Analysis für Informatiker 2

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1 Zusmmefssug A2I Alysis für Iformtiker 2 Emuel Duss emuel.duss@gmil.com 17. September 2013

2 Zusmmefssug A2I Alysis für Iformtiker 2 Dieses Dokumet bsiert uf der Vorlesug Alysis für Iformtiker 2 der HSR (Hochschule für Techik Rpperswil) vom FS Versio 432d766 vom MITMACHEN Flls Du diesem Dokumet mitrbeite willst, kst Du ds Dokumet uf GitHub uter forke. MITWIRKENDE Folgede Persoe hbe diesem Dokumet mitgewirkt: Emuel Duss (eduss@hsr.ch) LIZENZ Copyright c 2013 by Emuel Duss. Dieses Dokumet steht uter eier Cretive Commos Nmeseug - Weitergbe uter gleiche Bediguge 3.0 Schweiz Lizez (CC BY-SA). cb

3 Zusmmefssug A2I Ihltsverzeichis Ihltsverzeichis 1 Itegrlrechug Grudlge Bestimmtes Itegrl Grphische Iterprettio vo Itegrle Grudregel für Itegrle Nummerische Berechug vo Itegrle Berechug vo Itegrle mit Stmmfuktioe Itegrlfuktio Stmmfuktio Huptstz Ubestimmtes Itegrl Recheregel Fouriertrsformtio Fourierreihe Sius-Kosius-Form Amplitude-Phse-Form Eigeschfte Gerde ud ugerde Fuktioe Trsformtio vo Fourierreihe Differezilgleichuge Begriffe Explizite Differezilgleichug Näherugslösug mit dem Verfhre ch Euler Seprierbre Differezilgleichug Löse vo seprierbre Differezilgleichuge Liere Differezilgleichuge mit kostte Koeffiziete Lieritätsgesetze der homogee liere Differezilgleichug Homogee liere Differezilgleichug 1. Ordug Homogee liere Differezilgleichug 2. Ordug Ihomogee liere Differezilgleichug Ahg Summeformel Additiostheoreme Trigometrische Fuktioswerte Lösugsformel für die qudrtische Gleichug Emuel Duss 1

4 Zusmmefssug A2I 1 Itegrlrechug 1 Itegrlrechug 1.1 Grudlge Bestimmtes Itegrl Sei f eie uf dem Itervll [; b] defiierte Fuktio. We der Grezwert mit b f = b x = b f (x)dx = lim k=1 f (x k ) x ud x k = + k x existiert, d heisst die Fuktio uf dem Itervll [; b] itegrierbr Grphische Iterprettio vo Itegrle Beim Itegrl b f gibt es zwei Fälle: We < b: Positive Ordite zählt positiv; Negtive Ordite zählt egtiv We > b: Positive Ordite zählt egtiv; Negtive Ordite zählt positiv Grudregel für Itegrle Fktorregel: b c f = c b f Vertusche der Itegrlgreze ädert ds Vorzeiche des Itegrls: b Aeiderstossede Itegrle köe zusmmegefsst werde: b Lierität: b ( f + g) = b f + b g Gleiche Itegrtiosgreze f = 0 f = b f + c b f = c f f Emuel Duss 2

5 Zusmmefssug A2I 1 Itegrlrechug Nummerische Berechug vo Itegrle Rechteckregel: mit b x = b f = x k=1 f (x k ) ud x k = + k x 1.2 Berechug vo Itegrle mit Stmmfuktioe Itegrlfuktio φ (x) = x f Die Itegrlfuktio hägt vom Prmeter b. Ädert m de Prmeter, so ädert sich die Itegrlfuktio ur um eie Kostte (φ b (x) = φ (x) + c), ws eie Verschiebug uf der Y-Achse bewirkt. Aus der Ableitug der Itegrlfuktio erhlte wir die ursprügliche Fuktio: x dx φ (x) = dx x f = f (x) x Stmmfuktio Wir ee eie Fuktio F Stmmfuktio vo f, we die Ableitug der Stmmfuktio f ergibt: F mit F = f Huptstz Jede Itegrlfuktio ist eie Stmmfuktio. Umgekehrt k jede Stmmfuktio zum bereche vo Itegrle beutzt werde. φ (b) = b f (x)dx = F(x) b x= = F(x) b = F(b) F() Emuel Duss 3

