Technische Physiker II
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- Tomas Michel
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1 Dteverrbeitug für Techische Physiker II Iterpoltio Guss-Itegrtio Nullstellesuche Apssugsprobleme Itegrtio ti gesucht: Aäherug ds bestimmte Itegrl b i f( x dx w f( E ( i i bisher: Polyome geriger Ordug durch Utermege der Stützpukte gelegt ud itegriert i (Newto- Cotes Itegrtio Vorteil: eifch uszuwerte für äquidistte Stützpukte Nchteil: viele Stützpukte (Messwerte otwedig, um hohe Geuigkeit zu erziele
2 3 geäderte Situtio: Fuktio f(x ist ur für icht äquidistte Pukte i bekt b ist schwer zu bereche oder zu messe mögliche Lösuge: - Polyom p (x durch i lege ud p itegriere - Whl der i optimiere 4 Polyomiterpoltio Lgrge-Polyome g Dividierte Differeze Stz vo Weierstrss: Ist f(x stetig uf dem Itervll [,b] ud sei eie kleie Zhl größer, d existiert ei ( für ds gilt f(x-p (x < für lle x us [,b] Behuptug: Es existiert t ei ud ur ei Polyom vom Grd oder kleier, ds die + reellwertige Fuktios- werte f( i de Stelle iterpoliert.
3 5 Astz für ds Iterpoltiospolyom: g ( x f( ( x mit k k k k ( x wege ( g ( f( k k x i i k i ik g (x sid Lgrge-Iterpoltiospolyome Bsp.: Pukte (liere Iterpoltio x x g( x f( k k( x f( f( k f ( f ( f ( ( x 6 Iterpoltiosfehler ti E proportiol zu f (+ ( us [, ] Berechug vo g (x beötigt im beste Fll - (+3+ Additioe - (+ + Multipliktioe - + Divisioe Vergleich: Berechug eies Polyoms -te Grdes mit bekte Koeffiziete i b i - Additioe - Multipliktioe durch Rekursio pi( x pi ( x x ci B ( z.b.: p ( x c x c x c x c x c 4 4 3
4 7 Dividierte idi Differeze Defiitio der dividierte Differeze: f [ ] f ( f [, ] f [,, ] f [ ] f [ ] f [, ] f [, ] f [,, ] f [,, ] f [,, ] 8 Drstellug eier Fuktio durch dividierte Differeze: fx ( f [ ] ( x f [, x] f [, x] f [, ] ( x f [,, x] f [,,, x] f [,, ] ( x f [,,, x] g (x fx ( f [ ] ( x f [, ] ( x( x f [,, ] ( x ( x f[,, ] ( x ( x f [,,, x ] E (x
5 9 Ählichkeite zur Berechug vo Ableituge: f(x i- f(x i x f(x i+ i f(x x. f (x i f f( x f( x i i ( xi xi xi f( xi f( xi f( xi f( xi x Grezwert für : ~Tylorreihe fx ( f [ ] ( x f [, ] ( x( x f [,, ] f ( ( x f( ( x f( Aufwd zur Berechug vo g (x: - (+3 Additioe -- Multipliktioe - (+/ Divisioe Aufwd, bei gespeicherte f [ i ] dividierte Differeze für zusätzliche Stützpukt zu bereche -Additioe - Multipliktioe f [ i,, ] f [ ] f [ ] 3 f [ ] f [ 3 ] 4 f [ 4 ] f [, ] f [, ] f [ 3, ] f [ 4, 3 ] f [,, ] f [ 3,, ] f [ 4, 3, ] f [ 3,,, ] f [ 4, 3,, ] f [ 4, 3,,, ]
