Kapitel 9 Funktionenreihen

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1 Kapitel 9 Fuktioereihe 9

2 9 9 Fuktioereihe Zahlereihe Beispiele Majoratekriterium Quotietekriterium Leibizkriterium Potezreihe Taylor-Reihe Aweduge Komplexwertige Fuktioe Komplexe Potezreihe Die Eulersche Formel Eigeschafte der komplexe Expoetialfuktio Komplexe Hyperbelfuktioe Differeziatio ud Itegratio Aufgabe zu Fuktioereihe Zusätzliche Abschitte auf der CD-Rom 9.7 MAPLE: Zahle-, Potez- ud Taylor-Reihe... cd

3 9 Fuktioereihe Die wichtigste, i de Aweduge auftretede Fuktioe lasse sich als Potezreihe der Form a (x x0), de sog. Taylor-Reihe darstelle. Diese Etwicklug liefert eie Möglichkeit, um Fuktioe wie z.b. e x, si x, ta x, x, l x oder arcta x explizit zu bereche, idem ur die Grudrecheoperatioe + / agewedet werde. Darüber hiaus ist es für die Aweduge wichtig, dass für gegebee, gegebeefalls komplizierte Fuktioe Näherugsformel zur Verfügug stehe. Awedugsbeispiel 9. (Scheiwerferregulierug). Bei der Eistellug vo Scheiwerfer muss die Höhe des Abbledlichts laut Gesetz über eie Etferug vo 0 m um eie vorgegebee Höhe H opt = 0. m abehme. Aus dieser Vorgabe ergibt sich für die Hell-Dukel-Greze eie Zieleigug der Scheiwerfer durch β ab = arcta Hopt = Abb. 9.. Geometrische Aordug der beide Messstrahle Da der aktuelle Neigugswikel β der Scheiwerfer icht direkt ermittelbar ist, wird er optisch über die Messug zweier Distaze d ud d 2 bestimmt. Die beide gemessee Distaze d ud d 2 ergebe sich i Abhägigkeit des aktuelle Scheiwerferwikels β durch d = H 0 si(α + β), d H 0 2 = si(α 2 + β), we α ud α 2 die baubedigt, vorgegebee Neigugswikel sid. Geht ma zum Quotiete über, ergibt sich die Formel d = si(α 2 + β) d 2 si(α + β) = q(β), Um vom Quotiete der beide Distazwerte auf de aktuelle Neigugswikel β der Scheiwerfer eifach schließe zu köe, wird eie Näherugsformel vo q(β) gesucht, die sich aschließed ach β auflöse lässt ( Taylor- Polyom 2. Ordug).

4 Fuktioereihe Zahlereihe Bevor wir allgemei auf Potez- ud Taylor-Reihe zu spreche komme, werde zuächst Zahlereihe ud dere Kovergezkriterie behadelt. Die Kovergezkriterie beötige wir da bei der Diskussio der Kovergez der Taylor-Reihe. Nach Kap. 6. bezeichet ma eie geordete Mege reeller Zahle (a ) IN = a, a 2, a 3,..., a,... als reelle Zahlefolge. Eie Zahlefolge heißt koverget, we eie reelle Zahl a IR existiert, so dass es zu jedem ε > 0 ei 0 IN gibt mit a a < ε für 0. Beispiele 9.2: Folge allgem. Glied Kovergez (a ) =, 2, 3, 4,... a = ei (a ) =, 2, 3, 4,... a = (a ) = q 0, q, q 2, q 3,... a = q (a ) =, 2!, 3!, 4!,... a =! (a ) =, 2, 3, 4,... a = ( ) ja: a 0 für q < : a 0 für q > : diverget für q = : a für q = : diverget ja: a 0 ja: a 0 Übergag zu Reihe. Wir betrachte die Zahlefolge (a ) =,, 2!, 3!, 4!,..., ( )!,... mit dem allgemeie Glied a = ( )!. Aus de Glieder dieser Folge bilde wir sog. Teilsumme (= Partialsumme), idem wir jeweils die erste Glieder aufsummiere: S = = S 2 = + = 2 S 3 = + + 2! = 2, 5 S 4 = + + 2! + 3! = 2, S 5 = + + 2! + 3! + 4! = 2, S 6 = + + 2! + 3! + 4! + 5! = 2, 7666 S 7 = + + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! = 2, 7804 S 8 = + + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! = 2, 7823

5 9. Zahlereihe 345 Wir fasse die Partialsumme zu eier Folge (S ) IN zusamme. Diese Folge geügt dem Bildugsgesetz S = + + 2! + 3! ( )! = (k )!. (S ) bezeichet ma als Reihe. Defiitio: (Reihe) Sei (a k ) k IN eie Zahlefolge. Da heißt S = a + a 2 + a a = eie Partialsumme ud die Folge der Partialsumme (S ) IN heißt uedliche Reihe (kurz: Reihe): ( ) (S ) IN = a k = (a + a a ) IN. k= IN k= k= a k Bemerkuge: () Oftmals begit die Summatio eier Reihe bei k = 0. (2) Der Name des Summatiosidex ka beliebig gewählt werde: a k = a i. k=0 i=0 Beispiele 9.3: allgem. Folgeglied a = a = a = q a =! a = ( ) Partialsumme k= k = k= k = k=0 qk = + q + q q k=0 k! = + + 2! ! k= ( )k k = ±... ( ) Eie Reihe ist also die Folge der Partialsumme ( k= a k) IN. Es stellt sich die Frage, ob diese Folge kovergiere, d.h. ob eie edliche Wert besitzt. lim S = k= a k

6 Fuktioereihe Defiitio: () Eie Reihe ( k= a k) IN heißt koverget, we die Folge der Partialsumme S := k= a k eie kovergete Folge ist. Liegt Kovergez vor, so bezeichet ma de Grezwert lim S = lim a k = k= als Summe der uedliche Reihe. (2) Eie Reihe ( k= a k) IN heißt diverget, we sie keie Grezwert besitzt. (3) Eie Reihe ( k= a k) IN heißt absolut koverget, we die Partialsumme der Beträge S := k= a k kovergiert. k= a k Bemerkuge: () Eie kovergete Reihe besitzt stets eie edliche, eideutig bestimmte Summewert. (2) Eie absolut kovergete Reihe ist stets koverget. Die Umkehrug gilt allerdigs icht ( Beispiel 9.4)! (3) Eie Reihe heißt bestimmt diverget, we k= a k etweder + oder ist. (4) Die Auswertug der Partialsumme als geschlosseer Ausdruck ist i mache, seltee Fälle möglich. Da ist der Summewert berechebar. I.a. jedoch ist der Grezwert ubekat ud ma muss Kovergezkriterie awede, um die Kovergez der Reihe zu zeige. Wir behadel zuächst Reihe, bei dee sich die Partialsumme auswerte lasse ud lere da wichtige Kovergezkriterie kee. 9.. Beispiele Beispiel 9.4. Die geometrische Reihe q k = + q + q q k +... k=0 kovergiert für q < ud divergiert für q.

7 9. Zahlereihe 347 De ach Kap..2.3 gilt für die edliche geometrische Reihe: S = q k = q+ für q. q Für q < ist Grezwert Folglich ist k=0 lim q+ = 0 ud die Folge der Partialsumme hat de S = lim S q + = lim = q q. k=0 q k = q für q <. Für q > divergiert q + ud damit S. Für q = ist S = k=0 = +, also diverget. Für q = ist die Reihe ebefalls diverget, wie das achfolgede Beispiel zeigt. Beispiel 9.5. Die Reihe ( ) ist diverget. De die Folge der Partialsumme ist S 0 =, S = = 0, S 2 = + =, S 3 = + = 0, S 4 =, S 5 = 0, S 6 =, S 7 = 0,... usw. Damit besitzt die Folge (S ) keie Grezwert ud die Reihe ( ) ist diverget. Dieses Beispiel zeigt auch, dass eie divergete Reihe icht otwedigerweise gege + oder gehe muss. Beispiel 9.6. Die arithmetische Reihe k = k= ist diverget. Durch vollstädige Iduktio wurde i Beispiel.3 gezeigt, dass ( + ) S = k = =. 2 k=

