug erfüllt. Wird ds (m+)-te Objet llerdigs i ei och leeres Fch gelegt, sid dmit (m+) der Fächer mit jeweils eiem Objet belegt. Dieses Verfhre wird fortgeführt bis m. Nu sid lle Fächer mit jeweils eiem Objet belegt. D ber >, gibt es och Objete, die verteilt werde müsse. Ds (+)-te Objet muss u i irgedeies der Fächer gelegt werde. D ber jedes dieser Fächer bereits mit eiem Objet belegt ist, besitzt dieses u gewählte Fch geu zwei Objete. Dmit ist die Behuptug bewiese.

87 G 7: Kleier Stz vo Fermt: Für eie Primzhl p ud eier türliche Zhl mit ggt(,p) gilt p p- - Beweise zuächst folgede Beziehug: G6* Für eie beliebige Primzhl p gilt: p( p ) für jede türliche Zhl Beweis durch vollstädige Idutio: Idutiosfg: : p ud für jede Primzhl p ist p p Idutiosschluss: zu zeige: p[(+) p (+)] Beweis: Es ist (+) p p p p (+) - (+) p p p p + - p p p + p Nch Idutiosvorussetzug ist p( p ) p p! Die Biomiloeffiziete sid betlich immer türliche Zhle:! (p )! Der Zähler ethält p ls Ftor. D p eie Primzhl ist, die größer ls ud ls (p-) ist für lle Summde der Summe, p icht weggeürzt werde. p p Dher ist p ud dmit uch p für jede Summde der Summe. Weil u p( p p ) ud p p, ist p uch ei Teiler der Summe beider Ausdrüce, d. h. p p p + p, lso p[(+) p (+)] q.e.d. Beweis des leie Stzes vo Fermt: Es ist ( p ) ( p- ). Nch Stz G 6* ist p p ud d p eie Primzhl ist, gilt p p( p- ) D ch Vor. ggt(,p) p( p- ) q.e.d.

88 G 8: Für folgede Zhl im Zweiersystem gilt: (), wobei die Ziffergruppe im Zweiersystem - ml hitereider voromme soll. Idutiosfg: : () + Idutiosschluss: () () + () + + (+) + [ + ] ( ) ( + ) q.e.d. G 9: Für die Mtri A gilt: A A A A ) ( -Stüc (für lle ) Idutiosfg: : A ) ( A Idutiosschluss: A + A A ) ( ) ( ) ( q.e.d.

89 G : Für die Mtri A gilt: A A A A ) ( ) ( ) ( ) ( ( für lle ) -Stüc Idutiosfg: A ) ( ) ( ) ( ) ( A Idutiosschluss: A + A A ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( q.e.d.

90 G : Für die Mtri A gilt: A A A A - - A ( für lle ) -Stüc Idutiosfg: : A - A Idutiosschluss: A + A A A q.e.d.

91 G : Idutios-Afg: : Idutios-Schritt: Es gelte die Idutios-Vorussetzug: Sid Zhle i > [i ; ;..., ; ] gegebe mit Zu zeige: Sid + Zhle i > [i ; ;... ; ; + ] gegebe mit Beweis: Für + Zhle mit i > [i ; ;... ;; + ] gelte Die Zhle i seie der Größe ch geordet, lso D gilt ud + (sost wäre ds Produt der Zhle icht ). Aders geordet gilt ( + ).... Nch Idutios-Vorussetzug gilt für dieses Produt us Zhle, dss für die Summe dieser Zhle gilt: ( + ) }{{} + ( + ) + } {{ } ( ) + }{{}

92 Mthemti/Iformti-Übug Komplee Zhle Gierhrdt. Bereche w z + z ud w z z. ) z + i z 5 i b) z + i z i c) z + i z + i d) z i + i z i + i e) z i + i z i + i f) z i 7 + i 6 z i 5 + i. Bereche ds Produt w z z. ) z + i z + 5i b) z + i z + i c) z 7 i z 7 + i d) z + i z + i

93 . Bereche de Quotiete w z z. ) z + i z 5i b) z + i z 5 + 7i c) z 8 z 8i d) z i z 5 + 5i. Bereche. ) i 7 + i 9 + i + i b) i + i 5 + i + i c) i( i) + ( i) + i i ( i) d) ( i) 5 i + ( i) + i ( i)i e) i 7i + i i i i i f) (i i ) + (i + i ) g) ( i ) ( i )