6 (Cubic Splie-Iterpoltio l ti f ( x Stelle bekt Idee: Fuktio i Itervlle [ i-, i] durch Polyom gerige Grdes äher Zustzwusch: stetig differezierbr Stützstelle bekteste t Splie-Iterpoltio: l ti kubischer Splie p ( x c c ( x c ( x c ( x ; i,, 3 i, i, i i, i i 3, i i p ( f( ; p ( f( ; i,, i i i i i i p i( i p i ( i si i,,
7 3 Bestimmug der s i durch Zustzbedigug: p i (x solle ml stetig differezierbr sei - Gleichuge für s i p i( i p i ( i ; i,, ( s ( s ( s i i i i i i i i i 3[ f, ]( 3[ f, ]( i i i i i i i i fehlede Gleichuge durch Vorgbe vo s, s z.b.: Krümmug (. Ableitug bei ud verschwidet s s 3 f [, ] s s 3 f[, ] 4 dere Möglichkeit: it Pukte ud icht ihtberücksichtigt ükihtit p =p ; p - =p sh s ( hh h f[, ](h 3 h f[, ] h h h h f[, ](h 3 h f[, ] h s h h s h ( h h mit h ; i,, i i i effiziete Lösug des Problems: siehe Vorlesug zu liere Gleichugssysteme
8 Guss-Itegrtio ti bisher: Fuktioswerte + Stützstelle gegebe Bestimmug der + Koeffiziete eies Polyoms vom Grd etzt: Grd des Polyoms vorgegebe, ds durch geschickte Whl vo Stützstelle exkt itegriert werde k b d.h. f ( x dx f ( w für f ( x p ( x Stützstelle durch Methode vorgegebe
9 7 Bsp: Stützstelle zur Itegrtio ller Polyome vom Grd 3 oder weiger f( x dx f( w f( w f( x : ww f( x x: w w f( x x : w w /3 f ( x x : w w ; w w 3 8 Itegrtio eies Polyoms vom Grd -: f ( x dx f [ ] ( x f [, ] ( x ( x f [,, 3 ] ( x ( x f [,, ] dx ( x ( x f[,,, x] dx E Polyom vom Grd Polyom vom Grd - Forderug: E = Bestimmug der möglich (siehe obe
10 9 wir erier us (Methode-Vorlesug orthogole Polyome Etwicklugsstz d uf dem Itervll [-,] ist eie Orthogolitäts- reltio für Legedrepolyome durch P( x P' ( x dx ' gegebe d ede Fuktio f(x ( k ls uedliche Summe vo Legedrepolyome drgestellt werde, ist isbesodere f(x ei Polyom vom Grd - gilt f( x cp( x f[,,, x] P ( x dx i i i Nullstelle des Legedrepolyoms P (x f ( x dx f ( w für f ( x p ( x w ( x dx ( P ( P( llgemeies Itegrtiositervll [,b]: b b b x t ( b b b f x dx f t dt b dx dt
11 .5 P P 3 P 4 P x lle Gewichte w sid positiv Itegrtiosfehler beschräkt für llgemeie Fuktio f(x gilt 4 b (! ( E f b 3 ( [(!] für hireiched große Zhl vo Stützstelle. ( ( Nullpukte der Legedrepolyome (Stützstelle ud Gewichte w us Tbelle oder Bibliotheksfuktioe, z.b. Abrmowitz,Stegu: Hdbook of Mthemticl Fuctios (
12 3 4 Itegrle der Form W ( x f ( x dx b köe für bestimmte Gewichtsfuktioe W(x ( mithilfe derer orthogoler Polyome gelöst werde. existiert eie Orthogolitätsreltio b W ( x ( x ' ( x dx C ' b W ( x f ( x dx f ( w E Nullstelle der Polyome (x b W w W ( x ( x dx