8 Fuktioereihe Folglich ist der Grezwert S = lim S = lim ( + ) =. 2 Die arithmetische Reihe ist damit bestimmt diverget. Beispiel 9.7. Die Reihe k (k + ) = k (k + ) +... k= ist koverget. Wie ma leicht mit vollstädiger Iduktio beweist, gilt für die Partialsumme S = k (k + ) = ( + ) = +. Folglich ist k= lim S = lim + = k= k (k + ) =.! Beispiel 9.8. Die harmoische Reihe = = ist diverget: Wir vergleiche die harmoische Reihe mit eier Vergleichsreihe, dere Folgeglieder kleier als die der harmoische Reihe sid; die Vergleichsreihe aber scho divergiert. Harmoische Reihe: Die Klammerug erfolgt dabei so, dass jeweils die Summade zusammegefasst werde. Wir ersetze alle Terme eier Klammer durch de mit Pfeil gekezeichete Wert 2. Dadurch verkleier wir de Wert der + Summe ud erhalte die Vergleichsreihe + ( ) ( ) ( )

9 9. Zahlereihe 349 Für diese Reihe ist i= 2 = für. 2 Da die Vergleichsreihe gege divergiert, muss die harmoische Reihe, dere Glieder größer als die der Vergleichsreihe sid, ebefalls divergiere. Bei diese Überleguge geht implizit das sog. Mioratekriterium ei. Es besagt, dass eie Reihe divergiert, we eie divergete Vergleichsreihe (Miorate) existiert, dere Reiheglieder kleier sid als die der ursprügliche Reihe: Mioratekriterium: Ist 0 < a i b i ab eiem m IN, da gilt a i diverget i= i= b i diverget. Folgeruge aus der Divergez der harmoische Reihe: ()! lim a = 0 geügt icht, um die Kovergez der Reihe sicherzustelle. k= a k (2) Ist a koverget mit lim a 0, da ist die Reihe k= a k diverget. (3) Ist k= a k koverget lim a = 0.! Achtug: Eie umerische Berechug eier Reihe reicht icht aus, um die Kovergez zu prüfe, bzw. im Falle der Kovergez de Summewert zu bestimme!: Die harmoische Reihe = ist umerisch immer koverget, was im Widerspruch zu Beispiel 9.8 steht. Dieser Trugschluss rührt daher, dass umerisch ur mit eier edliche Geauigkeit gerechet wird. Daher ist ab eiem gewisse N umerisch N i= i + N N + = i i= (umerisch!), da da N+ icht mehr zum Summewert beiträgt. Ab diesem N ädert die Reihe umerisch ihre Wert icht mehr.

10 Fuktioereihe Beispiel 9.9 (Mit Maple-Worksheet). Um diese Effekt zu verdeutliche, bereche wir die harmoische Reihe mit eier Rechegeauigkeit vo 5 Stelle. Wir erhalte die folgede Ergebisse i Abhägigkeit vo N N summe Etwa ab N = 5000 ädert sich der Summewert icht mehr, obwohl die Reihe divergiert! Ädert ma die Reihefolge der Summatio, ka ahezu jeder Wert größer 0 als Summewert erhalte werde. Da i de weigste Fälle die Partialsumme als geschlosseer Ausdruck vorliegt, werde Kriterie beötigt, um zu etscheide, ob Reihe kovergiere oder icht. Dies führt zu de sog. Kovergezkriterie. Wir gebe ur die drei wichtigste a Majoratekriterium Ei sehr aschauliches Kriterium ist das Majoratekriterium, welches besagt, dass eie Reihe kovergiert, we eie betragsmäßig größere Reihe scho kovergiert. Majoratekriterium: Ist a i A i ud A i koverget i= Ma bezeichet i= A i da als Majorate. i= a i koverget. Beispiel 9.0. Für p 2 kovergiert die Reihe = p : Die kovergete Majorate ist die i Beispiel 9.7 diskutierte Reihe: De für p 2 gilt Daher ist N k= N k p k= k (k + ) =. k p k 2 2 k (k + ). k= 2 k (k + ) 2 k= k (k + ) = 2 ud k= k p ist koverget mit eiem Summewert 2.

11 9. Zahlereihe 35 Es gilt allgemeier der folgede Satz: Satz: Die Reihe = p ist koverget für p > ud diverget für p. Beispiele 9.: ➀ Die Reihe = ➁ Die Reihe ➂ Die Reihe = = = = = 5 = si() 3 eie kovergete Majorate dar ist diverget, da p = 2 <. ist koverget, da p = 3 2 >. stellt 3 2 ist koverget: Wege si() 3 = Quotietekriterium Für die Awedug bei Potezreihe zeigt sich das folgede Quotietekriterium als außerordetlich erfolgreich. Quotietekriterium: Die Reihe = a ist koverget, falls es ei N IN ud eie Zahl q < gibt mit a + a q < für alle N. Begrüdug: Weil es auf edlich viele Glieder icht akommt, sei ageomme, dass a + q a für alle. Da folgt iduktiv a q a q 2 a 2 q 3 a 3... q a 0. Da q < gilt uter Verwedug der geometrische Reihe aus Beispiel 9.4 a a a 0 q = a 0 q.

12 Fuktioereihe Bemerkuge: () Da die geometrische Reihe für q > divergiert, erhält ma aalog zu der Argumetatio des vorherige Beweises die Aussage: Gibt es ei N IN, so dass a+ a > für alle N, da divergiert die Reihe = a. (2) Für die Aweduge bei de Potez- ud Taylor-Reihe ist es oft eifacher, die Limesform des Quotietekriteriums zu verwede. Hierbei be-. rechet ma lim a+ a Es gilt da äquivalet zum Quotietekriterium: Limesform des Quotietekriteriums: Ist lim a + a < Für Ist lim lim a + a a + a = > = a a koverget. diverget. = ist keie Aussage über die Kovergez möglich. Beispiele 9.2: ➀ Die Reihe = ist koverget. Dies folgt aus der Limesform des Quotietekriteriums, da a + a = ( + ) / 2 2 = 2 ( + ) = ( + ) <. 2 2 ➁ Die Reihe! x ist für jedes x IR koverget. Dies folgt aus der Limesform des Quotietekriteriums, da a + a = x + ( + )!! x = x 0 <. +

13 9. Zahlereihe 353 Bemerkuge zum Quotietekriterium ()! Achtug: Im Falle lim a+ a = ist keie Aussage möglich: Für a = erhalte wir die harmoische Reihe =. Hier ist a + a =. + Für a = 2 erhalte wir die Reihe =. Auch hier gilt 2 a + a = 2 ( + ) 2. Für beide Fälle liefert die Limesform des Quotietekriteriums als Wert. Nach Beispiel 9.8 divergiert die erste ud ach Beispiel 9.0 kovergiert die zweite Reihe. Damit ka das Quotietekriterium i solche Fälle icht agewedet werde! (2) Das Quotietekriterium ist also ur eie hireichede, aber keie otwedige Bedigug für die Kovergez eier Reihe. (3) Ma beachte, dass das Kovergezkriterium ur Aufschluss darüber gibt, ob eie Reihe kovergiert oder icht; es liefert keie Ahaltspukt über de Summewert. Isbesodere stimmt lim a+ a icht mit dem Wert der Reihe überei! Die Maple-Prozedur quotkrit wedet auf eie gegebee Reihe mit Reiheglieder a() das Quotietekriterium i der Limesform a Leibiz-Kriterium Für alterierede Reihe, Reihe dere Glieder abwechseld positiv ud egativ sid, existiert ei vo Leibiz (646-76) stammedes Kriterium. Alterierede Reihe habe die Form = ( )+ a = a a 2 + a 3 a 4 ±... mit a > 0. Das Vorzeiche ( ) + wechselt dabei städig. Leibiz-Kriterium: Eie alterierede Reihe ( ) + a = a a 2 + a 3 a 4 ±... = ist koverget, falls a > a 2 > a 3 > a 4 >... > 0 ud lim a = 0. Eie alterierede Reihe kovergiert also, we die Beträge der Glieder eie streg mooto fallede Nullfolge bilde.

14 Fuktioereihe Beispiel 9.3. = ( )+! ist koverget. Die Glieder der Reihe sid alteriered ud die Beträge der Glieder! > 2! > 3! >... >! > ( + )! >... > 0 bilde eie streg mooto fallede Nullfolge. Nach dem Leibiz-Kriterium kovergiert die Reihe. Beispiel 9.4. Die alterierede harmoische Reihe = ( ) + = ±... ist koverget. Die Glieder der Reihe sid alteriered ud dere Beträge > 2 > 3 >... > > + >... > 0 bilde eie streg mooto fallede Nullfolge. Nach dem Leibiz-Kriterium kovergiert die Reihe. Beispiel 9.5. = ( )+ divergiert ach Beispiel 9.5. Das Leibiz-Kriterium ist icht awedbar, da a = keie Nullfolge ist. Bemerkuge: () Absolut kovergete Reihe sid auch koverget im gewöhliche Sie. Die Umkehrug gilt aber icht!: Die alterierede harmoische Reihe ist koverget ( Beispiel 9.4) aber icht absolut koverget, da die harmoische Reihe ( ) + = ach Beispiel 9.8 divergiert. = = (2) Bei der Awedug des Leibiz-Kriteriums geügt es icht, ur die Eigeschaft alteriered achzuprüfe! Selbst we die Reiheglieder alterieredes Vorzeiche besitze ud eie Nullfolge bilde, folgt icht die Kovergez, wie die Reihe { } ( ) k + ( )k k + k + k= zeigt. Die Reiheglieder sid alteriered, bilde aber keie betragsmäßig mooto fallede Nullfolge.