6 Zusmmefssug A2I 1 Itegrlrechug Ubestimmtes Itegrl Ds ubestimmte Itegrl f ist die Mege ller Stmmfuktioe vo f. f (x)dx = F(x) + c bzw. f = F + c Recheregel Verkettug lierer Fuktioe: f (x + b)dx = 1 F(x + b) + c Produkteregel (Prtielle Itegrtio): b f (x) g(x)dx = ( f (x) g(x)) b b Spezilfll der Produkteregel: f (x) f (x)dx = 1 2 f 2 (x) + c Quotieteregel: f (x) dx = l( f (x) ) + c f (x) Substitutiosregel I: f (g(x)) g (x)dx = F(g(x)) + c Substitutiosregel II : b f (g(x)) g (x)dx = g(b) g() f (u)du f (x) g (x)dx Emuel Duss 4

7 Zusmmefssug A2I 2 Fouriertrsformtio 2 Fouriertrsformtio 2.1 Fourierreihe Eie Fourierreihe der Fuktio f besteht us eier Lierkombitio vo Sius- ud Kosius- Fuktioe, welche lle dieselbe Persiode T hbe. Je höher die Ordug, desgo geuer wird die Fuktio f proximiert Sius-Kosius-Form f (t) = 0 + k=1 ( k cos(kω 1 t) + b k si(kω 1 t)) Grudkreisfrequez (Gemeisme Periode) ω 1 = 2π T Kostte (Siglmittelwert) 0 = A 0 = 1 T Koeffiziet k = A k cos(φ k ) = 2 T Koeffiziet b k = A k si(φ k ) = 2 T T 0 s(t)dt T 0 s(t) cos(kω 1t)dt T 0 s(t) si(kω 1t)dt Amplitude-Phse-Form f (t) = A 0 + k=1 (A k cos(kω 1 t φ k )) Grudkreisfrequez (Gemeisme Periode) ω 1 = 2π T Kostte (Siglmittelwert) A 0 = 0 Koeffiziet A k = 2 k + b2 k ( ) rct bk k für k > 0 ( = 0 we b k = 0) ( ) rct bk φ k = k + π für k < 0 ( = π we b k = 0) π 2 für k = 0 b k > 0 π 2 für k = 0 b k < 0 Emuel Duss 5

8 Zusmmefssug A2I 2 Fouriertrsformtio 2.2 Eigeschfte Gerde ud ugerde Fuktioe Gerde Fuktioe Für die gerde Fuktioe ist ds Itegrl T 2 0 m optimlste. Sius-Kosius-Form: s(t) = 0 + k=1 ( k cos(kω 1 t)) Koeffiziet k = 4 T Koeffiziet b k = 0 T 2 0 s(t) cos(kω 1t)dt Reie Kosiusreihe (cos ist uch gerde) Ugerde Fuktioe Für die ugerde Fuktioe ist ds Itegrl T 2 0 m optimlste. Sius-Kosius-Form: f (t) = 0 + k=1 (b k si(kω 1 t)) Koeffiziet b k = 4 T Koeffiziet k = 0 T 2 0 s(t) si(kω 1t)dt Reie Siusreihe (si ist uch gerde) Trsformtio vo Fourierreihe Spiegel X-Achse Trsformtio: r(t) = s(t) Sius-Kosius-Form: 0 + k=1 ( k cos(kω 1 t) + ( b k ) si(kω 1 t)) Amplitude-Phse-Form: A 0 + k=1 (A k cos(kω 1 t (φ k + π))) Emuel Duss 6

9 Zusmmefssug A2I 2 Fouriertrsformtio Spiegel Y-Achse Trsformtio: r(t) = s( t) Sius-Kosius-Form: 0 + k=1 ( k cos(kω 1 t) + ( b k ) si(kω 1 t)) Amplitude-Phse-Form: A 0 + k=1 (A k cos(kω 1 t ( φ k ))) Sklierug uf der X-Achse (Zeitsklierug) Trsformtio: r(t) = s(c t) für c > 0 Für c < 0: Zusätzliche Trsformtio: r(t) = s( t) Periodeduer ˆT = 1 c T Sius-Kosius-Form: 0 + k=1 k cos(k(cω 1 )t) + b k si(k(cω 1 )t)) Amplitude-Phse-Form: A 0 + k=1 (A k cos(k(cω 1 )t φ k )) Sklierug uf der Y-Achse (Vertiklsklierug) Trsformtio: r(t) = c s(t) für c > 0 Sius-Kosius-Form: (c 0 ) + k=1 ((c k) cos(kω 1 t) + (c b k ) si(kω 1 t)) Amplitude-Phse-Form: (c A 0 ) + k=1 ((c A k) cos(kω 1 t φ k )) Verschiebe uf der X-Achse (Zeitverschiebug) r(t) = s(t c) für c > 0 Sius-Kosius-Form mittels Additiostheoreme bereche = 0 + k=1 ( k cos(kω 1 (t c)) + b k si(kω 1 (t c))) = 0 + k=1 ( k cos(kω 1 t kω 1 c) + b k si(kω 1 t kω 1 c)) = 0 + k=1 [ k(cos(kω 1 t) cos(kω 1 c) + si(kω 1 t) si(kω 1 c)) + b k (si(kω 1 t) cos(kω 1 c) cos(kω 1 t) si(kω 1 c)) Emuel Duss 7