13 5 eiige W(x mit bekte Polyome: W(x (,b (x (, ( x ( x ;, [,] P... Jkobipolyome x (, ; [,] P... ( Momete vo Verteiluge! x [,] U... Tschebytscheffpolyome. Art / x [,] P ( x x [,] P ( x / x / x /( x [,] T xe e x... Tschebytscheffpolyome [, L... Lguerrepolyome x ( ; [, L... ssoziierte Lguerrepolyome e x (, H... Hermitepolyome 6 Berechug orthogoler Polyome us Rekursiosreltioe:
14 7 flls otwedig: Nullstellebestimmug f( f( f( b f f( x x ( b - 8 Sekteverfhre regul flsi f( x f ( x f( x3 x 4 x x x x x x x f( x f( x f( f( b
15 9 Newto-Rphso-Verfhre f( xi f( xx f( xi f( xi xo( x xi xi f ( ( x i f ( x x 3 x x f ( x i! ur d, we f (x lytisch bekt ist! 3 Nullstelle vo Polyome: Divisio durch (x- Vorggsweise: p ( x. Suche eier Nullstelle. Abdividiere der Nullstelle (um. Fehlerquelle! 3. Verfeierug der Nullstelle. Abdividiere der Nullstelle (um. Fehlerquelle! ZS c c p( x cix p ( x i p ( x ( x i = -,,..., ZS c c ZS ZS ZSZS P ( x
16 3 Nullstelle vo Polyome: Eigewerte der Mtrix c c c c c c c A x det( x i A p ( x c i x i c i 3 Apssugsprobleme Apssug eier Fitfuktio durch Messpukte y Ws sollte die Apssug liefer? die Fitprmeter k eie Abschätzug des Fehlers für ede Prmeter 3 eie Abschätzug der Qulität der Fitfuktio Worum geht es bei eier Apssug NICHT? Meßpukte durch eie möglichst gltte Kurve verbide ( Iterpoltio eie möglichst gltte Kurve durch Dtepukte lege ( grphische Aufbereitug erlubt keie Aussge über physiklische Prozeß!
17 33 Beispiel: Zerfllsprozeß. Versuch: Polyomfit. Versuch: Expoetilfit Etscheidug: Li-Log-plot Dt y = m*exp(-m*m Vlue Error m m Chisq NA R NA Begriffsbestimmug: lieres Apssugsproblem : Fitfuktio ist lier i de k M f( x kxk( x z.b.: k f( x x M x ft ( k si( kt k ichtlieres Apssugsproblem M f( x kxk( bkx k z.b.: f ( x exp bx exp b x
18 35 Mß für Abweichug: Messwerte Fitfuktio N y ( ; f x,..., M Messfehler fide ds Miimum vo d.h.: fide die Nullstelle der M erste Ableituge y f( x ;,..., f( x ;,..., N M M k 36 ch humformuge lieres Gleichugssystem T T A A A b A k M MxN N X ( x k MxM b y flls icht bekt lle = = ch Lösug des Apssugsproblems k bestimmt werde: y f( x;,..., M N M
19 37 Ws sollte eie -Apssug liefer:. die Fitprmeter i. eie Abschätzug des Fehlers für ede Prmeter T ( A A k 3. eie Abschätzug der Qulität der Fitfuktio t ( N M / Q(, x e t dt mit ( x / x kk
Definition (Supremum und Infimum). s R heißt Supremum der Menge M R, falls s die kleinste obere Schranke von M ist, d.h.