15 9.2 Potezreihe Potezreihe Dieser Abschitt stellt de Übergag vo de Zahlereihe zu de Taylor-Reihe dar. Die Kovergezkriterie der Zahlereihe werde übertrage auf Potezreihe, um de Defiitiosbereich der Potezreihe zu bestimme. 9.2 Sid die Summade i eier Reihe selbst Fuktioe eier Variable x, so stellt der Ausdruck a (x) eie Fuktio dar, eie sog. Fuktioereihe. Ei wichtiger Spezialfall solcher Fuktioereihe sid die Potezreihe. Defiitio: Eie Fuktio der Form a x = a 0 + a x a x +... heißt Potezreihe. Der Defiitiosbereich eier Potezreihe besteht aus alle reelle Zahle x, für die = 0 a x kovergiert. Ma et daher die Mege { } K := x IR : a x koverget de Kovergezbereich der Potezreihe. Bemerkuge: () Ma bezeichet a 0, a, a 2,..., a,... als die Koeffiziete der Potezreihe. (2) Für jedes feste x ist eie Potezreihe eie Zahlereihe. (3) Eie etwas allgemeiere Darstellug vo Potezreihe erhält ma durch Ausdrücke der Form a (x x 0 ) = a 0 + a (x x 0 ) a (x x 0 ) Ma bezeichet da die Stelle x 0 als de Etwicklugspukt der Reihe. Beispiel 9.6. x = x + 2 x x x Beispiel 9.7.! x = + x + 2! x2 + 3! x ! x +....

16 Fuktioereihe Beispiel 9.8. f sei im Pukte x 0 ID beliebig oft differezierbar. Da ist! f () (x 0 ) (x x 0 ) eie Potezreihe mit Etwicklugspukt x 0 ud de Koeffiziete a =! f () (x 0 ). Eie solche Reihe bezeichet ma als Taylor-Reihe der Fuktio f am Etwicklugspukt x 0 ( 9.3). Beispiel 9.9 (Geometrische Potezreihe): Nach Beispiel 9.4 ist die Potezreihe x = + x + x x +... = x für x < koverget ud für x diverget. Der Kovergezbereich ist daher K = (, ). Beispiel Wir bereche de Kovergezbereich der Potezreihe = x = x + 2 x2 + 3 x x Dazu wede wir für ei beliebiges aber festes x IR das Quotietekriterium mit b = x a: b + b = x + + / x = x + + x = x x. + Damit kovergiert die Reihe für x < ud divergiert für x >. Für x = müsse getrete Utersuchuge durchgeführt werde, idem die jeweilige Werte i die Reihe eigesetzt werde: Für x = ist = x = = = = = die harmoische Reihe, also ach Beispiel 9.8 diverget. Für x = ist x = ( ). = Die alterierede harmoische Reihe ist ach Beispiel 9.4 koverget. Damit ist der Kovergezbereich K = [, ).

17 9.2 Potezreihe 357 Kovergezverhalte vo Potezreihe Ma ka für beliebige Potezreihe a x das Kovergezverhalte charakterisiere. Grudlage hierfür ist der folgede Satz. Satz über das Kovergezverhalte vo Potezreihe: Jede Potezreihe a x = a 0 + a x + a 2 x a x +... besitzt eie eideutig bestimmte Kovergezradius ρ (0 ρ ) mit de Eigeschafte: () Die Reihe kovergiert für alle x mit x < ρ. (2) Die Reihe divergiert für alle x mit x > ρ. (3) Für x = ρ ist keie allgemeie Aussage möglich. Begrüdug: Zur Bestimmug vo ρ wede wir das Quotietekriterium auf die Reihe = 0 b mit b = a x a: b + b = a + x + a x = a + a x lim a + a x. Nach der Limesform des Quotietekriteriums kovergiert die Reihe für lim a + a x < x < = lim a a + ud sie divergiert für x > lim a+ a lim = lim a+ a a a + Setze wir ρ := lim a a +, so sid die Aussage des Satzes achgeprüft ud wir habe de Kovergezradius berechet.. Satz: (Kovergezradius) Der Kovergezradius ρ eier Potezreihe a x ist gegebe durch ρ = lim a a +.

18 Fuktioereihe Bemerkuge: () Der Soderfall ρ = ist möglich, de da ist x < ρ immer erfüllt ud der Kovergezbereich ist K = IR. (2) Es gibt Potezreihe mit ρ = 0. Diese Reihe kovergiere für kei x IR. (3) Für x = ρ, d.h. x = ± ρ, ka keie allgemeigültige Aussage getroffe werde. A diese Radstelle müsse getrete Utersuchuge durchgeführt werde. (4) Es ist keie Aussage möglich, falls lim a a + icht existiert. (5)! Achtug: Beim Quotietekriterium wird das Verhältis a+ a gebildet, währed für die Berechug des Kovergezradius das Verhältis a a + bestimmt wird! (6) Eie Potezreihe a x kovergiert stets ierhalb des zum Nullpukt symmetrische Itervalls x < ρ ud divergiert außerhalb. Abb. 9.2 zeigt die graphische Darstellug des Kovergezbereichs. Abb Kovergezbereich eier Potezreihe Beispiel 9.2. Die Reihe! x = + x + 2! x ! x +... kovergiert für alle x IR. De der Kovergezradius ist ρ = lim a = lim! = lim ( + )! = lim ( + ) =.! a + (+)! Beispiel Die Reihe ( ) (2 + )! x2+ = x 3! x3 + 5! x5 7! x7 ±... kovergiert für alle x IR. De mit a = ( ) a a + = ( ) (2 + )! (2 + 3)! ( ) + ρ = lim a a + (2+)! folgt = (2 + 3)! (2 + )! = K = IR. = (2 + 2) (2 + 3)

19 9.2 Potezreihe 359 Beispiel Wir utersuche die Potezreihe ( ) + (x ) = auf ihre Kovergezeigeschafte. Dazu wede wir das Quotietekriterium auf die Reihe mit de Summade b = ( )+ (x ) a: b + b = ( )+2 + (x ) + lim b + b ( ) + (x ) = + = lim + x = x. ( ) (x ) Somit kovergiert die Reihe für x < ud divergiert für x >. Für de Fall x = werde getrete Utersuchuge durchgeführt. Aus x = folgt etweder x = x = 2 oder x = x = 0. Für x = 2 ist ( ) + (2 ) ( ) + = = = = = die alterierede harmoische Reihe ud damit koverget. Für x = 0 ist ( ) + (0 ) ( ) + ( ) = = die harmoische Reihe ud damit diverget. K = (0, 2]. = Bemerkug: Bei Potezreihe der Form a (x x 0 ) wird der Kovergezradius ebefalls berechet durch die Formel ρ = lim a a +. () Die Reihe kovergiert für x x 0 < ρ. (2) Die Reihe divergiert für x x 0 > ρ. (3) Für x x 0 = ρ ( x = ± ρ + x 0 ) ka keie allgemeigültige Aussage getroffe werde. Der Kovergezradius wird i Maple mit der Prozedur kov radius bestimmt. Der Kovergezbereich eier Potezreihe ka aber auch graphisch visualisiert werde, idem ma die Potezreihe mit wachseder Ordug i Form eier Aimatio darstellt.

20 Fuktioereihe Beispiele 9.24 (Mit Maple-Worksheet): ➀ Der Kovergezradius der Potezreihe i= 4 i x i ist ρ = 4. Der Kovergezbereich ist das offee Itervall ( 4, 4). ➁ Vo der Potezreihe i= ( )i i (x )i ist der Kovergezradius ρ =. Der Kovergezbereich ist das halb offee Itervall (0, 2]. Dargestellt wird i der Maple-Aimatio jeweils ur die Partialsumme bis = 25 bzw. = 26. Partialsumme 25 i= x i Partialsumme 26 4 i i= ( )i (x )i i Ma erket i der Aimatio, dass sich im Ier des Kovergezbereichs die Reihe stabilisiere, außerhalb gehe sie gege Uedlich. Bei der erste Reihe etimmt ma de Kovergezbereich zwische 4 ud 4, währed er bei der zweite Reihe vo 0 bis 2 geht. Zum Abschluss dieses Abschitts fasse wir och eiige wichtige Eigeschafte vo Potezreihe zusamme. Wichtige Eigeschafte vo Potezreihe: () Eie Potezreihe kovergiert ierhalb ihres Kovergezbereichs absolut. (2) Eie Potezreihe darf ierhalb ihres Kovergezbereichs differeziert ud itegriert werde. Die so erhaltee Potezreihe besitze de gleiche Kovergezradius wie die ursprügliche Reihe. (3) Zwei Potezreihe dürfe im gemeisame Kovergezbereich der Reihe gliedweise addiert ud multipliziert werde.