94 5. Bereche. ) i b) i 5 c) i i 5 d) i i e) i i f) i i g) i + i h) i + i 6. Bereche. ) i + i b) 5 i ( i)

95 c) 7. Beweise: i ( i) Ist ds Produt zweier ompleer Zhle gleich ull, so ist midestes eie der beide Zhle gleich ull. 8. Löse i C. ) b) c) d) 9. Löse i C. ) b) c). Beweise: c 89 ( + ) ( + )(9 6) Besitzt die (ormierte) qudrtische Gleichug usschließlich reelle Koeffiziete ud eie echt-omplee Lösug, so ist uch die ojugiert-omplee Zhl eie Lösug der Gleichug.

96 Mthemti/Iformti-Übug Komplee Zhle Gierhrdt. Beweise ) z z z z b) z + z z + z c) z z z z d). Beweise ) z z z z z z z z z b) ( z z ) z z. Bestimme z. ) z z + 5, I(z) b) z z + i, R(z) c) z z, I(z)

97 d) z z, R(z). Sizziere, welche Teilmege der Gußsche Zhleebee beschriebe wird! Dbei ist zu bechte, dß rg(z) < π. ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) M {z C z < } M {z C rg(z) < π} M {z C z < } M {z C z > rg(z) < π } M {z C z } M {z C rg(z) π} M {z C z rg(z) > π} M {z C z + i } M {z C z + i 5} M {z C z z i }

98 ) M {z C < z } l) M {z C z + i } m) M {z C z + i } ) M {z C z ( + i) } o) M {z C z + i } p) M {z C z + i }

99 Übuge zur Vorlesug Mthemti II Folge ud Reihe (Aufgbe) Prof. Dr. N. Mrtii. Folge ) Bestimme Sie de Grezwert der Folge Lösug: g b) Bestimme Sie de Grezwert der Folge Lösug: g c) Es ist der Grezwert g der Folge + zu bestimme sowie ei zugebe, sodss für lle > gilt g < ε Lösug: g ud > 7 9ε + d) Grezwert der Folge: + ( 5 ) Lösug: g e) + + Lösug: g f) ( + 5 ) ( + + ) Lösug: 6 5 g) ( + ) Lösug: 9 h) + + Lösug: divergete Folge i) ( + ) Lösug: e j) ( + ) Lösug: e / ) ( + ) Lösug: e l) Bestimme Sie die Häufugspute vo ( ) Lösug: ± (+)

100 . Reihe ) Bestimme Sie de Grezwert der Reihe mittels Prtilbruchzerlegug ( )( + ) b) Lösug: c) Bestimme Sie de Grezwert der Reihe Lösug: die Reihe ist diverget d) Bestimme Sie de Grezwert der Reihe (siehe uch Aufgbe i)) 5! e) Bestimme Sie de Grezwert der Reihe Lösug: die Reihe ist diverget f) I de folgede Aufgbe ist die Kovergez der Reihe mittels Mjorte-, Miorte-, Quotiete-, Wurzel- oder Leibiz-Kriterium festzustelle: g) h) Lösug: overgete Reihe Lösug: divergete Reihe Lösug: overgete Reihe

101 i) 5! j) Lösug: overgete Reihe! 9 ) Lösug: divergete Reihe ( ) + l) Lösug: overgete Reihe ( ) > m) Lösug: overgete Reihe ( ) ) Lösug: overgete Reihe o) Lösug: overgete Reihe ( ) + + Lösug: overgete Reihe

102 . Potezreihe Bestimme Sie de Kovergezrdius der folgede Reihe ) b) Lösug: r ( + ) Lösug: r c)! ()! d) Lösug: r ( ) e) Lösug: r Lösug: r f) Reiheetwiclug Lösug: cos +... f() cos

103 5. Tylorreihe ) Bestimme sie die Tylorreihe der Futio f() si der Stelle Lösug: T () ( ) (+)! + b) Bestimme sie die Tylorreihe der Futio f() si der Stelle Lösug: Ergebis us Aufgbe ) qudriere 5. Fourierreihe ) Bereche Sie die Koeffiziete der Fourierreihe folgeder Futio (Sägezh): f() { für < < π π für Lösug: ud b für lle b) Futio: f() si i de Bereiche π bis π ud bis π, dzwische ist f()