Vorlesug 15 Itegrlrechug 15.1 Supremum ud Ifimum Zuächst ei pr grudlegede, wichtige Defiitioe. Defiitio 15.1.1. Eie Mege M R heißt ch obe beschräkt, we es ei s R gibt, so dss x s für lle x M. M ist ch
Taylor Formel: f(x)p(x)dx = f(c)
Tylor Formel Die Tylorsche Formel liefert eie Approximtio eier Fuktio durch ei Polyom, gemeism mit eier Abschätzug des Fehlerterms. Zwischewertstz: Eie stetige Fuktio f : [, b] R immt jede Wert γ zwische
A 2 Die Cramersche Regel
Die Crmersche egel Mtrixschreibweise eies liere Gleichugssystems Die Crmersche egel 5 Wir gehe vo der llgemei Gestlt eies liere Gleichugssystems us : Gegebe seie m (reelle oder komplexe) Zhle ik (i,,,
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Them 8 Kovergez vo Fuktioe-Folge ud - Reihe Defiitio Sei (f ) eie Folge vo Fuktioe vo D R i R. Wir sge, dß f puktweise gege eie Fuktio f kovergiert, flls gilt: f () f() für jedes D. Dies ist der türliche
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Vorbemerkug Übersicht Itegrlrechug Diese Übersicht fßt wesetliche Pukte der Vorlesug zusmme. Sie ersetzt icht die usführliche Vorlesugsmitschrift, weil die dort behdelte Beispiele ud Erläuteruge für die
Numerisches Integrieren
Numerisches Itegriere Ac I der Prxis werde Itegrle i der Regel umerisch, lso pproximtiv, bestimmt. Dzu solle hier verschiedee Algorithme betrchtet werde ( Rechteck, Mitterechteck, Trpez, Simpso, Romberg
118 7 Potenzreihen. eine Folge von (reellen) Funktionen mit Definitionsgebieten D(f j), j N, und. = M D(f j ) R. j=1
8 7 Potezreihe 7 Potezreihe 7. Fuktioefolge ud -reihe Puktweise ud gleichmäßige Kovergez vo Fuktioefolge Sei f j ) j= eie Folge vo reelle) Fuktioe mit Defiitiosgebiete Df j), j N, ud = Df j ) R. j= D bilde
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. Kovergez.. Eiführug i ds Prizip der Folge Eie Folge ist eie durchummerierte (Idex) Abfolge vo Zhle die eie Abbildug der türliche Zhle uf eie dere Zhlemege drstellt. Beispiel: : = k uch ls Abbildug: f
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Kpitel VI Eigeschfte differezierbrer Fuktioe S 6 (Fermt, 6-665) Die Fuktio f sei uf dem Itervll I defiiert ud ehme der iere Stelle ξ vo I eiem bsolute Extremum Ist f der Stelle ξ differezierbr, d gilt
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Zusmmefssug Folge ud Kovergez Ihltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele für
Expertentipps für die Prüfung:
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SS 2017 Torsten Schreiber
SS 07 Torste Schreier e Wert eier etermite köe wir is zu eiem Formt vo mittels dem Verfhre vo Srrusestimme. Für Mtrize, die ei höheres Formt he, köe wir die etermite mit dem estimme. zu sollte Sie im erste
Mathematik für VIW - Prof. Dr. M. Ludwig. 4. Differentialrechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen. wird in Umgebung von x0 D f
4. Dieretilrechug ür Fuktioe eier reelle Veräderliche 4. Begri des Dieretilquotiete :D, D wird i Umgebug vo D bzgl. ihrer "Veräderug" utersucht. De. 4. Dieretilquotiet Die i eier Umgebug vo deiierte Fuktio
- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB 2004 Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis... Folge ud Grezwerte... 2 Aäherug eie Grezwert... 2 Die Fläche des 5 Ecks... 3 Nährugsweise Berechug vo Pi... 4 Die Folge... 5 Defiitio der Folge... 5 Beispiele
7 Ungleichungen und Intervalle
Mthemtik. Klsse 7 Ugleichuge ud Itervlle Aufgbe 0 Löse Sie folgede Ugleichuge > + 8 < 5 + + 7. Itervlle Um gze Bereiche vo reelle Zhle zugebe, wird die Schreibweise mit Itervlle verwedet. Beispiele [,
Analysis I SS Zusammenfassung Stephan Weller, Juli 2002
Alysis I SS 2 Zusmmefssug Steph Weller, Juli 22 Ihlt. Vollstädige Idutio ud Ugleichuge 2. Folge ud Reihe 3. Kovergez ud Stetigeit 4. Differetitio, lole Extrem, Kovexität 5. Itegrtio, Sustitutiosregel ud
2.3 Determinanten. linear in jeder Spalte: det(a 1... λa i... a n ) = λ det(a 1... a i... a n )
Kreuzprodukt λ b = λ( b) = λb ( + b) c = c + b c ud (b + c) = b + c b = b 4 (b c) =, c b, b c 5 ( b) c =, c b b, c 6 ( b) (c d) = det(bd)c det(bc)d 7 ( b), c = det(bc) =, (b c) Liere Algebr Regel Es seie:
Höhere Analysis. Lösungen zu Aufgabenblatt 6. Die Funktion f sei auf ( π, π] definiert durch f(x) = x und wird 2π-periodisch fortgesetzt.