21 9.3 Taylor-Reihe Taylor-Reihe Wir komme u zum zetrale Thema dieses Kapitels: die Taylor-Reihe. Die Aussage des Taylorsche Satzes ist, dass sich fast jede elemetare Fuktio i der Umgebug eies Puktes x 0 durch Polyome beliebig geau aäher lässt. Es zeigt sich sogar, dass diese Fuktioe sich durch eie Potezreihe der Form a (x x 0 ) darstelle lasse. Nebe der Bestimmug der Koeffiziete a werde wir Iformatio darüber gewie, welcher Fehler maximal auftritt, we diese Reihe ach edlich viele Summatiosglieder abgebroche wird. Damit erhalte wir zum eie eie Methode, die elemetare Fuktioe 9.3 e x, si x, x, l x usw. mit beliebiger Geauigkeit zu bereche, zum adere Näherugsformel für diese Fuktioe. Beispiel 9.25 (Eiführug): Nach Beispiel 9.9 gilt für die geometrische Potezreihe + x + x x +... = x = x für x <. D.h. die Potezreihe = 0 x stimmt mit der Fuktio x für alle x (, ) überei. Außerhalb dieses offee Itervalls ist zwar x och defiiert (x ), aber icht mehr die Potezreihe. Wir leite eie Formel heuristisch her, die es us erlaubt, für elemetare Fuktioe die zugehörige Potezreihe aufzustelle. Herleitug der Taylor-Polyome. Gegebe sei eie Fuktio f(x), siehe Abb Gesucht ist eie Näherug der Fuktio i der Umgebug des Puktes x 0 ID. Die Fuktio f sei i dieser Umgebug mehrmals differezierbar. Abb Fuktio f ud Näheruge i der Umgebug vo x 0

22 Fuktioereihe (0.) Die ullte Näherug p 0 a die Fuktio erhält ma, we die kostate Fuktio p 0 (x) = f (x 0 ) gewählt wird. Die Fuktio p 0 hat mit f ur de Fuktioswert a der Stelle x 0 gemeisam. (.) Die lieare Näherug p a die Fuktio erhält ma, we ma die Tagete i x 0 wählt: p (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ). Die Tagete hat mit der Fuktio sowohl de Fuktioswert, als auch die Ableitug a der Stelle x 0 gemeisam. (2.) Gesucht ist eie quadratische Fuktio p 2, die im Pukte x 0 zusätzlich die gleiche Krümmug wie f aufweist: Asatz: p 2 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + c (x x 0 ) 2. Bedigug: p 2 (x 0 )! = f (x 0 ). Wege p 2 (x) = 2 c, folgt p 2 (x 0 ) = 2 c = f (x 0 ) c = 2! f (x 0 ) p 2 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! (x x 0 ) 2. (3.) Gesucht ist die kubische Fuktio p 3, die im Pukte x 0 zusätzlich die 3. Ableitug mit f gemeisam hat: Asatz: p 3 (x) = f (x 0 )+f (x 0 ) (x x 0 )+ 2! f (x 0 ) (x x 0 ) 2 +d (x x 0 ) 3. Bedigug: p 3 (x 0 )! = f (x 0 ). Wege p 3 (x 0 ) = 2 3 d! = f (x 0 ) d = 3! f (x 0 ) p 3 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + 2! f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + 3! f (x 0 ) (x x 0 ) 3.

23 9.3 Taylor-Reihe 363. (.) Eie bessere Approximatio a die Fuktio f i eier Umgebug des Puktes x 0 gewit ma, idem jeweils Terme der Form! f () (x 0 ) (x x 0 ) hizugeomme werde, so dass das -te Näherugspolyom (das Taylor- Polyom vom Grade ) gegebe ist durch p (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) ! f () (x 0 ) (x x 0 ) = i=0 i! f (i) (x 0 ) (x x 0 ) i. Visualisierug mit Maple. Zur Veraschaulichug der Kovergez der Taylor-Polyome p a die Fuktio f wähle wir eie Aimatio mit Maple für die Fuktio f (x) = 6 (x 2.5) 2 am Etwicklugspukt x 0 =. Dazu bestimme wir die erste 0 Taylor-Polyome. Durch die Aimatio erket ma deutlich, dass mit wachsedem Grad des Taylor-Polyoms der Bereich sich vergrößert, i dem Fuktio ud Taylor- Polyom graphisch übereistimme. Für N = 0 lässt sich im Bereich 0.5 x.7 graphisch kei Uterschied zwische der Fuktio f ud dem Näherugspolyom p 0 feststelle. Es stellt sich somit die Frage, wie groß die Abweichug der Näherugsfuktio p (x) zur Fuktio f i der Umgebug vo x 0 ist. Aufschluss darüber gibt der folgede Satz.

24 Fuktioereihe Satz vo Taylor. Gegebe sei eie i x 0 ID (m + )-mal stetig differezierbare Fuktio f. Da gilt die Taylorsche Formel f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) m! f (m) (x 0 ) (x x 0 ) m + R m (x) mit dem Restglied R m (x) = (m + )! f (m+) (ξ) (x x 0 ) m+ (x ID) ud ξ eiem icht äher bekate Wert, der zwische x ud x 0 liegt. Der Satz vo Taylor (685-73) spezifiziert die Zwischestelle ξ zwische x ud x 0 icht äher. Daher ka ma icht exakt die Abweichug der Näherugsfuktio p (x) zur Fuktio f agebe. Für die kokrete Aweduge wird diese Tatsache aber keie Rolle spiele, da wir für das Restglied R m (x) eie Obergreze agebe. We das Restglied R m (x) m 0 erfüllt, so erhält ma Satz über Taylor-Reihe. Ist f eie i x 0 ID beliebig oft differezierbare Fuktio ud erfüllt das Restglied R m (x) 0 für m, so gilt f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + 2! f (x 0 ) (x x 0 ) ! f () (x 0 ) (x x 0 ) +... =! f () (x 0 ) (x x 0 ). Diese Potezreihe heißt die Taylor-Reihe zur Fuktio f am Etwicklugspukt x 0. Bemerkuge: () Der Kovergezradius der Taylor-Reihe ist icht otwedigerweise > 0. (2) Falls die Taylor-Reihe vo f kovergiert, muss sie icht otwedigerweise gege f(x) kovergiere. (3) Die Taylor-Reihe kovergiert geau da gege f(x), we das Restglied R m (x) für m gege Null geht. I diesem Fall stimme die Fuktio

25 9.3 Taylor-Reihe 365 ud die Taylor-Reihe für alle x aus dem Kovergezbereich der Potezreihe überei. (4) Ist der Etwicklugspukt x 0 = 0, so et ma die Taylor-Reihe oftmals auch MacLaurische Reihe. (5) Ist f eie gerade Fuktio, da trete i der Taylor-Reihe ur Terme mit gerade Poteze auf. Ist f eie ugerade Fuktio, da ur Terme mit ugerade Poteze. Im Folgede bereche wir die Taylor-Reihe vo wichtige Fuktioe; u.a. der Expoetial- ud Logarithmusfuktio bzw. de trigoometrische Fuktioe. Beispiel 9.26 (Expoetialfuktio): Die Taylor-Reihe vo e x mit dem Etwicklugspukt x 0 = 0: Wege f (x) = e x folgt f (0) = f (x) = e x f (0) = f (x) = e x f (0) = f (x) = e x f (0) =.. f () (x) = e x f () (0) = Damit ist die Taylor-Reihe vo e x : + x + 2! x2 + 3! x ! x +... = i=0 i! xi. Da der Kovergezradius dieser Potezreihe ρ = ( Beispiel 9.2), ist K = IR. Für das Restglied gilt R m (x) = (m + )! f (m+) (ξ) (x x 0 ) m+ = xm+ (m + )! eξ für ξ [ x, x] R m (x) x m+ (m + )! eξ 0 für m. Also stimmt die Taylor-Reihe mit der Fuktio überei ud für alle x IR gilt e x =! x.