10 Zusmmefssug A2I 2 Fouriertrsformtio = 0 + k=1 [( k cos(kω 1 c) b k si(kω 1 c)) cos(kω 1 t) + ( k si(kω 1 c) + b k cos(kω 1 c)) si(kω 1 t)] Amplitude-Phse-Form: A 0 + k=1 (A k cos(kω 1 t (kω 1 c + φ k ))) Verschiebe uf der Y-Achse (Vertiklverschiebug) Trsformtio: r(t) = s(t) + c Sius-Kosius-Form: ( 0 + c) + k=1 ( k cos(kω 1 t) + b k si(kω 1 t)) Amplitude-Phse-Form: (A 0 + c) + k=1 (A k cos(kω 1 t φ k )) Emuel Duss 8

11 Zusmmefssug A2I 3 Differezilgleichuge 3 Differezilgleichuge 3.1 Begriffe Awedugsgebiet: Viele Nturgesetze köe mit eier Differezilgleichug (DGL) modelliert werde. Differezilgleichug: Gleichug zwische eier Fuktio ud derer Ableitug Ordug: Höchste vorkommede Ableitug Allgemeie Lösug: Lösugsmege mit uedlich verschiedee Lösuge (eie Differezilgleichug ht i der Regel uedlich viele Lösuge) Spezielle Lösug: Eizele Lösug us der Lösugsmege Afgsbediguge: Bediguge um spezielle Lösug zugebe. Vorgbe des Fuktioswerts ud ller Beleituge der Fuktio bis zum Grd Ordug - 1 eier eizige gemeisme Stelle (Z. B. 1. Ordug: f (x 0 ) = 23). Die Afgsbediguge sorge dfür, dss die DGL ur och vo eier eizige spezielle Lösug erfüllt werde. Afgswertproblem: Differezilgleichug mit Afgsbediguge Explizite Differezilgleichug Bei eier explizite Differezilgleichug ist die höchste Ableitug ist uf eie Seite isoliert: d f dx = f (x) = G(x, f (x)) 3.2 Näherugslösug mit dem Verfhre ch Euler Gegebe ist eie Differezilgleichug: f (x) = 2x 3 f (x) + 1 Mit dem Afgswertproblem: f (0) = 0 Emuel Duss 9

12 Zusmmefssug A2I 3 Differezilgleichuge Stufe x Fuktio Ableitug Lierisierug # x f (x) f (x) = 2x 3 f (x) + 1 f ( x) f (x) + f (x)( x x) 0 0 f (0) = 0 f (x) = = 1 f ( x) = 0 + 1( x 0) f ( x) = 0 + 1(0.1 0) = = ( x 0.1) ( ) = = ( x 0.2) ( ) = Somit ist f (0.3) Seprierbre Differezilgleichug Eie seprierbre Differezilgleichug k uf folgede Form gebrcht werde: f (x) = g(x) h( f (x)) Es hdelt sich um eie explizite Differezilgleichug erster Ordug, wobei die Ableitug f (x) der gesuchte Fuktio ls Quotiet drgestellt wird. Der Zähler ist bhägig vo x, der Neer vo f (x). Oder ls Produkt: f (x) = g(x) h( f (x)) Ei Fktor ist ur vo x, der dere ur vo f (x) bhägig Löse vo seprierbre Differezilgleichuge Schritt 0: Schreibweise: Die Differezilgleichuge wird i die Termschreibweise gebrcht. d f dx = g(x) h( f ) Schritt 1: Sepriere: Wir behdel d f ud dx wie Vribel mit dem Ziel d f ud f liks, dx ud x rechts vom Gleichheitszeiche zu hbe: 1 h( f ) d f = g(x)dx Schritt 2: Itegriere: Dch wird uf beide Seite itegriert: 1 h( f ) d f = g(x)dx Emuel Duss 10