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Fachbereich Iformatik Sommersemester 8 Prof. Dr. Peter Becker Höhere Aalysis Lösuge zu Aufgabeblatt 6 Aufgabe (Fourierreihe) 3+5 Pukte Die Fuktio f sei auf (, π] defiiert durch f(x) x ud wird π-periodisch
4.2 Das bestimmte Integral
4.. DAS BESTIMMTE INTEGRAL 63 4. Ds bestimmte Itegrl Die geometrische Iterprettio eies bestimmte Itegrls ist die Fläche uter eiem Fuktiosgrphe ft. M zerlege ei Itervl [, b] uf der t-achse äquidistt i Teilitervlle
Diesen Grenzwert nennt man partielle Ableitung von f nach x i und
Bevor wir zum ächste Kapitel übergehe, werde wir de Begri eier Fuktio i mehrere Variable eiführe. Eie Fuktio vo Variable ist eie Vorschrift, die jedem Pukt (x 1,x,...,x ) eier Teilmege D des IR eie bestimmte
1. Übungsblatt zur Analysis II
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30 OM: Von der Änderung zum Bestand - Integralrechnung ea
0 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ea I diesem Olie-Mteril werde die Frge geklärt, wie weit der Formlismus bei der Etwicklug des Itegrls uszuführe ist ud wie eie schuliche Begrüdug des Huptstzes
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Integralrechnung = 4. = n
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Talorsche Formel ud Mittelwertsatz 4 Aweduge der Differetialrechug Talorsche Formel ud Mittelwertsatz Die Gleichug der Tagete = f ( ( a die Kurve = f( im Pukt (, liefert eie grobe Näherug für die Fuktio
Kapitel I Zahlenfolgen und -reihen
Kpitel I Zhlefolge ud -reihe D (Zhlefolge) Ist jeder Zhl geu eie Zhl R,,,, eie (reelle) Zhlefolge bilde M schrieb: Die heiße Glieder der Zhlefolge zugeordet, so sgt m, dss die Zhle B Eie Zhlefolge ist
Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz SS 5 7.9.5 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Bachelor-Modulprüfug
Musterlösungen zur Klausur Analysis I Verständnisteil
WS 2008/2009 Prof. Dr. Scheider Musterlösuge zur Klausur Aalysis I Verstädisteil 04.02.2009. a A ist ach Defiitio abzählbar, falls A edlich ist, oder falls carda = cardn gilt. b Ei Pukt x A ist ei ierer
Nennenswertes zur Stetigkeit
Neeswertes zur Stetigkeit.) Puktweise Stetigkeit: Vo Floria Modler Defiitio der pukteweise Stetigkeit: Eie Fuktio f : D R ist geau da i x D stetig, we gilt: ε > δ >, so dass f ( x) f ( x ) < ε x D mit
Entstehen soll eine unendliche trigonometrische Reihe der Form n
utoriu Mthe M Fourier Reihe & Fourier rsfortio. Fourier Reihe Die Fourier Reihe ist für die Medietechi ud speziell die Nchrichtetechi eie der wichtigste Eleete. Ds hägt dit zuse, dss sie es eröglicht,
4. Reihen Definitionen
4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a
Prof. Dr. Wolfgang Konen Mathematik 1, WS Wozu InformatikerInnen Folgen brauchen
Prof. Dr. Wolfgg Koe Mthemtik, WS07 0.0.07. Zhlefolge.. Wozu IformtikerIe Folge bruche Kovergez vo Folge ist die Grudlge der Alysis (Differetil- ud Itegrlrechug) Trszedete Gleichuge wie x l x 50 k m äherugsweise
Aufgaben zur Analysis I
Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.