26 Fuktioereihe Beispiel 9.27 (Siusfuktio): Die Taylor-Reihe vo f(x) = si x mit dem Etwicklugspukt x 0 = 0: Wege f (x) = si x folgt f (0) = 0 f (x) = cos x f (0) = f (x) = si x f (0) = 0 f (x) = cos x f (0) = f (4) (x) = si x f (4) (0) = 0 f (5) (x) = cos x f (5) (0) = f (6) (x) = si x f (6) (0) = 0. Es ist also f (2) (0) = 0 ud f (2+) (0) = ( ), so dass ur die ugerade Expoete i der Taylor-Reihe auftrete ud zwar mit alterieredem Vorzeiche: x 3! x3 + 5! x5 ( ) 7! x7 ±... = (2 + )! x2+. Nach Beispiel 9.23 ist der Kovergezradius ρ = ud aalog zum Beispiel 9.26 gilt R m (x) 0 für m. Damit stimmt die Taylor-Reihe für alle x IR mit si x überei: si (x) = ( ) (2 + )! x2+.. Beispiel 9.28 (Kosiusfuktio): Die Taylor-Reihe vo f(x) = cos x mit dem Etwicklugspukt x 0 = 0 ergibt sich sofort aus obigem Beispiel: Da die Potezreihe gliedweise ierhalb des Kovergezbereichs differeziert werde darf, ist für alle x IR cos (x) = si (x) = ( ) (2 + )! (2 + ) x2 cos (x) = ( ) (2)! x2

27 9.3 Taylor-Reihe 367 Beispiel 9.29 (Logarithmusfuktio): Die Taylor-Reihe vo l x, x > 0, mit dem Etwicklugspukt x 0 = : f(x) = l x f() = 0 f (x) = x f () = f (x) = ( ) x 2 f () = ( ) f (x) = ( ) ( 2) x 3 f () = ( ) ( 2) f (4) (x) = ( ) ( 2) ( 3) x 4 f (4) () = ( ) ( 2) ( 3) f (5) (x) = ( ) ( 2)( 3)( 4) x 5 f (5) () = ( ) ( 2)( 3)( 4) f (6) (x) = ( ) ( 2)( 3)( 4) ( 5)x 6 f (6) () = ( ) ( 2)( 3)( 4) ( 5).. f () (x) = ( ) + ( )! x f () () = ( ) + ( )! Damit ergebe sich die Taylor-Koeffiziete für zu f () ()! = ( )+ ( )!! = ( )+ Da das Restglied R m (x) 0 für m geht, ist die Taylor-Reihe für l x am Pukte x 0 = gegebe durch l x = (x ) 2 (x )2 + 3 (x )3 ±... ± ( )+ (x ) ±.... ( ) + l x = = (x ) für x (0, 2]. Nach Beispiel 9.23 ist der Kovergezbereich K = (0, 2]. Speziell für x = 2 gilt ( ) + l 2 =. = Die Summe der alterierede harmoische Reihe hat de Wert l 2. Beispiel 9.30 (Biomische Reihe): Die Taylor-Reihe der Biomische Reihe ( + x) α am Etwicklugspukt x 0 = 0 lautet für beliebiges α IR: ( + x) α = k=0 ( ) α x k für x (, ), k we wir die verallgemeierte Biomialkoeffiziete defiiere ( ) ( ) α α α (α ) (α 2)... (α k + ) := ud :=. 0 k k!

28 Fuktioereihe De aus f (x) = ( + x) α f (0) = f (x) = α ( + x) α f (0) = α f (x) = α (α ) ( + x) α 2 f (0) = α (α ) f (x) = α (α ) (α 2) ( + x) α 3 f (x) = α (α ) (α 2).. f () (x) = α (α )... f () (0) = α (α ) (α + ) ( + x) α... (α + ) folgt für die Taylor-Koeffiziete f (k) (x 0 ) k! = ud für die Taylor-Reihe α (α ) (α 2)... (α k + ) k! ( + x) α = k=0 ( ) α x k. k = ( ) α k Der Kovergezbereich ergibt sich mit dem Quotietekriterium zu K = (, ). Spezialfälle: ➀ α = (geometrische Reihe): + x = x + x2 x 3 ±... = ➁ α = 2 (Ableitug der geometrische Reihe): ➂ α = 2 : ➃ α = 2 : ( + x) 2 = 2x + 3x2 ±... = ( ) k x k. k=0 ( ) k (k + ) x k. k=0 + x = + 2 x 2 4 x x x4 ±.... = + x 2 x x x x4.... Häufig wird die Berechug der Taylor-Reihe eier Fuktio durch Differeziatio bzw. Itegratio auf bekate Potezreihe zurückgeführt, wie die folgede beide Beispiele zeige.

29 9.3 Taylor-Reihe 369 Beispiel 9.3 (Arkustagesfuktio): Die Taylor-Reihe vo f (x) = arcta (x) am Etwicklugspukt x 0 = 0: Aus f (x) = arcta (x) f (x) = + x 2. Nach Beispiel 9.9 ist für x < + x 2 = ( x 2 ) = ( x 2 ) = ( ) x 2. Da Potezreihe gliedweise itegriert werde dürfe, folgt x x arcta (x) = f (0) + f ( x) d x = 0+ ( ) x 2 d x 0 0 = ( ) 2 + x2+. Nach dem Leibiz-Kriterium kovergiert die Potezreihe auch für x = ±, so dass isgesamt: arcta (x) = = 0 ( ) 2 + x2+ für x [, ]. Beispiel 9.32 (Area-Fuktioe): Berechug der Taylor-Reihe der Area-Fuktioe am Etwicklugspukt x 0 = 0 durch Zurückspiele auf die Biomische Reihe: Aus f (x) = ar tah (x) folgt Damit ist Da f (0) = ar tah (0) = 0 ist x 2 f (x) = ar tah (x) = x 2 = x 2. f (x) = f (0) + ar tah (x) = 2 + x x2+ für x <. Auf aaloge Weise werde die Taylor-Reihe vo ar sih(x), ar cosh(x) ud ar coth(x) berechet, da ar sih (x) = +x für x IR, ar cosh (x) = 2 für x > ud ar coth (x) = x für x >. 2

30 Fuktioereihe Tabelle 9.: Taylor-Reihe: Fuktio ( + x) α Potezreiheetwicklug ( α k k=0 ) x k x < ( ± x) 2 ± 2 x 2 4 x2 ± x x4 ±... x ( ± x) 2 2 x x x x4... x < ( ± x) x + x 2 x 3 + x 4... x < ( ± x) 2 2 x + 3 x 2 4 x x 4... x < si x cos x x x3 3! + x5 5! x7 7! + x9 9! +... x < x2 2! + x4 4! x6 6! + x8 8! +... x < ta x x + 3 x x x x x < π 2 e x + x! + x2 2! + x3 3! + x4 4! +... x < l x (x ) 2 (x )2 + 3 (x ) < x 2 Kovergezbereich Fuktio Potezreiheetwicklug Kovergezbereich arcsi x x x x x x < arccos x π 2 [ x x x x ] x < arcta x x 3 x3 + 5 x5 7 x7 + 9 x x sih x x + 3! x3 + 5! x5 + 7! x x < cosh x + 2! x2 + 4! x4 + 6! x x < tah x x 3 x x x x x < π 2 Visualisierug der Kovergez Mit der Prozedur taylor poly erhält ma eie Aimatio, bei der das Taylor-Polyom mit steigedem zusamme mit der Fuktio f(x) zu sehe ist. Ma erket, dass mit wachseder Ordug der Polyome eie gleichmäßige Apassug a die Fuktio erfolgt.