104 Aufgbe ud Lösuge Ausrbeitug der Übugsstude zur Vorlesug Alysis I Adres Moor Witersemester 8/9

105 Aweseheitsufgbe Übug m 9..8 ÜBUNGEN MATHEMATIK Adres Moor Übug 8 Eileitug Es soll och eiml uf die gebotee Sprechstude higewiese werde, sowie uf mögliche Methode beim Lere des Stoffes (diese wird ls die beste gesehe). M mcht sich dbei icht ur die Defiitioe ud Sätze schulich lr, soder mert sich uch die Beweise, die gewisse Trics ie hbe. We es icht geht, sich die Beweise i lle Eizelheite zu mere (ws icht verwuderlich ist iemd, de ich ee, es), so ist es sehr gut, sich die Huptidee ud de ugefähre Abluf des Beweises zu mere. M versucht d, sich selbst zu prüfe (besser i eier leie Gruppe), ob m de eie oder de dere Stz beweise. Eie Bemerug zur Defiitio ud Verstädis des Begriffs Häufugsput: Uedlich viele Glieder sid WENIGER, ls lle! Weiterhi soll fährerweise druf higewiese werde, dß i der richtige Klusur m icht bschreibe dürfe wird (Gruß ds Kozept der Miilusure). Nch dem Betworte der Frge zum tuelle Übugszettel geht es los.

106 Aweseheitsufgbe Übug m 9..8 ÜBUNGEN MATHEMATIK Adres Moor Aufgbe Aufgbe Welche Kovergezriterie für Reihe gibt es? Fide ei Beispiel für eie overgete ber icht bsolut overgete Reihe. Lösug Wir liste die Kriterie hier uf ud gebe urz die Beweisidee. i) (Leibizriterium) Eie lterierede Reihe ( ) + ist overget, flls eie mooto fllede Nullfolge ist. Der Beweis bsiert uf dem wohlbete Stz für Folge, ch dem eie mooto wchsede (fllede) ud ch obe (ute) beschräte Folge overgiert. ii) (Kovergezriterium vo Cuchy) Eie Reihe c ist overget geu d, flls gilt: ε > N > m : m+ c < ε. Der Beweis folgt us dem etsprechede Kovergezriterium für Folge (Cuchy- Kriterium). iii) (Geuso, wie für reelle Folge, gilt der Stz, dß eie mooto wchsede ud ch obe beschräte Folge der Prtilsumme overgiert) Sei eie reelle Reihe mit. Diese Reihe ist geu d overget, flls die Folge der Prtilsumme s ch obe beschrät ist. iv) (Mjorteriterium) Es seie c ud d zwei Reihe mit c d für fst lle N. D gilt: ) Sei d eie overgete Reihe. D ist die Reihe c bsolut overget. b) Sei c diverget. D divergiert uch die Reihe d. Der Beweis folgt durch direte Abschätzug (techischer Kiff: Summtio für die Abschätzug begit icht vo, soder vo ). v) (Wurzelriterium) Es sei c uf Kovergez zu utersuche. M rechet us: c r.

107 Aweseheitsufgbe Übug m 9..8 ÜBUNGEN MATHEMATIK Adres Moor ) Ist r <, so ist die Reihe c bsolut overget. b) Ist r >, so ist die Reihe c diverget. Hier bsiert der Beweis uf dem Mjorteriterium mit der geometrische Reihe ls overgete Miorte. Divergez folgt us der fehlede Nullfolgeeigeschft der Reihe für r >. vi) (Quotieteriterium) Sei c für fst lle N. D ist die Reihe c bsolut overget, flls c + c r <. Die Reihe c divergiert, flls c + c > für fst lle N. Hier bsiert der Beweis wieder uf dem Mjorteriterium mit der geometrische Reihe ls overgete Miorte. Divergez folgt us der fehlede Nullfolgeeigeschft der Reihe für c + c >. Ei Beispiel eier overgete ber icht bsolut overgete Reihe ist mit schell gefude, d diese Reihe, wie m sich leicht lrmcht, ch Leibizriterium overgiert, ber, wege des Beispiels der hrmoische Reihe, icht bsolut overgiert. Aufgbe Utersuche die folgede Reihe uf Kovergez ud bsolute Kovergez: ( ) i) ii) iii) ı ( ) + Lösug Wir beutze hier die obe gegebee Kovergezriterie ud gebe Möglicheite, wie die Beweise der Kovergez bzw. Divergez erfolge öe.