13 Zusmmefssug A2I 3 Differezilgleichuge Schritt 3: Auflöse: Dch k die Gleichug ch f ufgelöst werde. Die Itegrtioskostte drf icht vergesse werde, weil m sost icht die llgemeie Lösug erhält. 3.4 Liere Differezilgleichuge mit kostte Koeffiziete Eie liere Differezilgleichug mit kostte Koeffiziete ht die Form 0 f (x) + 1 f (x) + 2 f (x) + + f () (x) = g(x) oder k f (k) (x) = g(x) k=0 k : Gegebee Kostte g: Vorgegebee Fuktio (Störfuktio): g = 0: homoge; g = 0: iomoge Lieritätsgesetze der homogee liere Differezilgleichug Sid f 1 ud f 2 Lösuge eier homogee liere Differezilgleichug, ist uch die Summe dvo eie Lösug. Ist f eie Lösug eier homogee liere Differezilgleichug ud c eie Kostte, ist uch ds Produkt eie Lösug Homogee liere Differezilgleichug 1. Ordug Die liere Differezilgleichug 1. Ordug 2 f (x) + 3 f (x) = 0 k mit diesem Astz gelöst werde, idem m f (x) ud f (x) ersetzt: f (x) = e sx ud f (x) = s e sx Dbei ist s eie och ubekte Kostte. Ds setzt m i die Differezilgleichug ei: 2 e sx + 3 s e sx = 0 Emuel Duss 11

14 Zusmmefssug A2I 3 Differezilgleichuge D wird durch e sx dividiert, dmit m die Kostte s erhält: Somit ist eie Lösug (spezielle Lösug): s = 0 s = 2 3 f (x) = e 2 3 x Ud ufgrud des Lieritätsgesetzes uch jedes kostte Vielfche dvo (llgemeie Lösug): f (x) = A e 2 3 x Homogee liere Differezilgleichug 2. Ordug Homogee liere Differezilgleichug 2. Ordug: c 2 f (x) + c 1 f (x) + c 0 f (x) = 0 I chrkteristisches Polyom umwdel ud ch s uflöse: c 2 s 2 + c 1 s + c 0 = 0 Fll 1: Zwei verschiedee Lösuge (Diskrimite ist positiv) f (x) = Ae s 1x + Be s 2x Fll 2: Nur eie Lösug (Diskrimite ist Null) f (x) = (Ax + B)e s 1x Fll 3: Keie Lösug (Diskrimite ist egtiv) f (x) = e rx (A cos(ωx) + B(si(ωx)) f (x) = Ce rx cos(ωx φ) Lösugsformel uf folgede Form brige: s = ± b D ist r = ud ω = b Hiweis: A, B, C ud φ sid jeweils frei wählbr. Emuel Duss 12

15 Zusmmefssug A2I 3 Differezilgleichuge Ihomogee liere Differezilgleichug Die llgemeie Lösug eier ihomogee liere Differezilgleichug für k f (k) (x) = s(x) k=0 ist die Summe eier spezielle Lösug ud der llgemeie Lösuge der zugehörige homogee Gleichug der Form k f (k) (x) = 0 k=0 1. Zuerst wird eie spezielle Lösug vo f, f sowie f errte. 2. Durch Eisetze prüft m ob diese Lösug stimmt. 3. Lösugsmege = spezielle Lösug + llgemeie Lösug. Emuel Duss 13

16 Zusmmefssug A2I 4 Ahg 4 Ahg 4.1 Summeformel i=1 i = ( + 1) 2 i 2 ( + 1)(2 + 1) = 6 i=1 ( ) ( + 1) 2 i 3 = 2 i=1 4.2 Additiostheoreme si( ± b) = si() cos(b) ± cos() si(b) cos( ± b) = cos() cos(b) si() si(b) 4.3 Trigometrische Fuktioswerte si( π 6 ) = 1 2, si( π 4 ) = 2 2, si( π 3 ) = 3 2 cos( π 6 ) = 3 2, cos( π 4 ) = 2 2, cos( π 3 ) = Lösugsformel für die qudrtische Gleichug Die qudrtische Gleichug ht die Lösugsformel x 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4c 2 Emuel Duss 14