31 9.4 Aweduge Aweduge 9.4 Näherugspolyome eier Fuktio I viele Aweduge werde komplizierte Fuktioe durch Taylor-Polyome p (x) ageähert. Zum eie, damit ma die Fuktioe auf eifache Weise mit vorgegebeer Geauigkeit auswerte ka, zum adere, damit ma z.b. bei liearer Näherug eie eifachere physikalische Zusammehag erhält. Der Fehler zwische der Fuktio f(x) ud dem Taylor-Polyom p (x) ist ach dem Satz vo Taylor gegebe durch das Lagrage Restglied R (x) = ( + )! f (+) (ξ) (x x 0 ) +, we x 0 der Etwicklugspukt ud ξ ei icht äher bekater Zwischewert zwische x ud x 0. Für die meiste i der Praxis auftretede Fuktioe geht der Fehler gege Null für. Bei hireiched großem wird also eie beliebig hohe Geauigkeit erzielt. I techische Aweduge werde Fuktioe ahe ihrem Etwicklugspukt oftmals ur durch das Taylor-Polyom p (x) bzw. p 2 (x) ersetzt! Beispiel 9.33 (Berechug der Zahl e): Die Zahl e soll bis auf 6 Dezimalstelle geau berechet werde. Dazu gehe wir vo der Taylor-Etwicklug der Expoetialfuktio bei x 0 = 0 aus e x =! x = + x + 2! x ! x +... ud bereche e durch das Taylor-Polyom der Ordug e p () = + + 2! !. Der Fehler ach dem Lagrage Restglied ist R () = ( + )! eξ ( + )! e < 3 ( + )! (da e ξ e < 3). Damit der Fehler kleier als 6 Dezimalstelle wird, muss R () < 3 ( + )!! < ( + )! > Dies ist für 9 erfüllt, de (9 + )! = Für = 9 ist e bis auf 6 Dezimalstelle geau berechet: e 9! =

32 Fuktioereihe Vergleicht ma diese Methode zur Berechug der Zahl e mit der Folge ( + aus Beispiel 6.3, so ist die Reihedarstellug sehr schell koverget. Es werde für eie Geauigkeit vo 6 Dezimalstelle ur 9 Summeglieder beötigt im Vergleich zu > 0 5 bei der Folgedarstellug. ) Awedugsbeispiel 9.34 (Relativistische Teilche). Nach A. Eistei beträgt die Gesamteergie eies Teilches E = m c 2. Dabei ist c die Lichtgeschwidigkeit ud m die vo der Geschwidigkeit des Teilches v abhägige Masse: m = m 0 (v/c) 2, m 0 ist dabei die Ruhemasse des Teilches. Bezeichet E 0 = m 0 c 2 die Ruheeergie, so ist die kietische Eergie E ki = E E 0 = m c 2 m 0 c 2 = m 0 c 2 ( (v/c) 2 ). Für ei icht-relativistisches Teilche ist v << c, d.h. 0 v c <<. v c ist also ahe dem Etwicklugspukt x 0 = 0 der Fuktio x. Wir ersetze daher 2 ach Tabelle 9. + x 2 x bzw. + ( v ) 2. (v/c) 2 2 c Für die kietische Eergie gilt damit E ki = m 0 c 2 ( (v/c) 2 ) m 0 c 2 ( + 2 ( v ) ) 2 = c 2 m 0 v 2. Der Term 2 m 0 v 2 repräsetiert die kietische Eergie eies Teilches im Grezfall v << c (= klassischer Grezfall).

33 9.4 Aweduge 373 Awedugsbeispiel 9.35 (Scheiwerferregelug, mit Maple- Worksheet). Komme wir auf das Eiführugsbeispiel der Scheiwerferregelug zurück. Um vom Quotiete der Distazwerte d ud d 2 auf de aktuelle Neigugswikel β zu schließe, müsse wir diese Quotiete ach β auflöse. Dazu defiiere wir die Fuktio q(β), die wir im Folgede i eie Taylor-Reihe etwickel. q(β) := d = si(α 2 + β) d 2 si(α + β) (*) Gehe vo de Parameterwerte β ab = , α = ud α 2 = aus, ist der Quotiete q 0 für de Wikel β ab zwische der Horizotale ud der Hell-Dukel-Greze beim ruhede Fahrzeug q 0 := q(β ab ) = Um de Quotiete ach β vo (*) aufzulöse, etwickel wir u die rechte Seite i eie Taylor-Reihe bis zur Ordug 2. q 2 (β) := β (β ) 2 ud löse die Gleichug (*) für eie beliebige like Seite d d 2 mit der Näherug für die rechte Seite si(α2+β) si(α+β) q 2(β) ach β auf β /2 := ± d. d 2 Vo de beide gefudee Lösuge kommt ur diejeige i Frage, welche für die Größe q 0 = d d 2 de richtige Ablekwikel β ab liefert. Dies ist die zweite Lösug β 2. Wir zeiche die Näherugsfuktio gestrichelt ud die ursprügliche, implizit gegebee Fuktio durchgezoge. Aus der Grafik etimmt ma, dass die Näherugsformel für q zwische 0.4 ud 0.58 gut mit der implizite Fuktio übereistimmt. Dies liefert eie Wikelbereich vo (-.7 ) bis 0.05 (2.864 ), i dem die Näherug verwedet werde ka. Um eie Näherugsformel zu erhalte, die auf die Berechug vo Wurzel gaz verzichtet, etwickel wir β 2 ebefalls i eie Taylor-Reihe mit dem Et-

34 Fuktioereihe Abb Fuktio ud Näherug wicklugspukt q = q 0 β 2 = q q q q q 5 ud zeiche diese weitere Näherug i de obige Graphe mit ei. Abb Vergleich der Näheruge Diese Fuktio stellt im Wikelbereich zwische - ud 2 ebefalls eie akzeptable Lösug dar. Der Vorteil dieser Näherugsformel besteht ebe dari, dass auf die Berechug vo Wurzel gaz verzichtet werde ka! Zur effiziete Berechug stelle wir die Näherugsformel durch das Horer-Schema dar: β 2 = ( ( ( ( q) q) q) q) q.

35 9.4 Aweduge 375 Itegratio durch Potezreiheetwicklug Potezreihe ud damit Taylor-Reihe dürfe i ihrem Kovergezradius gliedweise differeziert bzw. itegriert werde. Für f(x) = a (x x 0 ) gilt : f (x) = d dx a (x x 0 ) = a d dx (x x 0) = a (x x 0 ). Ma beachte, dass die Differeziatio des kostate Summade a 0 Null ergibt ud damit die abgeleitete Taylor-Reihe bei = begit. f (x) dx = a x dx = a x a dx = + x+ + C. Ma beachte, dass beim bestimmte Itegral die Itegratiosgreze ierhalb des Kovergezbereichs der Potezreihe gelege sei müsse. Beispiel Gesucht ist die Itegralfuktio F (x) = x 0 e t2 dt, die icht durch eie elemetare Fuktio darstellbar ist. Mit dem Potezreiheasatz folgt e t2 = F (x) = = x 0! e x =! x ( t 2 ) = e t2 dt = =! ( ) t 2.! ( ) x 0 t 2 dt! ( ) 2 + x2+ (x IR). Löse vo Differezialgleichuge durch Potezreihe Eie i der Physik oftmals beutzte Methode zum Löse vo Differezialgleichuge ist, die gesuchte Fuktio i eie Potezreihe zu etwickel. Diese Potezreihe ethält als ubekate Größe die Koeffiziete a. Durch Eisetze der Potezreihe i die Differezialgleichug werde über eie Koeffizietevergleich die a bestimmt.

36 Fuktioereihe Komplexwertige Fuktioe Im Kapitel über komplexe Zahle 5. beutzte wir die Eulersche Formel e iϕ = cos ϕ + i si ϕ ϕ [0, 2π] als Abkürzug. Wir zeige i diesem Kapitel, dass diese Formel die Gleichheit der Fuktio e z ud der Fuktio cos (z) + i si (z) für beliebige komplexe Zahle z IC bedeutet. Zuächst erkläre wir e z, cos z ud si z für z IC als komplexe Fuktioe f : IC IC mit z f (z). Die Defiitio der Fuktio muss dabei derart erfolge, dass für z IR die herkömmliche reelle Fuktioe als Spezialfall ethalte sid. Im Komplexe stehe us die Grudrecheoperatioe +,,, / zur Verfügug. Wir defiiere daher komplexe Fuktioe über diese Grudoperatioe. Gerade aber die Expoetial-, Sius- ud Kosiusfuktioe sid Stadardbeispiele für die Darstellug eier Fuktio durch ihre Taylor-Reihe. Da ma bei der Auswertug eier Fuktio über die Taylor-Reihe ur die obe geate Grudoperatioe beötigt, erkläre wir die komplexe Fuktioe e z, si(z) ud cos(z) über ihre Taylor-Reihe. Zuvor gebe wir jedoch die wichtigste Ergebisse für komplexe Potezreihe a: 9.5. Komplexe Potezreihe Es übertrage sich alle Eigeschafte der reelle Potezreihe sigemäß auf de komplexe Fall. Bezüglich der Kovergez eier komplexe Potezreihe gilt: Satz: Die komplexe Potezreihe a (z z 0 ) mit a IC ud Etwicklugspukt z 0 IC hat als Majorate die reelle Potezreihe = 0 a z z 0 ud besitzt de Kovergezradius a ρ = lim a +. Der Kovergezbereich ist K = {z IC : z z 0 < ρ}.

