Max$&$Mirjam$ Potenzreihen$ PAMS$2012$ Eine$unendliche$Reihe$ist$konvergent,$wenn$die$Folge$ihrer$Partialsummen$ s n
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- Linda Brinkerhoff
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1 Mx&Mirjm Potezreihe PAMS22 Potezreihe* Folge* Bsp.* =,2,3,4...* Reihe* = = = 55 Uedliche*Reihe* = = (hrmoischereihe) Kovergez*ud*Divergez* EieuedlicheReiheistkoverget,wedieFolgeihrerPrtilsumme s = k Grezwerts(Summewert)besitzt. k = eie Summewert:(BeispielGeometrischeReihe) Bedigug q < s = k k = s q = (q*istdiebsisderpotezreihe) q q = BesitztdieReihekeieSummewert,soheisstdieuedlicheReihediverget. Quotietekriterium* = + = = q q < ( kovergiert) q > ( divergiert) q = ( keieaussge) Alsoweqkleierlsist,kovergiertdieReihebzw.weqgrösserlsist,divergiertdieReihe. Bsp. = = = 2 = 2 2 < lsokovergiertdiereihe. 2
2 Mx&Mirjm Potezreihe PAMS22 Leibizsches*Kovergezkriterium*für*lterierede*Reihe* AlterieredeReihevomTyp: + ( ) = BeilterieredeReihewechselsichjeweilsdieVorzeicheb. Kriterie: (uterderbedigug: > ). > > > = SiddieseKriteriegegebe,kovergiertdieReihe. Uedliche*Potezreihe* = 2 x = + x + 2 x... Kovergezverhlte* ZujederPotezreihegibteseiepositiveZhlr,derKovergezrdiusmitdefolgede Eigeschfte. Kovergezrdius: x = x x < x < < x + + x = r lso r < Kovergezbereich: +. x < r kovergiert 2. x > r divergiert
3 Mx&Mirjm Potezreihe PAMS22 Soderfll:(PotezreihemitAfgspukt x ) ( x x ) Kovergezsbereich:. x r bis x + r kovergiert 2. x r & x + r divergiert
4 8.3 TAYLOR-Reihe Soderfll vo Potezreihe Es ist grudsätzlichmöglich eie vorgegebee Fuktio f (x) i eie Potezreihe zu efwickel MAC LAURINsche Reihe Uter bestimmte Vorussetzuge läßt sich eie Fuktio f (x) i eie Potezreihe der Form: f(*) - f(o)+ry.*l#x2 +L#f+. etwickel. _ f "f '(o) _., -fu! 't Erklärug zur Herleitug. Die Etwicklug der Fuktio f (x) i eie Potezreihe vom Typ f (*) = {i * e.xl + crx2 + rx3+...*x ist grudsätzlich möglich ud eideutig. 2" Die F**kti,f{x) ist i eier gewisse Urge!:ug vo x - beliebig oft differezierbr ud die Fuktioswerte /() ud.qbieirligswee /'''(ü), j^" iüi,,f"'iüi,... sii.ic! bckruu.
5 8.3.2TAYLORsche Reihe Die Potezreiheetwicklug eier Fuktio f x = führte zur Mc LAURINsche Reihe vo /(x). (x) um de Nullpukt Grudsätzlichk m eie Fuktio f (x),rr eie beliebige Stelle xs etwickel. Diese Etwicklug heißt TAYLORsche Reihe. f (*) -.f (xo). ry.(x - xo)' * LP.(x - xo)'t...= -: S "f"qo), AT'(x-xo)' xs- Etwicklugszetrum. für x6 = geht die Tylor-Reihe i die Mc Luri Reihe über, die somit eie spezielle Form der TAYLORsche Reihe ist. 2. Kovergezrdius r Die Reihe kovergiert für lx - xol < r.
6 Näherugspolyome. Eie vorgegebee Fuktio /(x) wird zuerst i eie Potezreihe etwickelt. 2. D wird diese Reihe ch der -te Potez bgebroche f(*)- f ()+ry.xr+ L#.x2+..ry.x*... f,(x) = f(). ry. x + L#. x2+..ry. N' t&(") M erhält ddurch ds Näherugspolyom -te Grdes fw f (x) ds sog. Mc LAURlNsche Polyom Die verchlässigte Glieder fsse wr zu eiem sog. Restglied &(x) zusrlme. R,(x) = f#. x,*' * ffi.. * x)= f,(x)+&(x) TAYLORsche Formel &(x)=tffi'*+l LAGRANGE Die Güte des Mc LAURINsche Näherugspolyom läßt sich dbei durch Hizuhme weiterer Glieder -f,(x) stets och verbesser. Gleichzeitig verliert ds Restglied &{x) immer mehr Bedeutug ud wird schließlich verchlässigbr klei. Ds Restglied beschreibt somit de Fehler, de m begeht. Alle Aussge gelte uch für die TAYLORsche Reiheetwicklug.
7 8 "3. 4 Ite grtio durch P otezre iheetwi cklug Es gibt viele Itegrle, die mit herkömmliche Itegrtiosmethode i geschlosseer Form icht lösbr sid. Zu diese Itegrle gehört ds GAUSSsche Fehleritegrl, ds i sttistische Probleme uftritt. iii F* ziiiiirsiuiicri -^t l*^:^..,* Fälle ItÄl!^^ lzii;t lxä+ ^i^l sich ei Itegrl J rix schritffi,'eise wie folgt löse: f f(") - )e-"dt. Efwicklurg der Itegrlfukti o f (x) i eie Mc LAUERIN oder TAYLOR Reihe (wir erhlte eie Potezreihe) 2. Gliedweise Itegrtio ch der Potezregel I
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