108 Aweseheitsufgbe Übug m 9..8 ÜBUNGEN MATHEMATIK Adres Moor i) ist bsolut overget. Dies zeigt m wie folgt: < ( ) < q, ii) für ei q R, q >, b, d Mjorteriterium wede. Die Reihe die Reihe overgiert uch ++5 ı 5 ++ q. Jetzt öe wir ds overgiert bsolut ud stellt für wege der obige Abschätzug eie Mjorte dr. Somit ++5 bsolut. + ist diverget. Es gilt: ı ı ( + + 5)( ı + + ) 9 + ( + ) ( + + 5) + ı ( + + 5) ı D u, wege, der Relteil des llgemeie Reiheglieds icht beschrät ist ud, isbesodere, eie Nullfolge bildet, ist die Reihe ++5 diverget. iii) Die Reihe ( ) + + : + ı 5 ++ ist wege des Leibizriteriums overget. Es gilt ämlich für + ( + ) < + +. Somit ist mooto flled ud. Wege < ud der Ttsche, dß + eie Nullfolge ud eie beschräte Folge ist, ist eie Nullfolge. Somit sid die Vorussetzuge des Leibizriteriums erfüllt ud ( ) overgiert. + Sie ist jedoch icht bsolut overget, de es gilt: ( ) + + > ( ) + 5

109 Aweseheitsufgbe Übug m 9..8 ÜBUNGEN MATHEMATIK Adres Moor Somit stellt eie Miorte für die Reihe ( ) + + wege des Beispiels der hrmoische Reihe divergiert, divergiert uch Aufgbe Utersuche uf Kovergez ud bsolute Kovergez: i) ii) Lösug Hier ommt die Brechstge zum Eistz.! ()! (ı) i) Die Reihe! ist bsolut overget. Es gilt für ()!! + D folgt: + ( + )! ()! (( + ))!! r + ( + )()! ( + )! + ()! : dr. D sie. + + ( + )( + ) Weil u r <, ist die Reihe! wege dem Quotieteriterium bsolut ()! overget. ii) Die Reihe D folgt: (ı) r ist diverget. Es gilt für (ı) : (ı) c. ( ), d overget ( ) ud overget mit (dies folgt us de Recheregel für overgete Folge, d ud, wie us Vorlesug bet, ). Weil u r >, folgt us dem Wurzelriterium, dß (ı) divergiert. 6

110 Aufgbe ud Lösuge Ausrbeitug der Übugsstude zur Vorlesug Alysis I Adres Moor Witersemester 8/9

111 Aweseheitsufgbe Übug m..9 ÜBUNGEN MATHEMATIK Adres Moor Übug Eileitug Es soll druf higewiese werde, dß es i der Woche vor der Klusur Sprechstude gebote werde. Die Zeite ud Räume stehe im Blcbord. Für die Klusur sid die Abschitte.5 bis. eischließlich relevt. M ommt bei der Klusur icht durch, we m die Aufgbe reche, jedoch ei theoretisches Wisse vorzeige. Ds Niveu der Aufgbe i der Klusur soll zwische de Aweseheitsufgbe-Niveu ud Husufgbe-Niveu liege. Für die Klusur solle ud dürfe ur mitgebrcht werde: Schreibstift (ei Bleistift!), besser zwei, we der dere ufgibt, Esse/Trie, Studeteusweis, Kopf (wichtig). Tscherecher ud weitere Hilfsmittel sid icht gestttet (uch Spiczettel icht), sie werde ber weder gebrucht och ützlich sei. We jemd Iteresse ht, m im ächste Semester stttfidede Pro-Semir i Alysis teilzuehme, schict eie E-mil Fru Dzwigoll. Die Vorussetzug ist, türlich, die bestdee Alysis I-Klusur. Desweitere solle Frge zur Vorlesug ud Husufgbe betwortet werde.