37 9.5 Komplexwertige Fuktioe 377 Begrüdug: Im Komplexe gelte die Recheregel z + z 2 z + z 2 ud a z = a z. Daher gilt die Abschätzug N N N a (z z 0 ) a (z z 0 ) = a z z 0. Somit ist = 0 a z z 0 eie Majorate vo = 0 a (z z 0 ). Die komplexe Potezreihe besitzt damit de gleiche Kovergezradius wie die reelle Majorate, ämlich ρ = lim a a +. Iterpretatio: Erst im Komplexe erhält der Begriff Kovergezradius seie volle Bedeutug, de die Mege K = {z IC : z z 0 < ρ} etspricht eiem Kreis um z 0 mit Radius ρ. Ierhalb des Kreises kovergiert die Potezreihe, außerhalb divergiert sie. Beispiele Aufgrud der Darstellug der Expoetialfuktio bzw. der trigoometrische Fuktioe über die Taylor-Reihe erhält ma direkt die Defiitio der zugehörige komplexwertige Fuktioe: ➀ Komplexe Expoetialfuktio e z :=! z = +! z + 2! z2 + 3! z für z IC. Wege N! z N! z! z = e z ist e z eie kovergete Majorate ud e z kovergiert für alle z IC. ➁ Komplexe Siusfuktio ( ) si(z) := (2 + )! z2+ = z 3! z3 + 5! z5 7! z7 ±... für z IC. ➂ Komplexe Kosiusfuktio ( ) cos(z) := (2)! z2 = 2! z2 + 4! z4 6! z6 ±... für z IC. Die absolute Kovergez der Potezreihe 2 ud 3 ist ach dem Majoratekriterium für alle z IC gesichert, de die Majorate sid die reelle Potezreihe (2+)! z 2+ ud (2)! z 2.

38 Fuktioereihe Die Eulersche Formel Nach diese Vorbemerkuge sid e z, cos(z), si(z) für jedes z IC als uabhägige Fuktioe defiiert. Es gilt der Zusammehag: Satz: Für jedes z IC gilt e i z = cos(z) + i si(z) (Eulersche Formel) Begrüdug: Wir stelle cos(z) ud i si(z) durch ihre Taylor-Reihe dar. Aschließed addiere wir die beide Reihe ud idetifiziere die Summe als e i z. Mit i 0 =, i = i, i 2 =, i 3 = i, i 4 = ud i 5 = i, i 6 =, i 7 = i, i 8 =, usw. gilt: cos(z) = z2 + z4 z6 ±... 2! 4! 6! = + i2 z 2 + i4 z 4 + i6 z ! 4! 6! = + (i z)2 2! + i si(z) = i z! i z3 = = (i z)4 4! + 3! +i z5 i z + i3 z 3! 3! + i5 z 5 (i z) (i z)3 +! 3! + (i z)6 6! ! ±... 5! +... (i z)5 5! +... (i z) (i z)2 (i z)3 (i z)4 (i z)5 (i z)6 cos(z) + i si(z) = ! 2! 3! 4! 5! 6! Folglich ist cos(z) + i si(z) =! (i z) = e i z Mit dieser sehr eifache Begrüdug ist die Eulersche Formel für alle z IC bewiese. Speziell für z = ϕ IR gilt da e iϕ = cos ϕ + i si ϕ ϕ IR. We wir de Wikel ϕ durch ϕ = ωt ersetze, so gilt die folgede Idetität vo Fuktioe e iωt = cos(ωt) + i si(ωt) t IR. Diese Gleichheit vo Fuktioe werde wir im folgede Abschitt ausutze, um e iωt zu differeziere ud zu itegriere.

39 9.5 Komplexwertige Fuktioe Eigeschafte der komplexe Expoetialfuktio E e z+z2 = e z e z2 z, z 2 IC. Wie im Reelle hat auch im Komplexe das Additiostheorem für die Expoetialfuktio seie Gültigkeit. Der Beweis dieser zetrale Formel würde de Rahme dieser Darstellug überschreite. Festzuhalte ist die folgede Folgerug: E2 e z+2π i = e z z IC. De setzt ma i (E) z 2 = 2π i, so folgt die Formel, da e z2 = e 2π i =. Die komplexe Expoetialfuktio ist damit periodisch mit der komplexe Periode 2π i. E3 si( z) = si(z) z IC cos( z) = cos(z) z IC. Wie im Reelle ist der Sius eie ugerade Fuktio, de i der Defiitiosgleichug für de Sius trete ur ugerade Poteze auf si( z) = ( ) (2 + )! ( z)2+ = ( ) (2 + )! z2+ = si (z). Da per Defiitio cos(z) ur gerade Poteze z 2 besitzt, ist cos(z) eie gerade Fuktio. E4 cos(z) = 2 ( e i z + e i z) z IC si(z) = 2i ( e i z e i z) z IC. Aweduge dieser beide Idetitäte werde wir im Kapitel über Differezialgleichuge och kee lere. Sie besage, dass ma die trigoometrische Fuktioe aus der komplexe Expoetialfuktio gewie

40 Fuktioereihe ka. Beide Idetitäte sid Folgeruge aus der Eulersche Formel, de e i z = cos(z) + i si(z) () e i z = cos( z) + i si( z) = cos(z) i si(z) (2) Addiert ma Gleichug () ud (2), ist e i z + e i z = 2 cos(z). Subtrahiert ma Gleichug (2) vo (), ist e i z e i z = 2i si(z). Durch Divisio der Faktore, erhält ma jeweils die Behauptug. E5 cos 2 (z) + si 2 (z) = z IC. Ma erhält (E5) aus (E4), idem ma beide Gleichuge quadriert ud da addiert: cos 2 (z) + si 2 ( (z) = 4 e i z + e i z) 2 ( 4 e i z e i z) 2 = 4 [( e i z) e i z e i z + ( e i z) 2 ( e i z) e i z e i z ( e i z) 2 ] = e i z e i z = e i (z z) = e 0 =. Awedug: Additiostheoreme für Sius ud Kosius Für α, β IC (bzw. α, β IR) gelte die Additiostheoreme cos (α + β) = cos α cos β si α si β (A) si (α + β) = si α cos β + cos α si β (A2) Begrüdug: (A): Aufgrud der Darstellug der Kosius- ud Siusfuktio durch die komplexe Expoetialfuktio (E4) ud dem Additiostheorem (E) rechet ma: ( e i α + e i α) cos α cos β si α si β = 2 2i ( 2 e i α e i α) 2i ( e i β ( + e i β) e i β i e β) = 4 ( e i (α+β) ( + e i α+i β + e i α i β + e i (α+β)) + e i (α+β) e i α+i β e i α i β i + e (α+β)) + 4 = 2 ( e i (α+β) + e i (α+β)) = cos (α + β). (A2): Aalog zu (A).

41 9.5 Komplexwertige Fuktioe 38 Folgerug: Verwadlug eies Produktes i eie Summe bzw. Differez Für α, β IC (bzw. α, β IR) gelte die Formel: () 2 si α si β = cos (α β) cos (α + β) (2) 2 cos α cos β = cos (α β) + cos (α + β) (3) 2 si α cos β = si (α β) + si (α + β) Begrüdug: Übugsaufgabe. Ma verwede die bereits bewiesee Additiostheoreme (A) ud (A2) Komplexe Hyperbelfuktioe Defiitio: Für z IC heiße die komplexe Fuktioe cosh(z) := 2 (ez + e z ) sih (z) := 2 (ez e z ) Kosius-Hyperbolikus Sius-Hyperbolikus Aufgrud der Defiitio der Hyperbelfuktioe ud Eigeschaft (E4) gelte die folgede Beziehuge H: cos(i z) = 2 H2: si (i z) = 2i ( e i (i z) + e i (i z)) = 2 (e z + e z ) = cosh (z), ( e i (i z) e i (i z)) = 2i (e z e z ) = i sih(z). Dies ist der Zusammehag zwische de Hyperbolikus-Fuktioe ud de trigoometrische: cosh(z) ud sih(z) sid im Komplexe ichts aderes als die Kosius- ud Siusfuktio mit dem Argumet i z. Daher gelte auch die bis auf das Vorzeiche ähliche Formel für beide Fuktiostype. H3: cosh 2 (z) sih 2 (z) = z IC. Gleichug (H3) erhält ma durch Quadriere vo (H) ud (H2) ud aschließeder Additio, we Gleichug (E5) berücksichtigt wird.