Terme. Kapitel 2. Terme. Wertebereich. Summensymbol. Summensymbol Rechnen. Summensymbol. Aufgabe 2.1. Summensymbol Rechnen.
Terme Kpitel Terme Ei mthemtischer Ausdruck wie B R q q (q ) oder (x + )(x ) x heißt eie Gleichug. Die Ausdrücke uf beide Seite des -Zeiches heiße Terme. Sie ethlte Zhle, Kostte (ds sid Symbole, die eie
8.3. Komplexe Zahlen
8.. Komplee Zhle Wie bereits i 8.. drgestellt, wurde die fortlufede Erweiterug der Zhlbereiche durch die Eiführug immer kompleerer Recheopertioe otwedig:. Auf de türliche Zhle führte der Wusch ch iverse
1.2. Taylor-Reihen und endliche Taylorpolynome
1.. aylor-reihe ud edliche aylorpolyome 1..1 aylor-reihe Wir köe eie Fuktio f() i eier Umgebug eies Puktes o gut durch ihre agete i o: t o () = f(o) + f (o) (-o) aäher: Wir sehe: Je weiter wir vo o weg
5.7. Aufgaben zu Folgen und Reihen
5.7. Aufgbe zu Folge ud Reihe Aufgbe : Lieres ud beschrätes Wchstum Aus eiem Qudrt mit der Seiteläge dm gehe uf die rechts gedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt gefügte Qudrte sid jeweils
Grenzwertberechnungen
Katosschule Solothur Grezwertberechuge Grezwertberechuge Grezwertberechuge bei Folge ud Reihe Folge sid Fuktioe; die Begriffe beschräkt ud mooto trete daher auch bei Folge auf. Isbesodere habe sie eie
Das Riemann-Integral und seine Eigenschaften
Ds Riem-Itegrl u seie Eigeshfte Defiitio. Sei ie Fuktio f beshräkt uf [, b]. Stimme ie beie Drboux-Itegrle überei, heißt f Riem-itegrierbr uf [, b] (oer R-itegierbr). Der gemeisme Wert heißt Riem- Itegrl
Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Durch Berechnung der entsprechenden Wurzel entsteht wieder der Wert der Basis.
. Wurzel Ds Wurzelziehe (Rdiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Durch Berechug der etsprechede Wurzel etsteht wieder der Wert der Bsis. poteziere Wurzel ziehe. Die Qudrtwurzel Ds Ziehe der Qudrtwurzel
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo Polyome 9 Für Experte Komplexe
Analysis II für M, LaG und Ph, WS07/08 Übung 2, Lösungsskizze
Gruppeübug Aalysis II für M, LaG ud Ph, WS7/8 Übug, Lösugsskizze G 4 (Zum warm werde). Begrüde die vo Physiker beliebte Näheruge si(x) x, cos(x) ud ta(x) x für kleie x R. Dies folgt direkt aus der Tayloretwicklug
Numerische Methoden zur Lösung bestimmter Integralen
Prof. Dr.-Ig. Dirk Rbe, FB Tecik Mtemtik I A Numerisce Metode zur Lösug bestimmter Itegrle D es oft scwierig oder sogr umöglic ist, die Stmmfuktio durc eie bekte Fuktio uszudrücke, ist es oft sivoll/eifcer
Klausur zur Analysis II
Uiversität Würzburg Mathematisches Istitut Prof Jör Steudig SS 007 807007 Klausur zur Aalysis II Aufgabe Die Mege M R 3 sei gegebe durch Zeit: 7:45-9:45 M := { x, y, z R 3 expx + y + z = } a Ist M abgeschlosse?