112 Aweseheitsufgbe Übug m..9 ÜBUNGEN MATHEMATIK Adres Moor Aufgbe Aufgbe Es seie f i : R R für i {,, } gegebe durch f i () ud i) ii) iii) f si f si f si ( ) ( ) ( ) für. Welche der Futioe sid i stetig, welche differezierbr? (Zustz: Welche der Futioe ist stetig differezierbr?) Lösug Wir zeige, dß f icht stetig i ist, f ud f stetig i sid, f icht differezierbr i ist, ber f differezierbr i ist. Es zeigt sich jedoch, dß f icht stetig differezierbr i ist. i) f ist icht stetig i. Dmit ist sie uch icht differezierbr i. Dß f icht stetig i ist, folgt us dem Folgeriterium für Stetigeit. Es gilt icht für jede Folge ( ) mit, dß f ( ) f ( ) f (). Dzu betrchte beispielweise die Folge [( + ) π ] (+)π m sich leicht überzeugt:. Wege ( ) [( ) ] [ ] f ( ) si si + π si π, f ( ) () f ( ).. Es gilt, wie ii) f ist stetig i, de wieder mit Folgeriterium für Stetigeit gilt für eie beliebige Folge ( ) mit : ) f ( ) si ( f () f ( ), M hier leicht eie Folge ostruiere. M wählt eie beliebige Wert vo si us, berechet de dzugehörige rcsi-wert ud ddiert ds -fche der Periode vo si, lso π hizu. Der Kehrwert ist d die gesuchte Folge. Hier ist der Wert vo si gleich gewählt worde ud es gilt: rcsi() π.

113 Aweseheitsufgbe Übug m..9 ÜBUNGEN MATHEMATIK Adres Moor ( d eie Nullfolge ud si y R ist. ) eie beschräte Folge wege si(y) [, ] f ist icht differezierbr i. Es gilt mit der Defiitio der Differezierbreit: f () f ( + h) f () h h f (h) f () h h ) ( h h si h ( h si h h wie wir obe she, eistiert dieser Grezwert ber icht, de si ( ) ist icht stetig i. iii) f ist stetig i, de wieder mit Folgeriterium für Stetigeit gilt für eie beliebige Folge ( ) mit : ( f ( ) si ( d eie Nullfolge ud si y R ist. ) ). ( ) si f () f ( ), ) eie beschräte Folge wege si(y) [, ] f ist uch differezierbr i. Es gilt mit der Defiitio der Differezierbreit: f () f ( + h) f () h h f (h) f () h ( h h si ) h h h h si. h ) Es gilt ber: f ist icht stetig differezierbr, de, we m für die Ableitug berechet, gilt: ( ) ( ) f () si cos, (.) [ ( Es gilt zwr, dß si )], ber, geuso wie bei si ( ), eistiert uch cos ( ) icht, ud ist, demch, icht gleich, ws der Wert vo f () ( h

114 Aweseheitsufgbe Übug m..9 ÜBUNGEN MATHEMATIK Adres Moor ist, wie wir obe berechet hbe. Somit ist die Futio ( ) ( ) si cos, für f (), für, die eie Fortsetzug vo f () drstellt, icht stetig i. Aufgbe Seie f, g, h : R R differezierbre Futioe. Fide eie Formel für (f g h) (). Lösug Zuächst defiiere wir: H : f g. D gilt mit der Produtregel: (f g h) () (H h) () ( ) H () h() + H() h () (f g) () h + (f g)() h () ( ) (f () g() + f() g ()) h() + f() g() h () f () g() h() + f() g () h() + f() g() h (). Hier ist bei ( ) die Produtregel uf H ud h gewdt worde, bei ( ) wurde die Produtregel uf f ud g gewdt. Aufgbe Sei N. Bestimme die Ableituge der Futioe f, g : R R mit i) ii) f() (si()) si( ) g() ep( ). Lösug Mit Summtiosregel, Produtregel ud Ketteregel folgt: i) ii) f () ((si()) si( )) (si()) cos() cos( ) ((si()) cos() cos( )) g () (ep( )) ep( ) ( ) ep( ) Aufgbe Stelle Sie eie Tbelle zur Berechug eiiger eifche Ableituge zusmme! 5

115 Aweseheitsufgbe Übug m..9 ÜBUNGEN MATHEMATIK Adres Moor Lösug Hier ur eie leie mögliche Zusmmestellug der wichtige Futioe ud dere Ableituge: f() f () c (Kostte) µ µ µ ep() log () l() si() cos() l() ep() log (e) cos() si() t() sec () cos () cot() cosec () si () rcsi() rccos() rct() + rccot() + sih() cosh() cosh() th() coth() sih() cosh () sih () 6