42 Fuktioereihe Differeziatio ud Itegratio Bei der Herleitug der komplexe Widerstäde zur Berechug vo Wechselstromkreise i Kap wurde die Fuktio e iωt mit der Formel ( e iωt ) = iω e iωt ach t differeziert. Die imagiäre Eiheit i wird als kostater Faktor agesehe ud die Fuktio e iωt mit der Ketteregel ach t differeziert. dass diese Methode auch allgemei gilt, zeigt der folgede Satz. Satz über die Differeziatio komplexwertiger Fuktioe. Seie u, v : (a, b) IR reelle, differezierbare Fuktioe. Da ist die komplexwertige Fuktio f := u + i v mit differezierbar ud es gilt f : (a, b) IC, x f (x) := u (x) + i v (x) f (x) = u (x) + i v (x). Dieser Satz besagt, dass eie komplexwertige Fuktio ach seier reelle Variable x differeziert wird, idem ma die gewöhliche Ableitug vo Realteil ud Imagiärteil bildet. Beim Differeziere komplexwertiger Fuktioe dürfe alle Differeziatiosregel wie bei reellwertige Fuktioe beutzt werde. Die Formel für die Ableitug folgt sofort aus der Defiitio der Ableitug, de f (x) = lim h 0 h = lim h 0 h (f (x + h) f (x)) (u (x + h) + i v (x + h) (u (x) + i v (x))) = lim h 0 [ h (u (x + h) u (x)) + i h = lim h 0 h = u (x) + i v (x). (u (x + h) u (x)) + i lim h 0 h (v (x + h) v (x))] (v (x + h) v (x)) Beispiele ➀ Gesucht ist die Ableitug der Fuktio f(t) = e iωt. Wege e iωt = cos (ωt) + i si (ωt)

43 9.5 Komplexwertige Fuktioe 383 folgt ( e iωt ) = cos (ωt) + i si (ωt) = ω si (ωt) + i ω cos (ωt) = iω (cos (ωt) + i si (ωt)) = iω e iωt. Die komplexwertige Fuktio e iωt darf wie die reellwertige Expoetialfuktio differeziert werde, we i als kostater Faktor agesehe wird. ➁ Gesucht wird die Ableitug der Fuktio f (x) = x e i x. Mit der Produktregel folgt f (x) = e i x + i x e i x = ( + i x) e i x. Satz über die Itegratio komplexwertiger Fuktioe. Seie u, v : [a, b] IR reelle, itegrierbare Fuktioe. Da ist die komplexwertige Fuktio f := u + i v mit itegrierbar ud es gilt f : [a, b] IC, x f (x) := u (x) + i v (x) b f (x) dx = b u (x) dx + i b a a a v (x) dx. Es gilt für die Itegratio eier komplexwertige Fuktio f (x) = u (x) + i v (x), dass der Realteil ud Imagiärteil itegriert werde ud aschließed das Itegral vo f sich aus beide Teile zusammesetzt. Beim Itegriere komplexwertiger Fuktioe dürfe alle Itegratiosregel wie bei reellwertige Fuktioe verwedet werde. Die Formel ergibt sich aalog zur Differeziatiosformel. Beispiele ➀ Gesucht ist eie Stammfuktio vo f (x) = e i x. f (x) dx = (cos x + i si x) dx = cos x dx + i si x dx = si x + i ( cos x) + C = i (cos x + i si x) + C = i ei x + C. ➁ Gesucht ist das ubestimmte Itegral x e i x dx. Mit partieller Itegratio (u = x, v = e i x u =, v = i e i x ) folgt x e i x dx = i x e i x + i e i x dx = i x e i x + e i x + C. Auch bei der Itegratio wird i wie eie Kostate behadelt.

44 Fuktioereihe Awedugsbeispiel 9.40 (RC-Wechselstrom-Kreis). Gegebe ist ei RC-Wechselstromkreis. Der Spaugsabfall am Kodesator ist U(t) = C Q (t). Abb RL-Kreis Da I (t) = d Q(t) dt ist Q(t) = I (t) dt. Der Spaugsabfall bei C lautet U(t) = I (t) dt. C Für eie komplexe Wechselstrom der Form Î (t) = I 0 e iωt folgt für Û(0) = 0 Û (t) = C I 0 e iωt dt = C I 0 iω eiωt = iω C I 0 e iωt = iω C Î (t). Dies ist das komplexe Ohmsche Gesetz für de Kodesator, we als Widerstad ˆR C := Û (t) Î (t) = iω C gesetzt wird (vgl. Kap ). MAPLE-Worksheets zu Kapitel 9 Zahlereihe mit Maple Die harmoische Reihe mit Maple Quotietekriterium mit Maple Potezreihe mit Maple Visualisierug der Kovergez der Taylor-Reihe Maple-Prozedur zur Berechug der Taylor-Polyome Scheiwerferregelug mit Maple Visualisierug der Eulersche Formel Zusammestellug der Maple-Befehle Maple-Lösuge zu de Aufgabe

45 9.6 Aufgabe zu Fuktioereihe Aufgabe zu Fuktioereihe Ma utersuche die folgede Zahlereihe auf Kovergez si a) b) e 2 c) d) 2 = = = = ( ) 2 + e) = 2! f) = ( ) g) 2 = 3 2 (2 )! h) = ( ) i) = ( ) j) = 2 k) = 2 l) =2 (2 )(2 + ) 9.2 Utersuche Sie die Kovergez der folgede Reihe ud bereche Sie -falls möglich- mit Maple ihre Wert. 2 k a) b) c) 4 k k! 2 k=0 k=0 9.3 Ma zeige die Divergez der Reihe (2 ) 2 ( ) ud die Kovergez der Reihe = = 6 ( ) (3 2 ) = 9.4 Bestimme Sie de Kovergezradius der Reihe a) ( ) + 5 x b) = = = c) ( + )2 x d) = l() x (!) 2 (2)! x+ 9.5 Bereche Sie de Kovergezradius vo x x a) b) c) x d) = = = ( ) = x e) x 2 f) = + x+ g) = +! ud diskutiere Sie de Kovergezbereich K. x h) 9.6 Bestimme Sie de Kovergezbereich der Potezreihe a) e (x 4) i b) 3 (x 2 i )i + c) = ( ) (2 )! x2 d) i=0 = (x 2) = 2 x

46 Fuktioereihe 9.7 Zeige Sie, dass die Taylor-Reihe vo Sius ud Kosius am Etwicklugspukt x 0 = 0 gegebe sid durch si x = ( ) (2 + )! x2 +, cos x = Ma bestimme de Kovergezbereich der Potezreihe. 9.8 Etwickel Sie die Fuktio f (x) = x 2 2 x, x > 0, ( ) (2 )! x2. am Etwicklugspukt x 0 = i eie Taylor-Reihe. Gebe Sie de zugehörige Kovergezbereich a. 9.9 Ma bereche die Taylor-Reihe der Fuktio f (x) = x 0 = 0 ud bestimme de Kovergezbereich. + x a der Stelle 9.0 Bereche Sie die Taylor-Reihe der Arkusfuktioe arcsi, arccos, arccot ud bestimme Sie de Kovergezbereich. 9. Ma bereche die Taylor-Reihe der Areafuktioe ar sih, ar cosh, ar coth ud bestimme de Kovergezbereich. 9.2 Etwickel Sie f (x) = cos x a der Stelle x 0 = π 3 bestimme Sie de Kovergezbereich. i eie Taylor-Reihe ud 9.3 a) Erstelle Sie mit Maple eie Prozedur zur graphische Darstellug der Taylor-Polyome eier Fuktio, idem Sie de taylor-befehl verwede. b) Bestimme Sie damit die Taylor-Reihe vo y = x a der Stelle x 0 = 0 bis zur Ordug 0. c) Bestimme Sie die Taylor-Reihe vo y = si x+ si 4x a der Stelle x0 = 0. 4 Wie groß muss die Ordug gewählt werde, damit graphisch kei Uterschied zwische Fuktio ud Taylor-Reihe im Bereich [ π, π] erkebar ist? 9.4 Die Fuktio f (x) = x e x soll i der Umgebug des Nullpuktes durch ei Polyom dritte Grades ageähert werde. Ma bestimme mit der Taylorsche Reiheetwicklug diese Fuktio. 9.5 Ma bereche de Fuktioswert vo f (x) = x a der Stelle x = 0.05 auf sechs Dezimalstelle geau, we als Auswertepolyom ei Taylor- Reiheasatz mit Etwicklugspukt x 0 = 0 gewählt wird. 9.6 Wie groß ist der maximale Fehler im Itervall [0, ], we ma die Fuktio 3 f(x) = si x x um de Pukt x 0 = 2 bis zur Ordug 2 etwickelt? 9.7 Bereche Sie 0 e x x dx bis auf 3 Stelle geau. 9.8 Löse Sie das ubestimmte Itegral F (x) = dt, idem der Itegrad zuächst i eie Taylor-Reihe am Etwicklugspukt x 0 = 0 etwickelt 0 + t 2 ud aschließed gliedweise itegriert wird. x