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. R. Köig Dr. M. Prähofer Zetrlübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mthemtik Mthemtik für Physiker (Alysis ) MA9 Witersem. 7/8 Lösugsbltt http://www-m5.m.tum.de/allgemeies/ma9 7W (9..8) Z..
Lösungen zum Aufgabenblatt 9
Lösuge zum Aufgbebltt 9 Aufgbe Es gilt ( ) x ( ( + x) ) ( + x) x Zwei Polyome sid geu d gleich, we lle ihre Koeffiziete gleich sid. Wir betrchte die Koeffiziete für x. Der x -Koeffiziet der vordere Summe
21 OM: Von der Änderung zum Bestand - Integralrechnung ga
1 OM: Vo der Äderug zum Bestd - Itegrlrechug ga I diesem Olie-Mteril werde die Frge geklärt, wie weit der Formlismus ei der Etwicklug des Itegrls uszuführe ist ud wie eie schuliche Begrüdug des Huptstzes
1. Grundlagen. 2. Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 3. Vektorrechnung. 4. Trigonometrische Funktionen. 5. Differentialrechnung. 6.
Ihlte Brüceurs Mthemti Fchhochschule Hover SS 0 Dipl.-Mth. Coreli Reiterger. Grudlge. Poteze, Wurzel, Logrithme. Vetorrechug 4. Trigoometrische Futioe. Differetilrechug. Itegrlrechug 7. Mtrize, Liere Gleichugssysteme
MATTHIAS HEINLEIN. 1. Einleitung
SEMINRRBEIT: HUPTSTZ DER DIFFERENTIL- UND INTEGRLRECHNUNG MTTHIS HEINLEIN. Eileitug Oftmls wird ds Itegrl i de fägervorlesuge uf zweierlei Weise eigeführt. D ist zum eie ds formle Itegriere, lso ds uffide
1. Man zeige, daß (IR n, d i ), i = 1, 2, metrische Räume sind, wenn für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n die Abstandsfunktionen durch
Ma zeige, daß IR, d i ), i,, metrische Räume sid, we für x x,, x ), y y,, y ) IR die Abstadsfuktioe durch d x, y) x y, d x, y) x y ), d x, y) max x y gegebe sid Lösug: Ma muß für alle drei Fuktio d i x,
Komplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
Komplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
( ), der genau auf der Geraden ( ) 2 ( ) #( ) 8. Lineare Regression. = f i. Nach der Summe der kleinsten. mx i
8. Lieare Regressio 8.1. Die Methode der kleiste Quadrate Regressiosgerade bzw. Ausgleichsgerade sid eie Auswertug vo statistische Messdate. Ziel dieses Verfahres ist es, Beziehuge zwische zwei Merkmale
2. Zehnerpotenzen 2.1 Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten 2.2 Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten 2.3 Zusammenfassung von 2.
Mthemtik Buch / 5. Poteze ud Wurzel /ZUSAMMENFASSUNG -502- Zusmmefssug: Poteze / Wurzel Potez 1 Ws ist eie Potez? 2 Poteze mit positivem Expoete 3 Poteze mit egtivem Expoete 4 Zusmmefssug vo 2. Zeherpoteze
Langrange-Multiplikators und Hinreichende Bedingungen
Albert Ludwigs Uiversität Freiburg Abteilug Empirische Forschug ud Ökoometrie Mathematik für Wirtschaftswisseschaftler Dr. Sevtap Kestel Witer 008 10. November 008 14.-4 Lagrage-Multiplikators ud Hireichede
Im Rahmen des Seminars Extremal Combinatorics. Anna Lea Dyckhoff
Abzähle Im Rhme des Semirs Extreml Combitorics A Le Dyckhoff 23. April 2004 Abzähle Fortgeschrittees Abzähle Die Kombitorik beschäftigt sich mit dem Abzähle vo Elemete. Dbei versucht m Strtegie, Methode
Analysis I - Zweite Klausur
Aalysis I - Zweite Klausur Witersemester 2004-2005 Vorame: Name: Aufgabe Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Aufgabe 7 Aufgabe 8 Aufgabe 9 Summe Aufgabe 4 Pukte Bestimme Sie (mit Beweis)
Teil 1: Fortsetzung des Studiums von Funktionen in einer reellen Variablen (Integration und Taylorreihen)
Alysis 2 Teil : Fortsetzug des Studiums vo Fuktioe i eier reelle Vrible (Itegrtio ud Tylorreihe) Prof. Dr. Siegfried Echterhoff SS 29 getext vo Juli Wolters Vorlesug SS 29 Alysis 2 Abbildugsverzeichis
Analysis I. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2014/2015. Vorlesung 20. Konvexe Funktionen
Prof. Dr. H. Breer Osabrück WS 2014/2015 Aalysis I Vorlesug 20 Kovexe Fuktioe Eie kovexe Teilmege. Eie ichtkovexe Teilmege. Defiitio 20.1. Eie Teilmege T R heißt kovex, we mit je zwei Pukte P, Q T auch
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo
Numerische Integration (s. auch Applet auf
Numerische Itegratio (s. auch Applet auf www.mathematik.ch) Voraussetzuge ud Zielsetzug Voraussetzug: Eie Fuktio f sei auf dem abgeschlossee Itervall I = [a,b] stetig. b Gesucht: Bestimmtes Itegral J =
Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 1. Übung
FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. Patrizio Neff Christia Thiel 4.04.04 Lösugsvorschlag zu de Hausaufgabe der. Übug Aufgabe : (6 Pukte Bereche Sie für die Fuktio f : R R, f( : ep( a der Stelle 0 0 das Taylorpolyom
Grundbegriffe der Differentialrechnung
Wirtschaftswisseschaftliches Zetrum Uiversität Basel Mathematik für Ökoome 1 Dr. Thomas Zehrt Grudbegriffe der Differetialrechug Referez: Gauglhofer, M. ud Müller, H.: Mathematik für Ökoome, Bad 1, 17.
Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk,
Musterlo suge zu Blatt 0 Kleigruppe zur Service-Verastaltug Mathematik I fu r Igeieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS/3 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 9.. Theme: Kovergez vo Folge Aufgabe P (i) Sei a : k kk.
1 Integrationsmethoden
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffma WS 3/4 4..4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Iformatik Itegratiosmethode. Saalübug (4..4) Aufgabe Bereche
Herzlich Willkommen zur Vorlesung. Analysis I SoSe 2014
Herzlich Willkomme zur Vorlesug Aalysis I SoSe 2014 Prof. Dr. Berd Dreseler Lebediges Lere: Aufgabe Ich Wir 2 Reelle Zahle 2.1 Körperstruktur vo (K1) Additio ud Multiplikatio kommutativ: a b b a, ab ba.
Klausur zum Grundkurs Höhere Mathematik I
Korrektur 6.06.06:.,3. ; 7.07.06: 3. Name, Vorame: Studiegag: Matrikelummer: 3 4 5 6 Z Pukte Note Klausur zum Grudkurs Höhere Mathematik I für BNC, GtB, MB, EC, TeM, VT, KGB, WWT, ESM, FWK, BGi, WiW 0.
Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 04/05 5..04 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 9. Übugsblatt
12. Integralrechnung. 12.A Das Riemann-Integral. 12. Integralrechnung 131
2. Itegrlrechug 3 2. Itegrlrechug Als Abschluss der Alysis i eier Veräderliche wolle wir ch der Differetitio u och die Itegrtio betrchte. D die Itegrlrechug über R sehr verschiede vo der über C ist, werde
Funktionenreihen. 1-E1 Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Fuktioereihe Erst durch Newto wurde die Theorie uedlicher Reihe zu eiem eigestädige Forschugsgebiet i der Mathematik, das da i Britaie besodere Beachtug ud weitere Etwicklug durch Brook Taylor ud Coli